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商丘市一高2014-2015高二数学(理科)第一次月考考试题

商丘一高 2014-2015 学年第第一次月考

不等式 x3f(x)<0 的解集为(

) B.(-4,-1)∪(1,4) D.(-∞,-4)∪(-1,0)∪(1,4)

A.(-∞,-4)∪(4,+∞) C.(-∞,-4)∪(-1,0)

高二数学试卷
本试卷分试题卷和答题卷两部分,试题卷共四页,答题卷共四页。请按要求把答案涂、写 在答题卷规定的范围内,超出答题框或答在试题卷上的答案无效。满分为 150 分,考试时间为 120 分钟。考试结束只收答题卷。

解析:选 D 由图知,f(x)<0 的解集为(-4,-1)∪(1,4),∴不等式 x3f(x)<0 的解集为(-∞, -4)∪(-1,0)∪(1,4). (6) 在命题 p 的四种形式(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中,真命题的个数记为 f(p), 已知命题 p: “若两条直线 l1: a1x+b1y+c1=0, l2: a2x+b2y+c2=0 平行, 则 a1b2-a2b1=0”. 那 么 f(p)等于( A.1 [答案] B ) B.2 C.3 D .4

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) (1) 给出下列命题:①a>b?ac2>bc2;②a>|b|?a2>b2;③a>b?a3>b3;④|a|>b?a2>b2.其中正确 的命题是( A.①② 解析:选 B a b (2) 若 a>0>b>-a,c<d<0,则下列命题:(1)ad>bc;(2) + <0;(3)a-c>b-d; d c (4)a(d-c)>b(d-c)中能成立的个数是( A.1 解析:选 C (3) 若函数 f(x)=(a2+4a-5)x2-4(a-1)x+3 的图象恒在 x 轴上方,则 a 的取值范围是( A.[1,19] 解析:选 C xz (4) 已知 x>0,y>0,z>0,x-y+2z=0 则 2 的( y A.最小值为 8 解析:选 D (5) 偶函数 f(x)(x∈R)满足:f(-4)=f(1)=0,且在区间[0,3]与[3,+∞)上分别递减和递增,则 B.最大值为 8 ) 1 C.最小值为 8 1 D.最大值为 8 B.(1, 19) C.[1,19) D.(1,19] ) B.2 C.3 ) D.4 ) B.②③ C.③④ D.①④

?x ? y ? 4 ? (7) 设不等式组 ? y ? x ? 0 表示的平面区域为 D , 若圆 C : ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? r 2 (r ? 0) 不经过 ?x ?1 ? 0 ?
区域 D 上的点,则 r 的取值范围是 A. [2 2, 2 5] B. (2 2,3 2] C. (3 2, 2 5] D. (0, 2 2)

(2 5, ??)

解析:选 D (8) 下列说法正确的是 (A)“ a ? 1 ”是“ f ( x) ? loga x(a ? 0, a ? 1) 在 (0,??) 上为增函数”的充要条件
2 (B)命题“ ?x ? R 使得 x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R, x ? 2 x ? 3 ? 0 ”
2 2 (C)“ x ? ?1 ”是“ x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的必要不充分条件

(D) 命题 p : “ ?x ? R, sin x ? cos x ? 解析:选 A

,则 ? p 是真命题 2”

8x (9) 设 p:f(x)=3x2+4x+m≥0 对任意 x 恒成立,q:m≥ 2 对任意 x>0 恒成立,则 p 是 q 的 x +4

(

) A.充分不必要条件 C.充要条件
2

(14) 如果关于 x 的不等式|x-a|+|x+4|≥1 的解集是全体实数,则实数 a 的取值范围是 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 . 解:在数轴上,结合实数绝对值的几何意义可知 a≤-5 或 a≥-3. 2 (15) 在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f(x)= 的图象交于 P,Q 两点, x 则线段 PQ 长的最小值是________. 解析:由题意知:P,Q 两点关于原点 O 对称,不妨设 P(m,n)为第一象限中的点,则 m>0, 4? 2 4 2 2 n>0,n= ,所以|PQ|2=4|OP|2=4(m2+n2)=4? ?m +m2?≥16(当且仅当 m =m2,即 m= 2时, m 取等号).故线段 PQ 长的最小值为 4. 答案:4 (16)已知正实数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 2 ,则 x ? 2 y ? 3z 的最大值是 答案: 2 3 D.15 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) (17) (本小题满分 10 分) 设集合 A={x|-1≤x≤2},B={x|x2-(2m+1)x+2m<0}. 1 (Ⅰ)当 m< 时,化简集合 B; 2 (Ⅱ)若“ x ? B ”是“ x ? A ”的充分条件(A∪B=A) ,求实数 m 的取值范围. 解:∵不等式 x2-(2m+1)x+2m<0? .

