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广东省粤西“四校”2016届高三(上)第一次联考数学试卷(理科)(解析版)


2015-2016 学年广东省粤西“四校”高三(上)第一次联考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 A={1,2, },集合 B={y|y=x2,x∈A},则 A∩B=( )

A.{ } B.{2} C.{1} D.?

2.在复平面内,复数 z= A. B. C.

的共轭复数的虚部为( D.



3.下列命题中的假命题是( A.?x∈R,log2x=0



B.?x∈R,x2>0 C.?x∈R,tanx=0 D.?x∈R,3x>0

4.若程序框图如图所示,则该程序运行后输出 k 的值是(



A.4

B.5

C .6

D.7

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5.已知 A.

,则下列不等式一定成立的是( B.



C.ln(a﹣b)>0 D.3a﹣b<1

6.下列函数既是奇函数,又在区间[﹣1,1]上单调递减的是( A.f(x)=sinx B.f(x)=ln D.f(x)=



C.f(x)=﹣|x+1|

7.已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+asinax 的图象不可能是(



A.

B.

C.

D.

8.已知点 Q(5,4),若动点 P(x,y)满足

,则 PQ 的最小值为(



A.

B.

C .5

D.以上都不对

9.已知实数 4,m,9 构成一个等比数列,则圆锥曲线 A. B. C. 或 D. 或 7

的离心率为(



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10.某三棱锥的三视图如图所示,图中网格小正方形的边长为 1,则该三棱锥的体积为(



A.5

B.4

C .3

D.2

11.定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x≥0 时,f(x)= F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的所有零点之和为( A.3a﹣1 B.1﹣3a C.3﹣a﹣1 D.1﹣3﹣a )

,则关于 x 的函数

12.已知 f(x)=

,g(x)= (k∈N*),对任意的 c>1,存在实数 a,b 满足 0<a<b<c,使得 f )

(c)=f(a)=g(b),则 k 的最大值为( A.2 B.3 C .4 D.5

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.在等比数列{an}中,a1=8,a4=a3?a5,则 a7= .

14.设 A=37+C7235+C7433+C763,B=C7136+C7334+C7532+1,则 A﹣B=



15.已知矩形 A BCD 的周长为 18,把它沿图中的虚线折成正六棱柱,当这个正六棱柱的体积最大时,它 的外接球的表面积为 .

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16.设 x,y 为实数,若 4x2+y2+xy=1,则 2x+y 的最大值是



三、解答题:解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对应边分别是 a,b,c 满足 b2+c2=bc+a2. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零,若 a1cosA=1,且 a2,a4,a8 成等比数列,求{ 和 Sn. }的前 n 项

18.某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生成绩情况,从中抽取了部分学生的分 数(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本(样本容量为 n)进行统计.按照[50,60),[60,70),[70, 80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分 在[50,60),[90,100]的数据).

(Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中 x、y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 3 名同学到市政广场参加 环保知识宣传的志愿者活动,设 ξ 表示所抽取的 3 名同学中得分在[80,90)的学生个数,求 ξ 的分布列及 其数学期望.

19.在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 ABB1A1 为矩形,AB=2,AA1=2 交于点 O,且 CO⊥ABB1A1 平面. (1)证明:BC⊥AB1; (2)若 OC=OA,求直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值.

,D 是 AA1 的中点,BD 与 AB1

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20.在平面直角坐标系中,已知椭圆 C:

=1,设 R(x0,y0)是椭圆 C 上任一点,从原点 O 向

圆 R:(x﹣x0)2+(y﹣y0)2=8 作两条切线,切点分别为 P,Q. (1)若直线 OP,OQ 互相垂直,且 R 在第一象限,求圆 R 的方程; (2)若直线 OP,OQ 的斜率都存在,并记为 k1,k2,求证:2k1k2+1=0.

