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江苏省南京、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷

2013 年江苏省南京市、盐城市高考数学三模试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1. (5 分) (2013?盐城三模)记函数 f(x)= 则 A∩ B= (1,3] . 解答: 解:∵ 函数 f(x)= 的定义域为 A,∴ A={x|x≤3}. 的定义域为 A,函数 g(x)=lg(x﹣1)的定义域为 B,

∵ 函数 g(x)=lg(x﹣1)的定义域为 B,∴ B={x|x>1}. ∴ A∩ B={x|1<x≤3}=(1,3], 故答案为 (1,3]. 2. (5 分) (2013?盐城三模)已知复数 z 满足(z+1)i=3+5i,其中 i 为虚数单位,则|z|= 解答: 解:因为复数 z 满足(z+1)i=3+5i, 所以 z+1= 所以 z= = , = =5.

5



两边求模可得:|z|= 故答案为:5.

3. (5 分) (2013?盐城三模)某算法的伪代码如图所示,若输出 y 的值为 3,则输入 x 的值为 8 .

解答: 解:本题的伪代码表示一个分段函数 y= ∵ 输出值为 3 ∴ 或

∴ x=8 ∴ 输入值 x=8 故答案为:8. 4. (5 分) (2013?盐城三模) 如图是 7 位评委给某作品打出的分数的茎叶图, 那么这组数据的方差是 .

解答: 解:由茎叶图知,七个数据为 88,89,89,90,91,91,92, 平均数为 方差为 ﹣90) ]= 故答案为:
2 2 2

=90; [(88﹣90) +(89﹣90) +(89﹣90) +(90﹣90) +(91﹣90) +(91﹣90) +(92 . .
2 2 2 2

5. (5 分) (2013?盐城三模)已知函数 f (x)=2sin(ωx+? ) (ω>0)的部分图象如图所示,则 ω=



解答:

解:由函数的图象可得 故答案为 .

=

=

,解得 ω= ,

6. (5 分) (2013?盐城三模)在一个盒子中有分别标有数字 1,2,3,4,5 的 5 张卡片,现从中一次取 出 2 张卡片,则取到的卡片上的数字之积为偶数的概率是 . =10 种方法,

解答: 解:从标有数字 1,2,3,4,5 的 5 张卡片中一次取出 2 张卡片,共有

其中取到的卡片上的数字之积为偶数分为两种情况:一类是取得的两个数字都是偶数:只有一种情 况(2,4) ; 另一类是一个偶数和一个奇数,有 共有 1+6=7, ∴ 取到的卡片上的数字之积为偶数的概率 P= 故答案为 . =(3,﹣1) , =(0,2) .若 ? =0, . =6 种情况,因此取到的卡片上的数字之积为偶数的情况

7. (5 分) (2013?盐城三模)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 =λ 解答: ,则实数 λ 的值为 2 . 解:∵ =(3,﹣1) , ∴ = ﹣ =(0,2)

=(﹣3,3)

设 又∵

=(m,n) ,可得

?

=﹣3m+3n=0…① =λ ,

=(m﹣3,n+1) ,

∴ m﹣3=0 且 n+1=2λ…② 将① ② 联解,可得 m=﹣3,n=﹣3,λ=2 故答案为:2 8. (5 分) (2013?盐城三模)已知 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面. ① 若 m?α,m⊥ β,则 α⊥ β,② 若 m?α,α∩ β=n,α⊥ β,则 m⊥ n;③ 若 m?α,n?β,α∥ β,则 m∥ n; ④ 若 m∥ α,m?β,α∩ β=n,则 m∥ n.上述命题中为真命题的是 ① ④ (填写所有真命题的序号) . 解答: 解:选项① 正确,由线面垂直的判定定理可知:若 m?α,m⊥ β,则 α⊥ β; 选项② 错误,若 m?α,α∩ β=n,α⊥ β,则 m 与 n 可能平行可能相交; 选项③ 错误,若 m?α,n?β,α∥ β,则 m 与 n 可能平行或异面; 选项④ 正确,由线面平行的性质定理可知:若 m∥ α,m?β,α∩ β=n,则 m∥ n. 故答案为:① ④ 9. (5 分) (2013?盐城三模)如图,在△ ABC 中,B=45°,D 是 BC 边上的一点,AD=5,AC=7,DC=3,则 AB 的长为 .

