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数学归纳法证明不等式


第四讲 数学归纳法证明不等式

对于一些与无限多个正整数相关的命题,如果不易用 以前学习过的方法证明,用数学归纳法可能会收到较 好的效果.
例如 : sinn? ? n sin? ( n ? N ? ) n 2 ? 2 n ( n ? N ? , n ? 5) (1 ? x)n ? 1 ? nx ( x ? ?1, n ? N ? )

数学归纳法:
关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可 以采用下面方法来证明其正确性: 1.验证第一个命题成立(即n=n0第一个命题对应的 n的值,如n0=1) (归纳奠基) ; 2.假设当n=k时命题成立,证明当n=k+1时命题也 成立(归纳递推). 用上假设,递推才真 由(1)、(2)知,对于一切n≥n0的自然数n都成立! 注意:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.

一.用数学归纳法证明等式问题
通过计算下面的式子, 猜想出 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( ?1)n ( 2n ? 1) 的结果, 并加以证明. ? 1 ? 3 ? _____;?1 ? 3 ? 5 ? ______ ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ______;?1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? _______

解 : 上面四个式子的结果分 别是2,?3,4,?5, n n 由此猜想 : ?1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( ?1) ( 2n ? 1) ? ( ?1) n 下面用数学归纳法证明: (1)当n ? 1时, 式子左右两边都等于? 1, 即这时等式成立.
( 2)假设当n ? k ( k ? 1)时等式成立, 即 ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? ( ?1)k ( 2k ? 1) ? ( ?1)k k 当n ? k ? 1时

例1 证明 : n 3 ? 5n( n ? N ? )能够被6整除.

特别提示:
数学归纳法证题的关键是“一凑假设,二凑结论”,在证 题的过程中,归纳推理一定要起到条件的作用,即证明 n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件.
练习 . 用数学归纳法证明 : An ? 5n ? 2 ? 3n?1 ? 1( n ? N * )

能被 8 整除.

课堂练习:
1.用数学归纳法证明: 1 ? a ? a 2 ? ? ? a n ? 1 (a ? 1)在验证 n ? 1时, 左端计算所得的项为 ( C ) A.1 B.1 ? a C.1 ? a ? a 2 D.1 ? a ? a 2 ? a 3

1 1 1 2.用数学归纳法证明: 1 ? ? ? ? ? n ? n( n ? N ? , n ? 1), 2 3 2 ?1 第二步证明从" k到k ? 1" , 左端增加的项数是 ( B ) A.2 k -1 B .2k C .2k ? 1 D.2k ? 1

二.用数学归纳法证明几何问题
例2.平面上有n( n ? N ? , n ? 3)个点, 其中任何三点都不在 同一条直线上, 过这些点中任意两点作 直线, 这样的直线 共有多少条? 证明你的结论.

特别提示:

用数学归纳法证几何问题,应特别注意语言叙述正确,清 楚,一定要讲清从n=k到n=k+1时,新增加量是多少.一般 地,证明第二步常用的方法是加一法,即在原来的基础上, 再增加一个,也可以从k+1个中分出一个来,剩下的k个利 用假设.

1 解 : n凸边形的对角线条数: f ( n) ? n( n ? 3)(n ? 3). 2 下面用数学归纳法证明 1 (1)当n ? 3时, f ( 3) ? ? 3 ? ( 3 ? 3) ? 0.而三角形没有对角线, 2 命题成立.
( 2)假设当n ? k时命题成立, 即凸k边形的对角线的条数 1 k ( k ? 3)(k ? 3).当n ? k ? 1时, k ? 1边形是在k边形的基础上 2 增加了一边, 增加了一个顶点Ak ? 1 , 增加的对角线条数是顶 点Ak ? 1与 f (k ) ? 不相邻顶点连线再加上 原k边形的一边A1 Ak , 增加的对角线条数为 ( k ? 2) ? 1 ? k ? 1
? f ( k ? 1) ? 1 1 k ( k ? 3) ? k ? 1 ? (k 2 ? k ? 2) 2 2 1 1 ? ( k ? 1)( k ? 2) ? (k ? 1)?( k ? 1) ? 3? 2 2 故n ? k ? 1 时, 命题成立,由(1), ( 2)可知对任何n ? N ? , n ? 3命题成立.

练习1:

P50习题4.1 题5

n2 ? n ? 2 解 : 这样的n条直线把平面分成的区 域数目为f ( n) ? 2 下面用数学归纳法证明

练习2: P50习题4.1 题6

(1)当n ? 1时, 一条直线将平面分成两 部分, f (1) ? 2, ? n ? 1时命题成立 .
k2 ? k ? 2 ( 2)假设当n ? k ( k ? N ? )时命题成立, 即有f ( k ) ? , 2 当n ? k ? 1时, 第k ? 1条直线与前面 k条直线有k个不同交点 , 即它被前面k条直线截成k ? 1段, 其中每一段都把它所在 的 原区域一分为二 , 也即使原区域数目增加 k ? 1.
k2 ? k ? 2 ? f (k ? 1) ? f (k ) ? k ? 1 ? ? k ?1 2 k 2 ? 3k ? 4 (k ? 1) 2 ? (k ? 1) ? 2 ? ? 2 2 故当n ? k ? 1时, 命题成立,由(1)( 2)可知, 对任意正整数n, 命题成立

练习3:
有n个圆, 其中每两个圆都相交于 两点, 并且每三个圆都 不相交于同一点 , 求证 : 这n个圆把平面分成 f ( n) ? n 2 ? n ? 2个部分.

