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江苏省赣榆高级中学2013-2014学年度第一学期高二数学文科周练8(含答案)


江苏省赣榆高级中学 2013-2014 学年度第一学期周练
高二年级数学试卷(文科)
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请把答案填写在答题纸相应位置上). 1.命题“ ?x ? R , x 2 ? 1 ? 0 .”的否定是 ▲ . ?x ? R, x 2 ? 1 ? 0

2.在 ?ABC 中, a ? 3, b ? 5, C ? 120? ,则 c =____▲_____. 7 3.在等差数列 {an } 中,若 a5 ? 1, a7 ? ?1 ,则 a9 ? _____▲______. -3
o sB ? bc o s A , 4.在 ?ABC 中, 内角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、b、c , 若ac 则 ?ABC 的形状是_ _▲_ __.

等腰三角形 5.“ ac ? b 2 ”是“ a、b、c 成等比数列”的__ 要,既不充分也不必要”之一)必要不充分 ▲ __条件.(填“充分不必要,必要不充分,充

?x ? 1 ? 6. 如果实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? x ? y 的最小值是 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
7.已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n ? 3 ? 2n ,则 an =___▲____. an ? ? 8.在等比数列 {an } 中, S 4 =1, S8 =3,则 a17 ? a18 ? a19 ? a20 =



.3

? 5 n ?1 ?2


n ?1 n?2
. 16

9.已知平面区域 D 以 A(2, 4), B(6,3), C (4, 2) 为顶点的三角形的内部和边界组成,若在区域 D 上有无 穷个点可使目标函数 z ? x ? ay 取得最小值,则 a =___▲____. 1 10. 在等差数列 ?an ? 中, Sn 是其前 n 项的和,且 a1 ? 2 ,

?1? S 2012 S 2010 ? ? 2 ,,则数列 ? ? 的前 2012 2010 ? Sn ?

n 项的和是



.

n n ?1

、 C共 线 , 且 ( 补 充 ) 已 知 数 列 {an } 是 等 差 数 列 , O 为 坐 标 原 点 , 平 面 内 三 点 A、 B

O A? a ? 1 0 0 6O B

{an } 的前 2012 项的和 S2012 =___▲____. 1006 ,则数列 a C 1 0 0 7O

2 1 11.已知 x ? 0, y ? 0, x ? 2 y ? 1 ,若 ? ? m 2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是___▲____. (?4, 2) x y

12.已知椭圆短轴上的两个顶点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率为

.

2 2

高二数学试卷第 1 页(共 2 页)

x x 13.若关于 x 的方程 4 ? a ? 2 ? 1 ? 0 有实数解。则实数 a 的取值范围为 __▲____. a ? ?2

14.已知数列 {an } 的各项均为正整数,对于 n ? 1, 2, 3, ? ? ? ,有

?3an ? 5 an为奇数 ? * ,若存在 m ? N ,当 n ? m 且 an 为奇数 an ?1 ? ? an an为偶数,k是使an?1为奇数的正整数 ? ? 2k
时, an 恒为常数 p ,则 p 的值为___▲____. 1 或 5 二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤). 15.(本题满分 14 分) 在锐角 ?ABC 中, a、b、c 分别是角 A、 B、 C 的对边,且 3a ? 2c sin A , (1)求角 C 的大小; (2)若 c ? 7 ,且 ?ABC 的面积为

3 3 ,求 a ? b 的值. 2

解: (1)根据正弦定理,由 3a ? 2c sin A ,有 3sin A ? 2sin C sin A

? sin C ?
(2)

3 2

?ABC 锐角三角形

? C ? 60 .

