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必修4 第2章 平面向量典型例题及练习


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第二章
【知识点归纳】 1.平面向量的概念:

平面向量

2.1 平面向量的实际背景及基本概念

2.向量的表示: (常见的 2 个向量)

3.相等向量与共线向量:

【典型例题】 题型一 向量的基本概念 例 1.给出下列命题: ①向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A、B、C、D 四点必在一直线上; ②两个单位向量是相等向量; ③若 a=b, b=c,则 a=c; ④若一个向量的模为 0,则该向量的方向不确定; ⑤若|a|=|b|,则 a=b。 ⑥若 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线 ) 其中正确命题的个数是(

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 例 2 下列命题正确的有 ①a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 也共线 ②任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 ③向量 a 与b不共线,则 a 与b都是非零向量 ④有相同起点的两个非零向量不平行 题型二 向量的表示 例 3.一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100km 到达 B 点, 然后又改变方向,向西偏北 45° 走了 200km 到 达 C 点, 最后又改变方向,向东行驶了 100km 到达 D 点. (1)作出向量 AB , BC , CD ;(2)求 AD

? ??? ? ??? ? ???

????

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题型三

相等向量与共线向量

例 4 如图,设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,分别 写出图中与向量 OA , OB , OC 相等的向量,共线的向量。

??? ?

??? ?

????

题型四

利用向量解决多点共线的问题

例 5.如图,四边形 ABCD 中, AB ? DC ,P,Q 是 AD,BC 上的 点,且 BP ? QD ,求证: AP ? QC

??? ?

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B

Q

C

??? ?

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A

P

D

综合练习: 1. 下列命题中,正确的是( A. 若|a|=|b|,则 a=b C. 若|a|>|b|,则 a>b 2.下列说法中错误 的是( .. ) B. 若 a=b,则 a 与 b 是平行向量 D. 若 a 与 b 不相等,则向量 a 与 b 是不共线向量 ) B.零向量的长度为 0? D. 零向量的方向是任意的? . .

A.零向量是没有方向的? C.零向量与任一向量平行?

3.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是 4.已知非零向量 a∥b,若非零向量 c∥a,则 c 与 b 关系是 6.判定下列命题的正误: ①零向量是惟一没有方向的向量。 ②平面内的单位向量只有一个。 ④向量 a 与 b 是共线向量,b∥C,则 a 与 c 是方向相同的向量。 ⑤相等的向量一定是共线向量。 7. 下列四个命题中,正确命题的个数是 ① 共线向量是在同一条直线上的向量 ② 若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点 ③ 与已知非零向量共线的单位向量是唯一的 ④ 若四边形 ABCD 是平行四边形,则 AB 与 CD , BC 与 AD 分别共线.
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5.已知 a、b 是两非零向量,且 a 与 b 不共线,若非零向量 c 与 a 共线,则 c 与 b 必定 ( ( ( ( ) ) ) ) )

③方向相反的向量是共线向量,共线向量不一定是方向相反的向量。 (

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2.2 平面向量的线性运算 2.2.1 向量的加法 2.2.2 向量的减法 2.2.3 向量的数乘 【知识点归纳】 1.向量的加法:

2.向量加法的平行四边形法则:

3.向量的加法的运算率:

4.向量的减法:

5.向量减法的平行四边形法则:

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6.向量数乘的概念:

7.向量的数乘的性质:

8.向量共线的条件:

9.向量的线性运算

10.向量证明三点共线:

三角形的中线与重心公式:

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【典型例题】 题型一 向量的加减法 例 1.下面给出的四个式子中,其中值不一定为 0 的是( ) A. AB ? BC ? CA C. AB ? AC ? BD ? CD

?

??? ? ??? ? ??? ?

B. OA ? OC ? BO ? CO

??? ? ???? ??? ? ??? ?
???? ??? ? ???? ? ????
C F

??? ? ???? ??? ? ??? ?

D. NQ ? QP ? MN ? MP

例 2.如图所示,D、E、F 分别是△ ABC 的边 AB、BC、CA 的中点, 则 AF ? DB =( ) A. FD B. FC C. FE D. BE
A

E B

D

题型二 向量的作图 例 3 已知在矩形 ABCD 中,宽为 2,长为 2 3 , AB ? a, BC ? b, AC ? c,试作出向量 a+b+c,并求出 其模的大小

??? ?

??? ?

????

