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直线和圆


《直线和圆》单元测试题
一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分,请将正确答案填入答题卷)
1. 直线 3x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为 A. 150
0

B. 120

0

C. 60

0

D. 30

0

2.若A(-2,3) 、B(3,-2) 、C( A.

1 ,m)三点共线,则m的值为 2
C.-2 D.2

1 2

B. ?

1 2

3.以 A(1,3)和B(-5,1)为端点的线段 AB 的中垂线方程是 A. 3x ? y ? 8 ? 0 B. 3x ? y ? 4 ? 0 C. 2 x ? y ? 6 ? 0 D. 3x ? y ? 8 ? 0

4. 点 P(a, b, c) 到坐标平面 zOx 的距离为 A. a2 ? c2 B. a C. b ) D. c

5.直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 1 对称的直线方程是( A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0
2

B. 2 x ? y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 3 ? 0
2

6.直线过点 P(0,2) ,且截圆 x ? y ? 4 所得的弦长为 2,则直线的斜率为 A. ?

3 2

B. ? 2

C. ?

3 3


D. ? 3

2 2 7.直线 y ? x ? 1 与圆 x ? y ? 1的位置关系为(

A.相切

B.相交但直线不过圆心
2 2

C.直线过圆心

D.相离

8.已知圆 C1 : ( x ? 1) + ( y ? 1) =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则圆 C2 的 方程为 A. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

B. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

C. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

D. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

9.圆 x 2 ? y 2 ? 16 上的点到直线 x ? y ? 3 ? 0 的距离的最大值是

-1-

3 2 3 2 3 2 B. 4 ? C. 4 ? D.0 2 2 2 10.圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为(
A. A. x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 C. ( x ?1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 B. x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 D. x2 ? ( y ? 3)2 ? 1



11.如右图,定圆半径为 a ,圆心坐标为 (b, c ) ,则直线

ax ? by ? c ? 0 与直线 x ? y ? 1 ? 0 的交点在
A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

12 . 直 线 l : y ? x ? b 与 曲 线 c : y ? 1 ? x 2 有 两 个 公 共 点 , 则 b 的 取 值 范 围 是 A. ? 2 ? b ?

2

B. 1 ? b ?

2

C. 1 ? b ?

2

D. 1 ? b ?

2

二.填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请将正确答案填入答题 卷。)
13. (2009 全国卷Ⅱ文)已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 5 和点 A(1,2) ,则过 A 且与圆 O 相切的直 线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 14 . 若 圆 x 2 ? y 2 ? 4 与 圆 x 2 ? y 2 ? 2ay ? 6 ? 0(a ? 0) 的 公 共 弦 长 为 2 3 , 则 a =________. 15.若⊙ O1 : x2 ? y 2 ? 5 与⊙ O2 : ( x ? m)2 ? y 2 ? 20(m ? R) 相交于 A、B 两点,且两圆在 点 A 处的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是
w

16.若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0与l2 : x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段的长为 2 2 ,则

m 的倾斜角可以是:
其中正确答案的序号是

① 15

② 30

③ 45

④ 60

⑤ 75

.(写出所有正确答案的序号)

3x ? 4 y ? 2 ? 0 和 l2: 2 x ? 5 y ? 14 ? 0 的相交于点 P。 17. (本小题满分 12 分)已知直线 l1:
求: (Ⅰ)过点 P 且平行于直线 2 x ? y ? 7 ? 0 的直线方程; (Ⅱ)过点 P 且垂直于直线 2 x ? y ? 7 ? 0 的直线方程。

-2-

18. (本小题满分 12 分)已知圆 C 的方程为 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1, P点坐标为(2,3) ,求过 P 点的圆的切线方程以及切线长。

19. (本小题满分 12 分)已知直线 l : x ? y ? 3 ? 0 ,一束光线从点 A(1,2)处射向 x 轴上 一点 B,又从 B 点反射到 l 上一点 C,最后又从 C 点反射回 A 点。 (Ⅰ)试判断由此得到的 ?ABC 是有限个还是无限个? (Ⅱ)依你的判断,认为是无限个时求出所以这样的 ?ABC 的面积中的最小值;认为是有 限个时求出这样的线段 BC 的方程。

20. (本小题满分 12 分)已知圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 1 ? 0 ,直线 l : x ? my ? 3 . (Ⅰ)若 l 与 C 相切,求 m 的值; (Ⅱ) 是否存在 m 值, 使得 l 与 C 相交于 A、B 两点, 且 OA ? OB ? 0(其中 O 为坐标原点) , 若存在,求出 m ,若不存在,请说明理由.