解答: 解:在△ ADC 中,AD=5,AC=7,DC=3, 由余弦定理得 cos∠ ADC= =﹣ ,

∴ ∠ ADC=120°,∠ ADB=60° 在△ ABD 中,AD=5,∠ B=45°,∠ ADB=60°, 由正弦定理得 ∴ AB= 故答案为: . ,

10. (5 分) (2013?盐城三模)记定义在 R 上的函数 y=f(x)的导函数为 f′ (x) .如果存在 x0∈[a,b],使 得 f(b)﹣f(a)=f′ (x0) (b﹣a)成立,则称 x0 为函数 f(x)在区间[a,b]上的“中值点”.那么函数 f(x) 3 =x ﹣3x 在区间[﹣2,2]上“中值点”的个数为 2 . 3 ′ 2 解答: 解:∵ 函数 f(x)=x ﹣3x,∴ f (x)=3x ﹣3. 3 3 又 f(2)﹣f(﹣2)=2 ﹣3×2﹣[(﹣2) ﹣3×(﹣2)]=4,2﹣(﹣2)=4. 设 x0∈[﹣2,2]为函数 f(x)在区间[﹣2,2]上的“中值点”. ′ ′ 则 4f (x0)=4,得 f (x0)=1. ∴ ,解得 .

∴ 函数 f(x)=x ﹣3x 在区间[﹣2,2]上“中值点”为 故答案为 2.

3

,其个数为 2.

11. (5 分) (2013?盐城三模)在平面直角坐标系 xOy 中,点 F 是双曲线 C:

=1(a>0,b>0)的

右焦点, 过 F 作双曲线 C 的一条渐近线的垂线, 垂足为 A, 延长 FA 与另一条渐近线交于点 B. 若 则双曲线的离心率为 2 . 解答:

=2



解:如图因为

=2

,所以 A 为线段 FB 的中点,∴ ∠ 2=∠ 4,又∠ 1=∠ 3,

∠ 2+∠ 3=90°,所以∠ 1=∠ 2+∠ 4=2∠ 2=∠ 3. 故∠ 2+∠ 3=90°=3∠ 2?∠ 2=30°?∠ 1=60°?
2





,e =4?e=2.

故答案为:2.

12. (5 分) (2013?盐城三模) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 C: x +y ﹣ (6﹣2m) x﹣4my+5m ﹣6m=0, 直线 l 经过点(1,0) .若对任意的实数 m,定直线 l 被圆 C 截得的弦长为定值,则直线 l 的方程为 2x+y ﹣2=0 . 解答: 解:圆 C:x2+y2﹣(6﹣2m)x﹣4my+5m2﹣6m=0 即[x﹣(3﹣m)]2+(y﹣2m)2=9,表示以 C(3 ﹣m,2m)为圆心,半径等于 3 的圆. ∵ 直线 l 经过点(1,0) ,对任意的实数 m,定直线 l 被圆 C 截得的弦长为定值,则圆心 C 到直线 l 的距离为定值. 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=1,圆心 C 到直线 l 的距离为|m﹣3﹣1|=|m﹣4|,不是 定值. 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y﹣0=k(x﹣1) ,即 kx﹣y﹣k=0. 此时,圆心 C 到直线 l 的距离 d= = 为定值,与 m 无关,

2

2

2

故 k=﹣2,故直线 l 的方程为 y﹣0=﹣2(x﹣1) ,即 2x+y﹣2=0, 故答案为 2x+y﹣2=0.

