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浙江省温州市十校联合体2013-2014学年高二数学下学期期中联考试题新人教A版

2013 学年第二学期温州市十校联合体期中联考 高二数学试题卷
说明:本试卷满分 120 分,考试时间 100 分钟。学生答题时不可使用计算器。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) . 1.已知全集 U ? R, 集合A ? {x | lg x ? 0}, B ? {x | 2 x ? 1 }, 则A ? B ? A. (??,0] B. (??,1] C. [0,??) D. [1,??) ) D. ( ▲ )

2.两直线 3x ? y ? 3 ? 0 与 ax ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? ( ▲ A. ? 6
2

B. 6

C. ?

2 3

2 3
▲ )

3. “ x ? 1 ”是“ x ? x ? 0 ”的 A.充分而不必要条件
0.5

( C.充要条件

B.必要不充分条件

D. 既不充分也不必要条件

4.若 a ? 2 , b ? log π 3 , c ? log 2 sin

2π ,则 ( ▲ ) 5
C .c ? a ? b
D. b?c?a
( ▲ )

A. a ? b ? c

B. b?a?c
2

5.在 ?ABC中,若 AB ? BC ? AB ? 0, 则?ABC 是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 6.已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,则下列正确的是 A.若 m ∥ ? , n ∥ ? ,则 m ∥ n C.若 m ∥ ? , n ∥ ? ,则 ? ∥ ? 7.为了得到函数 y ? B.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ∥ ? D.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ∥ n

D. 等腰直角三角形 ( ▲ )

? 6 ? C. 向左平移 3
A. 向左平移

1 3 sin 2 x ? cos 2 x 的图象,可以将函数 y ? sin 2 x 的图象( ▲ ) 2 2 ? 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度 6 ? 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度 3
? 1 ? ? 的前 100 项和为( ▲ ) ? an an ?1 ?
D.

8.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a5 ? 5 , S5 ? 15 ,则数列 ?

A.

100 101

B.

99 101

C.

99 100

101 100

9.设双曲线 C:

x2 y2 ? ? 1 ( b ? a ? 0 )的左、右焦点分别为 F1,F2.若在双曲线的右支上存在 a2 b2
( ▲ )

一点 P,使得 |PF1|=3|PF2|,则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围为 A.(1,2) B. (1,2] C. ( 2,2)

D. ( 2,2]
1

10.定义在 (1,??) 上的函数 f ( x) 满足下列两个条件: ⑴对任意的 x ? (1,??) 恒有 f (2 x) ? 2 f ( x) 成立; ⑵当 x ? (1, 2] 时, f ( x) ? 2 ? x ; 记函数 g ( x) ? f ( x) ? k ( x ? 1) ,若函数 g ( x) 恰有两个零点,则实数 k 的取值范围是 A. ?1,2? B. ? , 2 ? ?3 ? ( ▲ )

?4 ?

C.

?4 ? ? 3 ,2 ? ? ?

D. ? ,2 ?

?4 ?3

? ?

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. 抛物线x 2 ? ?2 y的焦点坐标为 ▲ 。 ▲ 。

?x ? 2 ? 0 ? 12.若实数 x, y 满足不等式组 ? y ? 1 ? 0 ,则 x ? y 的最小值为 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
13. 若 x ? 0, y ? 0, x ? 3 y ? 1 ,则

1 1 的最小值为___▲__ 。 ? x 3y

14. 把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,形成三棱锥 C ? ABD 的正视图与俯视图如下图 所示,则二面角 C-AB-D 的正切值为 ▲ 。

主视图 15.若数列 ?an ? 的前 n 项和为 sn ?