例 4.已知向量 a、b、c、d,求作向量 a?b、c?d

王新敞
奎屯

新疆

题型三 用已知向量表示未知向量 例 5.如图所示,OADB 是以向量 OA = a , OB = b 为边的平行四边形, B M C O N N A D

1 1 又 BM= BC,CN= CD.试用 a , b 表示 OM , ON , MN . 3 3

→ → 变式:设 D、 E、 F 分别为 △ ABC 的边 BC、 CA、AB 的中点,且BC= a, CA= b,给出下列命题: 1 1 → → ①AB=- a-b ②BE=a+ b 2 2 ( ) A.1 B.2 C.3 1 1 → ③CF=- a+ b 2 2 D.4 → → → ④AD+BE+CF=0.其中正确的命题个数为

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题型四 向量的加减法综合运用 例 6.设两个非零向量 e1 、 e 2 不是平行向量 (1)如果 AB = e1 + e 2 , BC =2 e1 +8 e 2 , CD =3( e1 ? e2 ),求证 A、B、D 三点共线; (2)试确定实数 k 的值,使 k e1 + e 2 和 e1 + k e 2 是两个平行向量.

例 7.已知 O 是 ? ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点,若 AB =a, BC =b, OD =c,试证明:c+a-b= OB .

综合练习: 1.下列命题正确的有 ①单位向量都相等 ②长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 ③若 a,b 满足|a|>|b|且 a 与 b 同向,则 a>b ④对于任意向量 a、b,必有|a+b|≤|a|+|b| 2. 以下四个命题中不正确的有 ①若 a 为任意非零向量,则 a∥0 ②| a+b|=|a|+|b| ③a=b,则|a|=|b|,反之不成立 ④任一非零向量的方向都是惟一的

3.已知 | AB |? 6, | AC |? 4 ,则 | BC | 的取值范围为 4. 设( AB + CD )+( BC + DA )= a , b ≠ 0 ,则在下列结论中, 正确的有 ① a ∥ b ; ② a + b = a ; ③ a + b = b ; ④| a + b |<| a |+| b | 5.化简 AB ? BC ? CD ? DA ? 6.如图,在四边形 ABCD 中,根据图示填空:? a+b= ,b+c= ,c-d= ,a+b+c-d= .?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

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2.3 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理 【知识点归纳】 1.平面向量的基本定理:

2.向量的夹角:

【典型例题】 题型一 基底的判定 例 1.设 e1、e2 是同一平面内的两个向量,则有( ) A.e1、e2 一定平行 B.e1、e2 的模相等 C.同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+μe2(λ、μ∈R) D.若 e1、e2 不共线,则同一平面内的任一向量 a 都有 a =λe1+ue2(λ、u∈R) 题型二 用基底表示向量 例 2.已知 a=-e1+3e2,b= 4e1+2e2,其中 e1,e2 不共线,向量 c=-3e1+12e2,用试用 a,b 作为基底来表 示c

题型三 向量的夹角 例 3.已知两个非零向量 a,b 的夹角为 80°,求下列向量的夹角: (1)a 与-b (2)2a 与 3b

练习: 1.已知向量 a = e1-2e2,b =2e1+e2,其中 e1、e2 不共线,则 a+b 与 c =6e1-2e2 的关系 A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定

2.已知向量 e1、e2 不共线,实数 x、y 满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则 x-y 的值等于( ) A.3 B.-3 C.0 D.2 .

3.已知 a、b 不共线,且 c =λ1a+λ2b(λ1,λ2∈R),若 c 与 b 共线,则 λ1=

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2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算 2.3.4 平面向量的共线的坐标表示 【知识点归纳】 1.平面向量的正交分解:

2.平面向量的坐标表示:

3.平面向量的坐标运算:

4.平面向量共线的表示:

5.三点共线:

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【典型例题】 题型一 求向量的坐标 例 1.已知点 A(2,2) B(-2,2) C(4,6) D(-5,6) E(-2,-2)

F(-5,-6)

在平面直角坐标系中,分别作出向量 AC BD EF 并求向量 AC BD EF 的坐标。

??? ? ??? ???

??? ? ??? ???

题型二 平面向量的坐标运算 例 2 已知 a =(2,1), b =(-3,4),求 a + b , a - b ,3 a +4 b 的坐标.

?

?

? ?

? ?

?

?

例 3 已知平面上三点的坐标分别为 A(?2, 1), B(?1, 3), C(3, 4),求点 D 的坐标使这四点构 成平行四边形四个顶点.

