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安徽省望江中学2014届高三上学期第五次月考 数学文试题

望江中学高三年级第五次月考文数试卷
命题人:周涛 审题人:余晓燕

总分:150 分 时间:120 分钟

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. ? ? ? ? 1.设平面向量 a ? (1, 2), b ? (3, ?1) ,则 2a ? b ? ( )
A. 5 B. 6 C .

17

D.

34


2.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2n2 ?1 ,则 a3 等于( A.-10 B.6 C.10 D.14

3.为了得到函数 y ? sin 2 x 的图象,只需把函数 y ? sin(2 x ? A.向左平移

?
6

) 的图象(



? ? 个单位 B.向左平移 个单位 12 6
2 2

C.向右平移

? ? 个单位 D.向右平移 个单位 12 6

4.若直线 l : y ? kx ? 1 被圆 C : x ? y ? 2x ? 3 ? 0 截得的弦最短,则直线 l 的方程是 A. x ? y ? 1 ? 0 B. y ? 1 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? 0

5.在 ?ABC 中,角 A, B , C 所对应的边分别为 a , b , c , sin C ? sin( A ? B ) ? 3 sin 2 B .若 C ? ( A. )

?
3

,则

a ? b

1 2

B. 3

C.

1 或3 2


D. 3 或

1 4

6.设 a ? log3 6, b ? log 510, c ? log 714 ,则( A. a>b>c B. b>c>a

C. a>c>b

D. c>b>a )

7.已知 ? 、? 为锐角, cos ? ? A.
1 3

B. 3

3 1 , tan(? ? ? ) ? ? ,则 tan ? 的值为( 5 3 9 13 C. D. 13 9

8.如图,某三棱锥的三视图都是直角边为 2 的等腰直角三角形,则该三棱 锥的四个面的面积中最大的是( A.1 B. 2 3 C.2 ) D. 3 )

9.已知两个不重合的平面 ?, ? 和两条不同直线 m, n ,则下列说法正确的是(

A. 若 m ? n, n ? ? , m ? ? , 则 ? ? ? C. 若 m ? n, n ? ? , m ? ? , 则 ? ? ?

B. 若 ? // ? , n ? ? , m ? ? , 则 m // n D. 若 ? // ? , n ? ? , m // ? , 则 m // n

10 . 若 x, y ? (0 , 2] 且 xy ? 2 ,使不等式 a(2 x ? y ≥ (2 ? x)(4 ? y ) 恒成立,则实数 a 的 取值范围是 )
( ) A. a ≥
1 2

B. a ≤ 2

C. a ≥ 2

D. a ≤

1 2

第 II 卷(非选择题 共 70 分) 二、 填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
11.在 ?ABC 中,若 a ? 2, ?B ? 60?, b ?

7 ,则 BC 边上的高等

开始



.
k=1,S=0

12.按照如图的程序框图执行,输出的结果是__ _______.
? x ? y ? 1 ? 0, ? , 则 z ? 5 x ? y 的最大值为 13.设实数 x, y 满足约束条件 ? x ? 1 ? 0 ? 3 x ? y ? 1 ? 0. ?

k>16? 否 S=S+k



__ __________. 14.在等比数列 ?an ? 中,若公比 q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数 列的通项公式 an ? __________.

输出S

k=2k

结束

第 12 题

2 2 15.已知非负实数 a, b 满足 a ? b ? 1 ,则关于 x 的一元二次方程 x ? ax ? b ? 0 有实根的概率是

______________.

三、解答题(解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(12 分)已知函数 f ( x) ? A sin? ?x ?

? ?

??

其图像相邻两条对称轴 ? ? 1? A ? 0, ? ? 0? 的最大值为 3 , 6?

之间的距离为

? . 2
? ? ? ? ? ? 11 ?, f ? ? ? ,求 cos? 的值. ? 2? ?2? 5
2

(Ⅰ)求函数 f (x) 的解析式; (Ⅱ)设 ? ? ? 0,

17.(12 分) 已知二次函数 f ( x) ? ax ? 4 x ? c ,且 f ( x) ? 0 的解集是(-1,5) . (l)求实数 a,c 的值; (2)求函数 f ( x ) 在 x ??0,3? 上的值域.

