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2013届高考:第29讲


1.理解复数的有关概念,以及复数相等的充要 条件. 2.会进行复数的代数形式的四则运算.

3.了解复数代数形式的几何意义及复数的加、
减法的几何意义.

1.复数的代数形式:z = a + bi (a,b ? R ),其中 i ? ?1,a为实部,b为虚部.
2

2.复数的分类: ?实数 复数a + bi ? ?虚数 ?b ? 0? ; ?b ? 0? ? a ? 0? . ? a ? 0?

?纯虚数 虚数a + bi (b ? 0) ? ?非纯虚数

3.复数相等的充要条件: a + bi = c + di ? ① ____________________________ . 4.复数的模: + bi ? ② __________ ? ③ __________ . a 5.共轭复数:a + bi与a - bi互为④ __________ .显然, 任一实数的共轭复数是它自己. 6.复数的代数形式的几何意义复数z = a + bi (a,b ? R ) 可用复平面内的点Z (a,b)以及⑤ __________________ 表示,且三者之间为一一对应关系. 规定:相等的向量表示同一个复数

7.复数的代数形式的四则运算: 若a、b、c、d ? R,则: + bi ? ? ? c + di ? ? ⑥ ________ ; ?a

? a + bi ?? c + di ? ? ⑦ ________________ ;
a ? bi ? a ? bi ?? c ? di ? ? ? ⑧ ________________ ; 2 2 c ? di c ?d 其中c、d 不同时为0.

8.复平面内两点间的距离:复平面内两点Z1、Z 2 对应 ????? 的复数分别为z1、z2,则 Z1Z 2 ? ⑨ ________ ? ⑩ ________ , 其中O为原点. 9.复数的加、减法的几何意义:复数的加、减运算 满足向量加、减法的平行四边形法则(或三角形法则).

【要点指南】 ??? ? ?a ? c 2 2 ①? ;② a ? b ;③ OZ ;④共轭复数; ?b ? d ⑤以原点为起点,点Z (a,b)为终点的向量; ⑥(a ? c) ? (b ? d )i;⑦ ? ac ? bd ? ? ? ad ? bc ? i; ???? ???? ? ? ac ? bd bc ? ad ⑧ 2 ? 2 i;⑨ | OZ 2 ? OZ1 | ;10 z2 ? z1 2 2 c ?d c ?d

1.如果复数(m2-3m)+(m2-5m+6)i 是纯虚数,则实数 m 的值为 ( A.0 C.0 或 3 ) B.2 D.2 或 3

?m2-5m+6≠0 【解析】 由题意? 2 ,m=0. ?m -3m=0

故选 A.

2.已知复数 z1=2+i, 2=1-i, z=z1z2 在复平面上对应 z 则 点位于( ) B.第二象限 D.第四象限

A.第一象限 C.第三象限

【解析】z=(2+i)(1-i)=2-i+1=3-i, 所以 z 在第四象限,故选 D.

?1+2i?2 3.复数 的值是( 3-4i A.-1 C.-i

) B.1 D.i

?1+2i?2 1+4i-4 【解析】 = =-1, 3-4i 3-4i 故选 A.

4.若复数 z=(x-5)+(3-x)i 在复平面内对应的点位于 第三象限,则实数 x 的取值范围是( A.(-∞,5) C.(3,5) )

B.(3,+∞) D.(5,+∞)

?x-5<0 【解析】由题意可知,? ?3<x<5. ?3-x<0

2 5.若 =a+bi(i 为虚数单位,a,b∈R),则 a+b= 1-i

2 .

【解析】由已知得 1+i=a+bi,所以 a=1,b=1, 所以 a+b=2.



复数的概念及运算

m2+m 【例 1】设 m∈R,z1= +(m-15)i,z2=-2+m(m m+2 -3)i,若 z1+z2 为虚数,求 m 的取值范围.

m2+m 【解析】因为 z1= +(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i, m+2 m2-m-4 所以 z1+z2= +(m2-2m-15)i. m+2 因为 z1+z2 是虚数,所以 m2-2m-15≠0,且 m≠-2, 所以 m≠5,m≠-3,且 m≠-2(m∈R), 故 m 的取值范围为{m|m≠5,m≠-3 且 m≠-2,m∈R}.

【点评】先进行加法运算 z1+z2,因为 z1+z2 是虚数,利用 虚部不为零解之,同时,要注意实数中含有分母,一定要 使分母不为零.