(10) 已知 a>0,函数 f(x)=ax +bx+c,若 m 满足关于 x 的方程 2ax+b=0,则下列选项中的命 题为假命题的是( ) B.?x0∈R,f(x0)≥f(m) D.?x∈R,f(x)≥f(m)

A.?x0∈R,f(x0)≤f(m) C.?x∈R,f(x)≤f(m)

b ∵a>0,∴函数 f(x)=ax2+bx+c 在 x=- 处取得最小值. 2a ∴f(m)是函数 f(x)的最小值.故 C 错误. [答案] C x2 y2 (11) 已知 P 为椭圆 + =1 上的一点,M,N 分别为圆(x+3)2+y2=1 和圆(x-3)2+y2=4 上 25 16 的点,则|PM|+|PN|的最小值为( A.5 解析:选 B x2 y2 (12) 已知椭圆: + =1 的焦距为 4,则 m 等于( 10-m m-2 A.4 解析:选 C B.8 C .4 或 8 ) B.7 ) C.13

D.以上均不对

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) x-y+6≥0, ? ? (13) 已知实数 x,y 满足?x+y≥0, ? ?x≤3, 实数 a 的取值范围为________. 答案:[-1,1] 若 z=ax+y 的最大值为 3a+9,最小值为 3a-3,则

(x-1)(x-2m)<0. 1 (1)当 m< 时,2m<1,∴集合 B={x|2m<x<1}. 2 (2)若 A∪B=A,则 B?A,∵A={x|-1≤x≤2}, 1 1 1 ①当 m< 时,B={x|2m<x<1},此时-1≤2m<1?- ≤m< ; 2 2 2 1 ②当 m= 时,B=?,有 B?A 成立; 2

1 1 ③当 m> 时,B={x|1<x<2m},此时 1<2m≤2? <m≤1; 2 2 1 综上所述,m 的取值范围是- ≤m≤1. 2 (18) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? x ? a , (a ? R) . (Ⅰ)当 a ? 0 时,解关于 x 的不等式 f ( x) ? 4 ; (Ⅱ)若 ?x ? R ,使得不等式 x ? 3 ? x ? a ? 4 成立,求实数 a 的取值范围. 解:(Ⅰ)由 a ? 0 知,原不等式为 x ? 3 ? x ? 4 当 x ? 3 时, 2 x ? 3 ? 4 ,解得 x ? 7 2 当 0 ? x ? 3 时, 3 ? 4 ,无解 当 x ? 0 时, ?2 x ? 3 ? 4 ,解得 x ? ? 1 2 故解集为 ? x x ? ? 1 或 x ? 7 2 2

解:(1)不等式 x-y+5≥0 表示直线 x-y+5=0 上及其右下方的 点的集合, x+y≥0 表示直线 x+y=0 上及其右上方的点的集合, x≤3 表示直线 x=3 上及其左方的点的集合. x-y+5≥0, ? ? 所以,不等式组?x+y≥0, ? ?x≤3

表示的平面区域如图所示.

5 ? 结合图中可行域得 x∈? ?-2,3?,y∈[-3,8]. -x≤y≤x+5, ? ? (2)由图形及不等式组知? 5 ?-2≤x≤3,且x∈Z, ? 当 x=3 时,-3≤y≤8,有 12 个整点; 当 x=2 时,-2≤y≤7,有 10 个整点; 当 x=1 时,-1≤y≤6,有 8 个整点; 当 x=0 时,0≤y≤5,有 6 个整点; 当 x=-1 时,1≤y≤4,有 4 个整点; 当 x=-2 时,2≤y≤3,有 2 个整点; ∴平面区域内的整点共有 2+4+6+8+10+12=42(个). (20) (本小题满分 12 分)

?

