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高数第二章复习题解答

例 1 设f ( x)在x ? x0处可导,试求:
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) (1) lim x? x ?x
0
0

第二章

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) (2) lim h?0 h
解 lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f [ x0 ? (??x)] ? f ( x0 ) 解 lim ? lim x? x x? x ?x ? (??x) ? ? f ?( x0 )
0

f ( x0 ? h) ? f ( x0 ? h) [ f ( x0 ? h) ? f ( x0 )] ? [ f ( x0 ? h) ? f ( x0 )] ? lim h?0 h?0 h h f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) f ( x0 ? h) ? f ( x0 ) ? lim [ ? ] h?0 h h ? f ?( x0 ) ? (? f ?( x0 )) ? 2 f ?( x0 ).

1

第二章

例2 试确定f ( x)在x ? 0处的连续性与可导性。
(1) ?1 ? cos 2 x ? ,x ? 0 f ( x) ? ? x ? 0, x?0 ?

1 ? cos 2 x 2 sin 2 x sin x 解 lim ? lim ? 2 lim sin x ? 0 ? f (0), x?0 x?0 x?0 x x x f ( x) ? f (0) 1 ? cos 2 x 2 sin 2 x f ?(0) ? lim ? lim ? lim ? 2, 2 2 x?0 x ? 0 x ? 0 x x x 所以,f ( x)在x ? 0处连续且可导。

(2)


?x 2 , x ? 0 f ( x) ? ? ?cos x, x ? 0
所以, f ( x)在x ? 0处不连续,从而 f ( x)在x ? 0处也不可导。 2
x?0?

lim f ( x) ? lim x 2 ? 0, lim f ( x) ? lim cos x ? 1,
x?0? x?0? x?0?

第二章

?x2 , x ? 1 例3 设f ( x) ? ? ,已知f ( x)在x ? 1处可导, ?ax ? b, x ? 1 试确定常数a和b的值。
解 由f ( x)在x ? 1处可导可知f ( x)在x ? 1处必连续,从而有 lim x 2 ? lim (ax ? b), 即 a ? b ? 1.
x?1? x?1?

x2 ? 1 ? (1) ? lim f? ? lim ( x ? 1) ? 2, x?1 x ? 1 x?1 (ax ? b) ? 1 [ax ? (1 ? a )] ? 1 ? (1) ? lim f? ? lim x?1 x?1 x ?1 x ?1 a ( x ? 1) ? lim x?1 x ?1 ? a, 因为f ( x)在x ? 1处可导,所以a ? 2, 于是b ? 1 ? a ? ?1.
? ? ? ? ?

3

?ln(1 ? x 3 ), x ? 0 ? 例4 设f ( x) ? ? 2 , 求f ?( x). 1 ? x sin , x ? 0 x ?

第二章

? 3x 2 1 1 1 2 ? 解 当x ? 0时,f ?( x) ? ; 当 x ? 0 时 , f ( x ) ? 2 x sin ? x cos ( ? ) 3 2 x x x 1? x 1 1 1 ? 2 x sin ? cos . 当x ? 0时,因为 lim ln(1 ? x 2 ) ? lim x 2 sin ? 0 ? f (0), x?0 x?0 x x x 所以f ( x)在x ? 0处连续, f ( x ) ? f ( 0) ln(1 ? x 3 ) ? x3 ? (0) ? lim f? ? lim ? lim ? 0, ( x ? 0时, ln(1 ? x) ~ x) x?0 x ? 0 x ? 0 x x x 1 x 2 sin f ( x ) ? f ( 0) x ? lim x sin 1 ? 0, (lim x ? 0, sin 1 ? 1), ? (0) ? lim f? ? lim x?0 x?0 x?0 x?0 x x x x ? 3x 2 , x?0 ? ? x3 ? 1 即f ?(0) ? 0,由此可得 f ?( x) ? ? . ?2 x sin 1 ? cos 1 , x ? 0 ? ? x x
? ? ? ? ? ? ? ?

4

例5 求下列函数的导数:
(1)


第二章

3e f ( x) ? 2 ? 3 x ? 3 x ? 3 x x
?2 x
13 27

x

f ?( x) ? 3( x e )? ? ( x )? ? 3(?2 x e ? x e ) ? ? 3e ( x ? 2) x
x ?3

?3 x

?2 x

?

13 27

x .