例 4 已知三个力 F1 (3, 4),

F2 (2, ?5), F3 (x, y)的合力 F1 + F2 + F3 = 0 ,求 F3 的坐标.

练习: 1.若 M(3, -2) N(-5, -1) 且 MP ?

1 MN , 求 P 点的坐标 2
. )

2.若 A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) , 则 AB ?2 BC = 3、下列各组向量中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底是( A. a ? (0,0),b ? (1,?2)

?

?

B. a ? (?1,2),b ? (5,7)

?

?

b ? (6,10) C. a ? (3,5)

?

?

b ? (4,?6) D. a ? (2,?3)

?

?

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4.已知 a ? (3, 2) , b ? (0, ?1) ,则 ?2a ? 4b 等于( A. ( ?6,?8) 5.已知平面向量 a B. ( ?3,?6)

?

?

?

?

) C. (6,8) D. (6,?8) ) D. ( ?4,?8) ) .

? (1,2) , b ? (m, n) ,且 2 a ? b ,则 2a ? 3b 等于(
B. ( ?3,?6) C. ( ?5,?10)

A. ( ?2,?4)

6. 已知 a ? (2,3) , b ? (?1, 2) ,若 ka ? b 与 a ? kb 平行,则 k 等于( A. 1 7.已知 a B. -1 C.1 或-1 D.2

?

?

? ?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 8 . 已知 a ? (2, ?4) , b ? (?1,3) , c ? (6,5) , p ? a ? 2b ? c ,则以 a , b 为基底,求 p .

? (5,2) , a ? (?7,?2) ,则 4a ? 3b 的坐标为____________.

?

?

题型三 向量共线的证明及判定 例 5.已知 A(-1, -1), B(1,3), C(1,5) ,D(2,7) ,向量 AB 与 CD 平行吗?直线 AB 与平行于 直线 CD 吗?

题型四 向量共线求参数

? ? ? ? 例 6 已知 a ? (4, 2) , b ? (6, y ) ,且 a // b ,求 y .

练习: 1.若向量 a =(-1,x)与 b =(-x, 2)共线且方向相同,则 x 为________. 2.设 a ? ( ,sin ? ) , b ? (cos ? , ) , ? ? (0, 2? ) ,且 a // b ,求角 ? .

?

?

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3 2

?

1 3

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题型五 三点共线 例 2: 已知 A(?1, ?1) , B(1,3) , C (2,5) ,求证 A 、 B 、 C 三点共线.

例 3:设点 P 是线段 P1P2 上的一点, P1、P2 的坐标分别是(x1,y1),(x2,y2). (1) 当点 P 是线段 P1P2 的中点时,求点 P 的坐标; (2) 当点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时,求点 P 的坐标.

练习: 1.若 a =(2,3), b =(4,-1+y),且 a ∥ b ,则 y=( A.6 B.5 C.7 D.8 )?

?

?

?

?



2.若 A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则 x 的值为( A.-3 B.-1 C.1 D.3

3.若 AB =i+2j, DC =(3-x)i+(4-y)j(其中 i、 j 的方向分别与 x、 y 轴正方向相同且为单位向量). AB 与 DC 共线,则 x、y 的值可能分别为( A.1,2 B.2,2 ) D.2,4 .

C.3,2

4.已知 a =(4,2), b =(6,y),且 a ∥ b ,则 y=

? ?

? ?

? ?

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5.已知 a =(1,2), b =(x,1),若 a +2 b 与 2 a - b 平行,则 x 的值为

?

? ?

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2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及含义 【知识点归纳】 1.平面向量的数量级的概念:

2.平面向量数量积的几何意义:

3.向量数量积的性质:

【典型例题】 题型一 平面向量数量积的基本概念 例 1.给出下列命题: ①若|a|=|b|, 则 a=b 或 a=-b; ②|a·b|=|a||b|; ③a·b=0a=0 或 b=0; ④若 a∥b 且 b∥c,则 a∥c。其中正确命题的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 题型二 求向量的投影和数量积 )

b. 例 2.已知| a |=5, | b |=4, a 与 b 的夹角 θ=120o,求 a ·

练习:1.已知 a=(1,-2),b=(3,4),则 a 在 b 方向上的投影是______

b. 2.已知| a |=3,| b |=6,当① a ∥ b ,② a ⊥ b ,③ a 与 b 的夹角是 60° 时,分别求 a ·

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题型三 求向量的模 例 3.已知| a |=6, | b |=4, a 与 b 的夹角为 60o 求( a +2 b )· ( a -3 b )

练习: 1.已知| a |=2,| b |=1, a 与 b 之间的夹角为 A.2 B.2 3 C.6

? ,那么向量 m= a -4 b 的模为( 3
D.12



b ;(2)若 a 、 b 的夹角为60° 2.已知| a |=1,| b |= 2 ,(1)若 a ∥ b ,求 a · ,求| a + b |;(3)若 a - b 与
a 垂直,求 a 与 b 的夹角.