21.设函数 f(x)=ax﹣2﹣lnx(a∈R). (I)若 f(x)在点(e,f(e))处的切线为 x﹣ey+b=0,求 a,b 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间; (Ⅲ)若 g(x)=ax﹣ex,求证:在 x>0 时,f(x)>g(x)

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按 所做的第一个题目计分,共 1 小题,满分 10 分[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,⊙O 的半径为 6,线段 AB 与⊙相交于点 C、D,AC=4,∠BOD=∠A,OB 与⊙O 相交于点. (1)求 BD 长; (2)当 CE⊥OD 时,求证:AO=AD.

选修 4-4:坐标系与参数方程(共 1 小题,满分 0 分)
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23.在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 的参数方程为

(t 为参数),以该直角坐标系的原点 O 为极点, sinθ.

x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下,圆 C2 的方程为 ρ=﹣2cosθ+2 (Ⅰ)求直线 C1 的普通方程和圆 C2 的圆心的极坐标; (Ⅱ)设直线 C1 和圆 C2 的交点为 A,B,求弦 AB 的长.

选修 4-5:不等式选讲(共 1 小题,满分 0 分) 24.已知函数 f(x)=|x﹣a|﹣|x+3|,a∈R. (Ⅰ)当 a=﹣1 时,解不等式 f(x)≤1; (Ⅱ)若当 x∈[0,3]时,f(x)≤4,求 a 的取值范围.

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2015-2016 学年广东省粤西“四校”高三(上)第一次联考数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 A={1,2, },集合 B={y|y=x2,x∈A},则 A∩B=( )

A.{ } B.{2} C.{1} D.? 【考点】交集及其运算. 【专题】集合. 【分析】将 A 中的元素代入集合 B 中的等式中求出 y 的值,确定出 B,求出 A 与 B 的交集即可. 【解答】解:当 x=1 时,y=1;当 x=2 时,y=4;当 x= 时,y= , ∴B={1,4, ∴A∩B={1}. 故选:C. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. },

2.在复平面内,复数 z= A. B. C.

的共轭复数的虚部为( D.



【考点】复数的基本概念. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简 z,求出 ,则答案可求. 【解答】解:z= ∴ 则复数 z= 故选:D.
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=



, 的共轭复数的虚部为 .

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了共轭复数的概念,是基础题.

3.下列命题中的假命题是( A.?x∈R,log2x=0 【考点】特称命题. 【专题】简易逻辑.



B.?x∈R,x2>0 C.?x∈R,tanx=0 D.?x∈R,3x>0

【分析】A、B、C 可通过取特殊值法来判断;D、由指数函数的值域来判断. 【解答】解:A、x=1 成立;C、x=0 成立;D、由指数函数的值域来判断.对于 B 选项 x=0 时,02=0,不 正确. 故选:B. 【点评】本题考查逻辑语言与指数数、二次函数、对数函数、正切函数的值域,属容易题.

4.若程序框图如图所示,则该程序运行后输出 k 的值是(



A.4

B.5

C .6

D.7

【考点】程序框图. 【分析】根据所给数值判定是否满足判断框中的条件,然后执行循环语句,一旦不满足条件就退出循环, 执行语句输出 k,从而到结论. 【解答】解:当输入的值为 n=5 时, n 不满足上判断框中的条件,n=16,k=1 n 不满足下判断框中的条件,n=16,
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n 满足上判断框中的条件,n=8,k=2, n 不满足下判断框中的条件,n=8, n 满足判断框中的条件,n=4,k=3, n 不满足下判断框中的条件,n=4, n 满足判断框中的条件,n=2,k=4, n 不满足下判断框中的条件,n=2, n 满足判断框中的条件,n=1,k=5, n 满足下面一个判断框中的条件,退出循环, 即输出的结果为 k=5, 故选 B.

【点评】本题主要考查了循环结构,是当型循环,当满足条件,执行循环,属于基础题.

5.已知 A.

,则下列不等式一定成立的是( B.