? 14 27

13 27

x

? 14 27

(2)


x cos x f ( x) ? 1 ? sin x
( x cos x)?(1 ? sin x) ? x cos x(1 ? sin x)? f ?( x) ? (1 ? sin x) 2 (cos x ? x sin x)(1 ? sin x) ? x cos2 x ? (1 ? sin x) 2 x ? cos x ? . 1 ? sin x
5

(3)

f ( x) ? e


sin 2
sin 2

1 x
1 1 1 cos (? 2 ) x x x
sin 2 1 x.

第二章

f ?( x) ? e

1 x 2 sin

1 2 ? ? 2 sin e x x

(4)

f ( x) ? ln( x ? 1 ? x )
解 f ?( x) ? ? 1 2x (1 ? ) 2 2 2 1? x x ? 1? x 1 1 ? x2 ? x 1 ? x2 1

2

x ? 1 ? x2 1 ? . 2 1? x

6

(5)


x f ( x) ? sin x cos 32 x 2
3 2

第二章
3

f ?( x) ? (3 sin x cos x) cos

x x 1 ? sin x(2 cos (? sin ) ) 3 3 3 3 x 2 x x ? 3 sin 2 x cos x cos2 ? sin 3 x sin cos 3 3 3 3 1 3 2x 2 2 x ? 3 sin x cos x cos ? sin x sin . 3 3 3

(6)

f ( x) ? x sin x ( x ? 0)

解 利用对数微分法 ln f ( x) ? sin x ln x, f ?( x) 1 ? cos x ln x ? sin x, f ( x) x 1 ? sin x ? f ?( x) ? x ? cos x ln x ? sin x ?. x ? ?
7

(7 )

? x ? 3 2 x ? 1 ? sin 2 x ? f ( x) ? ? ? ? ex 2 ? x ?1 ?
解 利用对数微分法 1 ln( x 2 ? 1) ? x, ln f ( x) ? ln x ? 1 ln 2 x ? 1 ? ln sin 2 x ? 3 2 f ?( x) 1 2 2 cos 2 x x ? ? ? ? 2 ? 1, f ( x) x 3(2 x ? 1) sin 2 x x ?1 ? x ? 3 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 1 2 x ? ? f ?( x) ? ? ( ) ? ? 2 cot 2 x ? ? 1 ? ? ? e x ? x 3(2 x ? 1) 2 2 x ?1 ? ? ? x ?1 ?

第二章

(8)


f ( x) ? x ? (cos x) ? 2

x

x

x

f ?( x) ? x x [ln x x ]? ? (cos x) x [ln(cos x) x ]? ? (2 x )? ? x x ( x ln x)? ? (cos x) x ( x cos x)? ? 2 x ln 2 sin x x x ? x (ln x ? 1) ? (cos x) (ln cos x ? x ) ? 2 x ln 2 cos x ? x x (ln x ? 1) ? (cos x) x (ln cos x ? x tan x) ? 2 x ln 2.

8

第二章

例6 求下列参量方程所确定 函数的一、二阶导数。

? x ? 2t ? 1 (1) ? 3 ?y ? t
dy 3t 2 解 ? dx 2
2

? x ? ln(1 ? t 2 ) (2) ? ? y ? t ? arctan t
1 1? 2 dy t 1 ? t 解 ? ? , 2t dx 2 1? t2 1 2 d2y 1 ? t 2 ? ? . 2 2t 4t dx 1? t2

d y ? 2 ( 2t ? 1)? dx 3t ? . 2

? ?
3 2 t 2

?

9

第二章

例7 求曲线xe ? y ? 1在点(1,0)处的切线及
y

法线方程 .
解 将xe y ? y ? 1两边对x求导,得 e y ? xe y y ? ? y ? ? 0, ? ey y? ? , y 1 ? xe 1 y ? x?1 ? ? . 2 y ?0 切线方程为 y ??1 ( x ? 1), 2 法线方程为 y ? 2( x ? 1).
10

? ? x ? 3t ? 2t ? 3 例8 求曲线? y 在t ? 0处的切线方程 . ? ?e sin t ? y ? 1 ? 0
2

第二章

解 当 t ? 0时,x ? 3, y ? 1, 将方程e y sin t ? y ? 1 ? 0两边对t求导,得 dy y dy y e sin t ? e cos t ? ? 0, dt dt dy e y cos t dx 则 ? , 而 ? 6t ? 2, y dt 1 ? e sin t dt e y cos t dy 1 ? e y sin t e y cos t 于是 ? ? , y dx 6t ? 2 (6t ? 2)(1 ? e sin t ) dy e ? . t ?0 dx 2 所以,曲线在t ? 0处得切线方程为 e y ? 1 ? ( x ? 3). 2

