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高等数学A(一)复习资料及PPT 上海大学出版社5


§7. 无穷小的比较及应用
x , x2 , sin x 当 x → 0 时都为无穷小, 时都为无穷小,

sin x x x = 1, lim 2 = ∞. 但 lim = 0, lim x→0 x x→0 x x→0 x
两个无穷小之比的极限的各种不同 情况, 情况,反映了不同的无穷小趋向于零的 快慢”程度的不同。 “快慢”程度的不同。

2

设 定义: 定义: α = α( x), β = β ( x), 且都不为0, 而 limα = 0, limβ = 0,

β 高阶的无穷小 的无穷小; 若 lim = 0, 称 β 是比α 高阶的无穷小; α 记作 β = o(α); β 低阶的无穷小 的无穷小; lim = ∞, 称 β 是比α 低阶的无穷小; α β 同阶无穷小 无穷小; lim = C ≠ 0, 称 β 与α 是同阶无穷小; α 记作 β = O(α); β 等价无穷小 无穷小。 等价无穷小。 lim = 1, 称 β 与α 是 α 记作 β ~ α 或α ~ β .

β lim k = C ≠ 0, 称 β 是关于α 的k阶无穷小。 阶无穷小。 α 2 sin x x = 1, 由 lim = 0, lim x→0 x x→0 x 2 2 的高阶无穷小, x ∴x 是x的高阶无穷小, = o( x), ( x →0) x → 0 时, x 与 sinx 是等价无穷小 sin x ~ x 是等价无穷小: 2 x ?9 ∵lim = lim( x + 3) = 6, x→ 3 x ? 3 x→3 2 ∴x ? 9 = O( x ? 3), ( x → 3) 1 ? cos x 1 ∴当x →0时, cos x是 1? ∵lim = , 2 x→ 0 2 关于x的二阶无穷小。 x 的二阶无穷小。

一些重要的等价无穷小: 一些重要的等价无穷小: x →0 时, sin x ~ x;
tan x ~ x

arcsin x ~ x;
2

arctan x ~ x

x x x 1 ? cos x ~ ; a ? 1 ~ x lna; e ?1~ x 2 x ln (1 + x) ~ x loga (1 + x) ~ ; lna x α n (1 + x) ? 1 ~ α x, 1+ x ?1 ~ . n

有关等价无穷小的定理 定理1 定理1:β ~ α ? β = α + o(α) 证: ? : 设 β ~ α , 要证β ?α = o(α), “ ” β β ?α β = lim( ? 1) = lim ? 1 = 1 ? 1 = 0, lim α α α ?β ?α = o(α) ? β = α + o(α). “ ” 设 β = α + o(α), ?: o(α) β α + o(α) = 1 ? 0 = 1, = 1 + lim 则 lim = lim

α α α ? sin x = x + o( x), ∴β ~ α. 证毕

1 2 ln(1 + x) = x + o( x), 1 ? cos x = x + o( x2 ). 2

定理2.(等价无穷小代换定理) 定理2.(等价无穷小代换定理) 2.(等价无穷小代换定理 β′ ( 设 α ~ α′ , β ~ β ′ , 且 lim 存在 或∞), α′ β β′ . 则 lim = lim α α′ β? f β′ 同理, 同理,有 lim = lim ? f . α α′ f f β β′ 当然, 当然, lim = lim , lim = lim . f f α α′ 问题: 问题: limα + β = limα′ + β ′ ? f f

α 定理: 定理: α ~ α′ , β ~ β′ , 且lim = k ≠ ?1, 设 β 则 α + β ~ α′ + β ′. α′ β ′ α′ α β′ + ? + α′ + β′ β β α β β 证:lim = lim = lim α α α+β +1 +1 β β 1? k + 1 = lim = 1, ∴ α + β ~ α′ + β ′.
k +1 sin x ? tan x x? x 例: lim = lim 3 = 0 3 x→0 x→0 x x

