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【同步课件】高中数学(人教A版)选修2-2课件:3-1 数系的扩充和复数的概念1_图文

第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 要点 1 i2= -1 ,i4n= 1 +3 ,i4n+1= i ,i4n+2= -1 ,i4n = -1 (n∈Z). 要点 2 形如 a+bi(a,b∈R)的数叫 复数 . 集合 C={z|z=a+bi(a,b∈R)}叫做 复数集 . 要点 3 若复数 z=a+bi(a, b∈R), 则 a 为复数 z 的 实部 , b 为复数 z 的 虚部 . 1.复数 z=a+bi(a,b∈R)是如何分类的? ?实数?b=0? ? 复数z ? ? ?纯虚数?a=0? 答: ?z=a+bi??虚数?b≠0?? ? ?非纯虚数?a≠0? ? 2.对于复数 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 z1= z2 的充要条件是什么?特别地 z1=0 的充要条件是什么? 答:a=c,且 b=d a=b=0 题型一 概念判断题 例 1 判断下列命题的真假: (1)若 x2+y2=0,则 x=y=0; (2)若 z=a+bi,则仅当 a=0,b≠0 时为纯虚数; (3)若 a∈R,则(a+1)i 是纯虚数. 【思路分析】 由题目可获取以下主要信息:①考查复数的 有关概念,②命题真假的判断.解答本题可根据复数的概念通过 举反例的形式进行. 【解析】 假命题. (1)中,当 x=1,y=i 时,x2+y2=0 成立,(1)是 (2)中,当 a,b∈R 时才成立,(2)是假命题. (3)中,当 a=-1 时,a+1=0 不满足纯虚数的条件,(3)是 假命题. 探究 1 在理解概念时,一定要抓住概念的本质,抓住新概 念与以前知识的不同之处,尤其是应该满足的条件.利用举反例 的形式否定一个命题是很有效的方法. 思考题 1 下列说法正确的是( ) A.如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0,那么这 两个复数相等 B.ai 是纯虚数 C.若复数 x+yi 是实数,则 x=0,y=0 D.复数 a+bi 的实部是 a,虚部是 bi 【解析】 由复数相等的定义知,两个复数相等的充要条件 是这两个复数的实部与虚部分别相等,即它们的实部差与虚部差 都为 0. 【答案】 A 题型二 例 2 15)i, (1)是实数; (2)是虚数; 复数分类 m2-m-6 当 m 为何实数时,复数 z= +(m2-2m- m+3 (3)是纯虚数. 【思路分析】 由复数 z=a+bi(a,b∈R)是实数、虚数和纯 虚数的条件,把问题归结解方程或解不等式的问题.解题过程中 应重视分母不为零这一条件的约束. 【解析】 ? ?m+3≠0, (1)当? ? ?m2-2m-15=0, 即 m=5 时,z 是实数. ? ?m+3≠0, (2)当? ? ?m2-2m-15≠0, 即 m≠5 且 m≠-3 时,z 是虚数. ?m2-m-6 ? =0, (3)当? m+3 ? ?m2-2m-15≠0, 即 m=3 或 m=-2 时,z 是纯虚数. 【易忽略点】 (1)实数集 R 和虚数集都是复数集 C 的真子 集,且 R∪{虚数}=C,R∩{虚数}=?. (2)复数 z=a+bi(a,b∈R)的虚部是 b,而不是 bi. (3)实数也是复数,但复数不一定是实数,它可能是虚数. 探究 2 (1)判断复数 z=a+bi(a,b∈R)是实数、虚数还是纯 虚数,应根据定义. (2)注意纯虚数 z=bi(b∈R)的虚部 b≠0. 思考题 2 (1)若复数 z=(x2-1)+(x-1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为 ( ) A.-1 C.1 B.0 D.-1 或 1 【解析】 ?x2-1=0, ? 由题意可知?x-1綒0, ? ? ∴x=-1. 【答案】 A (2)已知复数 z=(a2-7a+6)+(a2-5a-6)i(a∈R),试求实数 a 分别取什么值时,z 分别为①实数;②虚数;③纯虚数. 【思路分析】 由题目可获取以下信息: ①复数的代数形式; ②由代数形式进行复数分类.解答本题可从复数的实部、虚部入 手,分别让实、虚部等于特定的值,求出 a 即可. 【解析】 ①当 a2-5a-6=0 时,z 为实数. 由 a2-5a-6=0,解得 a=-1 或 a=6. ∴当 a=-1 或 a=6 时,z 为实数. ②当 a2-5a-6≠0,即 a≠-1 且 a≠6 时,z 为虚数. ∴当 a∈(-∞,-1)∪(-1,6)∪(6,+∞)时,z 为虚数. 2 ? ?a -5a-6≠0, ③当? 2 ? ?a -7a+6=0, 即 a=1 时,z 为纯虚数. ∴当 a=1 时,z 为纯虚数. 题型三 复数相等 例 3 已知 x 是实数,y 是纯虚数,且满足(2x-1)+ (3-y)i=y-i,求 x、y. 【思路分析】 因 x∈R,y 是纯虚数,所以可设 y=bi(b∈R 且 b≠0),代入原式,由复数相等的充要条件可得方程组,解之 即得所求结果. 【解析】 ∵y 是纯虚数,可设 y=bi(b∈R,b≠0),则 (2x-1)+3i+b=bi-i, 整理得(2x-1+b)+3i=(b-1)i, 由复数相等的充要条件,得 ? ?2x-1+b=0, ? ? ?b-1=3 b=4, ? ? ?? 3 x=-2. ? ? 3 ∴x=- ,y=4i. 2 探究 3 ? ?2x-1=y, ? ? ?3-y=-1 本题易犯错误是:由 (2x - 1) + (3 - y)i = y - i ,得 5 ? ?x= , ?? 2 这是因为 y 为纯虚数,并非实数,而左 ? ?y=4. 式中的 3-y 并非是(2x-1)+(3-y)i 的虚部,同样,在右边的 y -i 中 y 也并非是实部. 此类题型其实质是在复数集中解方程,通常的方

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