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第3讲 两角和与差及二倍角的三角函数


第3讲 两角和与差及二倍角的三角 函数

基础诊断

? 夯基释疑
? 考点一:三角函数式的化简

概 要

考点突破

? 考点二:三角函数式的求值或求角

? 考点三:三角变换的简单应用

课堂小结

? 思想方法 ? 易错防范

夯基释疑

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α,β 是任意的.( ) (2)存在实数 α,β,使等式 sin(α+β)=sin α+sin β 成立.( ) tan α+tan β (3)公式 tan(α+β)= 可以变形为 tan α+tan β 1-tan αtan β =tan(α+β)(1-tan αtan β), 且对任意角 α, β 都成立. ( ) (4)存在实数 α,使 tan 2α=2tan α.( )

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考点突破 考点一 三角函数式的化简
例 1 (1)化简:
通过变形,统一角,以便 α α 化简。是解决本题关键 (1+sin α+cos α)· (cos -sin ) 2 2 (0<α<π)=________. 2+2cos α

解(1)

原式=

? α α 2 ?2cos +2sin cos 2 2 ?

α cos cos α α π 2 因为 0<α<π,所以 0< < , = ? . ? 2 2 α ?cos ? 2? ? α 所以 cos >0,所以原式=cos α. 答案 cos α 2
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α? ? α α? ? ?cos -sin ? 2 ?· 2 2? ? 2α 4cos 2

简答

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考点突破 考点一 三角函数式的化简 1 例 1 (2)若 tanα=﹣ 则 3 首先应想方设法向单角三角 α α α α 函数转化,以便利用已知 5sin2 +8 sin cos +11cos2 -8 2 2 2 2 =________. α 2· sin(α- ) 4
解(2) 因为 tanα=﹣1, 3 1+ cosα 2α 2α 5(sin + cos )+4sinα+6· 2 2 2 原式= sinα-cosα 5+4sinα+3+3cosα-8 4sinα+3cosα = = sinα-cosα sinα-cosα
简答

4tanα+3 5 5 =-4 答案: = ( 1 ) cos α ( 2 )- 4 tanα-1
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考点突破 考点一 三角函数式的化简

规律方法
三角函数式的化简要遵循“三看”原则: ①一看角之间的差别与联系, 把角进行合理的拆分, 正确使 用公式; ②二看函数名称之间的差异,确定使用的公式,常见的有 “切化弦”; ③三看结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要 通分”,“遇到根式一般要升幂”等.

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考点突破 考点一 三角函数式的化简
1 2cos x-2cos x+ 分子配方分解因 2 【训练 1】(1)化简: 式、分母切化弦 ?π ? ?π ?=___. 2tan?4-x?sin2?4+x? ,以便化简 ? ? ? ?
4 2

解析(1)

1 简答 4 2 (4cos x-4cos x+1) (2cos2x-1)2 2 = 原式= ?π ? ?π ? ?π ? 4sin?4-x?cos?4-x? 2× sin?4-x? ? ? ? ? ? ? ? ? 2?π ? cos 4-x ?π ? · ? ? ? ? cos 4-x ? ? cos22x 1 cos22x = cos 2x. = = ?π ? 2cos 2x 2 2sin?2-2x? ? ?

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考点突破 考点一 三角函数式的化简
α? ? ? 1 α? ? α-tan2? ?1+tan α· ?=________. tan 【训练 1】(2)? · ?? 2? tan ? 2 ?
α α α cos sin sin 解析(2) 2 2 2 sin α 原式=( α - α)· (1+ · α) cos α sin cos cos 2 2 2 α sin 2 cos α sin α = α (1+ · α) α· cos α sin cos cos 2 2 2 α sin 2 2cos α 2cos α sin α = + · · α sin α sin α cos α cos 2
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简答

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考点突破 考点一 三角函数式的化简
α? ? ? 1 α? ? α-tan2? ?1+tan α· ?=________. tan 【训练 1】(2)? · ?? 2? tan ? 2 ?