例题讨论
求下列函数的极限: 求下列函数的极限: “0 ” tan a x 0 ax a 1. lim = lim = . x→0 sin b x x→0 b x b tan x ? sin x 2. lim “0 ” 3 0 x→0 → x sin x ? sin xcos x sin x( 1 ? cos x ) = lim = lim 3 3 x→0 x→0 x cos x x cos x 2 x x? 2 ? lim 1 = 1 . = lim 3 x→0 cos x x→0 2 x

x(e ? 1) 3. lim x→0 ( 1 + x ? 1)sin x
x
x2

0 “0 ”

x(1 ? e ) 若 lim x→0 ( 1 + x ? x2 ? 1)sin 2x

x? x = 2. = lim x→0 x ?x 2

= lim
x→0

x(?x )
2
2

x? x (2x) 2 ?x = lim = 0. x→0 1 ? x

?x = lim 2 x→0 x ? x3
3

1 + x ? cos x 1 + sin x ? cos x 4. lim = lim ? x→0 x→0 x x 1 ? cos x sin x ) =lim ( + x→ x→0 x x
( x) 3 2 + lim x 1 = lim = +1 = . x→0 x→0 x x 2 2
2

5. lim (1 + sin x)
x→0

1 arcsin x

=

1 lim (1 + x) x x→0

?

1 sin x ? = lim (1 + sin x) sin x arcsin x x→0

=

e

sin x lim x→ 0 arcsin x
1

=e

x lim x→ 0 x

= e = e.

1 2x 1 2x 6. lim ( cos ) = lim (1 +cos ? 1) x→+∞ x x→+∞ x

1 = lim (1 +cos ? x→+∞ x
=e
? 1 ?2 ? ? ? x? ? 2 x lim x→+∞ ?2

1 1 (cos ? 1) 2 x 1 x cos ?1 x ? 1)

=e

x→+∞

lim

2x ?2 x
1 2x

=e .

?1

思考: 思考:lim ( cos x)
x→0

1 + xsin x ? cos x 7. lim x→ 0 ln ( 1 + xsin x)
解一: 解一: 原式 =

1 + xsin x ? cos x lim x→0 ln ( 1 + x sin x)[ 1 + x sin x + cos x]
2

sin x + xsin x 1 ? = lim x→ 0 2 xsin x
2

x 1 = ( lim 2 + 1 ) = 1 . 2 x→ 0 x

2

1 + xsin x ? cos x 7. lim x→0 ln ( 1 + xsin x)

1 + xsin x ? 1 + 1 ? cos x 解二: 解二: 原式= lim x→0 xsin x

1 + xsin x ? 1 1 ? cos x = lim + lim 2 2 x→0 x→0 x x xsin x 1 1 1 2 = lim + = + = 1. 2 x→0 2 2 2 x

n n 8. lim ( a ?1 ) (a > 0) n→∞ ln a

n = lim n→∞ lna

1 lna (en

? 1) “∞? 0”

n lna = lim ? =1. n→∞ lna n
n→ ∞

lim a = 1 , (a > 0)
n

n→∞

lim n = 1.
n

课外作业
习题 1 — 7(A) 2,4,6(双) , , ( 习题 1 — 7(B) 1(双),5,6 ( ), ,

§8. 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性 增量概念: 增量概念: 设变量 u 从它的一个初值 u1 变到终值u 变到终值 2,则 u2-u1叫做变 的增量。 量 u 的增量。记作 u。 。 即 注意: 注意: 增量 u= u2-u1 u 可正可负。 可正可负。

定义 设 y = f (x) 在 x0 的某个邻域内有定义, 的某个邻域内有定义, 趋于零时, 如果当自变量 x 的增量 x= x- x0趋于零时, 对应的函数的增量 y= f ( x0+ x) - f ( x0) 也趋于零,那么就称 点连续。 也趋于零,那么就称y = f (x) 在 x0点连续。 称为y 连续点。 点 x0 称为 = f (x) 连续点。 即若
?x→0

lim ?y = lim[ f ( x0 + ?x) ? f ( x0 )] = 0
?x→0

点连续。 则y = f (x) 在 x0点连续。

?x→0
?x→0

lim ?y = lim[ f ( x0 + ?x) ? f ( x0 )] = 0
?x→0
x→x0

? lim f ( x0 + ?x) = f ( x0 ) ? lim f ( x) = f ( x0 )

等价定义1 等价定义 如果 y = f (x) 满足 (1) 在点 x0 的某个邻域内有定义, 的某个邻域内有定义,
(2) lim f ( x) 存在, 存在,

(3) lim f ( x) = f ( x0 )
x→x0

x→x0 →

点连续。 则y = f (x) 在 x0点连续。

等价定义2( 分析定义) 等价定义 (“ ε — δ ”分析定义) 分析定义 f (x) 在 x0 的某个邻域内有定义, 的某个邻域内有定义, ?ε > 0, ? δ > 0, 当 x ? x0 < δ 时,有 f ( x) ? f ( x0 ) < ε 成立, 成立, 则称 f (x) 在点 x0 处连续。 处连续。