俯视图

2 1 an ? , 则数列 ?an ? 的通项公式是 an =___ ▲______ 。 3 3 1 16.定义在 R 上的函数 f ( x)为奇函数,且f ( x)关于x ? 1对称,且x ? ( ?1, 0)时,f ( x)=2 x + ,则 5

f (log2 20) ? ___ ▲______ 。
17.如图,扇形 AOB 的弧的中点为 M ,动点 C , D 分别在线段 OA, OB 上, 且 BD ? 2OC. 若 OA ? 2 , ?AOB ? 120 ,则 MC ? MD 的取值范围 是___ ▲______ 。
?

(第 17 题)

三、解答题(本大题共 4 小题,共 52 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) .
2

18.(本小题 12 分)在锐角△ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 3a ? 2c sin A . (I)确定角 C 的大小; (II)若 c ?

7 ,且△ABC 的面积为

3 3 ,求 a ? b 的值。 2

19. (本小题 12 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是平行四边形, AD ? 2AB, ?ABC ? 60? , PA ? 面 ABCD , 且 PA ? AD. 若 E 为 PC 中点, F 为线段 PD 上的点,且 PF ? 2FD. (Ⅰ)求证: BE // 平面 ACF ; (Ⅱ)求 PC 与平面 PAD 所成角的正弦值.
P

E
A
C

F
D

B

(第 19 题)

20.(本题满分 14 分)
3

如图,已知圆 G:x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 ,经过椭圆 及上顶点 B,过圆外一点 (m,0)(m ? a) 倾斜角为

5? 的直线 l 交椭圆于 C,D 两点, 6

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F a2 b2

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若右焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的外部,求 m 的取值范围.
y

B C O F D x

(第 20 题)

21. (本题满分 14 分)

m ? 2 ( m 为实常数) . x (Ⅰ)若函数 y ? f ( x) 在区间 [2 , ? ?) 上是增函数,试用函数单调性的定义 求实数 m 的取值范围; ........
已知函数 f ( x) ? x ? (Ⅱ)设 m ? 0 ,若不等式 f ( x) ? kx 在 x ? ?

?1 ? , 1? 有解,求 k 的取值范围. ?2 ?

4

2013 学年第二学期温州市十校联合体期中考试 高二数学参考答案及评分标准 一、选择题(每小题 4 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 A 5 C 6 D 7 B 8 A 9 D 10 C

二、填空题(每小题 4 分,共 28 分)

(0, - ) 11.

1 2

12. 16. ?1

?1
17.

13. 4

14.

2

(-2) 15.

n ?1

? 2,3?

三、解答题(本大题共 4 小题,共 52 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 18. (本题满分 12 分)解: (1)∵ 3a ? 2c sin A ,由正弦定理得 3 sin A ? 2sin A sin C ,??2 分 ∵ sin A ? 0 ∴ sin C ?

? 3 ,又△ABC 为锐角三角形? C ? 3 2
3 3 , 2 1 3 3 , ab sin C ? 2 2

??6 分

(2)解 1:∵ c ?

7 ,且△ABC 的面积为

又由(1)知 C ?

?
3

,由面积公式得



1 ? 3 3 ab sin ? ,? ab ? 6 2 3 2
2 2

???????8 分

又由余弦定理得 a ? b ? 2ab cos

?
3

? 7 , 即 a 2 ? b2 ? ab ? 7
∴a ?b ? 5 ??12 分

∴ (a ? b)2 ? 3ab ? 7 , 即 (a ? b)2 ? 25 19. (本题满分 12 分)

解: (Ⅰ)证明 1:连接 BD 交 AC 于点 O,取 PF 中点 G ,连接 OF 、 BG 、 EG . 因为 O 、 F 分别是 DB 、 DG 的中点, 所以 OF // BG , 又
P
G

OF ? 面BEG

,所以 OF / /面BEG

??2 分

因为 E 、 G 分别是 PC 、 PF 的中点, 所以 EG // CF ,同理可得 CF / /面BEG 又 OF ??4 分
A
O

E

F H
D

CF ? F 所以,平面 BEG // 平面 ACF .
B

又因为 BE ? 平面 BEG ,故 BE // 平面 ACF . ??6 分 证明 2:作 AH 垂直 BC 交 BC 于 H 建立如图的空间直角坐标系 O-XYZ,令 AD=PA=2,则 AB=1