C.ln(a﹣b)>0 D.3a﹣b<1

【考点】对数值大小的比较. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据题意得出 a>b>0;利用指数函数 y= 与幂函数 y=xb 的单调性判断 A 正确,

利用作差法判断 B 错误,利用分类讨论法判断 C 错误,根据指数函数的性质判断 D 错误.
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【解答】解:∵y= ∴a>b>0; 又∵y= ∴ <

x 是定义域上的减函数,且



是定义域 R 上的减函数, ;

又∵y=xb 在(0,+∞)上是增函数, ∴ ∴ ∵ ﹣ = < < ; ,A 正确; <0,∴ < ,B 错误;

当 1>a﹣b>0 时,ln(a﹣b)>0, 当 a﹣b≥1 时,ln(a﹣b)≤0,∴C 错误; ∵a﹣b>0,∴3a﹣b>1,D 错误. 故选:A. 【点评】本题考查了指数函数与对数函数以及幂函数的图象与性质的应用问题,也考查了作差法与分类讨 论思想的应用问题,是基础题目.

6.下列函数既是奇函数,又在区间[﹣1,1]上单调递减的是( A.f(x)=sinx B.f(x)=ln D.f(x)=



C.f(x)=﹣|x+1|

【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 【专题】函数的性质及应用;导数的综合应用. 【分析】根据正弦函数的单调性,函数导数符号和函数单调性的关系,奇函数的定义,减函数的定义即可 判断每个选项的正误,从而得到正确选项. 【解答】解:A.f(x)=sinx 在[﹣1,1]上单调递增; B.f(x)= 又 f′(x)= ,解 得该函数的定义域为[﹣2,2]; ;

∴f(x)在区间[﹣1,1]上是减函数;

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又 f(﹣x)= ∴f(x)是奇函数; ∴该选项正确;

=﹣f(x);

C.f(x)=﹣|x+1|,奇函数 f(x)在原点有定义时 f(0)=0; 而这里 f(0)=﹣1; ∴该函数不是奇函数; D. ,f(﹣1)= ;

∴该函数在[﹣1,1]上不是减函数. 故选 B. 【点评】考查正弦函数的单调性,函数导数符号和函数单调性的关系,以及奇函数的定义,奇函数 f(x) 在原点有定义时 f(0)=0,减函数的定义.

7.已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+asinax 的图象不可能是(



A.

B.

C.

D.

【考点】正弦函数的图象. 【专题】三角函数的图像与性质. 【分析】函数 f(x)=1+asinax 的图象是一个正弦曲线型的图,其振幅为|a|,周期为 比,从这个方向观察四个图象. 【解答】解:对于振幅大于 1 时, 三角函数的周期为: ,∵|a|>1,∴T<2π, ,周期与振幅成反

而 D 不符合要求,它的振幅大于 1,但周期反而大于了 2π. 对于选项 A,a<1,T>2π,满足函数与图象的对应关系,
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故选 D. 【点评】由于函数的解析式中只含有一个参数,这个参数影响振幅和周期,故振幅与周期相互制约,这是 本题的关键.

8.已知点 Q(5,4),若动点 P(x,y)满足

,则 PQ 的最小值为(



A.

B.

C .5

D.以上都不对

【考点】简单线性规划. 【专题】数形结合;不等式的解法及应用. 【分析】由约束条件作出 P 点的区域,求出 BQ 连线的斜率,求得的斜率小于 1,可知过 Q 点作直线 x+y ﹣2=0 的垂线,垂足在直线上 B 的下方,由此可知当 P 在 B 点处 PQ 的距离最小.

【解答】解:由约束条件足

,得 P(x,y)所在区域如图,

联立

,得 B(1,1),



,过 Q 点与直线 x+y﹣2=0 垂直的直线的斜率为 1,

∴过 Q 点作直线 x+y﹣2=0 的垂线,垂足在直线上 B 的下方, ∴可行域内的点 P 为点 B 时 PQ 的值最小,最小值为 故选:C. 【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,关键是找出使 PQ 值最小的点, 是中档题.
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9.已知实数 4,m,9 构成一个等比数列,则圆锥曲线 A. B. C. 或 D. 或 7

的离心率为(



【考点】椭圆的简单性质;双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由实数 4,m,9 构成一个等比数列,得 m=± 率. 【解答】解:∵实数 4,m,9 构成一个等比数列, ∴m=± =±6, 为 ; 为﹣ = . , , =±6,由此能求出圆锥曲线 的离心

当 m=6 时,圆锥曲线 a= ,c= ,其离心率 e=

当 m=﹣6 时,圆锥曲线 a=1,c= 故选 C. ,其离心率 e=

【点评】本题考查圆锥曲线的离心率的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意等比中项公 式的应用.