13. (5 分) (2013?盐城三模)已知数列{an}的通项公式为 an=﹣n+p,数列{bn}的通项公式为 bn=2 cn=
*

n﹣5

.设

,若在数列{cn}中,c8>cn(n∈N ,n≠8) ,则实数 p 的取值范围是 (12,17) .

解答: 解:当 an≤bn 时,cn=an,当 an>bn 时,cn=bn,∴ cn 是 an,bn 中的较小者, n﹣5 因为 an=﹣n+p,所以{an}是递减数列;因为 bn=2 ,所以{bn}是递增数列, 因为 c8>cn(n≠8) ,所以 c8 是 cn 的最大者, 则 n=1,2,3,…7,8 时,cn 递增,n=8,9,10,…时,cn 递减, n﹣5 因此,n=1,2,3,…7 时,2 <﹣n+p 总成立, 7﹣5 当 n=7 时,2 <﹣7+p,∴ p>11, n﹣5 n=9,10,11,…时,2 >﹣n+p 总成立, 9﹣5 当 n=9 时,2 >﹣9+p,成立,∴ p<25, 而 c8=a8 或 c8=b8, 3 若 a8≤b8,即 2 ≥p﹣8,所以 p≤16, 则 c8=a8=p﹣8, 7﹣5 ∴ p﹣8>b7=2 ,∴ p>12, 故 12<p≤16, 若 a8>b8,即 p﹣8>2 ,所以 p>16, 3 ∴ c8=b8=2 , 那么 c8>c9=a9,即 8>p﹣9, ∴ p<17, 故 16<p<17, 综上,12<p<17. 故答案为: (12,17) . 二、解答题:本大题共 8 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤. 15. (14 分) (2013?盐城三模)已知 α,β∈(0,π) ,且 tanα=2,cosβ=﹣ (1)求 cos2α 的值; (2)求 2α﹣β 的值. 解答: 2 2 解: (1)cos2α=cos α﹣sin α= .
8﹣5

=



因为 tanα=2,所以 所以 cos2α= .



(2)因为 α∈(0,π) ,且 tanα=2,所以 又 cos2α= ,∴ . , ,

因为 β∈(0,π) ,cosβ=﹣

所以





所以 sin(2α﹣β)=sin2αcosβ﹣cos2αsinβ = =﹣ 又 ∴ 2α﹣β=﹣ . AC,D,E,F 分别为线段 , ,

16. (14 分) (2013?盐城三模)如图,在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,A1A= AC,A1A,C1B 的中点. (1)证明:EF∥ 平面 ABC; (2)证明:C1E⊥ 平面 BDE.

解答: 证明: (1)如图所示,取 BC 的中点 G,连接 AG,FG. 又∵ F 为 C1B 的中点,∴ 在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, ∴ , . ,E 为 A1A 的中点,

∴ 四边形 AEFG 是平行四边形. ∴ EF∥ AG. ∵ EF?平面 ABC,AG?平面 ABC, ∴ EF∥ 平面 ABC. (2)∵ 点 D 是正△ ABC 的 BC 边的中点,∴ BD⊥ AC, 由正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,可得侧面 ACC1A1⊥ 平面 ABC,∴ BD⊥ 侧面 ACC1A1. ∴ BD⊥ C1E. ∵ ,

∴ Rt△ A1C1E∽ Rt△ AED, ∴ ∠ A1EC1=∠ ADE. ∴ ∴ C1E⊥ ED. ∵ ED∩ DB=D. ,

∴ C1E⊥ 平面 BDE.

