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北师大版九年级数学一元二次方程的解法

学生 教师 课题 重点 难点









授课日期

授课时段

重点:认识一元二次方程 会利用开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程 难点:解含有字母系数的方程,灵活应用合适的方法解一元二次方程

教学步骤及教学内容

【一元二次方程的认识】 1.一元二次方程的概念:只含有一个未知数 x,并且可以化为 ax2+bx+c=0(a、b、c 为常数, a≠0)的形式的整式方程是一元二次方程 【例】 试判断:关于 x 的方程(2a—4)x2-2bx+a=0,

(1)何时为一元二次方程? (2)何时为一元一次方程?
【练习】 m 为何值时,关于 x 的方程 (m ? 2 ) x m ? (m ? 3) x ? 4m 是一元二次方程。
2

2.一元二次方程的一般形式: 把 ax2+bx+c=0(a,b,c 为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般形式,其中 ax2,bx ,c 分别称为二次项、一次项和常数项,a,b 分别称为二次项系数和一次项系数. 【例】把下列方程变为一般形式 (1)(8-2x)(5-2x)=18 (2)(x+6)2+72=102

【一元二次方程的解法】
2 一、开平方法:对于形如 x ? n 或 (ax ? b) ? n(a ? 0) 的一元二次方程,即一元二次方程的一边是含有
2

未知数的一次式的平方,而另一边是一个非负数,可用开平方法求解.
2 形如 x ? n 的方程的解法:当 n ? 0 时, x ? ? n ;当 n ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 ;当 n ? 0 时,方程无实数根。

(1) 5 x ? 125 ? 0
2

(2) 169( x ? 3) ? 289
2

(3) y ? 361? 0
2

(4) (1 ? 3)m ? 0
2

2(3 x ? 1) 2 ?8 (5) 5

二、配方法:通过配方的方法把一元二次方程转化为 ( x ? m)2 ? n 的方程,再运用开平方法求解。 配方法的一般步骤: ①移项:把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边; ②“系数化 1” :根据等式的性质把二次项的系数化为 1; ③配方:将方程两边分别加上一次项系数一半的平方,把方程变形为 ( x ? m)2 ? n 的形式; ④求解:若 n ? 0 时,方程的解为 x ? ?m ? n ,若 n ? 0 时,方程无实数解。 【例】 3x ? 2 ? 4 x
2

【练习】 1.用适当的数填空: ① 、x2+6x+ ② 、x2-5x+ ③ 、x2+ x+ ④ 、x2-9x+ =(x+ =(x- =(x+ =(x- )2; )2; )2; )2

2.将二次三项式 2x2-3x-5 进行配方,其结果为_________. 3.已知 4x2-ax+1 可变为(2x-b)2 的形式,则 ab=_______. 4.将一元二次方程 x2-2x-4=0 用配方法化成(x+a)2=b 的形式为_______,? 所以方程的根为 _________. 5.若 x2+6x+m2 是一个完全平方式,则 m 的值是( A.3 B.-3 C.±3 )

D.以上都不对 ) D. (a-2)2-1 )

6.用配方法将二次三项式 a2-4a+5 变形,结果是( A. (a-2)2+1 B. (a+2)2-1 C. (a+2)2+1

7.不论 x、y 为什么实数,代数式 x2+y2+2x-4y+7 的值( A.总不小于 2 C.可为任何实数
8.解方程

B.总不小于 7 D.可能为负数

(1) x ? 2 x ? 5 ? 0
2

(2) y 2 ? 5 y ? 1 ? 0

(3) 2 y 2 ? 4 y ? ?3

9.(1)求 2x -7x+2 的最小值 ;

2

(2)求-3x2+5x+1 的最大值。

三、公式法:一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根 x ?
2

? b ? b 2 ? 4ac 2a

当 b ? 4ac ? 0 时,方程有两个实数根,且这两个实数根不相等;
2 当 b ? 4ac ? 0 时,方程有两个实数根,且这两个实数根相等,写为 x1 ? x 2 ? ?

b ; 2a

当 b ? 4ac ? 0 时,方程无实数根.
2

公式法的一般步骤:①把一元二次方程化为一般式;②确定 a , b, c 的值;③代入 b ? 4ac 中计算其值,判
2

断方程是否有实数根;④若 b ? 4ac ? 0 代入求根公式求值,否则,原方程无实数根。
2

(因为这样可以减少计算量。另外,求根公式对于任何一个一元二次方程都适用,其中也包括不完全的一 元二次方程。 ) 【例】 x ? 2 ? ( x ? 2)(2 x ? 1) ? 3 【练习】 (1) 3x ? 6 x ? 2
2

; (2) p 2 ? 3 ? 2 3 p

2 (3) 7 y ? 11y ; (4) 9n ? 5n ? 2
2

四、因式分解法: ①因式分解法解一元二次方程的依据:如果两个因式的积等于 0,那么这两个因式至少有一个为 0,即: 若 ab ? 0 ,则 a ? 0或b ? 0 ; ②因式分解法的一般步骤: 将方程化为一元二次方程的一般形式;把方程的左边分解为两个一次因式的积,右边等于 0;令每一个因 式都为零,得到两个一元一次方程;解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。

【例】 (1) 4( x ? 3)2 ? x( x ? 3) ? 0 (2) 9( x ? 2) 2 ? 4( x ? 1) 2

(3) x 2 ? 7 x ? 10 ? 0

(4) (2 y ? 1) 2 ? 3(2 y ? 1) ? 2 ? 0

1 2 【练习】 (1) x ? 9 ? 0 4

(2) y 2 ? 4 y ? 45 ? 0

(3) 8 x ? 10x ? 3 ? 0
2

(4) 7 x ? 21x ? 0
2

(5) 6x ? 3 3x ? 2 2 x ? 6 (6) ( x ? 5) ? 2( x ? 5) ? 1
2
2

(7) ( x 2 ? 3x) 2 ? 2( x 2 ? 3) ? 8 ? 0

五、选用适当方法解一元二次方程 ①对于无理系数的一元二次方程,可选用因式分解法,较之别的方法可能要简便的多,只不过应注意二次 根式的化简问题。 ②方程若含有未知数的因式,选用因式分解较简便,若整理为一般式再解就较为麻烦。 【例】 (1) 2 (2x ? 7) 2 ? 128 (2) 2m ? m ? 1 ? 2(m ? 2m)
2 2 2

【练习】

(1) 6 x( x ? 2) ? ( x ? 2)(x ? 3)

y 2 ? 3 y (3 ? 2 y ) y (3 y ? 1) ? ? (2) 3 2 3

(3) 81(2 x ? 5) 2 ? 144( x ? 3) 2

六、解含有字母系数的方程 (1)含有字母系数的方程,注意讨论含未知数最高项系数,以确定方程的类型; (2)对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解,不能用因式分解的可选用别的方法,此时一定 不要忘记对字母的取值进行讨论。

(1) x ? 2mx ? m ? n ? 0
2 2 2

(2) x ? 3a ? 4ax ? 2a ? 1
2 2

(3) (m ? n) x 2 ? 2nx ? m ? n ( m ? n ? 0 )

(4) a 2 ( x 2 ? x ? 1) ? a( x 2 ? 1) ? (a 2 ? 1) x


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