10.某三棱锥的三视图如图所示,图中网格小正方形的边长为 1,则该三棱锥的体积为(



A.5

B.4

C .3

D.2

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】空间位置关系与距离.

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【分析】由三视图及题设条件知,此几何体为一个三棱锥,其高为 2,底面是直角边长度为 3 的等腰直角 三角形,故先求出底面积,再由体积公式求解其体积即可. 【解答】解:由已知中三棱锥的三视图,可得该三棱锥的直观图如下所示:

其高为 2,底面是直角边长度为 3 的等腰直角三角形, 故其底面面积 S= ×3×3= , 高 h=2, 故体积 V= 故选:C 【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何体的形状. =3,

11.定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x≥0 时,f(x)= F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的所有零点之和为( A.3a﹣1 B.1﹣3a C.3﹣a﹣1 D.1﹣3﹣a )

,则关于 x 的函数

【考点】函数的零点与方程根的关系. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】利用奇偶函数得出当 x≥0 时,f(x)= ,x≥0 时,f(x)

=

,画出图象,根据对称性得出零点的值满足 x1+x2,

x4+x5 的值,关键运用对数求解 x3=1﹣3a,整体求解即可. 【解答】解:∵定义在 R 上的奇函数 f(x), ∴f(﹣x)=﹣f(x),

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∵当 x≥0 时,f(x)=



∴当 x≥0 时,f(x)=



得出 x<0 时,f(x)= 画出图象得出:

如图从左向右零点为 x1,x2,x3,x4,x5, 根据对称性得出:x1+x2=﹣4×2=﹣8, x4+x5=2×4=8,﹣log (﹣x3+1)=a,x3=1﹣3a,

故 x1+x2+x3+x4+x5=﹣8+1﹣3a+8=1﹣3a, 故选:B 【点评】本题综合考察了函数的性质,图象的运用,函数的零点与函数交点问题,考查了数形结合的能力, 属于中档题.

12.已知 f(x)=

,g(x)= (k∈N*),对任意的 c>1,存在实数 a,b 满足 0<a<b<c,使得 f )
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(c)=f(a)=g(b),则 k 的最大值为(

A.2

B.3

C .4

D.5

【考点】函数的值. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】根据题意转化为: > ,对于 x>1 恒成立,构造函数 h(x)=x? 求导数判断,h′(x)

=

,且 y=x﹣2﹣lnx,y′=1﹣ >0 在 x>1 成立,y=x﹣2﹣lnx 在 x>1 单调递增,利用零点判

断方法得出存在 x0∈(3,4)使得 f(x)≥f(x0)>3,即可选择答案. 【解答】解:∵f(x)= ,g(x)= (k∈N*),

对任意的 c>1,存在实数 a,b 满足 0<a<b<c,使得 f(c)=f(a)=g(b), ∴可得: > ,对于 x>1 恒成立.

设 h(x)=x?

,h′(x)=

,且 y=x﹣2﹣lnx,y′=1﹣ >0 在 x>1 成立,

∴即 3﹣2﹣ln3<0,4﹣2﹣ln4>0, 故存在 x0∈(3,4)使得 f(x)≥f(x0)>3, ∴k 的最大值为 3. 故选:B 【点评】本题考查了学生的构造函数,求导数,解决函数零点问题,综合性较强,属于难题.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.在等比数列{an}中,a1=8,a4=a3?a5,则 a7= 【考点】等比数列的通项公式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出. 【解答】解:设等比数列{an}的公比为 q,∵a1=8,a4=a3?a5, ∴8q3=8q2?8q4, 化为(2q)3=1, 解得 q= . ∴a7= = .
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故答案为: . 【点评】本题考查了等比数列的通项公式,属于基础题.