α 2α 2α 2sin 4sin 2cos α + 4sin 2 2cos α 2 2cos α 2 = + α = sin α + sin α = sin α sin α cos 2 ? α? 2 2α ? ? 2 1-2sin 2 +4sin 2 2 ? ? = . = sin α sin α

答案

1 (1) cos 2x 2

2 (2) sin α

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考点突破 考点二 三角函数式的求值或求角
[微题型1] 给角求值

例 2-1 求值: [2sin 50° +sin 10° (1+ 3tan 10° )]· 2sin280° =______.
解析
? (1)原式=? ?2sin ?

一般规律切化弦

简答

? cos 10° + 3sin 10° ? sin 80° 50° +sin 10° · ?· 2· cos 10° ? 1 3 ? ? cos 10° + sin 10° ? 2cos 10° 2 2 =? ?2sin 50° ? +2sin 10° · ? cos 10° ?

=2 2[sin 50° · cos 10° +sin 10° · cos(60° -10° )] 3 =2 2sin(50° +10° ) =2 2× = 6 2
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考点突破 考点二 三角函数式的求值或求角

规律方法
给角求值中一般所给出的角都是非特殊角,应仔细观察非 特殊角与特殊角之间的关系,结合公式将非特殊角的三角函数转 化为特殊角的三角函数,从而得解.

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考点突破 考点二 三角函数式的求值或求角
[微题型2] 给值求值
? ? 2 β? π 1 ?α 例 2-2 已知 0<β< <α<π,且 cos?α-2?=- ,sin?2 -β?= ,求 cos(α+β)的值; 2 9 ? ? ? ? 3

π π β π α π 解析 (2)∵0<β<2<α<π,∴4<α-2<π,-4<2-β<2, ? ? β? β? 4 5 2 ∴sin?α-2?= 1-cos ?α-2?= , 9 ? ? ? ? 不难看出: ?α ? ?α ? 5 2 cos?2-β?= 1-sin ?2-β?= , (α-β)-(α-β)=α+β 3 ? ? ? ? 2 2 2 ?? ?? α+ β β? ?α 是解题思路的关键所在 ∴cos =cos??α-2?-?2-β?? 2 ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? 1? 5 4 5 2 7 5 β? ?α β? ?α ? ? = , =cos?α-2?cos?2-β?+sin?α-2?sin?2-β?=?-9?× 3 + 9 × 3 27 ? ? ? ? ? ? ? ? α+ β 49× 5 239 2 ∴cos(α+β)=2cos -1=2× -1=- . 2 729 729
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考点突破 考点二 三角函数式的求值或求角

规律方法

已知三角函数值,求其他三角函数式的值的一般思路: (1) 观察已知条件与所求式子之间的联系 ( 从三角函数名及角 入手); (2)将已知条件代入所求,化简求值.

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考点突破 考点二 三角函数式的求值或求角
[微题型3] 给值求角

1 1 例 2-3 已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)= ,tan β=- ,求 2α-β 的值为___. 2 7 1 1 解析 - 2 7 tan(α-β)+tan β 1 = = >0, (2)∵tan α=tan[(α-β)+β]= 1 1 3 1-tan(α-β)tan β 1+ × π 2 7 又 α∈(0,π). ∴0<α< , 2 由已知条件尽力缩小α的范 1 2× 围,以便将要求的2α-β准 3 2tan α 3 又∵tan 2α= = ?1?2=4>0, 确定位,从而不至于增解 1-tan2α 1-?3? 3 1 ? ? + π tan 2 α - tan β 4 7 ∴0<2α< ,∴tan(2α-β)= = =1. 2 3 1 1+tan 2αtan β 1- × 4 7 1 π 3π ∵tan β=- <0, ∴ <β<π,-π<2α-β<0, ∴2α-β=- . 2 7 4
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考点突破 考点二 三角函数式的求值或求角
规律方法 通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以 下原则:(1)已知正切函数值,选正切函数;(2)已知正、余弦函数 ? π? 值,选正弦或余弦函数;若角的范围是?0,2 ?,选正、余弦皆可; ? ? ? π π? 若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为?-2,2 ?,选正 ? ? 弦较好.

