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浙江省温州市龙湾中学2013届高三上学期期初考试数学(文)试题

天利图书 顾斌

2012.8

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
(1)设U ? R , A ? {x | ?1 ? x ? 1},B ? {x | x2 ? 2x ? 3 ? 0} ,则 (CU A) B ? ( )

(A){x | x ? ?1} (B){x | x ? ?1,或x ? 3} (C){x | x ? 3}

(D)?

(2)若函数 f(x)和 g(x)的定义域、值域都是 R,则不等式 f(x)> g(x)有解的充要条件是( )

(A)? x∈R, f(x)>g(x)

(B)有无穷多个 x (x∈R ),使得 f(x)>g(x)

(C)? x∈R,f(x)>g(x)

(D){ x∈R| f(x)≤g(x)}=?

(3)已知曲线 y ? x2 ? 3ln x 的一条切线的斜率为 1 ,则切点的横坐标为(

4

2

) [来源:学科网 ZXXK]

(A)3

(B)2

(C)1

(D) 1 2

[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

(4)函数 y ? cos x ? sin x 的图象可由函数 y ? 2 sin x 的图象( )

(A)向左 ? 平移个长度单位 4
(C)向左 3? 平移个长度单位 4

(B)向右 ? 平移 个长度单位 4
(D)向右 3? 平移个长度单位 4

(5)已知 a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,则( )

(A)a>b>c

(B)a>c>b

(C)b>a>c

(D)c>a>b

(6)设 a.b ? 4 若 a 在 b 方向上的投影为 2,且 b 在 a 方向上的投影为 1,则 a 与 b 的夹角

等于( )

(A) ? 6

(B) ? 3

(C) 2? 3

(7)已知 a 是实数,则函数 f (x) ? 1? a sin ax 的图象不.可.能.是(

(D) ? 或 2? 33


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(8)已知向量 a ? (x ?1, 2), b ? (2,1) ,则 a ? b 的充要条件是

()

A. x ? ? 1 2

B. x ? ?1

C. x ? 5

D.x?0

(9)已知函数 f (x) ?| x2 ? 2ax ? b | (x ? R) ,给出下列命题:① f (x) 必是偶函数;②当

f (0) ? f (2) 时,f (x) 的图象关于直线 x ? 1对称;③若 a2 ? b ? 0 ,则 f (x) 在区间?a,??)

上是增函数;④ f (x) 有最大值| a2 ? b | . 其中正确的命题序号是(

) [来源:学。科。网]

(A)③

(B)②③

(C)②④

(D)①②③

(10)已知

f(x)是定义在

R

上的偶函数,且

x≤0

时,

f

(

x)

?

??( ?

1 e

)

x?2

?? f (x ?1)

f (x)≥x+a“对于任意 x∈R 恒成立,则常数 a 的取值范围是( )

(A)(??, 1 ? 2) e

( B)(??, ?2]

(C)(??, 1 ?1] e

x ? ?1 , 若 ?1? x ? 0
(D)(??, ?1]

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.

( 11 ) 已 知 s i ?n ?( ? ) c??o s ??c o?s ( 3??, )? s 是i n第 三 象 限 角 , 则 5

sin(? ? 5? ) =

.

4

(12)已知1? sin 2? ? ?3cos2? ,且? ? (0, ? ) ,则 tan? ?



2

(13)定义运算 a※b 为错误!未找到引用源。.如 1※2=1,则函数错误!未找到引用源。

※错误!未找到引用源。的值域为

.

? ? (14)数列

an

的通项公式 an

?

n cos

n? 2

,其前 n

项和为

Sn

,则 S2012

等于

(15)函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解集



.

(16)已知函数 f(x) =logax+x-b(a>0,且 a≠1).当 2<a<3<b<4 时,函数 f(x)的零点 x0∈(n,n+1),

n∈N*,则 n=

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.

(17)已知函数 f (x) 是 (??,??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f (x ? 2) ? ? f (x) ,

且当 x ? ?0,2?时, f (x) ? log2(x ?1) , f (?2010) ? f (2009) 的值为



三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(18)(本题满分 14 分)已知 a>0 且 a ? 1 命题 P:函数 y ? log a (x ? 1)在(0,??) 内单调递减;
命题 Q:曲线 y ? x2 ? (2a ? 3)x ? 1与x 轴 交于不同的两点.
如果“P\/Q ”为真且“P/\Q”为假,求 a 的取值范围.

(19) (本题满分 14 分)在锐角△ABC 中,cos B+cos (A-C)= 3 sin C. (Ⅰ) 求角 A 的大小; (Ⅱ) 当 BC=2 时,求△ABC 面积的最大值.
(20)(本题满分 14 分)函数 f (x) ? Asin(?x ? ?)( A ? 0, ? ? 0,| ? |? ?) 的部分图象如图 2
所示。
(I)求 f (x) 的最小正周期及解析式; (II)设 g(x) ? f (x) ? cos 2x, 求函数 g(x)在区间[0, ? ] 上的最大值和最小值。
2

(21) (本题满分 15 分) 已知实数 a 满足 1<a≤2,设函数 f (x)= 1 x3- a ?1 x2+ax.