11

例9 设y ? f ( x)由方程x ? y ? 6 x ? 3 y ? 0所确定,
3 3

第二章

求y?及y?? x ?2 .
解 将方程两边对x依次求一阶与二阶导数 得 x 2 ? y 2 y ? ? 2 ? y ? ? 0, 2 x ? 2 yy ?y ? ? y 2 y ?? ? y ?? ? 0. x2 ? 2 由第一个等式得 y? ? . 2 1? y 由第二个等式得 2 2 ? ? ? ? x ? 2 ? ? ? 2 x ? y? ?1 ? y2 ? ? ? 2 ? ? ? 2( x ? yy ? ) ? y ?? ? ? 2 1? y 1 ? y2 2 2 2 2 2 ? [ x ( 1 ? y ) ? y ( x ? 2 ) ]. 2 3 (1 ? y ) 当x ? 2时,从方程x 3 ? y 3 ? 6 x ? 3 y ? 0解出y ? ?1, 代入y ??得 y ?? x?2 ? 3.

12

例10 求下列函数的二阶导数 ,其中f ( x) 二阶可导。

第二章

(1)

y ? f (x )

2

解 y? ? 2 xf ?( x 2 ) y?? ? 2 f ?( x 2 ) ? 4 x 2 f ??( x 2 ).

(2)


y ? f [ f ( x)]
y? ? f ?[ f ( x)] f ?( x), y ?? ? f ??[ f ( x)][ f ?( x)]2 ? f ?[ f ( x)] f ??( x).

13

1 例11 求f ( x) ? 2 的n阶导数。 x ? 5x ? 6
解 1 1 1 f ( x) ? ? ? , ( x ? 3)(x ? 2) x ? 2 x ? 3 ?1 ?1 ? f ( x) ? ? , 2 2 ( x ? 2) ( x ? 3) 2! 2! f ??( x) ? ? , 3 3 ( x ? 2) ( x ? 3) ? 3! ? 3! f ???( x) ? ? , ??? , 4 4 ( x ? 2) ( x ? 3)
n n ( ? 1 ) n ! ( ? 1 ) n! (n) f ( x) ? ? n ?1 ( x ? 2) ( x ? 3) n ?1

第二章

14

x ( 28 ) 例12 设f ( x) ? sin ? cos 2 x, 求f (? ). 2
解 由n阶导数公式 1 n x n? n? (n) n f ( x) ? ( ) sin( ? ) ? 2 cos(2 x ? ) 2 2 2 2 故 1 ? 28? 28? f ( 28) (? ) ? ( ) 28 sin( ? ) ? 2 28 cos(2? ? ) 2 2 2 2 1 28 ? ? ( ) sin( ? 14? ) ? 2 28 cos(2? ? 14? ) 2 2 1 28 ? ( ) ? 2 28. 2

第二章

15

例13 求下列函数y ? y( x)在任意点处的微分 dy及在 x ? 1处的微分dy x ?1.

第二章

(1)

y ? ( x ? 1) ? arctan x
1 ? [( x ? 1) (ln( x ? 1) )? ? ]dx 2 1? x 1 ? ? 2 x 2 ? ? ?( x ? 1) ( x ln( x ? 1)) ? dx 2? 1? x ? ? ? 2 2x2 ? 1 ? x? 2 ? ?( x ? 1) ? ? ln( x ? 1) ? 1 ? x 2 ? ? ? 1 ? x 2 ? dx ? ? ? ? ?5 ? dy x?1 ? 2? ? ln 2 ?dx. ?4 ?
2 x 2 x

2

x

解 dy ? [( x 2 ? 1) x ? arctan x]?dx

16

第二章

( 2)

x ? y ? 3x ? y ? 8
解 5 x 4 dx ? 3 y 2 dy ? 3dx ? dy ? 0, 于是得 5x 4 ? 3 dy ? 2 dx, 3y ? 1 当x ? 1时, y ? ?2, 5x 4 ? 3 dy x?1 ? 2 x ?1 3 y ? 1 y ??2 y ??2 2 ? dx. 13
17

5

3

往届考试真题
f 2 ( x ? h) ? f 2 ( x ) ?( 例1 设 f ( x) 可微,则 lim h?0 h

第二章



解:

' f 2 ( x ? h) ? f 2 ( x ) 2 lim ? f ( x) ? 2 f ? x ? f ' ? x ? h ?0 h

?