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考点突破 考点二 三角函数式的求值或求角
【训练 2】 A. 2 (1)4cos 50° -tan 40° =( ) 2+ 3 B. C. 3 D.2 2-1 2

简答

sin 40° 4cos 40° sin 40° -sin 40° 解析 (1)原式=4sin 40° - cos 40° = cos 40°

-40° )-sin 40° 2sin 80° -sin 40° 2sin(120° = = cos 40° cos 40°
3cos 40° +sin 40° -sin 40° = cos 40°

3cos 40° = = 3,故选 C. cos 40°

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考点突破 考点二 三角函数式的求值或求角
1 13 π 训练 2 (2)已知 cos α= ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< , 7 14 2 则 tan 2α____, β=_____. 易看出α-(α-β) =β

1 π 4 3 ∵cos α= ,0<α< , ∴sin α= , 7 2 7 ∴tan α=4 3,
2tan α 2× 4 3 8 3 ∴tan 2α= =- . 2 = 47 1-tan α 1-48 3 3 π π ∵0<β<α< ,∴0<α-β< ,∴sin(α-β)= 14 , 2 2

解析

简答

∴cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)
1 13 4 3 3 3 1 π = × + × = . ∴β= . 答案 7 14 7 14 2 3
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8 3 (1)C (2)- 47
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π 3
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考点突破 考点三 三角变换的简单应用
例 3 已知△ABC 为锐角三角形,若向量 p=(2-2sin A,cos A +sin A)与向量 q=(sin A-cos A,1+sin A)是共线向量. C-3B 2 (1)求角 A;(2)求函数 y=2sin B+cos 的最大值. 2 解析 (1)因为 p,q 共线, ?π ? 2 =2sin B+cos?3-2B? ? ? 所以(2-2sin A)(1+sin A) 1 3 =(cos A+sin A)(sin A-cos A), =1-cos 2B+ cos 2B+ sin 2B 2 2 3 3 1 则 sin2A= . 又 A 为锐角, = sin 2B- cos 2B+1 4 2 2 ? ? ? π 3 π? π ?2B- ?+1. 因为 B∈?0, ?, 所以 sin A= ,则 A= . = sin 2? 2 3 6? ? ? ? π 5π? π C - 3 B 2 所以 2B- ∈?- 6, 6 ?, (2)y=2sin B+cos 2 6 ? ? π π ? ? π 所以当 2B- = 时,函数 y 6 2 ?π- -B?-3B 3 π ? ? 2 =2sin B+cos 取得最大值,解得 B=3,ymax=2. 2
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考点突破 考点三 三角变换的简单应用

规律方法
解三角函数问题的基本思想是“变换”, 通过适当的变换达到 由此及彼的目的,变换的基本方向有两个,一个是变换函数的名 称,一个是变换角的形式.变换函数名称可以使用诱导公式、同 角三角函数关系、二倍角的余弦公式等;变换角的形式,可以使 用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等.

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考点突破 考点三 三角变换的简单应用
训练 3
? ?5π? 3 2 π? (2014· 广东卷)已知函数 f(x)=Asin?x+3 ?,x∈R,且 f?12 ?= . 2 ? ? ? ? ? ?π ? π? 3,θ∈?0,2 ?,求 f?6-θ?. ? ? ? ?

(1)求 A 的值;(2)若 f(θ)-f(-θ)=

解析
?5π π? 3π 2 3 2 (1)由 ? ? 所以 Asin 12+3 =Asin = A= , 4 2 2 ? ? ? ? π? π? (2)由 f(θ)-f(-θ)=3sin?θ+3 ?-3sin?-θ+3?= ? ? ? ? ?? π π? ? π π?? 3??sin θcos 3+cos θsin 3?-?-sin θcos 3+cos θsin 3 ?? ?? ? ? ??
?5π? 3 2 f?12 ?= , 2 得 ? ?

