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2018年高中数学 课时跟踪检测(十八)数系的扩充和复数的概念 新人教A版选修2-2

课时跟踪检测(十八) 数系的扩充和复数的概念

层级一 学业水平达标

1.以 3i- 2的虚部为实部,以 3i2+ 2i 的实部为虚部的复数是( )

A.3-3i

.3+i

C.- 2+ 2i

. 2+ 2i

解析:选 A 3i- 2的虚部为 3,3i2+ 2i=-3+ 2i 的实部为-3,故选 A.

2.4-3a-a2i=a2+4ai,则实数 a 的值为( )

A.1

B.1 或-4

C.-4

D.0 或-4

解析:选 C 由题意知?????4--a32=a=4aa,2,

解得 a=-4.

3.下列命题中:①若 x,y∈C,则 x+yi=1+i 的充要条件是 x=y=1;②纯虚数集相

对于复数集的补集是虚数集;③若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则 z1=z2=z3;④若实数 a 与 ai

对应,则实数集与复数集一一对应.正确的命题的个数是( )

A.0

B.1

C.2

D.3

解析:选 A ①取 x=i,y=-i,则 x+yi=1+i,但不满足 x=y=1,故①错; ②③

错;对于④,a=0 时,ai=0,④错,故选 A.

4.复数 z=a2-b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为实数的充要条件是( )

A.|a|=|b|

B.a<0 且 a=-b

C.a>0 且 a≠b

D.a≤0

解析:选 D 复数 z 为实数的充要条件是 a+|a|=0,故 a≤0.

5.若复数 cos θ +isin θ 和 sin θ +icos θ 相等,则 θ 值为( )

A.π4

B.π4 或54π

C.2kπ +π4 (k∈Z)

D.kπ +π4 (k∈Z)

解析:选 D 由复数相等定义得???cos θ =sin θ , ??sin θ =cos θ ,

∴tan θ =1,∴θ =kπ +π4 (k∈Z),故选 D. 6.下列命题中:①若 a∈R,则 ai 为纯虚数;②若 a,b∈R,且 a>b,则 a+i>b+i; ③两个虚数不能比较大小;④x+yi 的实部、虚部分别为 x,y.其中正确命题的序号是 ________.

解析:①当 a=0 时,0i=0,故①不正确;②虚数不能比较大小,故②不正确;③正确;

④x+yi 中未标注 x,y∈R,故若 x,y 为复数,则 x+yi 的实部、虚部未必是 x,y.

答案:③

7.如果(m2-1)+(m2-2m)i>1 则实数 m 的值为______.

解析:由题意得????? mm22--21m>=10,,

解得 m=2.

答案:2

8.已知 z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i,且 z1=z2,则实数 m=________, n=________.

解析:由复数相等的充要条件有

??n2-3m-1=-3, ???n2-m-6=-4

?

??m=2, ???n=±2.

答案:2 ±2

9.设复数 z=log2(m2-3m-3)+log2(3-m)i,m∈R,如果 z 是纯虚数,求 m 的值.

??m2-3m-3>0, 3-m>0,
? 解:由题意得 log2(m2-3m-3)=0, ??log2(3-m)≠0,

解得 m=-1.

10.求适合等式(2x-1)+i=y+(y-3)i 的 x,y 的值.其中 x∈R,y 是纯虚数. 解:设 y=bi(b∈R 且 b≠0),代入等式得(2x-1)+i=bi+(bi-3)i, 即(2x-1)+i=-b+(b-3)i,

∴?????21x=-b1-=3- ,b,

解得???x=-32, ??b=4.

即 x=-32,y=4i.

层级二 应试能力达标 1.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则( )

A.a=-1

B.a≠-1 且 a≠2

C.a≠-1

D.a≠2

解析:选 C 若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i 不是纯虚数,则有 a2-a-2≠0 或|a-

1|-1=0,解得 a≠-1.故应选 C.

2.已知集合 M={1,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={1,3},M∩N={1,3},则实数 m

的值为( )

A.4

B.-1

C.4 或-1

D.1 或 6

解析:选 B 由题意知?????mm22- -35mm--16= =30, , ∴m=-1.

3.已知关于 x 的方程 x2+(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实数根 n,且 z=m+ni,则复

数 z 等于( )

A.3+i

B.3-i

C.-3-i

D.-3+i

解析:选 B 由题意知 n2+(m+2i)n+2+2i=0,

即?????n22n++m2n=+02.=0,

解得?????mn= =-3,1.

∴z=3-i,故应选 B.

4.若复数 z1=sin 2θ +icos θ ,z2=cos θ +i 3sin θ (θ ∈R),z1=z2,则 θ 等 于( )

A.kπ (k∈Z)

B.2kπ +π3 (k∈Z)

C.2kπ ±π6 (k∈Z)

D.2kπ +π6 (k∈Z)

解析:选 D 由复数相等的定义可知,??sin 2θ =cos θ , ?cos θ = 3sin θ .

∴cos θ = 23,sin θ =12.∴θ =π6 +2kπ ,k∈Z,故选 D. 5.已知 z1=(-4a+1)+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中 a∈R.若 z1>z2,则 a 的 取值集合为________.

?? 2a2+3a=0, 解析:∵z1>z2,∴?a2+a=0,
??-4a+1>2a,

∴a=0,故所求 a 的取值集合为{0}. 答案:{0} 6.若 a-2i=bi+1(a,b∈R),则 b+ai=________.

解析:根据复数相等的充要条件,得???a=1, ??b=-2,

∴b+ai=-2+i. 答案:-2+i

7.定义运算 值.

=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=

解:由定义运算

=ad-bc,



=3x+2y+yi,

故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi.

因为 x,y 为实数,所以有?????xx+ +y3= =3yx,+2y,

得?????2xx++3y==y0,, 得 x=-1,y=2.

,求实数 x,y 的

8.已知集合 M={(a+3)+(b2-1)i,8},集合 N={3i,(a2-1)+(b+2)i}满足 M∩N? M,求实数 a,b 的值.
解:依题意,得(a+3)+(b2-1)i=3i,① 或 8=(a2-1)+(b+2)i.② 由①,得 a=-3,b=±2, 由②,得 a=±3,b=-2. 综上,a=-3,b=2,或 a=-3,b=-2 或 a=3,b=-2.