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高一数学必修1期中考试测试题及答案


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人大附中 2010-2011 学年第一学期高一年级必修 1 考核试卷 -
说明:本试卷共三道大题,分 18 道小题,共 6 页;满分 100 分,考试时间 90 分钟;请在密封线内 填写个人信息。 一、选择题(共 8 道小题,每道小题 4 分,共 32 分.请将正确答案填涂在答题卡上) 1.已知 U 为全集,集合 P ? Q,则下列各式中不成立的是 ( D ) ... A. P∩Q=P C. P∩( ? UQ) = ? B. P∪Q=Q D. Q∩( ? UP)= ? ( D )

2. 函数 f ( x ) = lg(3 x ? 1) 的定义域为 A.R B. ( ?∞, )

1 1 1 C. [ , +∞ ) D. ( , +∞ ) 3 3 3 2 3.如果二次函数 y = ax + bx + 1 的图象的对称轴是 x = 1 ,并且通过点 A( ?1, 7) ,则(
A.a=2,b= 4
| x|

B.a=2,b= -4

C.a=-2,b= 4

) D.a=-2,b= -4 ( D )

4.函数 y = 2 的大致图象是

5.如果 a = b ( a > 0且a ≠ 1) ,则 A. 2 log a b = 1 B. log a





1 =b 2
2 2.9

C. log 1 a = b
2

D. log 1 b = a
2

6.已知定义在 R 上的函数 f (x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:
x f (x) 1 6.1 3 -3.5

那么 ( ) A. (-∞,1) 7.下列说法中,正确的是

函 数 f (x) 一 定 存 在 零 点 的 区 间 是 B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+∞) ( )

A.对任意 x∈R,都有 3x>2x ; B.y=( 3 ) x 是 R 上的增函数; C.若 x∈R 且 x ≠ 0 ,则 log 2 x = 2 log 2 x ;
2


D.在同一坐标系中,y=2x 与 y = log 2 x 的图象关于直线 y = x 对称. 8.如果函数 y = x 2 + (1 ? a ) x + 2 在区间(-∞,4]上是减函数,那么实数 a 的取值范围是( )

A.a≥9 B.a≤-3 C.a≥5 D.a≤-7 二、填空题(共 6 道小题,每道小题 4 分,共 24 分。请将正确答案填写在答题表中) 9 . 已 知 函 数 y = f ( n) , 满 足 f (1) = 2 , 且 f ( n + 1) = 3 f (n),n ∈ N + , 则 f (3) 的 值 为 _______________. 10.计算 2 ? 3 4 ? 6 32+ lg 是__________________.
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1 ? 3log3 2 的值为_________________. 100 11.若奇函数 f ( x ) 在 (?∞, 0) 上是增函数,且 f (?1) = 0 ,则使得 f ( x ) > 0 的 x 取值范围

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12.函数 f ( x ) = log 3 ( x ? 2 x + 10) 的值域为_______________.
2

13.光线通过一块玻璃板时,其强度要损失原来的 10%,把几块这样的玻璃板重叠起来,设光线原 来的强度为 a,则通过 3 块玻璃板后的强度变为________________. 14.数学老师给出一个函数 f ( x ) ,甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质 甲:在 (?∞, 0] 上函数单调递减; 乙:在 [0, +∞) 上函数单调递增; 丙:在定义域 R 上函数的图象关于直线 x=1 对称; 丁: f (0) 不是函数的最小值. 老师说:你们四个同学中恰好有三个人说的正确. 那么,你认为_________说的是错误的.

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人大附中 2010-2011 学年第一学期高一年级必修 1 考核试卷 -
二、填空题(每道小题 4 分,共 24 分. 请将正确答案填写在下表中对应题号的空格内) .... 9 10 11 三、解答题(分 4 道小题,共 44 分) 15. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x ) = 12 13 14

1 . x ?1
2

(1)设 f ( x ) 的定义域为 A,求集合 A; (2)判断函数 f ( x ) 在(1,+ ∞ )上单调性,并用定义加以证明.