若 lim f ( x) = f ( x0 ), ?
左连续; 称 f (x) 在点 x0 处左连续; 若 lim f ( x) = f ( x0 ), +
x→x 0 x→x 0

右连续。 称 f (x) 在点 x0 处右连续。

重要结论: 重要结论:
x→x0

lim f ( x) = f ( x0 )
lim f ( x) = f ( x0 ) = lim f ( x) ? +
x→x 0

x→x 0

易证有理整函数、 易证有理整函数、有理分式函数在其定 义域内每一点都是连续的。 义域内每一点都是连续的。
?a + π x ?1 < x < 1 2 ? x = ?1 例:设f ( x) = ?b ? 2 ?x ?1 ? ∞ < x < ?1 a 处连续。 试确定常数 , b,使 f ( x)在x = ?1处连续。

内每一点都连续, 如 f (x) 在(a,b)内每一点都连续,则称 f (x) 内的连续函数, 为(a,b)内的连续函数,或 f (x) 在(a,b)内连 续。 内连续, 点右连续,在 如 f (x)在(a, b)内连续 且在 a 点右连续 在 在 内连续 b 点左连续,则称 f (x)为[a, b]上的连续函 点左连续, 为 上的连续函 数,或 f (x) 在[a,b]上连续。 上连续。 上连续 连续函数的图形是一条连续而不间断 的曲线。 的曲线。

例1: y = x 在其定义域上是连续的。 ? x, x ≥ 0 证: ∵ y = ? ?? x, x < 0 x > 0, y = x 均为连续函数; 均为连续函数; 及 x < 0,y = ? x

lim 在 x = 0 处, + x = 0 = lim? x
x→0

x→ 0

y 0 x

即 f (0 + 0) = f (0 ? 0) = f (0),
∴ y 在 x = 0 处连续;

∴ y 在其定义域 (?∞,+∞)内处处连续。

? x + 1, x ≤ 1 在x=1 例2: 讨论 f ( x) = ? 2 ? x , x >1 处的左右连续性。 处的左右连续性。
解: lim f ( x) = lim ( x + 1) = 2 = f (1) ? ?
x→1
x→1

lim f ( x) = lim x = 1 ≠ f (1) + +
2 x→1

x→ 1

y 2 1

即 f (1) = f (1 ? 0) ≠ f (1 + 0) ≠ f (1)

1 x

处不连续, ∴f (x) 在 x = 1 处不连续, 处左连续。 而只在 x = 1 处左连续。 使函数不连续的点称为间断点。 使函数不连续的点称为间断点。 间断点

二、函数的间断点 的某一去心邻域内有定义, 设 f (x) 在点 x0 的某一去心邻域内有定义, 在此前提下, 有下列三种情形之一: 在此前提下 如 f (x) 有下列三种情形之一: (1) f (x) 在点 x0 没有定义; 没有定义; lim 不存在; (2) f (x) 在点 x0有定义 但 x→x f ( x)不存在; 有定义, → 0 , (3) f (x) 在点 x0有定义 且 lim f ( x)存在 有定义, x→x 0 → 但 lim f ( x) ≠ f ( x0 ).
x→x0

不连续。 则称 f (x) 在 x0 处不连续。 不连续点或间断点。 而点 x0 称为 f (x) 的不连续点或间断点。

sin x 例1:f ( x) = x sin x 间断点: 间断点:x = 0 , 考察 lim =1 x→ 0 x 的连续点。 为 若令 f (0) = 1 , 则 x = 0为 f (x) 的连续点。 ?sin x x≠0 ? 例2:f ( x) = ? x ? 0 x =0 ? sin x ∵ lim = 1 ≠ f (0) 所以 = 0为间断点 所以x 为间断点, 为间断点 x→ 0 x 的连续点。 若令 f (0) = 1 , 则 x = 0为 f (x) 的连续点。 为 上述两例中的间断点称为可去间断点 可去间断点。 上述两例中的间断点称为可去间断点。