-3-

21. (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1 : ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 4 和圆

C2 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 4 .
(Ⅰ)若直线 l 过点 A(4, 0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2 ,它们分别 与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试 求所有满足条件的点 P 的坐标。

22. (本小题满分 14 分)已知圆 C : x2 ? ( y ?1)2 ? 5 ,直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 。 (Ⅰ)求证:对 m ? R ,直线 l 与圆 C 总有两个不同交点; (Ⅱ)设 l 与圆 C 交与不同两点 A、B,求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程; (Ⅲ)若定点 P(1,1)分弦 AB 为

AP 1 ? ,求此时直线 l 的方程。 PB 2

-4-

参考答案
1. 直线 3x ? y ? 1 ? 0 的斜率 k ? 3 ,设倾斜角为α,则 tan ? ? k ? 3 ? ? ? 60 ,
0

故选 C。 2.∵A(-2,3) 、B(3,-2) 、C( ∴ k AB

1 ,m)三点共线, 2 ?2 ? 3 m?3 1 ? kAC ,即 ? ? m ? ,故选 A。 3 ? (?2) 1 ? (?2) 2 2

3.A(1,3) 、B(-5,1)的中点为(-2,2) ,直线 AB 的斜率 k AB ? ∴线段 AB 的中垂线的斜率 k ? ?3 ,

1? 3 1 ? , ?5 ? 1 3

∴线段 AB 的中垂线的方程为 y ? 2 ? ?3( x ? 2) ,即 3x ? y ? 4 ? 0 ,故选 B。 4. 易知选 C。 5.解:解法一(利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于 x ? 1 对称点为(2-x,y) 在直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 上 , ? 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 化简得 x ? 2 y ? 3 ? 0 故选答案 D. 解法二根据直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 1 对称的直线斜率是互为相反数得答案 A 或 D, 再根据两直线交点在直线 x ? 1 选答案 D。 6.设过点 P(0,2)的直线方程为 y ? kx ? 2 ,即 kx ? y ? 2 ? 0 ,由圆的弦长、弦心距及

半径之间关系得: (

2 k 2 ?1

)2 ? 22 ? 12 ? k ? ?

3 ,故选 C。 3

7. (2009 重庆卷理) 【答案】B 【解析】圆心 (0, 0) 为 到 直 线 y ? x ?1 , 即 x ? y ?1 ? 0 的 距 离 d ?

1 2 ,而 ? 2 2

0?

2 ? 1 ,选 B。 2

8. (2009 宁夏海南卷文) 【答案】B

? a ?1 b ?1 ? ?1 ? 0 ? ?a ? 2 ? 2 2 【解析】设圆 C2 的圆心为(a,b) ,则依题意,有 ? ,解得: ? , ?b ? ?2 ? b ? 1 ? ?1 ? a ?1 ?

-5-

对称圆的半径不变,为 1,故选 B。. 9.过圆心作已知直线的垂线,于已知圆有两个交点,这两个交点一个到已知直线的距离最 大,一个到已知直线的距离最小,所以圆 x 2 ? y 2 ? 16 上的点到直线 x ? y ? 3 ? 0 的距离的 最 大 值 是 圆 心 ( 0 , 0 ) 到 直 线 x ? y ?3?0 的 距 离 加 上 圆 的 半 径 , 即

?3 12 ? (?1) 2

?4 ? 4?

3 2 ,故选 C。 2

10. (2009 重庆卷文) 【答案】A
2 解法 1(直接法) :设圆心坐标为 (0, b) ,则由题意知 (o ? 1) ? (b ? 2) ? 1 ,解得 b ? 2 ,

故圆的方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1。 解法 2(数形结合法) :由作图根据点 (1, 2) 到圆心的距离为 1 易知圆心为(0,2) ,故圆的 方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 解法 3(验证法) :将点(1,2)代入四个选择支,排除 B,D,又由于圆心在 y 轴上,排除 C。

b?c ? x? ?0 ? ?ax ? by ? c ? 0 ? b?a ?? 11.由图知, b ? a ? c ? 0 ,由 ? 知其交点在第四象限, ? x ? y ?1 ? 0 ?y ? ? c ? a ? 0 ? b?a ?
故选 D。 12.直线 l : y ? x ? b 是与直线 y ? x 平行的直线,当 直线 l 位于图中直线 l1 与 l2 之间时,直线 l : y ? x ? b 与曲线 c : y ? 1 ? x 2 有两个公共点,所以 1 ? b ? 故选 C。 13. 答案:

2,

25 4

1 (x-1),即 x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴 2 5 1 5 25 上的截距分别是 5 和 ,所以所求面积为 ? ? 5 ? 。 2 2 2 4
解析:由题意可直接求出切线方程为 y-2= ? 14. (2009 天津卷文) 【答案】1 【解析】 由已知,两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 y ?

