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2015-2016学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末过关检测 新人教A版选修2-1

第二章

圆锥曲线与方程

(测试时间:120 分钟 评价分值:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求) 1.中心在原点,实轴在 x 轴上,一个焦点在直线 3x-4y+12=0 上的等轴双曲线方程 是( ) A.x -y =8 C.y -x =8
2 2 2 2

B.x -y =4 D.y -x =4
2 2 2 2

2

2

1.解析:焦点为(-4,0),∴2a =16,∴a =8. 答案:A 2.(2015·北京理科)已知双曲线 2-y =1(a>0)的一条渐近线为 3x+y=0,则 a= ( ). A. 3 B. 3 2 C. 2 2
2

x2 a

2

D.

3 3

x 1 2 2.解析:双曲线 2-y =1(a>0)的渐近线方程为 y=± x, 3x+y=0? y=- 3x, a a
1 3 ∵a>0,则- =- 3,a= . a 3 答案:D 3. (2014·北京市西城区上学期期末)若曲线 ax +by =1 为焦点在 x 轴上的椭圆, 则实 数 a,b 满足( A.a >b
2 2 2 2

) 1 1 B. <

a b

C.0<a<b D.0<b<a
2 2

x y 1 1 3.解析:将椭圆方程变为 + =1,由已知得 > >0,所以 0<a<b.故选 C. 1 1 a b a
答案:C 4.抛物线 y =4x 的焦点到双曲线 x - =1 的渐近线的距离是( 3 A. 1 3 B. 2 2 C.1 D. 3
2 2 2 2

b

y2

)

4.解析:抛物线 y =4x 的焦点 F(1,0),双曲线 x - =1 的渐近线是 y=± 3x,即 3 | 3±0| 3 3x±y=0,所以所求距离为 = .故选 B. 2 3+1

y2

1

答案:B 5.已知 M(-2,0),N(2,0),则以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点 P 的轨迹方程 是( ) A.x +y =2 B.x +y =4 C.x +y =2(x≠±2)
2 2 2 2 2 2

D.x +y =4(x≠±2)
2 2

2

2

5.解析:依题意 P 在以 MN 为直径的圆上.根据圆的性质知顶点 P 的轨迹方程是 x +y =4(x≠±2). 答案:D

6.(2015·福建三明 5 月质检)抛物线 y +4x=0 上的点 P 到直线 x=2 的距离等于 4, 则 P 到焦点 F 的距离|PF|( A.1 B.2 C.3 D.4 6.解析:抛物线 y +4x=0 的准线为 x=1,因为抛物线 y +4x=0 上的点 P 到直线 x =2 的距离等于 4,所以抛物线 y +4x=0 上的点 P 到准线为 x=1 的距离为 3,根据抛物线 的定义知,P 到焦点 F 的距离|PF|=3.故选 C. 答案 :C
2 2 2

2

)

x2 y2 7 .双曲线 2 - 2 = 1(a>0 , b>0) 的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是 a b
( ) A.2 B. 3 C. 2 3 D. 2

7.解析:双曲线 2- 2=1 的两条渐近线方程为 y=± x,依题意 ·(- )=-1,故 =1,所以

x2 y2 a b

b a

b a

b a

b2 a2

c2-a2 2 =1 即 e =2,所以双曲线的离心率 e= 2.故选 C. a2

答案:C 8.(2014·大纲全国卷)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,离心 率为 3 ,过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点,若△AF1B 的周长为 4 3,则 C 的方程为( 3 )

x2 y2 a b

A. + =1 3 2 C. + =1 12 8

x2 y2 x2

B. +y =1 3 D. + =1 12 4

x2

2

y2

x2

y2

8. 解析: 根据题意, 因为△AF1B 的周长为 4 3, 所以|AF1|+|AB|+|BF1|=|AF1|+|AF2| +|BF1|+|BF2|=4a=4 3,所以 a= 3.又因为椭圆的离心率 e= =

c a

3 2 ,所以 c=1,b = 3

2

x2 y2 a2-c2= 3-1=2,所以椭圆 C 的方程为 + =1.
3 2 答案:A 9.已知圆(x+2) +y =36 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点,N(2,0),线段 AN 的垂直 平分线交 MA 于点 P,则动点 P 的轨迹是( )
2 2

