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黑龙江省大庆实验中学2016届高三上学期开学考试数学理试卷

大庆实验中学 2015—2016 高三上半学年数学(理)开学考 试
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件 A?C?B 的集合 C 的个数为( A.1 ) B.2 C.3 ) D.5 ) D.4

2.若 i(x+yi)=3+4i,x,y∈R,则复数 x+yi 的模是( A.2 1,x>0, ? ? 3.设 f(x)=?0,x=0, ? ?-1,x<0, A.1 B.3 C .4

? ?1,x为有理数, g(x)=? 则 f(g(π))的值为( ?0,x为无理数, ?

B.0

C.-1

D.π

5π π 4.如图,若依次输入的 x 分别为 、 ,相应输出的 y 分别为 y1、y2,则 y1、y2 6 6 的大小关系是( )

C.y1<y2 a7 5.已知数列{an}满足 a1=5,anan+1=2 ,则 =( a3
n

A.y1=y2

B.y1>y2

D.无法确定 ) 5 D. 2

A.2

B.4

C.5

6.从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数 a,从{1,2,3}中随机选取一个数 b,则 a<b 的 概率为( 4 A. 5 7.若函数 f(x)=sin π A. 2 ) 3 B. 5 2 C. 5 ) 5π D. 3 1 D. 5

x+φ (φ∈[0,2π])是偶函数,则 φ=( 3 2π B. 3 3π C. 2

8. 若函数 f ( x) ? loga (2x2 ? x)(a ? 0, a ? 1) 在区间 (0, ) 内恒有 f ( x) ? 0, 则 f ( x ) 的单调 增区间为( A. (??, ? ) ) B. (? , ??)

1 2

1 2

1 4

C. (0, ??)

D. (??, ? )

1 4

9.双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的左、右焦点分别是 F1,F2 ,过 F1 作倾斜角为 45? 2 a b


的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为( A. 2 10.函数 y ? e
|ln x|

B. 2

C. 2 ? 1 )

D.

2 2

? | x ? 1 | 的图象大致是(

11. 已知某几何体的三视图如图所示,其中正视图、侧视图均由直角三角形与半圆构成,俯 视图由圆与内接三角形构成,根据图中的数据可得几何体的体积为 ( ) 2π 1 + 3 2 4π 1 B. + 3 6 2π 1 + 6 6 2π 1 D. + 3 2

A.

C.

12. 已知 O 是平 面上 的一 定 点 , A 、 B 、 C 是 平面 上 不 共线 的 三个 点,动 点 P 满 足

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OB ? OC AB AC ? ? OP ? ? ? ( ??? ? ??? ) , ? ? R , 则动点 P 的轨迹一定通过 2 | AB | cos B | AC | cos C
△ABC 的( A. 重心 ) B. 垂心 C. 外心 D. 内心

第Ⅰ卷(非选择题

共 90 分)

二、 填空题 (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分, 将答案填在答题卡相应的位置上.) 13. 圆心在直线 2 x ? y ? 3 上,且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________.

? y ≥ x, ? 14. 设变量 x, y 满足约束条件: ? x ? 2 y ≤ 2, ,则 z ? x ? 3 y 的最小值 ? x ≥ ?2. ?
15. 若数列{an}满足 1



1 1 - =d(n∈N*,d 为常数),则称数列{an}为调和数列.记数列{ } xn an+1 an

为调和数列,且 x1+x2+…+x20=200,则 x5+x16=________.

16.在( x ? 2)2006的二项展开式中, 含x的奇次幂的项之和为S ,当x ? 2时, S ? _____.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分)已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (1)求边 AB 的长; (2)若 △ ABC 的面积为

1 sin C ,求角 C 的度数. 6

18. (本小题满分 12 分)某地区有小学 21 所,中学 14 所,大学 7 所,现采用分层抽样的 方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查.(1)求应从小学、中学、大学中分别 抽取的学校数目; (2)若从抽取的 6 所学校中任取 3 所学校做进一步数据分析,①求取出的 3 所学校中没 有小学的概率;②设取出的小学个数为随机变量 X ,求 X 的分布列和数学期望. 19. (本小题满分 12 分) 如图, 四边形 ABCD 为正方形, PD⊥平面 ABCD, 1 PD∥QA,QA=AB=2PD.(1)证明:平面 PQC⊥平面 DCQ;(2)求二面角 Q -BP-C 的余弦值. 1 20. (本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中,已知中心在原点,离心率为2的椭圆 E 的一 个焦点为圆 C:x2+y2-4x+2=0 的圆心.(1)求椭圆 E 的方程;(2)是否存在点 P,P 是椭圆 1 E 上一点,过 P 作两条斜率之积为2的直线 l1,l2,且直线 l1,l2 都与圆 C 相切.若存在,求 P 的坐标,若不存在,说明理由. 21. (本小题满分 12 分)函数 f ( x) ? ln

ex ?1 , 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? f (an ) . x

(1)试求 f ( x ) 的单调区间; (2)求证:数列 ?an ? 为递减数列,且 an ? 0 恒成立. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,? O 的半径 OB 垂直于直径 AC,M 为 AO 上一点,BM 的