18. 12 分) ( 中华人民共和国 《道路交通安全法》 中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次:“酒 后驾车”和“醉酒驾车”,其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量 Q (简称血酒含量,单位是 毫克/ 100 毫升),当 20 ? Q ? 80 时,为“酒后驾车”;当 Q ? 80 时,为“醉酒驾车”.某市公安 局交通管理部门于 2013 年 11 月的某天晚上 8 点 至 11 点在该市区解放路某处设点进行一次拦查 行动,共依法查出了 60 名饮酒后违法驾驶机动车 者,如图为这 60 名驾驶员抽血检测后所得结果画 出的频率分布直方图(其中 Q ? 140 的人数计入

频率 组距

120 ? Q ? 140人数之内).
(Ⅰ)求此次拦查中“醉酒驾车”的人数; (Ⅱ) 从违法驾车的 60 人中按“酒后驾车”和“醉酒 驾车”利用分层抽样抽取 8 人做样本进行研究, 再从抽取的 8 人中任取 2 人,求 2 人中其中 1 人为 “酒后驾车”另 1 人为“醉酒驾车”的概率.
0.0050 0.0043 0.0032

20

40

60

80

100

120

140

Q

2 2 2 19(13 分)在△ABC 中,a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,且 a ? b ? c ? bc .

(1)求 A 的大小; (2)若 sin B ? sin C ? 1, b ? 2 ,试求△ABC 的面积.

20. (13 分)已知函数 f ( x) ? x ln x . (l)求 f ( x ) 的单调区间和极值; (2)若对任意 x ? (0, ??), f ( x) ?

? x 2 ? mx ? 3 恒成立,求实数 m 的最大值. 2
x2 a2 ? y2 b2 ?1

21. (13 分)将抛物线 x 2 ? ?2 2 y 向上平移 2 个单位长度后,抛物线过椭圆 ( a > b >0)的上顶点和左右焦点. (1)求椭圆方程;

(2)若点 P ?m,0 ? 满足如下条件:过点 P 且倾斜角为 ? 的直线 l 与椭圆相交于 C、D 两点,使右焦
5 6

点 F 在以 CD 线段为直径的圆外,试求 m 的取值范围.

望江中学高三年级第五次月考文数 参考答案
一、选择题(每题 5 分)
题号 答案 1 D 2 C 3 D 4 A 5 C 6 A 7 B 8 D 9 B 10 A

二、填空题(每题 5 分)
11. 3 13. 15.
5

3 2

12. 14.

31

4 n?1

1 3

三、解答题
16.解:(1)∵函数 f (x)的最大值为 3,∴A+1=3,即 A=2, π ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 ,∴最小正周期 T=π ,∴ω =2, 2 π 故函数 f(x)的解析式为 y=2sin(2x- )+1. 6分 6 π? π? 3 11 ?α ? ? ? (2)∵f? ?=2sin?α - ?+1= ,即 sin?α - ?= , 6? 6? 5 ?2? ? ? 5 π π π π ∵0<α < ,∴- <α - < , 2 6 6 3 ∴ cos?? ?

? ?

??

?? 4 ? ? ? ? 4 3 ?3 . ? ? , 所以cos? ? cos??? ? ? ? ? ? 6? 5 6 ? 6? 10 ??
12 分

2 2 17. 解: (1)由 f ? x ? ? 0 ,得: ax ? 4 x ? c ? 0 ,不等式 ax ? 4 x ? c ? 0 的解集是 ? ?1,5? , 2 故方程 ax ? 4 x ? c ? 0 的两根是 x1 ? -1 x2 ? 5 , ,

???????3 分

所以

4 c ? x1 ? x2 ? 4 , ? x1 ? x2 ? ?5 a a

, ???????6 分

所以 a ? 1, c ? ?5 (2)由(1)知, f ? x ? ? x﹣ x 5 ? x 2 ﹣ . 4 ﹣ (﹣) 9
2 2

∵x∈[0,3], f (x) 在[0,2]上为减函数,在[2,3]上为增函数.

∴当 x=2 时, f (x) 取得最小值为 f(2)=﹣9. 而当 x=0 时, ( )(﹣) 9 ?﹣ ,当 x=3 时, ( )(﹣) 9 ?﹣ f 0 ? 022 ﹣ 5 f 3 ? 322 ﹣ 8 ∴ f (x) 在[0,3]上取得最大值为 (0) ﹣ f ? 5 ∴函数 f (x) 在 x∈[0,3]上的值域为[﹣9,﹣5]. ?????????12 分

18.解:(Ⅰ) (0.0032+0.0043+0.0050)×20=0.25,0.25×60=15, 所以此次拦查中“醉酒驾车”的人数为 15 人.