A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 9.解析: 点 P 在线段 AN 的垂直平分线上, 故|PA|=|PN|,又 AM 是圆的半径,所以|PM| +|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,由椭圆的定义知,点 P 的轨迹是椭圆.故选 B. 答案:B 10.(2015·黑龙江省大庆一 中下学期第二阶段考试)椭圆 + =1 的左、右焦点分别 25 16 为 F1、F2,弦 AB 过 F1 点,若△ABF2 的内切圆周长为π ,A、B 两点的坐标分别为(x1,y1)、 (x2,y2),则|y1-y2|的值为( A. 5 3 10 B. 3 20 C. 3 5 D. 3 )

x2

y2

1 2 2 10.解析:椭圆中 a=5,b=4,所以 c= a -b =3,由已知内切圆半径为 r= ,故 S 2 1 1 5 △ABF2= ×4a×r=5= ×2c·|y1-y2|=3|y1-y2|,所以|y1-y2|的值为 .故选 D. 2 2 3 答案:D 11.若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点, 4 3 → → 则OP·FP的最大值为( )

x2 y2

A.2 B.3 C.6 D.8 11.解析:由椭圆 + =1 可得点 F(-1,0),点 O(0,0),设 P(x,y),-2≤x≤2, 4 3 1 → → 2 → → ? x? 1 则OP· FP=x +x+y2=x2+x+3?1- ?= x2+x+3= (x+2)2+2, 当且仅当 x=2 时, OP· FP 4 ? 4? 4 取得最大值 6.故选 C. 答案:C
2

x2 y2

x2 y2 12.(2015·福建文科)已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F.短轴的一个端点 a b
为 M,直线 l:3x-4y=0 交椭圆 E 于 A,B 两点.若|AF|+|BF|=4,点 M 到直线 l 的距离 4 不小于 ,则椭圆 E 的离心率的取值范围是( 5 A.?0, )

? ?

3? ? 2?

? 3? B.?0, ? ? 4?

C.?

? 3 ? ?3 ? ,1? D.?4,1? ? ? 2 ? ?
3

12. 解析: 设左焦点为 F, 连接 AF1,BF1.则四边形 BF1AF 是平行四边形, 故|AF1|=|BF|, 所以|AF|+|AF1|=4=2a,所以 a=2,设 M(0,b)则 4b 4 2 2 ≥ ,故 b≥1,从而 a -c ≥1,0< 5 5

c2≤3,0<c≤ 3,所以椭圆 E 的离心率的取值范围是?0,
答案:A

? ?

3? ?,故选 A 2?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 13.过点(2,4)作直线与抛物线 y =8x 只有一个公共点,这样的直线有________条. 13.2 14.若椭圆 x +my =1 的离心率为
2 2 2 2 2

3 ,则它的长半轴长为________. 2
2 2

y x a -b 3 1 1 2 2 14.解析:当 0<m<1 时, + =1,e = 2 =1-m= ,m= ,a = =4,a=2; 1 1 a 4 4 m m
当 m>1 时, + =1,a=1. 1 1

x2 y2 m

答案:1 或 2 15 .以等腰直角△ABC 的两个顶点为焦点,并且经过另一顶点的椭圆的离心率为 ________. 15.解析:设椭圆的长半轴长为 a,短半轴长为 b,半焦距为 c,当以两锐角顶点为焦 点时,因为三角形为等腰直角三角形,故有 b=c,此时可求得离 心率 e= =

c a

c b +c
2 2



c
2c



2 ;同理,当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时,设直角边长为 m,故有 2c=m,2a= 2