------------

6分

c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? (a ? b)2 ? 3ab

? (a ? b)2 ? 7 ? 3ab ? 7 ? 3 ?a?b?5

2S ab sin C ? 7 ? 3 ?ABC ? 25 sin C sin C
14 分

------------------------------------

16.(本题满分 14 分)已知点 P 是椭圆 C 1 : ? y ? 1 上的动点, F1、F2 分别是椭圆 C 1 的左、右焦
2

x 4

2

点,椭圆 C 2 以 C 1 的长轴为短轴,且与 C 1 有相同的离心率. (1)求椭圆 C 1 的焦点坐标,离心率及 ?PF 1 F2 面积的最大值; (2)求椭圆 C 2 的方程. 解:(1)椭圆 C 1 的焦点坐标为 F1 (- 3,0)及 F2 ( 3,0),??????????2 分 离心率 e = 3 .???????????????????????4 分 2

1 ?PF1 F2 面积 S= ? 2 3 y p ≤ 3???????????????????7 分 2
(2)由已知可设椭圆 C 2 的方程为

y2 x2 ? ? 1(a ? 2) ??????????9 分 4 a2

高二数学试卷第 2 页(共 2 页)

其离心率为 e ?

a2 ? 4 3 3 ,故 ,则 a ? 4 ? 2 a 2

????????????12 分

故椭圆的方程为

y2 x2 ? ? 1 ??????????????????14 分 16 4

17.(本题满分 15 分)已知 m ? 0 , p : ( x ? 2)( x ? 3) ? 0 , q : 1 ? m ? x ? 1 ? m . (1)若 ? q 是 ? p 的必要条件,求实数 m 的取值范围; (2)若 m ? 7 ,“ p 或 q ”为真命题,“ p 且 q ”为假命题,求实数 x 的取值范围.

18.(本题满分 15 分)已知等差数列 {an } 中, a3 ? a6 ? 17, (1)求 {an } 的通项公式;

a1a 8 ? ?38且a1 ? a8 .

(2) 调整数列 {an } 的前三项 a1 , a2 , a3 的顺序, 使它成为等比数列 {bn } 的前三项, 求 {bn } 的前 n 项和. 解: (1)由已知,求得 a1 ? ?2 , a8 ? 19 ∴ {an } 的公差 d=3 ∴an=a1+(n-1)d=-2+3(n-1)=3n-5.

(2)由(1) ,得 a3=a2+d=1+3=4,∴a1=-2,a2=1,a3=4. 依题意可得:数列{bn}的前三项为 b1=1,b2=-2,b3=4 或 b1==4,b2=-2,b3=1 (i)当数列{bn}的前三项为 b1=1,b2=-2,b3=4 时,则 q=-2 .
高二数学试卷第 3 页(共 2 页)

? Sn ?

b1 (1 ? q n ) 1? [1 ? (?2)n ] 1 ? ? [1 ? (?2)n ] . 1? q 1 ? (?2) 3

(ii)当数列{bn}的前三项为 b1=4,b2=-2,b3=1 时,则

1 4[1 ? (? ) n ] b (1 ? q ) 8 1 1 2 q ? ? . ? Sn ? 1 ? ? [1 ? (? ) n ] 1 2 1? q 3 2 1 ? (? ) 2 2 19. (本题满分 16 分) 某工厂有旧墙 14 m , 现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形, 面积为 126 m a 的厂房,工程条件是:(1)建 1 m 新墙的费用为 a 元;(2)修 1 m 旧墙的费用是 元;(3)拆去 1 m 旧 4 a 墙,用所得的材料建 1 m 新墙的费用为 元.经讨论有两种方案: 2 (1)利用旧墙的一段 x( x ? 14) m 为矩形厂房的一面的边长;
n

(2)矩形一面的边长 x ? 14 m . 问如何利用旧墙,即 x 为多少时建墙费用最省?

126 解: 设利用旧墙的矩形厂房的一面的边长为 x ,则矩形的另一面边长为 x ,先估计 ? 126? 2?x+ x ?≥2 126>22 m,所以必须重建新墙才能满足要求. ? ? a (1)当 0<x<14,则修旧墙的费用为 x· 4元, a 剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14-x)· 2, 2×126 ? ? ?· 其余均为建新墙,费用为?2x+ a,故总费用为: x -14? ? 2×126 a a ? ? ?2x+ ?· y=4x+(14-x)· + a - 14 2 ? x ? ?7 252 ? =a?4x+ x -7? ? ? ?1 36 ? =7a?4x+ x -1?(0<x<14), ? ? 1 36 ∵4x+ x ≥2 x 36 1 36 · = 6 ,当且仅当 4 x 4x= x ,即 x=12 时取等号,