14.设 A=37+C7235+C7433+C763,B=C7136+C7334+C7532+1,则 A﹣B= 128 . 【考点】二项式定理的应用. 【专题】计算题;二项式定理. 【分析】作差,利用二项式定理,即可得出结论. 【解答】解:∵A=37+C7235+C7433+C763,B=C7136+C7334+C7532+1, ∴A﹣B=37﹣C7136+C7235﹣C7334+C7433﹣C7532+C763﹣1=(3﹣1)7=128. 故答案为:128. 【点评】本题考查二项式定理的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.

15.已知矩形 A BCD 的周长为 18,把它沿图中的虚线折成正六棱柱,当这个正六棱柱的体积最大时,它 的外接球的表面积为 13π .

【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】正六棱柱的底面边长为 x,高为 y,则 6x+y=9,0<x<1.5,表示正六棱柱的体积,利用基本不等 式求最值,求出正六棱柱的外接球的半径,即可求出外接球的表面积. 【解答】解:设正六棱柱的底面边长为 x,高为 y,则 6x+y=9,0<x<1.5, 正六棱柱的体积 V= = ≤ = ,

当且仅当 x=1 时,等号成立,此时 y=3, 可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点,则半径为 ∴外接球的表面积为 故答案为:13π. 【点评】本题考查外接球的表面积,考查基本不等式的运用,确定正六棱柱的外接球的半径是关键. =13π. = ,

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16.设 x,y 为实数,若 4x2+y2+xy=1,则 2x+y 的最大值是 【考点】基本不等式. 【专题】不等式的解法及应用.



【分析】设 t=2x+y,将已知等式用 t 表示,整理成关于 x 的二次方程,二次方程有解,判别式大于等于 0, 求出 t 的范围,求出 2x+y 的最大值. 【解答】解:∵4x2+y2+xy=1 ∴(2x+y)2﹣3xy=1 令 t=2x+y 则 y=t﹣2x ∴t2﹣3(t﹣2x)x=1 即 6x2﹣3tx+t2﹣1=0 ∴△=9t2﹣24(t2﹣1)=﹣15t2+24≥0 解得 ∴2x+y 的最大值是 故答案为 【点评】本题考查利用换元转化为二次方程有解、二次方程解的个数由判别式决定.

三、解答题:解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 17.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对应边分别是 a,b,c 满足 b2+c2=bc+a2. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)已知等差数列{an}的公差不为零,若 a1cosA=1,且 a2,a4,a8 成等比数列,求{ 和 Sn. 【考点】数列的求和;等比数列的性质;余弦定理. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】(Ⅰ)由已知条件推导出 = ,所以 cosA= ,由此能求出 A= . }的前 n 项

2 = (Ⅱ) 由已知条件推导出 (a1+3d) (a1+d) (a1+7d) , 且 d≠0, 由此能求出 an=2n, 从而得以

=

=

,进而能求出{

}的前 n 项和 Sn.

【解答】解:(Ⅰ)∵b2+c2﹣a2=bc,
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= ,

∴cosA= , ∵A∈(0,π),∴A= .

(Ⅱ)设{an}的公差为 d, ∵a1cosA=1,且 a2,a4,a8 成等比数列, ∴a1= =2,且 =a2?a8,

∴(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),且 d≠0,解得 d=2, ∴an=2n, ∴ = = )+( , )+…+( )

∴Sn=(1﹣ )+( =1﹣ = .

【点评】本题考查角的大小的求法,考查数列的前 n 项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意裂 项求和法的合理运用.

18.某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生成绩情况,从中抽取了部分学生的分 数(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本(样本容量为 n)进行统计.按照[50,60),[60,70),[70, 80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分 在[50,60),[90,100]的数据).

(Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中 x、y 的值;

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(Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 3 名同学到市政广场参加 环保知识宣传的志愿者活动,设 ξ 表示所抽取的 3 名同学中得分在[80,90)的学生个数,求 ξ 的分布列及 其数学期望. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】(Ⅰ)根据茎叶图可得[50,60),总共有 8 人,结合频率分布直方图,可求样本容量 n 和频率分 布直方图中 x、y 的值; (Ⅱ)由题意可知,分数在[80,90)有 5 人,分数在[90,100)有 2 人,共 7 人.抽取的 3 名同学中得分 在[80,90)的学生个数 ξ 的可能取值为 1,2,3,求出相应的概率,即可求 ξ 的分布列及其数学期望. 【解答】解: (Ⅰ)由题意可知,样本容量 ﹣0.016﹣0.04=0.030. (Ⅱ)由题意可知,分数在[80,90)有 5 人,分数在[90,100)有 2 人,共 7 人. 抽取的 3 名同学中得分在[80,90)的学生个数 ξ 的可能取值为 1,2,3,则 , 所以,ξ 的分布列为 ξ P 所以, . 1 2 3 , . , ,x=0.1﹣0.004﹣0.010

【点评】本题考查茎叶图、频率分布直方图,考查随机了的分布列及其数学期望,考查学生的识图能力, 考查学生的计算能力,属于中档题.

19.在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 ABB1A1 为矩形,AB=2,AA1=2 交于点 O,且 CO⊥ABB1A1 平面. (1)证明:BC⊥AB1; (2)若 OC=OA,求直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值.

,D 是 AA1 的中点,BD 与 AB1

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【考点】直线与平面所成的角;平面与平面垂直的性质. 【专题】综合题;空间位置关系与距离;空间角. 【分析】 (Ⅰ) 要证明 BC⊥AB1, 可证明 AB1 垂直于 BC 所在的平面 BCD, 已知 CO 垂直于侧面 ABB1A1, 所以 CO 垂直于 AB1,只要在矩形 ABB1A1 内证明 BD 垂直于 AB1 即可,可利用角的关系加以证明; (Ⅱ)分别以 OD,OB1,OC 所在的直线为 x,y,z 轴,以 O 为原点,建立空间直角坐标系,求出 平面 ABC 的一个法向量,利用向量的夹角公式,即可得出结论. 【解答】(I)证明:由题意,因为 ABB1A1 是矩形, D 为 AA1 中点,AB=2,AA1=2 ,AD= , = , , ,

所以在直角三角形 ABB1 中,tan∠AB1B= 在直角三角形 ABD 中,tan∠ABD= 所以∠AB1B=∠ABD, =

又∠BAB1+∠AB1B=90°,∠BAB1+∠ABD=90°, 所以在直角三角形 ABO 中,故∠BOA=90°, 即 BD⊥AB1, 又因为 CO⊥侧面 ABB1A1,AB1?侧面 ABB1A1, 所以 CO⊥AB1 所以,AB1⊥面 BCD, 因为 BC?面 BCD, 所以 BC⊥AB1. (Ⅱ)解:如图,分别以 OD,OB1,OC 所在的直线为 x,y,z 轴,以 O 为原点,建立空间直角坐标系, 则 A(0,﹣ 又因为 所以 =2 =(﹣ ,0),B(﹣ ,所以 , ,0), =(0, , ), =( , , ), =( ,0,﹣ ), ,0,0),C(0,0, ),B1(0, ,0),D( ,0,0),

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设平面 ABC 的法向量为 =(x,y,z),

则根据

可得 =(1,

,﹣

)是平面 ABC 的一个法向量,

设直线 CD 与平面 ABC 所成角为 α,则 sinα= 所以直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值为

, .…

【点评】本题考查了直线与平面垂直的性质,考查线面角,考查向量方法的运用,属于中档题.

20.在平面直角坐标系中,已知椭圆 C:

=1,设 R(x0,y0)是椭圆 C 上任一点,从原点 O 向

圆 R:(x﹣x0)2+(y﹣y0)2=8 作两条切线,切点分别为 P,Q. (1)若直线 OP,OQ 互相垂直,且 R 在第一象限,求圆 R 的方程; (2)若直线 OP,OQ 的斜率都存在,并记为 k1,k2,求证:2k1k2+1=0. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(1)由直线 OP,OQ 互相垂直,且与圆 R 相切,可得 OR=4,再由 R 在椭圆上,满足椭圆方程, 求得点 R 的坐标,即可得到圆 R 的方程; (2)运用直线和圆相切的条件:d=r,结合二次方程的韦达定理和点 R 满足椭圆方程,化简整理,即可得 证. 【解答】解:(1)由题圆 R 的半径为 所以 ,即 ,① ,因为直线 OP,OQ 互相垂直,且与圆 R 相切,