1 例3. y = arctan x ?1 处无定义, 间断点: ∵ y 在 x = 1 处无定义, 间断点:x = 1 , ∴ 1 π 又 lim arctan =? , π y x→ 1 ? x ?1 2 。 2 1 π lim arctan = , 0 x x→1+ x ?1 2 。 1 π ? 1 ? limarctan 不存在。 2 x→ 1 x ?1 但左、右极限存在, 但左、右极限存在, 跳跃间断点。 则称间断点 x = 1 为跳跃间断点。

1 例4: y = f ( x) = 2 x 处无定义, ∵ f (x) 在 x = 0 处无定义, 间断点: ∴ 间断点:x = 0 , 1 考察极限 lim 2 = ∞ , x→ 0 x →

y

0

x

无穷间断点。 则称间断点 x = 0 为无穷间断点。

1 例5. y = sin x
间断点: 间断点:x = 0 , 1 考察 lim sin x→0 x 不存在, 不存在,
y

x

附近来回振荡, 且在 x = 0 附近来回振荡, 振荡间断点。 则称间断点 x = 0 为振荡间断点。

由以上的讨论,可将间断点分为两类: 由以上的讨论,可将间断点分为两类: 1. 若 f (x0 + 0), f (x0 - 0) 都存在, 都存在, 第一类间断点 间断点; 则称 x0 为第一类间断点; 如: 可去、跳跃间断点。 可去、跳跃间断点 间断点。 2. 不是第一类间断点的称为第二类间断 不是第一类间断点的称为第二类 第二类间断 点。 无穷、振荡间断点 间断点。 如: 无穷、振荡间断点。

例题讨论
求下列函数的间断点,并判别类型: 求下列函数的间断点,并判别类型: 1. y = e
1 ? x

间断点: 解: 间断点:x = 0 ,

f (0 + 0) = lim e +
x→0

?

1 x 1 x

= 0, ,

f (0 ? 0) = lim e ?
x→0

?

= ∞,

为第二类无穷间断点。 ∴ x = 0 为第二类无穷间断点。

2 . f ( x) =

2 ?1 2 +1
1 x

1 x

x→0

lim 2 = 0, , ? lim 2 = ∞, +
1 x

1 x

解:间断点:x = 0 , 间断点: x→0 0 ?1 f (0 ? 0) = = ?1 , 0 +1

f (0 + 0) = lim +
x→0

2 ?1 2 +1
1 x

1 x

= lim

1? 2 1+ 2

?

1 x

x→ 0+

1 ? x

= 1, ,

为第一类跳跃间断点。 ∴ x = 0 为第一类跳跃间断点。

x 3 . f ( x) = sin2x kπ 由 解: sin2x = 0 ? x = (k = 0,±1,±2,? ) 2 为间断点。 为间断点。 x lim = ∞ (k = ±1,± 2,?, k≠0) kπ sin 2x
x→

x 1 lim = , x→ 0 sin2x 2 为第一类可去间断点; ∴ x = 0 为第一类可去间断点; kπ x= (k = ±1, ± 2,? 为第二类无穷间断点。 ) 为第二类无穷间断点。 2

2

4 . f ( x) =

1
x 1? x

1? e 解:由1 ? x = 0

? x =1 ? x 为间断点。 ? 为间断点。 由 1 ? e 1? x = 0 ? x = 0 ? 1 = ∞ , ∴ x = 0 为第二类无穷 lim x x→ 0 间断点。 间断点。 1 ? e 1? x 1 1 lim x = 0 , lim x = 1 , ? + x→1 x→1 1 ? e 1? x 1 ? e 1? x 为第一类跳跃间断点。 ∴ x = 1 为第一类跳跃间断点。

1? x 5 . y = lim 2n x n→∞ 1 + x x < 1 (?1 < x < 1) ? x 解: ? y=? 0 x = 1 ( x = ± 1) ? ?x x > 1 ( x > 1, x < ?1) ? 为分段函数, 为分段函数, f (1 ? 0) = 1 ≠ f (1 + 0) = -1 f (?1 ? 0) = -1 ≠ f (?1 + 0) = 1
2n

为第一类跳跃间断点。 ∴ x = ±1 为第一类跳跃间断点。

? x ? y=? 0 ? ?x ?

x < 1 (?1 < x < 1) x = 1 ( x = ± 1) x > 1 ( x > 1, x < ?1)
y

-1

。 .
0


1

.

x





课外作业
习题 1 — 8(A) 1,3(2,4),4(3,4,7,8) , , , , , , 习题 1 — 8(B) 2,4,6 , ,


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