1 ,利用圆心(0, a

1 | 2 2 a 0)到直线的距离 d ? 为 2 ? 3 ? 1 ,解得 a=1 1 |
-6-

【考点定位】 本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用。 考察 了同学们的运算能力和推理能力。 15. (2009 四川卷理) 【考点定位】本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识, 综合题。 解 析 : 由 题 知 O1 (0,0), O2 (m,0) , 且

5 ?| m |? 3 5 , 又 O1 A ? AO2 , 所 以 有
5 ? 20 ? 4。 5

m 2 ? ( 5 ) 2 ? (2 5 ) 2 ? 25 ? m ? ?5 ,∴ AB ? 2 ?

16.(2009 全国卷Ⅰ文) 【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的 距离,考查数形结合的思想。 解:两平行线间的距离为 d ?

| 3?1| 1?1

? 2 ,由图知直线 m 与 l 1 的夹角为 30o , l 1 的倾斜
o 0 0 o 0 0

角为 45 ,所以直线 m 的倾斜角等于 30 ? 45 ? 75 或 45 ? 30 ? 15 。故填写①或⑤
o

17. 解法一、 由? 的斜率为 2

? 3x ? 4 y ? 2 ? 0 ? x ? ?2 解得 ? , 即点 P 坐标为 P(?2, 2) , 直线 2 x ? y ? 7 ? 0 ?2 x ? 5 y ? 14 ? 0 ? y?2

(Ⅰ) 过点 P 且平行于直线 2 x ? y ? 7 ? 0 的直线方程为 y ? 2 ? 2( x ? 2) 即 2 x ? y ? 6 ? 0 ; ( Ⅱ ) 过 点 P 且 垂 直 于 直 线 2x ? y ? 7 ? 0 的 直 线 方 程 为 y ? 2 ? ?

1 ( x ? 2) 即 2

? 3x ? 4 y ? 2 ? 0 ? x ? ?2 x ? 2 y ? 2 ? 0 。解法二、由 ? 解得 ? ,即点 P 坐标为 P(?2, 2) , ?2 x ? 5 y ? 14 ? 0 ? y?2
(Ⅰ)设过点 P 且平行于直线 2 x ? y ? 7 ? 0 的直线方程为 2 x ? y ? m ? 0 ,把 ? 入得 m ? 6 ,故所求直线方程为 2 x ? y ? 6 ? 0 ; (Ⅱ) 过点 P 且垂直于直线 2 x ? y ? 7 ? 0 的直线方程为 x ? 2 y ? n ? 0 , 把?

? x ? ?2 带 ? y?2

? x ? ?2 带入得 ? y?2

n ? ?2 ,故所求直线方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 。
18.解:(1)若切线的斜率存在,可设切线的方程为

y ? 3 ? k ( x ? 2)

即 kx ? y ? 2k ? 3 ? 0

则圆心到切线的距离

-7-

d?

| k ? 1 ? 2k ? 3| k ?1
2

3 ? 1 解得 k ? 故切线的方程为 3x ? 4 y ? 6 ? 0 4

(2)若切线的斜率不存在,切线方程为 x=2 ,此时直线也与圆相切。 综上所述,过 P 点的切线的方程为 3x ? 4 y ? 6 ? 0 和 x=2. ∵ CP ?

(2 ? 1) 2 ? (3 ? 1) 2 ? 5

∴其切线长 l ?

CP ? r 2 ? 5 ? 1 ? 2

2

19.解: (Ⅰ)如图所示,设 B(m,0) ,点 A 关于 x 轴的对称点为 A' (1, ?2) ,点 B 关于直线 l 的对称点为 B' (?3, m ? 3) ,根据光学性质,点 C 在直线 A B 上,又在直线 AB 上。
' '

求得直线 A B 的方程为 y ?
'

2 ( x ? m) , m ?1
y

2 ? ( x ? m) 3 ? 5m ?y ? 由? 解得 xc ? m ?1 m?3 ? ?y ? x?3
直线 AB 的方程为 y ? 2 ?
'

l

B'

C

3

A(1, 2)
O B

?m ? 1 ( x ? 1) 4

-3

x
A' (1, ?2)

?m ? 1 ? ( x ? 1) m?3 ?y ? 2 ? 由? 解得 xc ? , 4 m?5 ? ? y ? x?3


3 ? 5m m ? 3 1 2 ? ,得 3m ? 8m ? 3 ? 0 解得 m ? 或 m ? ?3 。 m?3 m?5 3 1 1 1 5 时, B ( , 0), C ( ? , ) , 3 3 2 2 1 1 ? x? )。 2 3
2

而当 m ? ?3 时,点 B 在直线 l 上,不能构成三角形,故这样的三角形只有一个。 (Ⅱ)当 m ?