又 R(x0,y0)在椭圆 C 上,所以 由①②及 R 在第一象限,解得 ,

,②

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所以圆 R 的方程为:



(2)证明:因为直线 OP:y=k1x,OQ:y=k2x 均与圆 R 相切, 所以 ,化简得 ,

同理有 所以 k1,k2 是方程

, 的两个不相等的实数根,

所以

.又因为 R(x0,y0)在椭圆 C 上,所以





,所以



即 2k1k2+1=0. 【点评】本题考查椭圆的方程和运用,同时考查直线和圆相切的条件,以及韦达定理的运用,考查运算化 简能力,属于中档题.

21.设函数 f(x)=ax﹣2﹣lnx(a∈R). (I)若 f(x)在点(e,f(e))处的切线为 x﹣ey+b=0,求 a,b 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间; (Ⅲ)若 g(x)=ax﹣ex,求证:在 x>0 时,f(x)>g(x) 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】函数的性质及应用;导数的综合应用. 【分析】(I)通过 f(x)在点(e,f(e))处的切线为 x﹣ey+b=0,可得 f′(e)= ,解得 点(e,﹣1)代入切线方程 x﹣ey+b=0,可得 b=﹣2e; (II)由(I)知:f′(x)= (x>0),结合导数分①a≤0、②a>0 两种情况讨论即可; ,再将切

(III)通过变形,只需证明 g(x)=ex﹣lnx﹣2>0 即可, 由于 g′(x)= ,根据指数函数及幂函数的性质可知,根据函数的单调性及零点判定定理即得结论.

【解答】解:(I)∵f(x)=ax﹣2﹣lnx(a∈R) ∴f′(x)= = (x>0),
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∵f(x)在点(e,f(e))处的切线为 x﹣ey+b=0, 即 f(x)在点(e,f(e))的切线的斜率为 , ∴f′(e)= = ,∴ ,∴切点为(e,﹣1),

将切点代入切线方程 x﹣ey+b=0,得 b=﹣2e, 所以 ,b=﹣2e; (x>0),下面对 a 的正负情况进行讨论:

(II)由(I)知:f′(x)=

①当 a≤0 时,f′(x)<0 在(0,+∞)上恒成立, 所以 f(x)在(0,+∞)上单调递减; ②当 a>0 时,令 f′(x)=0,解得 x= , 当 x 变化时,f′(x)、f(x)随 x 的变化情况如下表: 0 f′(x)﹣ f(x) ↓ (a,+∞) 0+ ↑

由此表可知:f(x)在(0, )上单调递减,f(x)在( ,+∞)上单调递增; 综上所述,当 a≤0 时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞); 当 a>0 时,f(x)的单调递减区间为(0, ),f(x)的单调递增区间为( ,+∞); (III)∵f(x)=ax﹣2﹣lnx,g(x)=ax﹣ex, ∴要证:当 x>0 时,f(x)>g(x),即证:ex﹣lnx﹣2>0, 令 g(x)=ex﹣lnx﹣2 (x>0),则只需证:g(x)>0, 由于 g′(x)= g′(x)= ,根据指数函数及幂函数的性质可知, 在(0,+∞)上是增函数, = ,∴g(1) ,

∵g(1)=e﹣1>0, ∴g(x)在

内存在唯一的零点,也即 g(x)在(0,+∞)上有唯一零点, ,即 ( ),

设 g(x)的零点为 t,则 g(t)=

由 g(x)的单调性知:当 x∈(0,t)时,g(x)<g(t)=0,g(x)为减函数; 当 x∈(t,+∞)时,g(x)>g(t)=0,g(x)为增函数,
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所以当 x>0 时, 又 ,故等号不成立,



∴g(x)>0,即当 x>0 时,f(x)>g(x). 【点评】本题考查求函数解析式,函数的单调性,零点的存在性定理,注意解题方法的积累,属于难题.