3

2

(Ⅰ) 当 a=2 时,求 f (x)的极小值;

(Ⅱ) 若函数 g(x)=4x3+3bx2-6(b+2)x (b∈R) 的极小值点与 f (x)的极小值点相同,

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求证:g(x)的极大值小于等于 10.
(22)(本题满分 15 分 )已知 f (x) 定义域为 R,满足:① f (1) ? 1 ? f (?1) ; ②对任意实数 x, y ,有 f ( y ? x ?1) ? f (x) f ( y) ? f (x ?1) f ( y ?1) .
(Ⅰ)求 f (0) , f (3) 的值; (Ⅱ)判断函数的奇偶性与周期性,并求 f 2 (3x) ? f 2 (3x ?1) 的值; (Ⅲ)是否存在常数 A, B ,使得不等式| f (x) ? f (2 ? x) ? Ax ? B |? 2 对一切实数 x 成立. 如果存在,求出常数 A, B 的值;如果不存在,请说明理由.

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2013 届龙湾中学高三开学测试

数学(文科)参考答案及评分标准

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的.





1

2

3

4

5

6

7

8

9

1 0





B

A

A

C

B

B

D

D

A

D

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.

(11) 7 2 (12)2 (13)[?1, 2 ]

10

2

(14) 1006

(15)(-1,+∞)

(16)2

(17) -1

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(18)解:∵ a ? 0, a ? 1, ∴命题 P 为真时 ? 0 ? a,1

命题 P 为假时 ? a ? 1

命题 Q 为真时, ? ? ? (2a ? 3)2 ? 4 ? 0,且a ? 0, a ? 1,即0 ? a ? 1 或a ? 5

2

2

命题 Q 为假时 ? 1 ? a ? 5

2

2

由“P\/Q”为真且“P/\Q”为假,知 P、Q 有且只有一个正确.

情形(1):P

正确,且

Q

不正确

?

?0 ? ?1 ?? 2

? a ?1 ? a ? 5,即a
2

?[1 2

,1)

情形(2):P

不正确,且

Q

正确 ?

?a ? ? ??0

?1 ?a

?

1 或a 2

?

5,即a 2

?(5 2

,??)

综上,a 取值范围是[1 ,1) ? ( 5 ,??)

2

2

另解:依题意,命题 P 为真时,0<a<1

曲线 y ? x2 ? (2a ? 3)x ? 1与x 轴交于两点等价于 (2a ? 3)2 ? 4 ? 0 ,

得 a ? 1 或a ? 5 故命题 Q 为真时, a ? 1 或a ? 5

2

2

2

2

由“P\/Q”为真且“P/\Q”为假,知 P、Q 有且只有一个正确.

等价于 P、Q 为真时在数轴表示图形中有且只有一个阴影的部分.

由图形知 a 取值范围是[1 ,1) ? ( 5 ,??)

2

2

(19) 本题主要考查三角变换、余弦定理、三角形面积公式、均值不等式等基础知识,同时

考查三角运算求解能力。满分 14 分。

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(Ⅰ) 解:因为 cos B+cos (A-C)= 3 sin C,

所以-cos (A+C)+cos (A-C)= 3 sin C,得 2sin A sin C= 3 sinC,故 sin A=

3 2

. [来源:Zxxk.Com]

因为△ABC 为锐角三角形,所以 A=60°.………………… ……………………7 分

(Ⅱ) 解:设角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.由题意知 a=2,
由余弦定理得 4=b2+c2-2bccos60°=b2+c2-bc≥bc,
所以△ABC 面积= 1 bcsin60°≤ 3 ,且当△ABC 为等边三角形时取等号, 2

所以△ABC 面积的最大值为 3 . ………………………14 分

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(Ⅲ)由(Ⅱ)知 f (2 ? x) ? f (x) ,

?| f (x) ? f (2 ? x) ? Ax ? B |? 2 ?| 2 f (x) ? Ax ? B |? 2

在| 2 f (x) ? Ax ? B |? 2 中,取 x ? ?1,得 ? 2 ? ?2 ? A ? B ? 2,即 ①
取 x ? 1,得 ? 2 ? 2 ? A ? B ? 2 ② 取 x ? 3,得 ? 2 ? ?2 ? 3A ? B ? 2 ,即- 2 ? 2 3A- B ? 2 ③ ②+①得 A ? 0 ,②+③得 A ? 0 . ? A ? 0 . 将 A ? 0代入①得 B ? 0 . 将 A ? 0代入②得 B ? 0 . ? B ? 0 .
由(Ⅱ)知 f 2 (x) ? f 2 (x ? 1) ? 1,所以| f (x) |? 1对一切实数 x 成立.

故当 A ? B ? 0时,| 2 f (x) ? Ax ? B |? 2 对一切实数 x 成立.

?存在常数 A ? B ? 0,使得不等式| f (x) ? f (2 ? x) ? Ax ? B |? 2 对一切实数 x 成

立,且 A ? B ? 0为满足题设的唯一一组值.

……………15 分

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