高二数学试卷第 4 页(共 2 页)

126 因此只需求 x+ x 的最小值就可以了, 126 显然 f(x)=x+ x 在区间(0, 126]上单调递减; 在区间[ 126,+∞)上单调递增. 126 故当 x≥14 时,f(x)=x+ x 单调递增, 126 最小值为 f(14)=14+ 14 =14+9=23, 21? 71 ? 此时 y≥a?46- 2 ?= 2 a=35.5a. ? ? 综合(1)(2)两种方案,以第一种方案总费用最低,即以 12 米旧墙改建,剩下 2 米旧墙拆 得的材料建新墙,其余的建新墙 3 20. (本题满分 16 分) 已知数列 ?an ? 和 ?bn ? 满足: a1 =λ , an ?1 = an ? n ? 5, bn ? (?1) n (an ? 4n ? 36), 4 其中λ 为实数,n 为正整数. Sn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和.
(1)对任意实数λ ,证明:数列 ?an ? 不是等比数列; (2)对于给定的实数λ ,试求数列 ?bn ? 的通项公式,并求 Sn ; (3) 设 0 ? a ? b( a , b 为给定的实常数) ,是否存在实数λ , 使得对任意正整数 n , 都有 a ? Sn ? b ? 若存在,求λ 的取值范围;若不存在,说明理由.
2 解: (1)证明:假设存在一个实数 ,使 ?an ? 是等比数列,则有 a2 ? a1a3 ,

即(

9 2 3 9 ?9 ? ? ? 4 )2= ? ? ? ? 6 ? ? ? 2 ?6? ? 16 ? 16 ? ? 4? ? 16 ? 0, 矛盾. 4 ? 16 ? 16
4分
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所以 ?an ? 不是等比数列.

3 [an ?1 ? 4(n ? 1) ? 36] ? (?1) n ?1 ( an ? 3n ? 27) 4 3 3 ? ? (?1) n (an ? 4n ? 36) ? ? bn 4 4 当 ? ? ?32 时, b1 ? ?(? ? 32) ? 0 ,由上可知 bn ? 0 , b 3 ∴ n ?1 ? ? (n ? N + ) . bn 4 3 ) 首项, ? 为公比的等比数列 故 当 ? ? ?32 时 , 数 列 {bn } 是 以 ?(? ? 3 2 为 4
(2)因为 bn ?1 ? (?1)
n ?1



? 3? bn ? ?(? ? 32) ? ? ? ? 4?

n ?1

, Sn ? ?

4 3 ? ? (? ? 32) ?1 ? (? )n ? 7 4 ? ?

当 ? ? ?32 时, bn ? 0 , Sn ? 0 (3)由(2)知,当 ? ? ?32 时, bn ? 0 , Sn ? 0 ,不满足题目要求. ∴ ? ? ?32 , 要使 a ? Sn ? b 对任意正整数 n 成立, 即a ? ?

4 3 (? ? 32) [1 ? (? ) n ] ? b(n ? N ? ) 7 4 a 4 b 得 ? ? (? ? 32) ?            3 3 7 1 ? (? ) n 1 ? (? ) n 4 4 3 n 令f (n) ? 1 ? (? ) ,则 4 7 7 当 n 为正奇数时, 1 ? f ( n) ? ; 当n为正偶数时, ? f ( n) ? 1, 4 16 7 7 ∴ f ( n) 的最大值为 f (1) ? , f ( n) 的最小值为 f (2) ? , 4 16 16 4 4 于是,由①式得 a <- (? ? 32) < b ? ?b ? 32 ? ? ? ?4a ? 32. 7 7 7 当 a ? b ? 4a 时,由 ?b ? 32 ? ?4a ? 32 ,不存在实数满足题目要求;
当 b ? 4a 存在实数λ ,使得对任意正整数 n ,都有 a ? Sn ? b ,且λ 的取值范围是 (?b ? 32, ?4a ? 32) .

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