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按 所做的第一个题目计分,共 1 小题,满分 10 分[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,⊙O 的半径为 6,线段 AB 与⊙相交于点 C、D,AC=4,∠BOD=∠A,OB 与⊙O 相交于点. (1)求 BD 长; (2)当 CE⊥OD 时,求证:AO=AD.

【考点】相似三角形的判定. 【专题】推理和证明. 【分析】(1)证明△ OBD∽△AOC,通过比例关系求出 BD 即可. (2)通过三角形的两角和,求解角即可. 【解答】解:(1)∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∴∠OAC=∠ODB. ∵∠BOD=∠A,∴△OBD∽△AOC.∴ ∵OC=OD=6,AC=4,∴ ,∴BD=9.… ,

(2)证明:∵OC=OE,CE⊥OD.∴∠COD=∠BOD=∠A. ∴∠AOD=180°﹣∠A﹣∠ODC=180°﹣∠COD﹣∠OCD=∠ADO. ∴AD=AO …

【点评】本题考查三角形相似,角的求法,考查推理与证明,距离的求法.

选修 4-4:坐标系与参数方程(共 1 小题,满分 0 分) 23.在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 的参数方程为 (t 为参数),以该直角坐标系的原点 O 为极点, sinθ.

x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下,圆 C2 的方程为 ρ=﹣2cosθ+2
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(Ⅰ)求直线 C1 的普通方程和圆 C2 的圆心的极坐标; (Ⅱ)设直线 C1 和圆 C2 的交点为 A,B,求弦 AB 的长. 【考点】参数方程化成普通方程. 【分析】(Ⅰ)把参数方程化为直角坐标方程,求出圆心的直角坐标,再把它化为极坐标. (Ⅱ)由(Ⅰ)求得(﹣1, )到直线 x﹣y+1=0 的距离 d,再利用弦长公式求得弦长.

【解答】解:(Ⅰ)由 C1 的参数方程消去参数 t 得普通方程为 x﹣y+1=0, 圆 C2 的直角坐标方程(x+1)2+ 所以圆心的直角坐标为(﹣1, 所以圆心的一个极坐标为(2, (Ⅱ)由(Ⅰ)知(﹣1, 所以 AB=2 = . ), ). = , =4,

)到直线 x﹣y+1=0 的距离 d=

【点评】本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程的方法,点到直线的距离公式、弦长公式的应用,属 于基础题.

选修 4-5:不等式选讲(共 1 小题,满分 0 分) 24.已知函数 f(x)=|x﹣a|﹣|x+3|,a∈R. (Ⅰ)当 a=﹣1 时,解不等式 f(x)≤1; (Ⅱ)若当 x∈[0,3]时,f(x)≤4,求 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法. 【专题】计算题;不等式的解法及应用. 【分析】(Ⅰ)当 a=﹣1 时,不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1,对 x 的取值范围分类讨论,去掉上式中的绝对值符 号,解相应的不等式,最后取其并集即可; (Ⅱ)依题意知,|x﹣a|≤x+7,由此得 a≥﹣7 且 a≤2x+7,当 x∈[0,3]时,易求 2x+7 的最小值,从而可得 a 的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ)当 a=﹣1 时,不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1. 当 x≤﹣3 时,不等式化为﹣(x+1)+(x+3)≤1,不等式不成立; 当﹣3<x<﹣1 时,不等式化为﹣(x+1)﹣(x+3)≤1,解得﹣ ≤x<﹣1; 当 x≥﹣1 时,不等式化为(x+1)﹣(x+3)≤1,不等式必成立.
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综上,不等式的解集为[﹣ ,+∞).… (Ⅱ)当 x∈[0,3]时,f(x)≤4 即|x﹣a|≤x+7, 由此得 a≥﹣7 且 a≤2x+7. 当 x∈[0,3]时,2x+7 的最小值为 7, 所以 a 的取值范围是[﹣7,7].… 【点评】本题考查绝对值不等式的解法,着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用,考查运算求 解能力,属于中档题.

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