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浙江省温州市龙湾中学2013届高三上学期期初考试数学(文)试题

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顾斌

2012.8 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. (1)设 U ? R , A ? {x | ?1 ? x ? 1} , B ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} ,则 (CU A) ? B ? (
2



(A) {x | x ? ?1}

(B) {x | x ? ?1, 或x ? 3} (C) {x | x ? 3}

(D) ?

(2) 若函数 f(x)和 g(x)的定义域、 值域都是 R, 则不等式 f(x)> g(x)有解的充要条件是 ( ) (A) x∈R, f(x)>g(x) ? (B) 有无穷多个 x (x∈R ), 使得 f(x)>g(x) (C)? x∈R,f(x)>g(x) (D){ x∈R| f(x)≤g(x)}=? (3)已知曲线 y ? (A)3

x2 1 ? 3ln x 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( 4 2
(B)2 (C)1 (D) )



[来源:学科网 ZXXK]

1 2

[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

(4)函数 y ? cos x ? sin x 的图象可由函数 y ?

2 sin x 的图象(
(B)向右

? 平移个长度单位 4 3? (C)向左 平移个长度单位 4
(A)向左

? 平移 个长度单位 4 3? (D)向右 平移个长度单位 4
(D)c>a>b

(5)已知 a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,则( ) (A)a>b>c (B)a>c>b (C)b>a>c

(6)设 a.b ? 4 若 a 在 b 方向上的投影为 2,且 b 在 a 方向上的投影为 1,则 a 与 b 的夹角 等于( (A) ) (B)

??

?

?

?

?

?

?

? 6

? 3

(C)

2? 3


(D)

? 2? 或 3 3

(7)已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能是( ...

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(8)已知向量 a ? ( x ? 1, 2), b ? (2,1) ,则 a ? b 的充要条件是 A. x ? ?

?

?

?

?

( D.x?0



1 2

B. x ? ?1
2

C. x ? 5

(9)已知函数 f ( x) ?| x ? 2ax ? b | ( x ? R) ,给出下列命题:① f (x) 必是偶函数;②当
2 ③若 a ? b ? 0 , f (x) 在区间 ?a,??) 则 f (0) ? f (2) 时,f (x) 的图象关于直线 x ? 1对称;

上是增函数;④ f (x) 有最大值 | a ? b | . 其中正确的命题序号是(
2



[来源:学。科。网]

(A)③

(B)②③

(C)②④

(D)①②③

? 1 x?2 ?( ) (10)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 x≤0 时, f ( x) ? ? e ? f ( x ? 1) ?
f (x)≥x+a“对于任意 x∈R 恒成立,则常数 a 的取值范围是( (A) (??, ? 2) )

x ? ?1 ?1 ? x ? 0

,若

1 e

( B)(??, ?2]

(C)(??, ? 1]

1 e

(D) (??, ?1]

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. ( 11 ) 已 知 s i ? ? ? n (

) c? s ?o

?? o ? ( c s

sin( ? ?

5? )= 4

3 ? , )? s 是 n第 三 象 限 角 , 则 ? i 5

.

(12)已知 1 ? sin 2? ? ?3 cos 2? ,且 ? ? (0,

?
2

) ,则 tan? ?



(13)定义运算 a※b 为错误!未找到引用源。.如 1※2=1,则函数错误!未找到引用源。 ※错误!未找到引用源。的值域为 . (14)数列 ? an ? 的通项公式 an ? n cos

n? ,其前 n 项和为 S n ,则 S 2012 等于 2

(15)函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解集 为 . (16)已知函数 f(x) =logax+x-b(a>0,且 a≠1).当 2<a<3<b<4 时,函数 f(x)的零点 x0∈(n,n+1),

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n∈N*,则 n= .

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(17)已知函数 f (x) 是 (??,??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2) ? ? f ( x) , 且当 x ? ?0,2? 时, f ( x) ? log2 ( x ? 1) , f (?2010) ? f (2009) 的值为 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (18) (本题满分 14 分)已知 a>0 且 a ? 1 命题 P:函数 y ? log a ( x ? 1)在(0,??) 内单调递减; 命题 Q:曲线 y ? x ? (2a ? 3) x ? 1与x 轴 交于不同的两点.
2



如果“P\/Q ”为真且“P/\Q”为假,求 a 的取值范围.

(19) (本题满分 14 分)在锐角△ABC 中,cos B+cos (A-C)= 3 sin C. (Ⅰ) 求角 A 的大小; (Ⅱ) 当 BC=2 时,求△ABC 面积的最大值.

(20)(本题满分 14 分)函数 f ( x) ? A sin(? x ? ?)( A ? 0, ? ? 0,| ? | ? 所示。 (I)求 f ( x) 的最小正周期及解析式; (II)设 g ( x) ? f ( x) ? cos 2 x, 求函数 g ( x)在区间[0,

?