6分

(Ⅱ)由分层抽样方法可知抽取的 8 人中“酒后驾车”的有 6 人,记为 Ai (i ? 1,2,?,6) , “醉酒驾车”的有 2 人,记为 B j ( j ? 1,2) . 9分

所以从 8 人中任取 2 人共有 ? A1 A2 ?, ? A1 A3 ?? 等 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? 28 种, 2 人中其 中 1 人为“酒后驾车”另 1 人为“醉酒驾车”共有 ? A1 B1 ?, ? A1 B2 ?, ? A2 , B1 ??等 6 ? 2 ? 12 种, 因此所求的概率为 P ?

6? 2 3 ? 28 7

12 分

2 2 2 19. 解: (Ⅰ)∵ a ? b ? c ? bc 2 2 2 由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A

故 cos A ? ?

1 , A ? 120 ? 2

-----------------4 分 ---------------6 分

(Ⅱ)∵ sin B ? sin C ? 1 ,∴ sin B ? sin( ∴ sin B ? sin ∴ sin

?

?
3

cos B ? cos

?
3

3

? B) ? 1 ,

sin B ? 1 ,

?
3

cos B ? cos

?
3

sin B ? 1 ,
----------------8 分

∴ sin( B ?

?
3

) ?1

又∵ B 为三角形内角, 故 B ? C ? 30? . 所以 b ? c ? 2 所以 S ?ABC ? 20.
解 (1)

-----------------11 分 -----------------13 分

1 bc sin A ? 3 2

? f ? x ? ? x ln x

? f ' ? x ? ? ln x ? 1

1 ?1 ? ? f ' ? x ? ? 0 有 x ? ,? 函数 f ? x ? 在 ? , ?? ? 上递增 e ?e ? 1 ? 1? f ' ? x ? ? 0 有 0 ? x ? ,? 函数 f ? x ? 在 ? 0, ? 上递减 e ? e?

???????..3 分

???????..5 分

? f ? x? 在 x ?

1 处取得极小值,极小值为 e
2

1 ?1? f ? ??? e ?e?

???????..6 分

(2) ?2 f ? x ? ? ?x ? mx ? 3
2 即 mx ? 2 x ? ln x ? x ? 3 ,又 x ? 0 ? m ?

2 x ? ln x ? x 2 ? 3 x

???????..8 分

令 h ? x? ?

2 x ? ln x ? x 2 ? 3 x
2

h '? x?

? 2x ? ln x ? x ?

? 3? '? x ? ? 2 x ? ln x ? x 2 ? 3? ? x ' x2

?

2 x ? x2 ? 3 x2

???????.10 分

令 h ' ? x ? ? 0 ,解得 x ? 1 或 x ? ?3 (舍) 当 x ? ? 0,1? 时, h ' ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? 在 ? 0,1? 上递减 当 x ? ?1, ?? ? 时, h ' ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上递增 ???????.12 分

?h ? x ?max ? h ?1? ? 4
即 m 的最大值为 4 21.解(1)抛物线 x 2 ? ?2 ???????.13 分 2 y 的图象向上平移 2 个单位长度后其解析式为 x 2 ? ?2 2 ?y ? 2 ? ,其与 x 、 y
2

轴的交点坐标分别为 ??2,0? 、?0, 分)

? ,∴ b ?

2

,c ? 2 , 分)∴ a 2 ? 6 ,故椭圆的方程为 x (2

2

6

?

y2 (5 ?1 . 2

(2)由题意可得直线 l 的方程为 y ? ? 又 △? 4m 2 ? 8?m 2 ? 6?>0,∴ ? 2
x1x2 ? m2 ? 6 2
3

3 ?x ? m? ,代入椭圆方程消去 3
3

y 得, 2 x 2 ? 2mx ? m 2 ? 6 ? 0 ,(7 分)

<m<2

.(7 分)设 C、D 分别为 ?x1, y1? , ?x2 , y 2 ? ,则 x1 ? x2 ? m , ,∵ FC ? ?x1 ? 2, y1 ? , FD ? ?x2 ? 2, y2 ? , , (11 分)∵点 F 在圆的外部,∴
3

,∴ y1 y2 ? ??
? ?

?

2 ? ? ? 3 ?x1 ? m?? ? ?? 3 ?x2 ? m ?? ? 1 x1x2 ? m ?x1 ? x2 ? ? m 3 3 3 3 3 ? ? ? ? ? ?

∴ FC ? FD ? ?x1 ? 2??x2 ? 2? ? y1 y2 ? 4 x1x2 ? m ? 6 ?x1 ? x2 ? ? m
3 3
FC ? FD >0,即

2

3

?4?

2m?m ? 3? 3
3

2 m ?m ? 3? >0,解得 m <0 3

或 m >3,又∵ ? 2

<m<2

,∴ ? 2

3

< m <0 或 3< m <

2 3

.(13 分)


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