(Ⅱ)由 ?x ? R , x ? 3 ? x ? a ? 4 成立,可得 ( x ? 3 ? x ? a ) min ? 4 又 x ? 3 ? x ? a ? x ? 3 ? ( x ? a) ? a ? 3 ∴ ( x ? 3 ? x ? a ) min ? a ? 3 ? 4 . 解得 ?1 ? a ? 7

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,过 F1 的直线 l 与椭圆 C a 2 b2 相交于 A, B 两点,且 AF2 , AB , BF2 成等差数列.
椭圆 C :

(19) (本小题满分 12 分) x-y+5≥0, ? ? 画出不等式组?x+y≥0, ? ?x≤3 (Ⅰ)指出 x,y 的取值范围; (Ⅱ)平面区域内有多少个整点? 表示的平面区域,并回答下列问题:

4 a; 3 (Ⅱ)若直线 l 的斜率为 1 ,且点 (0,?1) 在椭圆 C 上,求椭圆 C 的方程.
(Ⅰ)求证: AB ? 解: (Ⅰ)由题设,得 2 AB ? AF2 ? BF2 由椭圆定义 AB ? AF2 ? BF2 ? 4a 所以, AB ?

4 a 3

(Ⅱ)由点 (0,?1) 在椭圆 C 上,可设椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 (a ? 1) 2 a

综合①②可知,对任意正整数 n,cos nA 是有理数. (22) (本小题满分 12 分) 已知直线 l : mx ? 2 y ? 2 m ? 0 ( m ? R ) 和椭圆 C : 离心率为

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , F1 (?c,0) , l : x ? y ? c , 代入椭圆 C 的方程,整理 (a 2 ? 1) y 2 ? 2cy ? 1 ? 0 (*) 则 AB
2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , 椭圆 C 的 a 2 b2

? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 2( y1 ? y 2 ) 2 ? 2[( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ]

2 ,连接椭圆的四个顶点形成四边形的面积为 2 2 . 2

?? 2c ? 2 4 ? 2 8 ? 2?? 2 4 c2 ? a2 ?1 ? 2 ? 2a 2 , ? ? 2 ?? 2 2 2 a ? 1? (a ? 1) ?? a ? 1 ? ? (a ? 1) ? 4 4 ?a 于是有 a ? 2 3 a ?1 x2 ? y2 ?1 解得 a ? 2 ,故椭圆 C 的方程为 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点,若以线段 AB 为直径的圆过原点,求实数 m 的值. (21)解: (Ⅰ)由离心率 e ?

?

?

2 2 ,得 b ? c ? a 2 2

又因为 2ab ? 2 2 ,所以 a ?

2, b ? 1

(21) (本小题满分 12 分) 已知△ABC 的三边长都是有理数. (Ⅰ)求证:cos A 是有理数; (Ⅱ)求证:对任意正整数 n,cos nA 是有理数. AB2+AC2-BC2 证明:(1)由 AB、BC、AC 为有理数及余弦定理知 cos A= 是有理数. 2AB· AC (2)用数学归纳法证明 cos nA 和 sin A· sin nA 都是有理数. ①当 n=1 时,由(1)知 cos A 是有理数,从而有 sin A· sin A=1-cos2A 也是有理数. ②假设当 n=k(k∈N*)时,cos kA 和 sin A· sin kA 都是有理数. 当 n=k+1 时,由 cos(k+1)A=cos A· cos kA-sin A· sin kA, sin A· sin(k+1)A=sin A· (sin A· cos kA+cos A· sin kA) =(sin A· sin A)· cos kA+(sin A· sin kA)· cos A, 由①和归纳假设,知 cos(k+1)A 和 sin A· sin(k+1)A 都是有理数. 即当 n=k+1 时,结论成立.

即椭圆的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 2

m ? y ? x?m ? m2 2 ? 2 ) x ? 2m 2 x ? 2m 2 ? 2 ? 0 (Ⅱ) 联立 ? 2 ,消去 y 得: (1 ? 2 ?x ? y2 ? 1 ? ?2
由 ? ? 4m ? 4(1 ?
4

m2 )(2m 2 ? 2) ? 0 ,得 ? 2 ? m ? 2 2
2m 2 ? 2 ?2 m 2 x x ? , 1 2 m2 m2 1? 1? 2 2

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

由题意,得 OA ? OB ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ∴ x1 x2 ? (

m m x1 ? m)( x2 ? m) ? 0 , 2 2

即 (1 ?

m2 m2 ) x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? m2 ? 0 4 2

m2 2m2 ? 2 m2 ?2m2 )? ? ? ? m2 ? 0 ∴ (1 ? 2 2 m m 4 2 1? 1? 2 2
解之,得 m ? ?

2 5 2 5 ,满足 ? ? 0 ,∴ m ? ? 5 5