) 的部分图象如图 2

?
2

] 上的最大值和最小值。

a ?1 2 1 (21) (本题满分 15 分) 已知实数 a 满足 1<a≤2,设函数 f (x)= x3- x +ax. 2 3
(Ⅰ) 当 a=2 时,求 f (x)的极小值; (Ⅱ) 若函数 g(x)=4x3+3bx2-6(b+2)x (b∈R) 的极小值点与 f (x)的极小值点相同,

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求证:g(x)的极大值小于等于 10.

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(22) (本题满分 15 分 )已知 f (x) 定义域为 R,满足:① f (1) ? 1 ? f (?1) ; ②对任意实数 x, y ,有 f ( y ? x ? 1) ? f ( x) f ( y) ? f ( x ? 1) f ( y ? 1) . (Ⅰ)求 f (0) , f (3) 的值; (Ⅱ)判断函数的奇偶性与周期性,并求 f (3x) ? f (3x ? 1) 的值;
2 2

(Ⅲ) 是否存在常数 A, B , 使得不等式 | f ( x) ? f (2 ? x) ? Ax ? B |? 2 对一切实数 x 成立. 如果存在,求出常数 A, B 的值;如果不存在,请说明理由.

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2013 届龙湾中学高三开学测试
数学(文科)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
题 号 答 案 1 B 2 A 3 A 4 C 5 B 6 B 7 D 8 D 9 A 1 0 D

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. (11)

7 2 10

(12)2

(13) [ ?1,

2 ] 2

(14) 1006

(15)(-1,+∞) (16)2 (17) -1 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (18)解:∵ a ? 0, a ? 1 , 命题 P 为假时 ? a ? 1 命题 Q 为真时, ? ? ? (2a ? 3) ? 4 ? 0,且a ? 0, a ? 1 ,即0 ? a ?
2

∴命题 P 为真时 ? 0 ? a,1

1 5 或a ? 2 2

命题 Q 为假时 ?

1 5 ?a? 2 2

由“P\/Q”为真且“P/\Q”为假,知 P、Q 有且只有一个正确.

?0 ? a ? 1 1 ? 情形(1) 正确,且 Q 不正确 ? ? 1 :P 5,即a ? [ ,1) 2 ?2 ? a ? 2 ? ?a ? 1 5 ? 情形(2) 不正确,且 Q 正确 ? ? :P 1 5,即a ? ( ,??) 2 ?0 ? a ? 2 或a ? 2 ?
综上,a 取值范围是 [ ,1) ? ( ,??) 另解:依题意,命题 P 为真时,0<a<1 曲线 y ? x ? (2a ? 3) x ? 1与x 轴交于两点等价于 (2a ? 3) ? 4 ? 0 ,
2 2

1 2

5 2

得 a?

1 5 或a ? 2 2

故命题 Q 为真时, a ?

1 5 或a ? 2 2

由“P\/Q”为真且“P/\Q”为假,知 P、Q 有且只有一个正确. 等价于 P、Q 为真时在数轴表示图形中有且只有一个阴影的部分. 由图形知 a 取值范围是 [ ,1) ? ( ,??) (19) 本题主要考查三角变换、余弦定理、三角形面积公式、均值不等式等基础知识,同时 考查三角运算求解能力。满分 14 分。

1 2

5 2

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(Ⅰ) 解:因为 cos B+cos (A-C)= 3 sin C, 所以-cos (A+C)+cos (A-C)= 3 sin C,得 2sin A sin C= 3 sinC,故 sin A=

3 2



[来源:Zxxk.Com]

因为△ABC 为锐角三角形,所以 A=60° .??????? ????????7 分 (Ⅱ) 解:设角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.由题意知 a=2, 由余弦定理得 4=b2+c2-2bccos60° 2+c2-bc≥bc, =b 所以△ABC 面积=

1 bcsin60° 3 ,且当△ABC 为等边三角形时取等号, ≤ 2
?????????14 分

所以△ABC 面积的最大值为 3 .

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(Ⅲ)由(Ⅱ)知 f (2 ? x) ? f ( x) ,

? f ( x) ? f (2 ? x) ? Ax ? B |? 2 ?| 2 f ( x) ? Ax ? B |? 2 |
在 | 2 f ( x) ? Ax ? B |? 2 中,取 x ? ?1 ,得 ? 2 ? ?2 ? A ? B ? 2 ,即 取 x ? 1,得 ? 2 ? 2 ? A ? B ? 2 ② 取 x ? 3 ,得 ? 2 ? ?2 ? 3A ? B ? 2 ,即 - 2 ? 2 ①

3A- B

2 ③

②+①得 A ? 0 ,②+③得 A ? 0 . ? A ? 0. 将 A ? 0 代入①得 B ? 0 . 将 A ? 0 代入②得 B ? 0 .
2 2

? B ? 0.

由(Ⅱ)知 f ( x) ? f ( x ? 1) ? 1 ,所以 | f ( x) |? 1 对一切实数 x 成立. 故当 A ? B ? 0 时, | 2 f ( x) ? Ax ? B |? 2 对一切实数 x 成立.

?存在常数 A ? B ? 0 ,使得不等式 | f ( x) ? f (2 ? x) ? Ax ? B |? 2 对一切实数 x 成
立,且 A ? B ? 0 为满足题设的唯一一组值. ……………15 分

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