17. (14 分) (2013?盐城三模)已知函数 f(x)= m(x﹣1) ﹣2x+3+lnx,m∈R. (1)当 m=0 时,求函数 f(x)的单调增区间; (2)当 m>0 时,若曲线 y=f(x)在点 P(1,1)处的切线 l 与曲线 y=f(x)有且只有一个公共点,求实 数 m 的值. 解答: 解: (1)当 m=0 时,函数 f(x)=﹣2x+3+lnx 由题意知 x>0,f′ (x)=﹣2+ = 所以 f(x)的增区间为(0, ) . (2)由 f′ (x)=mx﹣m﹣2+ ,得 f′ (1)=﹣1, 知曲线 y=f(x)在点 P(1,1)处的切线 l 的方程为 y=﹣x+2, 于是方程:﹣x+2=f(x)即方程
2

2

,令 f′ (x)>0,得 0<x< 时,

m(x﹣1) ﹣x+1+lnx=0 有且只有一个实数根;

2

设 g(x)= m(x﹣1) ﹣x+1+lnx, (x>0) .

则 g′ (x)= ① 当 m=1 时,g′ (x)= m=1 符合题设;

=



≥0,g(x)在(0,+∞)上为增函数,且 g(1)=0,故

② 当 m>1 时,由 g′ (x)>0 得 0<x< 或 x>1, 由 g′ (x)= <0 得 <x<1,

故 g(x)在区间(0, ) , (1,+∞)上单调递增,在( 1, )区间单调递减, 又 g(1)=0,且当 x→0 时,g(x)→﹣∞,此时曲线 y=g(x)与 x 轴有两个交点,故 m>1 不合题 意; ③ 当 0<m<1 时,由 g′ (x)= 由 g′ (x)=<0 得 1<x< , >0 得 0<x<1 或 x> ,

故 g(x)在区间(0,1) , (1, )上单调递增,在( ,+∞)区间单调递减, 又 g(1)=0,且当 x→0 时,g(x)→+∞,此时曲线 y=g(x)与 x 轴有两个交点,故 0<m<1 不合 题意; ∴ 由上述知:m=1. 18. (16 分) (2013?盐城三模)将一张长 8cm,宽 6cm 的长方形的纸片沿着一条直线折叠,折痕(线段) 将纸片分成两部分,面积分别为 S1cm ,S2cm ,其中 S1≤S2.记折痕长为 lcm. (1)若 l=4,求 S1 的最大值; (2)若 S1:S2=1:2,求 l 的取值范围. 解答: 解: 如图所示: 不妨设纸片为长方形 ABCD, AB=8cm, AD=6cm, 其中点 A 在面积为 S1 的部分内. 折 痕有下列三种情形:
2 2

情形① 情形② 情形③ ① 折痕的端点 M,N 分别在边 AB,AD 上; ② 折痕的端点 M,N 分别在边 AB,CD 上; ③ 折痕的端点 M,N 分别在边 AD,BC 上. (1)在情形② ③ 中,MN≥6,故当 l=4 时,折痕必定是情形① . 设 AM=xcm,AN=ycm,则 x +y =16. 2 2 因为 x +y ≥2xy,当且仅当 x=y 时取等号, 所以 ,当且仅当 x=y=2 时取等号,即 S1 的最大值为 4.
2 2

(2)由题意知,长方形的面积为 S=6×8=48, 因为 S1:S2=1:2,S1≤S2,所以 S1=16,S2=32. 当折痕是情形① 时,设 AM=xcm,AN=ycm,则 ,即 y= ,



,解得



所以 l=

=





设( f x) = x>0, 故当 x∈( 且 f(

, x>0, 则

=



)时 f′ (x)<0,f(x)递减,当 x∈(4

,8)时,f′ (x)>0,f(x)递增,

)=64 ,f(8)=80, ].

所以 f(x)的取值范围为[64,80],从而 l 的范围是[8,4

当折痕是情形② 时,设 AM=xcm,DN=ycm,则

,即 y=





,解得 0 = ];



所以 l= 所以 l 的范围为[6,

,0



当折痕是情形③ 时,设 BN=xcm,AM=ycm,则 由 ,得 0≤x≤4,所以 l= ], ]. + =

,即 y=4﹣x, ,0≤x≤4,

所以 l 的取值范围为[8,4 综上,l 的取值范围为[6,

19. (16 分) (2013?盐城三模)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C:

=1.