素材1

计算: ?2+2i?4 (1) 5; ?1- 3? -2 3+i 2 2012 (2) +( ) . 1-i 1+2 3i

16?1+i?4 【解析】(1)原式= ?1- 3i?4?1- 3i? 16· 2 ?2i? = ?-2-2 3i?2?1- 3i? -16 = ?1+ 3i?×4 -4 = =-1+ 3i. 1+ 3i i?1+2 3i? 2 2 1006 (2)原式= +[( )] 1-i 1+2 3i? 2 1006 =i+( ) =i+i1006 -2i =i+i2· 4)251=i-1. (i

【点评】复数的四则运算类似于多项式的四则运算,此时 含有虚数单位“i”此看作一类同类项,不含 i 的看作另一类 同类项,分别合并即可,要充分利用 i 的周期性,i4n=1, i4n 1=i,i4n 2=-1,i4n 3=-i(n∈N*).
+ + +



复数相等及应用
【例 2】 已知关于 x 的方程 x2+(k+2i)x+2+ki=0

有实根,求实数 k 的值.

【解析】令 x=m 是方程的实根, 则 m2+(k+2i)m+2+ki=0, 即(m2+km+2)+(2m+k)i=0. 由复数相等的充要条件知,
?m= 2 ?m=- 2 ?m2+km+2=0 ? ?? 或? . ?2m+k=0 ?k=-2 2 ?k=2 2

所以方程的实根为 x= 2或 x=- 2, 相应 k 的值为-2 2或 2 2.

【点评】涉及复数方程有实根问题一般利用复数相等的充要条 件进行转化求解.

素材2

已知集合 M={1,m,3+(m2-5m-6)i},N={-1,3},若 M∩N={3},求实数 m 的值.

【解析】因为 M∩N={3},所以 3∈M 且-1?M, 所以 m≠-1,3+(m2-5m-6)i=3 或 m=3, 所以 m2-5m-6=0 且 m≠-1 或 m=3. 解得 m=6 或 m=3.



复数加法运算的几何意义及应用

【例 3】设复数 z 满足|z+4i|+|z-4i|=6 2,求|z+ 2| 的最大值.

【解析】 由|z+4i|+|z-4i|=6 2的几何意义知 z 对应点 x2 y2 在椭圆 2 +18=1 上. 所以|z+ 2|= ?x+ 2?2+y2 = ?x+ 2?2+18-9x2 = -8x2+2 2x+20 = 2 2 81 -8?x- 8 ? + 4 .

2 9 故当 x= 8 ,|z+ 2|有最大值2.

【点评】 此题若令 z=x+yi, 问题的条件和结论都是较复杂的 式子,不好处理,从复数的加、减法的几何意义去理解,则 是一道简单的几何问题.

素材3

若复数 z 满足|z+2-2i|=1,求|z-2-2i|的最小值.

【解析】方法 1:一般的,满足|z-z0|=r 的复数 z 对应 的点的轨迹是以 z0 对应的点为圆心,r 为半径的圆. 因为圆|z+2-2i|=1 的圆心为 C(-2,2),半径 r=1,而|z -2-2i|表示圆上的点到定点 A(2,2)的距离,故其最小值为 |CA|-r=4-1=3. 方法 2:因为|z-2-2i|=|z+2-2i-4| ≥||z+2-2i|-4|=3, 故|z-2-2i|min=3.

方法 3:设 z=x+yi(x,y∈R),因此有|x+2+(y-2)i|=1, 即(x+2)2+(y-2)2=1. 又|z-2-2i|= ?x-2?2+?y-2?2 = ?x-2?2+1-?x+2?2 = 1-8x, 而|x+2|= 1-?y-2?2≤1,即-3≤x≤-1, 所以当 x=-1 时,|z-2-2i|取得最小值 3.

备选例题

在复数集 C 内解一元二次方程 x2-4x+5=0.

【解析】 由于 Δ=b2-4ac=16-20=-4<0, 4± 4i 所以 x= 2 =2± i.

【点评】实数集扩充为复数集后,解决了实系数一元二次方 程在实数集中无解的问题,即在复数集中,实系数的一元二 次方程总有解.当 Δ<0 时,实系数的一元二次方程有成对共 轭虚数根.

1.设 z=a+bi(a, b∈R),利用复数相等的充要条 件转化为实数问题是求解复数常用的方法. 2.实数的共轭复数是它本身,两个纯虚数的积是 实数. 3.复数问题几何化,利用复数、复数的模、复数 运算的几何意义,转化条件和结论,有效利用数 和形的结合,取得事半功倍的效果.


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