c 2c m (1+ 2)m,所以,离心率 e= = = = 2-1. a 2a (1+ 2)m
答案: 2 或 2 -1 2

16.(2014·辽宁卷)已知椭圆 C: + =1,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关于 C 的焦 9 4 点的对称点分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|=________. 16.解析:取 MN 的中点为 G,点 G 在椭圆 C 上.设点 M 关于 C 的焦点 F1 的对称点为 A, 1 1 点 M 关于 C 的焦点 F2 的对称点为 B,则有|GF1|= |AN|,|GF2|= |BN|,所以|AN|+|BN|= 2 2 2(|GF1|+|GF2|)=4a=12. 答案:12

x2 y2

4

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 11 分)已知双曲线与椭圆 + =1 有公共的焦点,并且椭圆的离心 36 49 3 率与双曲线的离心率之比为 ,求双曲线的方程. 7

x2

y2

x y 13 17.解析:椭圆 + =1 的焦点为(0,± 13),离心率为 e1= . 36 49 7
由题意可知双曲线的焦点为(0,± 13), 离心率 e2= 13 ,所以双曲线的实轴长为 6. 3

2

2

所以双曲线的方程为 - =1. 9 4 18.(本小题满分 11 分)自抛物线 y =2x 上任意一点 P 向其准线 l 引垂线, 垂足为 Q, 连 接顶点 O 与 P 的直线和连接焦点 F 与 Q 的直线交于 R 点,求 R 点的轨迹方程.
2

y2 x2

18.解析:设 P(x1,y1)、R(x,y),则

? ? ? ? Q?- ,y1?、F? ,0?,
1 ? 2

?

1 ?2

?

∴OP 的方程为 y= x,①

y1 x1

FQ 的方程为 y=-y1?x- ?,② 2

? ?

1?

?

2x 2y 1 联立①②解得 x1= ,y1= ,且 x≠ , 1-2x 1-2x 2 代入 y =2 x,可得 y =-2x +x. 故所求 R 点的轨迹方程为
2 2 2

y2=-2x2+x?x≠ ?. 2

? ?

1?

?

19. (本小题满分 12 分)在直角坐标系 xOy 中, 以 O 为圆心的圆与直线 x- 3y=4 相切. (1)求圆 O 的方程; → → (2)圆 O 与 x 轴相交于 A, B 两点, 圆内的动点 P 使|PA|, |PO|, |PB|成等比数列, 求PA· PB 的取值范围. 19.解析:(1)依题设,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x- 3y=4 的距离, 即 r= |-4| =2. 1+3

5

得圆 O 的方程为 x +y =4. (2)不妨设 A(x1,0),B(x2,0),x1<x2. 由 x =4 即得 A(-2,0),B(2,0). 设 P(x,y),由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得 (x+2) +y · (x-2) +y =x +y , 即 x -y =2. →
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

PA·PB=(-2-x,-y)·(2-x,-y)
=x -4+y =2(y -1). 由于点 P 在圆 O 内,故? 由此得 y <1. → → 所以PA·PB的取值范围为[-2,0).
2 2 2 2



?x +y <4, ? ? ?x -y =2,
2 2

2

2

20. (本小题满分 12 分)(2014·江淮协作体 4 月联考)已知直线 x+y-1=0 与椭圆 2+

x2 a

y2 → → =1(a>b>0)相交于 A,B 两点,点 M 是线段 AB 上的一点,AM=-BM,且点 M 在直线 l:y b2
1 = x 上. 2 (1)求椭圆的 离心率; (2)若椭圆的焦点关于直线 l 的对称点在单位圆 x +y =1 上,求椭圆的方程. → → 20. 解析: (1)由AM=-BM知 M 是 AB 的中点, 设 A、 B 两点的坐标分别为 A(x1, y1), B(x2,
2 2

y2), x+y-1=0, ? 2 ? 2 2 2a 2 2 2 2 2 2 2 由?x y 得(a +b )x -2a x+a -a b =0,则 x1+x2= 2 ,y1+y2=-(x1+ a +b2 2+ 2=1 ? ?a b
2b x2)+2= 2 2, a +b 所以 M 点的坐标为(
2