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16. (本题满分 12 分)有一个自来水厂,蓄水池有水 450 吨. 水厂每小时可向蓄水池注水 80 吨,同 时蓄水池又向居民小区供水, 小时内供水量为 160 5t 吨. 现在开始向池中注水并同时向居民供水. t 问多少小时后蓄水池中水量最少?并求出最少水量。

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17. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) = a

x ?1

(a > 0且a ≠ 1)

(1)若函数 y = f ( x) 的图象经过 P(3,4)点,求 a 的值;

1 )与f (?2.1) 大小,并写出比较过程; 100 (3)若 f (lg a ) = 100 ,求 a 的值.
(2)比较 f (lg

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18. (本题满分 8 分)集合 A 是由适合以下性质的函数 f(x)构成的:对于定义域内任意两个不相等的 x + x2 1 实数 x1 , x2 ,都有 [ f ( x1 ) + f ( x2 )] > f ( 1 ). 2 2 (1)试判断 f(x)= x2 及 g(x)=log2x 是否在集合 A 中,并说明理由; 1 (2)设 f(x)∈A 且定义域为(0,+∞),值域为(0,1), f (1) > ,试求出一个满足以上条件的函数 f 2 (x)的解析式.

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测试》 《必修 1 测试》参考答案及评分标准
一、选择题(每道小题 4 分,共 40 分) 题号 1 2 3 4 B 5 A 6 C 7 D 8 A 答 题 44 分)

D D B 答案 二、填空题(每道小题 4 分,共 24 分) 三、 解 9 18 ( 共 10 0 11
( ?1, 0) U (1, +∞)
2

12 13 14

6 0.729a 乙

15. 解: (1)由 x ? 1 ≠ 0 ,得 x ≠ ±1 ,

1 的定义域为 {x ∈ R | x ≠ ±1} ……………………… 4 分 x ?1 1 (2)函数 f ( x ) = 2 在 (1, +∞) 上单调递减. ………………………………6 分 x ?1 证明:任取 x1 , x2 ∈ (1, +∞) ,设 x1 < x2 ,
所以,函数 f ( x ) =
2

则 ?x = x2 ? x1 > 0,

?y = y2 ? y1 =

1 1 ( x ? x )( x + x ) ? 2 = 1 2 2 12 2 …………………… 8 分 x ? 1 x1 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
2 2

Q x1 > 1, x2 > 1,
2 ∴ x12 ? 1 > 0, x2 ? 1 > 0, x1 + x2 > 0.

又 x1 < x2 ,所以 x1 ? x2 < 0, 故 ?y < 0. 因此,函数 f ( x ) =

说明:分析 ?y 的符号不具体者,适当扣 1—2 分. 16.解:设t小时后蓄水池内水量为y吨, …………………………………… 1分 根据题意,得

1 在 (1, +∞) 上单调递减. ………………………12 分 x ?1
2

y = 450 + 80t ?160 5t
= 80( t )2 ? 160 5 t + 450 = 80[( t )2 ? 2 5 t ] + 450

……………………………………… 5分

= 80( t ? 5)2 + 50 当 t = 5 ,即 t = 5 时,y取得最小值是50.
答:5小时后蓄水池中的水量最少,为50吨.

……………………………………… 10分 …………………………… 11分 …………………………… 12分
2

说明:①本题解题过程中可设 t = x ,从而 y = 80 x ? 160 5x + 450 . ②未写出答,用“所以,5小时后蓄水池中的水量最少,为50吨”也可以. 未答者 扣1分. 17.解:⑴∵函数 y = f ( x) 的图象经过 P(3, 4)
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∴ a = 4 ,即 a = 4 . 又 a > 0 ,所以 a = 2 .
3-1 2

……………………………………… 2 分 ……………………………………… 4 分

1 ) > f (?2.1) ; 100 1 ) < f (?2.1) . …………………………………… 6 分 当 0 < a < 1 时, f (lg 100 1 ) = f (?2) = a?3 , f (?2.1) = a?3.1 因为, f (lg 100 x 当 a > 1 时, y = a 在 (?∞, +∞) 上为增函数,
⑵当 a > 1 时, f (lg ∵ ?3 > ?3.1 ,∴ a 即 f (lg
?3

> a?3.1 .