题型四 向量垂直的判定 例 4.已知| a |=3, | b |=4, 且 a 与 b 不共线,k 为何值时,向量 a +k b 与 a -k b 互相垂直.

题型五 求向量的夹角的余弦值 例 5.设 m、n 是两个单位向量,其夹角为60°,求向量 a =2m+n 与 b =2n-3m 的夹角.

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2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 【知识点归纳】 1.平面向量的数量积的坐标表示

2.平面向量的模的坐标表示

3.平面向量的夹角的坐标表示 (平行,垂直)

【典型例题】 题型一 向量数量积的坐标运算 例 1.a=(5,-7),b=(-6,-4),求 a 与 b 的 数量积为_____ 例 2.已知|a|=2,|b|=1,a 与 b 之间的夹角为 A.2

? ,那么向量 m=a-4b 的模为( 3
D.12



B.2 3

C.6

题型二 向量的夹角坐标运算 例 3.设 a=(2,1),b=(1,3),求 a·b 及 a 与 b 的夹角

例 4.已知向量 a=(-2,-1),b=(λ ,1)若 a 与 b 的夹角为钝角,则λ 取值范围是多少?

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题型三 向量的垂直 例 5.已知|a|=1,|b|= 2 ,且(a-b)与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角是( A.60° )

B.30°

C.135°

D.45°

, 例 6.已知, a ? (1,2),b ? (?3,2) 当 k 为何值时, (1) ka ? b与a ? 3b 垂直?

?

?

?

? ?

?

练习: 1.已知 a ? (?4,3), b ? (5, 6) 则 3 a ? 4a ? b= ( A.23 B.57 C.63 D.83 )

?

?

?2

? ?



? ? ? ?? 2.已知 a ? 3,4 ? ,b= ? ?5,12 ? 则 a与 b 夹角的余弦为(
A.

13 63 B. 65 C. D. 13 5 65 ? ? ? ? ? ? 3. a= ? 2,3? ,b=( ? 2,4), 则 a+b ? a-b = __________。 ? ? ? ? 3? 且a ? b 则 ?=__________。 4.已知 a= ? 2,1? ,b= ? ?, ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2a ? 3b ? a+2b = _______ 5. a=( ? 4,7);b=(5,2) 则 a ? b= _______ a =_____ ? 6.与 a= ? 3,4 ? 垂直的单位向量是__________

?

?? ?

?

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?

4 3 4 3 4 3 4 3 C.( , ? )或(- ,) B.(? ? ) 5, 5 5 5 5 5 5 5 4 3 4 3 ( , )或(- ,- ) D. 5 5 5 5 ? ? ? 7. a=(2,3),b=(-3,5) 则 a在 b 方向上的投影为_________
( , ) A.
8.A(1,2),B(2,3),C(2,0)所以 ? ABC 为( A.直角三角形 B.锐角三角形 ) D.不等边三角形 )

C.钝角三角形

9.已知 A(1,0),B(5,-2),C(8,4),D.(4.6)则四边形 ABCD 为( A.正方形 B.菱形 C.梯形 D. 矩形

10.已知点 A(1,2) ,B(4,-1),问在 y 轴上找点 C,使∠ABC=90?若不能,说明理由;若能,求 C 坐 标。
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2.5 平面向量应用举例 【知识点归纳】 1.向量的在几何中的运用:

【典型例题】 例 1.证明:平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和. 已知:平行四边形 ABCD. 求证: AC ? BD ? AB ? BC ? CD ? DA .
2 2 2 2 2 2

变式训练:?ABC 中, D、 E、 F 分别是 AB、 BC、 CA 的中点, BF 与 CD 交于点 O, 设 AB ? a, AC ? b. (1)证明 A、O、E 三点共线; (2)用 a, b. 表示向量 AO 。

??? ?

? ????

?

? ?

????

例 2.求等腰直角三角形两腰上的中线所构成的钝角的余弦值.

变式:已知 ?ABC中,a ? 2, b ? 3, C ? 60 ,求边长 c。
0

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