a2 a2+b

2,

b2

a2+b2
2

),
2

又 M 点的直线 l 上:所以
2 2 2 2

a2 a +b
2



2b =0, a +b2
2

所以 a =2b =2(a -c ),

6

所以 a =2c ,得 e= =

2

2

c a

2 . 2

1 ( 2)由(1)知 b=c,根据对称性,不妨设椭圆的右焦点 F(b,0)关于直线 l:y= x 的对 2 称点为(x0,y0),

y -0 1 3 · =-1, x = b, ? ? ?x -b 2 ? 5 则有? 解得? x +b y 4 -2· =0 y = b, ? ? ? 2 ? 5 2
0 0 0 0 0 0

3 2 4 2 2 2 2 由已知 x0+y0=1,所以( b) +( b) =1,得 b =1, 5 5 所以所求的椭圆的方程为 +y =1. 2

x2

2

21.(本小题满分 12 分)直线 y=kx+m(m≠0)与椭圆 W: +y =1 相交于 A,C 两点,O 4 是坐标原点. (1)当点 B 的坐标为(0,1),且四边形 OABC 为菱形时,求 AC 的长; (2)当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时,证明四边形 OABC 不可能为菱形.

x2

2

21.(1)解析:因为四边形 OABC 为菱形,所以 AC 与 OB 相互垂直平分.

t2 1 ? 1? 所以可设 A?t, ?,代入椭圆方程得 + =1,即 t=± 3.所以|AC|=2 3. 4 4 ? 2?
(2)证明:假设四边形 OABC 为菱形. 因为点 B 不是 W 的顶点,且 AC⊥OB,所以 k≠0. 由?
?x +4y =4, ? ? ?y=kx+m
2 2

消去 y 并整理得(1+4k )x +8kmx+4m -4=0.

2

2

2

设 A(x1,y1),C(x2,y2),则

x1+x2
2

4km y1+y2 x1+x2 m =- =k· +m= 2, 2. 1+4k 2 2 1+ 4k

? 4km 2, m 2?. 所以 AC 的中点为 M?- ? ? 1+4k 1+4k ?
1 因为 M 为 AC 和 OB 的交点,且 m≠0,k≠0,所以直线 OB 的斜率为- . 4k

? 1? 因为 k·?- ?≠-1,所以 AC 与 OB 不垂直. ? 4k?
所以 OABC 不是菱形,与假设矛盾. 所以当点 B 在 W 上且不是 W 的顶点时, 四边形 OABC 不可能是菱形.

7

22.(本小题满分 12 分)(2014·新课标全国卷Ⅱ)设 F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a >b>0)的左、右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4 (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 ,且|MN|=5|F1N|,求 a,b. 3 |MF2| 3 22.解析:(1)因为直线 MN 的斜率为 ,所以 = , 4 |F1F2| 4

x2 y2 a b

b2 因为 点 M 的横坐标为 c,代入椭圆方程得|MF2|= , a
所以 ×

b2 1 3 2 2 2 = ,又 a =b +c , a 2c 4

c 1 2 联立消去 b,将 e= 代入,可得 2e +3e-2=0,解得 e= , a 2
1 所以椭圆 C 的离心率为 . 2 (2)由题意,原点 O 为线段 F1F2 的中点,MF2 平行于 y 轴,所以线段 MF1 与 y 的交点 D(0,

b2 2 2)是线段 MF1 的中点,故 =4,即 b =4a.① a
由|MN|=5|F1N|得|F1D|=2|F1N|. 设 N(x1,y1),由题意得 y1<0,

? ? ?2(-c-x1)=c, ?x1=- c, 2 则? 即? ?-2y1=2, ? ?
3

?y1=-1.

9c 1 代入椭圆 C 方程,得 2+ 2=1,② 4a b 9(a -4a) 1 2 将①及 c =a -b 代入②得 + =1,解得 a=7,b =4a=28, 2 4a 4a
2 2 2 2

2

所以 a=7,b=2 7.

8