(1)若椭圆 C 的焦点在 x 轴上,求实数 m 的取值范围; (2)若 m=6, ① P 是椭圆 C 上的动点,M 点的坐标为(1,0) ,求 PM 的最小值及对应的点 P 的坐标; ② 过椭圆 C 的右焦点 F 作与坐标轴不垂直的直线,交椭圆 C 于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线 l 交 x 轴于点 N,证明: 是定值,并求出这个定值.

解答: 解: (1)由题意得,m>8﹣m>0,解得 4<m<8, 所以实数 m 的取值范围是(4,8) ; (2)因为 m=6,所以椭圆 C 的方程为 ,

① 设点 P 坐标为(x,y) ,则 因为点 M 的坐标为(1,0) , 所以 PM = (x﹣1) +y = 所以当 x= 时,PM 的最小值为
2 2 2 2 2 2



=

= ) ;





,此时对应的点 P 坐标为(

② 由 a =6,b =2,得 c =4,即 c=2, 从而椭圆 C 的右焦点 F 的坐标为(2,0) ,右准线方程为 x=3,离心率 e= 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,AB 的中点 H(x0,y0) , 则 , , ,

两式相减得,

,即



令 k=kAB,则线段 AB 的垂直平分线 l 的方程为 y﹣y0=﹣ (x﹣x0) , 令 y=0,则 xN=ky0+x0= , , |x0﹣3|.

因为 F(2,0) ,所以 FN=|xN﹣2|= 因为 AB=AF+BF=e(3﹣x1)+e(3﹣x2)= 故 = = ,即 为定值 .

20. (16 分) (2013?盐城三模)记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求证:数列{ }是等差数列; + . ,从而 , =2 成立,求数列{an}的通项公式;

(2)若 a1=1,且对任意正整数 n,k(n>k) ,都有 (3)记 bn= 解答: (a>0) ,求证: ≤

解:设等差数列{an}的公差为 d, (1)由于 所以当 n≥2 时,

= ,

即数列{

}是等差数列. + =2 成立,

(2)∵ 对任意正整数 n,k(n>k) ,都有 ∴ 则 ,即数列{

}是等差数列,设其公差为 t, ,所以
2 2 2 2



所以当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=[1+(n﹣1)t] ﹣[1+(n﹣2)t] =2t n﹣3t +2t, 2 2 2 2 2 2 又由等差数列{an}中,a2﹣a1=a3﹣a2,即(4t ﹣3t +2t)﹣1=(6t ﹣3t +2t)﹣(4t ﹣3t +2t) 所以 t=1,即 an=2n﹣1. (3)由于 an=a1+(n﹣1)d, ,则 ,

即数列{bn}是公比大于 0,首项大于 0 的等比数列,记其公比是 q(q>0) . 以下证明:b1+bn≥bp+bk,其中 p,k 为正整数,且 p+k=1+n. ∵ (b1+bn)﹣(bp+bk)= 当 q>1 时,因为 y=q 为增函数,p﹣1≥0,k﹣1≥0, p﹣1 k﹣1 ∴ q ﹣1≥0,q ﹣1≥0,∴ b1+bn≥bp+bk; 当 q=1 时,b1+bn=bp+bk;
x

=



当 q=1 时,因为 y=q 为减函数,p﹣1≥0,k﹣1≥0, p﹣1 k﹣1 ∴ q ﹣1≤0,q ﹣1≤0,∴ b1+bn≥bp+bk, 综上:b1+bn≥bp+bk,其中 p,k 为正整数,且 p+k=1+n. ∴ n(b1+bn)=(b1+bn)+(b1+bn)+…(b1+bn)≥(b1+bn)+(b2+bn﹣1)+…(bn+b1) =(b1+b2+…+bn)+(bn+bn﹣1+…+b1) , 即 .

x


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