(第 19 题)

C

5

所以 A(0, 0, 0),B(

3 1 3 3 , - , 0), C( ,, 0),D(2, 0, 0),P(0, 0, 2), 2 2 2 2 3 3 4 2 ,,1),F(0,,) ??2 分 4 4 3 3

E 为 PC 中点, PF ? 2FD所以 E(

设 面

AFC

的 一 个 法 向 量 n ? ( x, y, z ) , 又

AC ? (

3 3 , , 0) 2 2

? 3 3 x? y ?0 ? ? AC ? n ? 0 ? ? 2 由? , ,即 ? 2 4 2 AF ? n ? 0 ? ? y? z ?0 ? ? 3 ?3
所以 ? 令

?x ? 3y ? 0 ? ? ?2 y ? z ? 0

y ? 1, 则x ? ? 3, z ? ?2, 所以n ? (? 3,1, ?2),
又BE ? (?

??4 分

3 5 3 5 3 5 , ,1) 所以 又BE ? n ? (? , ,1) ? (? 3,1, ?2) ? ? ? 2 ? 0 4 4 4 4 4 4
故 BE // 平面 ACF . ??6 分

所以 BE ? n

(Ⅱ)解 1:因为 BC ? 2 AB , ?ABC ? 60? ,所以 ?BAC ? 90? . 过 C 作 AD 的垂线,垂足为 H,则 CH ? AD , CH ? PA ,所以 CH ? 平面 PAD. 故 ? CPH 为 PC 与平面 PAD 所成的角. ????????9 分 设 AB ? 1 ,则 BC ? 2 , AC ? 3 , PC ? 7 , CH ? 所以 sin ?CPH ?
3 2

CH 21 ? ,即为所求. ????????12 分 PC 14 解 2:作 AH 垂直 BC 交 BC 于 H,建立如图的空间直角坐标系 O-XYZ,令 AD=PA=2,则 AB=1

C(

3 3 3 3 ,, 0),P(0, 0, 2),所以 PC=( ,, ? 2) 2 2 2 2

??8 分

, , 0, 0), 因为 AH ? 平面PCD ,所以面 PCD 的一个法向量为 n ? (1
令 PC 与平面 PAD 所成的角为 ? ,则

??10 分

6

sin ? ? cos PC,n ?

PC ? n | PC||n |

?

3 21 21 2 ? 故 PC 与平面 PAD 所成角的正弦值为 . ?? 14 14 9 3 ? ?4 4 4

12 分 20. (本题满分 14 分) 解:(Ⅰ)∵圆 G: x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 经过点 F、B. ∴F(2,0) ,B(0, 2 ) , ∴ c ? 2 ,b ?

2.
------------4 分

------------2 分∴ a ? 6 .故
2

x2 y2 椭圆的方程为 ? ? 1. 6 2
(Ⅱ)解 1:设直线 l 的方程为 y ? ?

3 ( x ? m)(m ? 6 ) . 3

? x2 y2 ? ?1 ? ?6 2 由? 消去 y 得 2x 2 ? 2mx ? (m 2 ? 6) ? 0 . ? y ? ? 3 ( x ? m) ? 3 ?
设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ? m , x1 x 2 ?

m2 ? 6 , ------------6 分 2

∴ y1 y 2 ? [?

3 3 1 m m2 . ( x1 ? m)] ? [? ( x2 ? m)] ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 3 3 3 3 3

∵ FC ? ( x1 ? 2, y1 ) , FD ? ( x2 ? 2, y2 ) , ∴ FC ? FD = ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? y1 y 2 =

4 (m ? 6) m2 ? x1 x2 ? ( x1 x2 ) ? ?4 3 3 3

2m( m ? 3) . 3
------------10 分

∵点 F 在圆 G 的外部,∴ FC ? FD ? 0 , 解得 m ? 0 或 m ? 3 .
2 2



2m( m ? 3) ? 0, 3
------------12 分

由△= 4m ? 8(m ? 6) ? 0 ,解得 ? 2 3 ? m ? 2 3 .又 m ?