1 ) > f (?2.1) . 100 x 当 0 < a < 1 时, y = a 在 (?∞, +∞) 上为减函数,
∵ ?3 > ?3.1 ,∴ a 即 f (lg
?3

< a ?3.1 .
……………………………………… 8 分

1 ) < f (?2.1) . 100 lg a ?1 = 100 . ⑶由 f (lg a) = 100 知, a
所以, lg a
lg a ?1

= 2 (或 lg a ?1 = loga 100 ). ∴ (lg a ? 1) ? lg a = 2 . 2 ……………………………………… 10 分 ∴ lg a ? lg a ? 2 = 0 , ∴ lg a = ?1 或 lg a = 2 , 1 所以, a = 或 a = 100 . ……………………………………… 12 分 10
说明:第⑵问中只有正确结论,无比较过程扣2分. 18.解: (1) f ( x) ∈ A , g ( x) ? A . ……………………………………… 2 分 对于 f ( x ) ∈ A 的证明. 任意 x1 , x2 ∈ R 且 x1 ≠ x2 ,

f ( x1 ) + f ( x2 ) x +x x 2 + x2 2 x +x x 2 ? 2 x1 x2 + x2 2 ? f( 1 2)= 1 ? ( 1 2 )2 = 1 2 2 2 2 4 1 = ( x1 ? x2 ) 2 > 0 4 f ( x1 ) + f ( x2 ) x +x 即 > f ( 1 2 ) . ∴ f ( x) ∈ A …………………………… 3 分 2 2 对于 g ( x) ? A ,举反例:当 x1 = 1 , x2 = 2 时, g ( x1 ) + g ( x2 ) 1 1 = (log 2 1 + log 2 2) = , 2 2 2 x1 + x2 1+ 2 3 1 g( ) = log 2 = log 2 > log 2 2 = , 2 2 2 2 g ( x1 ) + g ( x2 ) x1 + x2 不满足 > g( ) . ∴ g ( x) ? A . ……………………… 4 分 2 2

2 1 ?2? ⑵函数 f ( x) = ? ? ,当 x ∈ (0, +∞) 时,值域为 (0,1) 且 f (1) = > .…… 6 分 3 2 ?3?
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x

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任取 x1 , x2 ∈ (0, +∞) 且 x1 ≠ x2 ,则
x1 + x2 x x ? ? f ( x1 ) + f ( x2 ) x1 + x2 1 ?? 2 ? 1 ? 2 ? 2 2? 2 ? ? ) = ? ? + ? ? ? 2?? ? ? f( ? 2 2 2 ?? 3 ? ? 3 ? ?3? ? ? 2 2 x1 x1 x2 x2 x1 x2 2 ?? ? ? ? ? ? ? 2 2 ?2?2 2 2 2 1 ? ?? 2 ? ? ? ?2? ?? 2 ? ? ? = 1 ?? 2 ? ? ? 2 ? ? > 0 = ? ? ? ? 2?? ? ?? ? + ? ? ? ? ? ? ? ?? 3 ? ? ? 2 ?? 3 ? 2 ? ?? 3 ? ? ?3? ?3? ?3? ? ? ? ? ? ? ? ?

f ( x1 ) + f ( x2 ) x +x ? 2? 即 > f ( 1 2 ) . ∴ f ( x) = ? ? ∈ A . ………………… 8 分 2 2 ? 3? k x 1 (k > 1) 为常见. 说明:本题中 f ( x) 构造类型 f ( x) = a ( < a < 1) 或 f ( x) = 2 x+k

x

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