延长线交 ? O 于 N,过 N 点的切线交 CA 的延长线于 P. ⑴求证: PM ? PA ? PC ;
2

⑵若 ? O 的半径为 2 3, OA ? 3OM ,求 MN 的长. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 π? 在极坐标系中,已知圆 C 经过点 P? ? 2,4? 点.(1)求圆 C 的极坐标方程;(2)求直线 ? ? π? 3 ,圆心为直线 ρsin? ?θ-3?=- 2 与极轴的交

?
3

( ? ? R) 被圆 C 所截得的弦长.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f(x)=|2x-1|+|2x-3|,x∈R. (1)解不等式 f(x) ≤5;(2)若 h( x) ? ln[ f ( x) ? a] 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f(x)=|2x-1|+|2x-3|,x∈R. (1)解不等式 f(x) ≤5;(2)若 h( x) ? ln[ f ( x) ? a] 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围.

参考答案
一、选择题 DDBCB DCACD CC 11. 解析: 选 C 根据三视图可知该几何体为一个四棱锥和三棱锥的组合体, 如图所示, 且 EA⊥平面 ABCD,FD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,则有 FD=4,AE=2, AD=DC=4,FD∥EA,所以 F 和 D 到平面 AEB 的距离相等,且为 4,故 VF-BAE= 1 3

1 1 16 1 1 64 × S△BAE× AD= × × 4× 2× 4= ,VF-ABCD= × S × FD= × 4× 4× 4= ,则该几何 3 2 3 3 四边形 ABCD 3 3 16 64 80 体的体积为 + = . 3 3 3

??? ? ???? OB ? OC ???? 12. 解:设 BC 的中点为 D,则 ? OD , 2

??? ? ??? ? ??? ? AB AC ? ? ? ??? ), 则由已知得 DP ? ? ( ??? | AB | cos B | AC | cos C ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? BC AC ? BC ? ? ? ??? ) ∴ DP ? BC ? ? ( ??? | AB | cos B | AC | ? cos C ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? | AB | ? | BC | cos(? ? B) | AC | ? | BC | cos C = ?( ??? ? ??? ? ? ) = ?(? | BC | ? | BC |) = 0 . | AB | cos B | AC | cos C
∴DP⊥BC,P 点在 BC 的垂直平分线上,故动点 P 的轨迹通过△ABC 的外心. 选 C . 二、填空题 13. ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 9 或 ( x ?1) ? ( y ? 1) ? 1
2 2
2 2

14. ?8 ;

15. 20 ;
2006

16. ?2

3008

16. 设( x ? 2)

=a0 ? a1x1 ? a2 x2 ? a3 x3 ??? a2006 x2006 -------①

(?x ? 2)2006 =a0 ? a1x1 ? a2 x2 ? a3 x3 ??? a2006 x2006 -------② ① ? ②得2(a1x ? a3 x3 ? a5 x5 ??? a2005 x2005 ) ? ( x ? 2)2006 ? ( x ? 2)2006
1 ? ( x ? 2) 2006 展开式的奇次幂项之和为S ( x) ? [( x ? 2) 2006 ? ( x ? 2) 2006 ] 2
3?2006

1 2 2 当x ? 2时, S ( 2) ? [( 2 ? 2) 2006 ? ( 2 ? 2) 2006 ] ? ? 2 2
三、解答题 17. 解: (I)由题意及正弦定理,得 AB ? BC ? AC ? 2 ? 1 ,

? ?23008

BC ? AC ? 2 AB ,两式相减,得 AB ? 1 .
(II)由 △ ABC 的面积

1 1 1 BC ?AC ? sin C ? sin C ,得 BC ?AC ? , 2 6 3
AC 2 ? BC 2 ? AB 2 ( AC ? BC )2 ? 2 AC ?BC ? AB 2 1 ? ? , 2 AC ?BC 2 AC ?BC 2

由余弦定理,得 cos C ? 所以 C ? 60 .
?

18. 解:(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1. (2)①从 6 所学校中任取的 3 所学校没有小学(记为事件 B)的概率为 P(B)= ②

1 . 20

数学期望为 E ( X ) ?