∴线段 BC 的方程为 3 x ? y ? 1 ? 0(?
2

20.解:(Ⅰ)由圆方程配方得(x+1) +(y-3) =9, 圆心为C(-1,3),半径为 r = 3, 若 l与C相切,则得 ……2分 ……4分

| ?1 ? 3m ? 3 | 1 ? m2

=3,

∴(3m-4) =9(1+m ),∴m = (Ⅱ)假设存在m满足题意。

2

2

7 . 24

……5分

-8-



x +y +2x-6y+1=0 x=3-my

2

2

,消去x得

(m +1)y -(8m+6)y+16=0, 由△=(8m+6) -4(m +1)〃16>0,得m> 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2= OA〃OB=x1x2+y1y2 =(3-my1)(3-my2)+y1y2 =9-3m(y1+y2)+(m +1)y1y2 8m ? 6 16 2 =9-3m〃 +(m +1)〃 2 m ?1 m2 ? 1 =25-
2 2 2 2

2

2

……7分

7 , 24 8m ? 6
m ?1
2

……8分

,y1y2=

16 m2 ? 1



24 m 2 ? 18m m2 ? 1
2 2

=0

……12分

24m +18m=25m +25,m -18m+25=0, ∴m=9〒2 14 ,适合m>

7 , 24

∴存在m=9〒2 14 符合要求. ……14分 21. (2009 江苏卷) 【解析】 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式,考查 数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分 12 分。 (Ⅰ)设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4k ? 0 由垂径定理,得:圆心 C1 到直线 l 的距离 d ? 42 ? ( 结合点到直线距离公式,得:

2 3 2 ) ? 1, 2

| ?3k ? 1 ? 4k | k 2 ?1
7 24

? 1,

化简得: 24k ? 7k ? 0, k ? 0, or , k ? ?
2

求直线 l 的方程为: y ? 0 或 y ? ?

7 ( x ? 4) ,即 y ? 0 或 7 x ? 24 y ? 28 ? 0 24
21 世纪教育网

(Ⅱ) 设点 P 坐标为 (m, n) ,直线 l1 、 l2 的方程分别为:

1 1 1 y ? n ? k ( x ? m), y ? n ? ? ( x ? m) ,即: kx ? y ? n ? km ? 0, ? x ? y ? n ? m ? 0 k k k
因为直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,两圆半径相等。由垂径 定理,得: :圆心 C1 到直线 l1 与 C2 直线 l2 的距离相等。

-9-

故有: | ?3k ? 1 ? n ? km |

k 2 ?1

4 1 | ? ?5? n? m| k , ? k 1 ?1 k2

化简得: (2 ? m ? n)k ? m ? n ? 3, 或(m ? n ? 8)k ? m ? n ? 5 关于 k 的方程有无穷多解,有: ?

?2 ? m ? n ? 0 ?m-n+8=0 ,或? ?m ? n ? 3 ? 0 ?m+n-5=0

21 世纪教 育网

解之得:点 P 坐标为 (? 3 , 13 ) 或 ( 5 , ? 1 ) 。 2 2 2 2 22.解: (Ⅰ)解法一:圆 C : x2 ? ( y ?1)2 ? 5 的圆心为 C (0,1) ,半径为 5 。 ∴圆心 C 到直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 的距离 d ?

?m m2 ? 1

?

m 2m

?

1 ? 5 2

∴直线 l 与圆 C 相交,即直线 l 与圆 C 总有两个不同交点; 方法二: ∵直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 过定点 P(1,1) , 而点 P(1,1) 在圆 C : x2 ? ( y ?1)2 ? 5 内 ∴直线 l 与圆 C 相交,即直线 l 与圆 C 总有两个不同交点; (Ⅱ)当 M 与 P 不重合时,连结 CM、CP,则 CM ? MP , ∴ CM
2

? MP ? CP

2

2

y

设 M ( x, y)( x ? 1) ,则 x2 ? ( y ?1)2 ? ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1 , C 化简得: x ? y ? x ? 2 y ? 1 ? 0( x ? 1)
2 2

B

l

M A O

P(1,1)

当 M 与 P 重合时, x ? 1, y ? 1 也满足上式。 故弦 AB 中点的轨迹方程是 x ? y ? x ? 2 y ? 1 ? 0 。
2 2

x

(Ⅲ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ∴ 1 ? x1 ?

AP 1 1 ? 得 AP ? PB , PB 2 2

1 ( x2 ? 1) ,化简的 x2 ? 3 ? 2x1 ………………① 2 ?mx ? y ? 1 ? m ? 0 2 2 2 2 又由 ? 2 消去 y 得 (1 ? m ) x ? 2m x ? m ? 5 ? 0 ……………(*) 2 x ? ( y ? 1) ? 5 ?

2m 2 ∴ x1 ? x2 ? 1 ? m2
由①②解得 x1 ?

………………………………②

3 ? m2 ,带入(*)式解得 m ? ?1 , 1 ? m2

∴直线 l 的方程为 x ? y ? 0 或 x ? y ? 2 ? 0 。

- 10 -

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