证明 : (1)当n ? 1时,即一个圆把平面分成二 个部分 f (1) ? 2, 又n ? 1时, n 2 ? n ? 2 ? 2,? 命题成立
( 2)假设当n ? k时, 命题成立, 即k个圆把平面分成 f ( k ) ? k 2 ? k ? 2个部分, 那么由题意知第 k ? 1圆 与前k个圆中每个圆交于两点 , 又无三圆交于同一 点, 于是它与其它 k交于2k个点, 把它分成2k条弧而 每条弧把原区域分成 2块,因此这平面的总区域增 加2k块, 即f ( k ? 1) ? k 2 ? k ? 2 ? 2k ? ( k ? 1) 2 ? ( k ? 1) ? 2, 即当n ? k ? 1时命题成立. 由(1)( 2)可知对任意n ? N ? 命题成立.

二.用数学归纳法证明不等式问题
例1观察下面两个数列 , 从第几项起a n始终小于bn ? 证明你的结论 .
n n

?a ?b

n

? ? 2 ?: 2,4,8,16,32,64,128,256,512, ? .
? n 2 : 1,4,9,16,25,36,49,64,81, ?;

由数列的前几项猜想 , 从第5项起, an ? bn , 即n 2 ? 2n ( n ? N ? , n ? 5)
例2.证明不等式sin n? ? n sin? ( n ? N ? )

例3.证明贝努利不等式: 如果x是实数, 且x ? ?1, x ? 0, n为大于1的自然数, 那么有 (1 ? x ) ? 1 ? nx
n

注: 事实上, 把贝努利不等式中的正整数 n 改为实数 ? 仍有 类似不等式成立 . 当 ? 是实数,且 ? ? ?或? ? 0 时 ,有 (1 ? x )? ≥ 1 ? ? x ( x ? ?1) 当 ? 是实数,且 0 ? ? ? 1 时 ,有 (1 ? x )? ≤ 1 ? ? x ( x ? ?1)

例 4: 如 果 n(n 为 正 整 数 ) 个 正 数 a1 , a2 ,? , an 的 乘 积

a1a2 ? an ? 1 ,那么它们的和 a1 ? a2 ? ? ? an ≥ n .
证明:⑴当 n ? 1 时, 有 a1 ? 1 ,命题成立. ⑵ 设 当 n ? k (k ≥1) 时 , 命 题 成 立 , 即 若 k 个 正数 a1 , a2 ,? , ak 的乘积 a1a2 ? ak ? 1 ,那么它们的和 a1 ? a2 ? ? ? ak ≥ k . 那么当 n ? k ? 1 时 , 已知 k ? 1 个正 数 a1 , a2 ,? , ak , ak ?1 满 足 a1a2 ? ak ak ?1 ? 1 .
若 k ? 1 个正数 a1 , a2 ,? , ak , ak ?1 都相等 ,则它们都是 1. 其和为 k ? 1 ,命题成立.

若这 k ? 1 个正数 a1 , a2 ,? , ak , ak ?1 不全相等 , 则其中 必有大于 1 的数,也有小于 1 的数(否则与 a1a2 ? ak ak ?1 ? 1 矛盾).不妨设 a1 ? 1, a2 ? 1 ??

1 1 1 1 练习1.求证: 1 ? 2 ? 2 ??? 2 ? 2 ? ( n ? N , n ≥ 2). 2 3 n n
1 3 1 5 证:(1)当n=1时,左边= 1 ? 2 ? ,右边= 2 ? ? ,由于 2 2 2 4 5 3 ? ,故不等式成立. 4 2

(2)假设n=k( k ? N , k ≥ 2)时命题成立,即
1 1 1 1 1? 2 ? 2 ??? 2 ? 2 ? . 2 3 k k

则当n=k+1时,

1 1 1 1 1 1 1 1 2? ? ? 2? ? ? 2? ?( ? ) ? 2? . 2 k ( k ? 1) k k (k ? 1) k k k ?1 k ?1 即当n=k+1时,命题成立. 由(1)、(2)原不等式对一切 n ? N , n ≥ 2都成立.

1 1 1 1 1 1 1? 2 ? 2 ??? 2 ? ? 2? ? 2 2 3 k ( k ? 1) k ( k ? 1)2

练习 2.当 n ≥ 2 时,求证: 1 ?
1

1 2

?

1 3

???

1 n

? n

2 证明: (1) 当n ? 2时,左式 ? 1 ? ? 1 ? ? 17 . ? 2 ? 右式 2 2 ? 当n ? 2时,不等式成立

(2)假设当n ? k(? 2)时,不等式成立,即 1 ? 则当n ? k ? 1时, 左式 ? 1 ?

1 2 1

? ?

1 3

??? 1

1 k

? k 1 k ?1

1 2

?

1 3

???

k

k ?1

? k?

?

k ( k ? 1) ? 1 k ?1

?

k?k ?1 k ?1

?

k ?1 k ?1

? k ? 1 ? 右式

? 当n ? k ? 1时,不等式成立。 由(1)(2)可知,对一切n ?N,且n ? 2,不等式都成立。


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