?

? e ax , x ? 0 例2 设函数 f ? x ? ? ? 在 x ? 0 处可导,则a = , b? 2 ?b 1 ? x , x ? 0

?

?

解:a ? 0, b ? 1
例3 已知r=??,其中(r, ?)为点(x, y)的极坐标,?为

dy 常数,求微分dy, dx,并求 dx

解:由于x=rcos?=a?cos?, y=rsin?=a?sin?, 则 dy sin ? ? ? cos ? dx=a(cos???sin?)d?, dy=a(sin?+?cos?)d?, ? dx cos ? ? ? sin ?

18

dx y 2 2 例4 已知arctan ? ln x ? y ,求 . x dy

第二章

y 1 解: arctan ? ln(x 2 ? y 2 ) ,两边对y求导有 x 2
1 1? y
2

?

x? y x2

dx dy

? ? 1 1 d x ? 2x ? ? ? 2 ? 2y? 2 ? ? 2 x ?y ? dy ?

dx dx x? y ? x? ? y dy dy

x2

dx x ? y ? dy x ? y

2 2 例5 设 f ( x) ? ( x ? a ) g ( x), 其中 g ( x) 在 x ? a 处连续,则 f ?(a) ??

lim f ( x) ? f(a) lim 解:f ?(a) ? ? ( x ? a) g ( x) ? 2ag(a) x?a x?a x?a
19

例6 设函数 ? ?x ? 在?? ?,??? 有定义,且二阶导存在,选择 a, b, c, 使函数 x ? x0 ? ?? ? x ? 在 x ? x0 处二阶可导。 f ? x? ? ? 2 a x ? x x ? x0 ? 0 ? ? b ? x ? x0 ? ? c ? ?
解:由 f ?x? 在 x ? x0 处连续得

第二章

lim

lim f ?x ? ? lim ? ?x ? ? ? ?x ?
' f 由 ?x0 ? 存在得 2 f ?x0 ? ?x ? ? f ?x0 ? a??x ? ? b??x ? ? c ? c ? lim ?b lim ?x ?x ?x ?0 ? 0 ?x ?0 ? 0 f ?x0 ? ?x ? ? f ?x0 ? ? ?x0 ? ?x ? ? ? ?x0 ? ' ?x0 ? ? ? ? lim lim ?x ?x ?x ?0 ?0 ?x ?0 ?0 ? b ? ? ' ?x0 ?

x ? x0 ?

f ? x ? ? lim a? x ? x0 ? ? b? x ? x0 ? ? c ? c
2 x ? x0 ? x ? x0 ? 0

? c ? ? ? x0 ?

x ? x0 ?

20

' ? ? ? x ?, x ? x0 '' ' 由 f ?x0 ? 存在,∵ f ? x ? ? ? ? 2 a ? x ? x 0 ? ? b, x ? x 0

第二章

f ?'' ?x0 ? ? f ?x0 ? ?
'' ?

?x ?0 ? 0

lim

?x 1 ? 2 ? x si n , x ? 0 例7 函数 f ( x ) ? ? 在x ? 0 处( A ) x ? x?0 ? 0,
?x ?0 ? 0

lim

? ' ?x0 ? ?x ? ? ? ' ?x0 ?

f ' ?x0 ? ?x ? ? f ' ?x0 ? 2a?x ? b ? b ? lim ? 2a ?x ?x ?x ?0 ? ? ?x0 ?
''

?a ?

? ' ' ?x0 ?
2

(A) 连续, 且可导; (B) 连续, 不可导; (C) 不连续; (D) 导数连续 。 例8 函数 f ? x ? ?
n ?1

n! n n! n n! n n! ?? 1? n ;( B) ?? 1? n ;( C) ?? 1? n?1 ;( D)?? 1? n?1 (A) 2 2 2 2 2 f ( x) 例9 设 f ( x) 可导, ? ( x) ? [ f ( x)] e , 求 ? ?( x)

1? x 在x=1处的n阶导数 f ?n ? ?1? ?( B ) 1? x

? ?( x) ? 2 f ( x) f ?( x)e f ? x ? ? [ f ( x)]2 e f ( x) f ?( x) ? f ( x)e f ( x) [2 ? f ( x] f ?( x)

21


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