A=3.

? π π? 3 6 ? ? =6sin θcos =3sin θ= 3, ∴sin θ= . ∵θ∈ 0, ,∴cos θ= , 3 2? 3 3 ? ?π ? ?π ? ?π π? ∴f?6-θ?=3sin?6-θ+3 ? =3sin?2-θ?=3cos θ= 6. ? ? ? ? ? ?
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课堂小结 思想方法
重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、 变式”;变角:对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角;变名: 尽可能减少函数名称;变式:对式子变形一般要尽可能有理化、 整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时,一般是 观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异,再 选择适当的三角公式恒等变形.

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课堂小结

易错防范
1.运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注意和、差、倍角 的相对性,要注意升幂、降幂的灵活运用,要注意“1”的各种 变通. 2 2.在(0,π)范围内,sin α= 所对应的角 α 不是唯一的. 2 3.在三角求值时,往往要借助角的范围求值.

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(见教辅)

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考点突破 考点二 三角函数式的求值或求角
备选题 (2014· 临沂模拟)化简: 1 2 2 2 2 sin αsin β+cos αcos β- cos 2αcos 2β=________. 2
解析 法一

(从“角”入手,复角化单角) 1 2 2 2 2 原式=sin αsin β+cos αcos β- (2cos2α-1)(2cos2β-1) 2 1 2 2 2 2 =sin αsin β+cos αcos β- (4cos2αcos2β-2cos2α-2cos2β+1) 2 1 2 2 2 2 2 2 =sin αsin β-cos αcos β+cos α+cos β- 2 1 2 2 2 2 2 =sin αsin β+cos αsin β+cos β- 2 1 1 1 2 2 =sin β+cos β- =1- = . 2 2 2

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考点突破 考点二 三角函数式的求值或求角
备选题 (2014· 临沂模拟)化简: 1 2 2 2 2 sin αsin β+cos αcos β- cos 2αcos 2β=________. 2
解析 法二

(从“名”入手,异名化同名) 1 2 2 2 2 原式=sin αsin β+(1-sin α)cos β- cos 2αcos 2β 2 1 2 2 2 2 =cos β-sin α(cos β-sin β)- cos 2αcos 2β 2 1 2 2 =cos β-cos 2β(sin α+ cos 2α) 2 1+cos 2β 1 1 = - cos 2β= . 2 2 2

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考点突破 考点二 三角函数式的求值或求角
备选题 (2014· 临沂模拟)化简: 1 2 2 2 2 sin αsin β+cos αcos β- cos 2αcos 2β=________. 2
解析 法三

(从“幂”入手,利用降幂公式先降次)

1-cos 2α 1-cos 2β 1+cos 2α 1+cos 2β 1 原式= · + · - cos 2α· cos 2β 2 2 2 2 2 1 1 = (1+cos 2α· cos 2β-cos 2α-cos 2β)+ (1+cos 2α· cos 2β 4 4 1 +cos 2α+cos 2β)- cos 2α· cos 2β 2 1 1 1 = + = . 4 4 2

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考点突破 考点二 三角函数式的求值或求角
备选题 (2014· 临沂模拟)化简: 1 2 2 2 2 sin αsin β+cos αcos β- cos 2αcos 2β=________. 2
(从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方) 1 2 原式=(sin αsin β-cos αcos β) +2sin αsin β· cos αcos β- cos 2αcos 2β 2
解析 法四

1 1 =cos2(α+β)+ sin 2α· sin 2β- cos 2α· cos 2β 2 2 1 2 =cos (α+β)- cos(2α+2β) 2 1 1 2 2 =cos (α+β)- [2cos (α+β)-1]= . 2 2 1 答案 2
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