6, 6 ?m?2 3.

?3 ? m ? 2 3 .

------------14 分

7

解 2:设直线 l 的方程为 y ? ?

3 ( x ? m)(m ? 6 ) . 3

? x2 y2 ? ?1 ? ?6 2 由? 消去 y 得 2x 2 ? 2mx ? (m 2 ? 6) ? 0 . ? y ? ? 3 ( x ? m) ? 3 ?
设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ? m , x1 x 2 ?

m2 ? 6 , ------------6 分 2

则 CD 的中点为 G(

m 3 , m) , 2 6

又 CD ? 1 ?

1 2 3 x1 ? x2 ? 3 3
CD 2 ?

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ?

2 3 12 ? m2 3

所以圆 G 的半径长

3 12 ? m2 3
2 2

3 2 ?m ? 又右焦点 F(2,0) ,所以 FG ? ? ? 2 ? ? m ?2 ? 36
? CD ? 因点 F 在圆 G 的外部,所以 FG ? ? ? , 2 ? ?
2 2

2m( m ? 3) 3 12 ? m2 ?m ? ?0 ,整理得 即? ? 2 ? ? m2 ? 3 3 ?2 ? 36
解得 m ? 0 或 m ? 3 .
2 2

2

------------12 分

由△= 4m ? 8(m ? 6) ? 0 ,解得 ? 2 3 ? m ? 2 3 .又 m ?

6, 6 ?m?2 3.
------------14 分

?3 ? m ? 2 3 .
21. (本题满分 14 分) (1)由题意,任取 x1 、 x2 ? [2 , ? ?) ,且 x1 ? x 2 , 则 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? x 2 ?

? ? x x ?m m m ? 0 ,??2 分 ? ( x2 ? x1 ) ? 1 2 ?2?? x1 ? ? 2 ? ? ? x1 x2 x2 x1 ? ?
?????4 分

因为 x2 ? x1 ? 0 , x1 x2 ? 0 ,所以 x1 x2 ? m ? 0 ,即 m ? x1 x2 ,

由 x2 ? x1 ? 2 ,得 x1 x2 ? 4 ,所以 m ? 4 .所以, m 的取值范围是 (?? , 4] .?6 分

8

(2)由 f ( x) ? kx ,得 x ? 因为 x ? ? 令t ?

m ? 2 ? kx , x
?????7 分

m 2 ?1 ? , 1? ,所以 k ? 2 ? ? 1 , x x ?2 ?

1 2 ,则 t ? [1 , 2] ,所以 k ? m t ? 2t ? 1 ,令 g (t ) ? mt2 ? 2t ? 1 , t ? [1 , 2] , x

于是,要使原不等式在 x ? ?

?1 ? . ??9 分 2] ) , 1 有解,当且仅当 k ? g (t )min ( t ? [1 , ?2 ? ?
2

1 1? 1 ? 因为 m ? 0 ,所以 g (t ) ? m? t ? ? ? 1 ? 图像开口向下,对称轴为直线 t ? ? ? 0 , m m ? m?
因为 t ? [1 , 2] ,故当 0 ? ? 当?

1 3 2 ? ,即 m ? ? 时, g (t )min ? g (2) ? 4m ? 5 ; m 2 3
?????13 分

1 3 2 ? ,即 ? ? m ? 0 时, g (t )min ? g (1) ? m ? 3 . m 2 3 2 综上,当 m ? ? 时, k ? [4m ? 5 , ? ?) ; 3 2 当 ? ? m ? 0 时, k ?[m ? 3 , ? ?) . ?????14 分 3

9