3 . 2

19. 解析:如图,以 D 为坐标原点,线段 DA 的长为单位长度,射线 DA 为 x 轴的正半 轴建立 空间直角坐标系 D-xyz. → → → (1)证明:依题意有 Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0).则DQ=(1,1,0),D C =(0,0,1),P Q = → → → → (1,-1,0).因为PQ· DQ=0,PQ· DC=0. 所以 PQ⊥DQ,PQ⊥DC.所以 PQ⊥平面 DCQ. 又 PQ? 平面 PQC,所以平面 PQC⊥平面 DCQ. → → (2)依题意有 B(1,0,1),CB=(1,0,0),BP=(-1,2,-1). 设 n=(x,y,z)是平面 PBC 的一个法向量, → ? ?x=0, CB=0, ?n· ? 则? 即? → ?-x+2y-z=0. ? ? BP=0, ?n· → ? BP=0, ?m· 因此可取 n=(0,-1,-2).设 m 是平面 PBQ 的一个法向量,则? → ? PQ=0. ?m· 可取 m=(1,1,1),所以 cos〈m,n〉=- 15 15 .故二面角 Q-BP-C 的余弦值为- . 5 5

20. 解:(1)由 x2+y2-4x+2=0 得(x-2)2+y2=2,故圆 C 的圆心为点(2,0). x2 y2 c 1 从而可设椭圆 E 的方程为 2+ 2=1(a>b>0),其焦距为 2c.由题设知 c=2,e= = .所以 a b a 2 x2 y2 a=2c=4,b2=a2-c2=12.故椭圆 E 的方程为 + =1. 16 12 (2)假设存在这样的点 P.设点 P 的坐标为(x0,y0),l1,l2 的斜率分别为 k1,k2,则 l1,l2 的方 1 程分别为 l1:y-y0=k1(x-x0),l2:y-y0=k2(x-x0),且 k1k2= , 2 |2k1+y0-k1x0| 2 由 l1 与圆 C:(x-2)2+y2=2 相切得 = 2,即[(2-x0)2-2]k2 1+2(2-x0)y0k1+y0 k2 1+1
2 -2=0.同理可得[(2-x0)2-2]k2 +2(2-x0)y0k2+y2 0-2=0.

从而 k1,k2 是方程[(2-x0)2-2]k2+2(2-x0)y0k+y2 0-2=0 的两个实根,于是
?? 2 -x0?2-2≠0, ? y2 1 0-2 ? ①且 k k = = . 2 1 2 2 2 2 ? 2 - x ? - 2 0 ? Δ = 8[ ? 2 - x ? + y - 2]>0 , ? 0 0

? 由? y -2 1 = , ?? 2-x ? -2 2
2 0 0 2

2 2 x0 y0 + =1, 16 12

18 得 5x2 . 0-8x0-36=0,解得 x0=-2,或 x0= 5

由 x0=-2 得 y0=± 3;由 x0=

18 57 得 y0=± ,它们均满足①式. 5 5

18 57? 18 57? 所以假设成立,且点 P 的坐标为(-2,3),或(-2,-3),或? , ,或? ,- . 5 ? 5 ? ?5 ?5 21. 解:易知 f ( x ) 的定义域为 x ? R x ? 0 , 对函数 f ( x ) 求导得 f ?( x) ?

?

?

x ex x ? ex ? 1 ex x ? ex ? 1 ,因 ? ? ex ?1 x2 (e x ? 1) x

所以 e x ? e ? 1 ? 0, x ? 0 ,又
x x

ex ?1 ? 0 ,所以 f ?( x) ? 0 , x

所以 f ( x ) 的增区间为 (??,0),(0, ??) .
x 证明:易知当 x ? 0 时, e ? 1 ? x ? 0 ,所以 x ? 0 时

ex ?1 ? 1. x

22. 解:⑴连结 ON,∵PN 切 ? O 于 N ,∴ ?ONP ? 90? ,∴ ?ONB ? ?BNP ? 90? . ∵ OB ? ON ,∴ ?OBN ? ?ONB . ∵ BO ? AC 于 O ,∴ ?OBN ? ?BMO ? 90? ∴ ?BNP ? ?BMO ? ?PMN ,∴ PM ? PN . ∴ PM 2 ? PN 2 ? PA ? PC .(5 分) ⑵ OM ? 2, BO ? 2 3, BM ? 4 .

∵ BM ? MN ? CM ? MA ? 2 3 ? 2 2 3 ? 2 ? 8 ∴ MN ? 2 .(10 分) π? 3 23.解:在 ρsin? ?θ-3?=- 2 中令 θ=0,得 ρ=1,所以圆 C 的圆心坐标为(1,0). π? 因为圆 C 经过点 P? ? 2,4?,所以圆 C 的半径 PC= π ? 2?2+12-2× 1× 2cos =1,于是圆 C 过极点,所以圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ. 4 (2)弦长为 1 . 1 9? 24. (1)不等式的解集为 x∈? (2) a 的取值范围为 a a ? ?2 。 (10 分) ?-4,4?.(5 分)

?

??

?

?

?


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