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重庆市重庆一中2012-2013学年高一上学期期末考试数学试卷


秘密★启用前

数学试题共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。

一.选择题.( 本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1. 已知映射 f : ? x, y ? ? ? x ? 2 y, x ? 2 y ? ,在映射 f 下 ? 3, ?1? 的原象是( A. )

? 3, ?1?

B. ?1,1?

C. ?1,5 ?

D.

? 5, ?7 ?


2.已知 ? 是第四象限角,且 cos A. 第一象限角 限角

?

2 B. 第二象限角

? 0 ,则

?

所在的象限是( 2 C. 第三象限角

D . 第四象

3.在△ABC 中,D、E、F 分别 BC、CA、AB 的中点,点 M 是△ABC 的重心, 则

???? ???? ???? ? MA ? MB ? MC 等于





A. O B. 4 MD C. 4 ME D. 4 MF 4. 函数 f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? x ? 1 在下列区间内一定有零点的是 ( ) A.[0,1] B.[1,2] C.[2,3] D.[3,4]

5.已知 M, N 为集合 I 的非空真子集,且 M ? N ,若 M ? ? CI N ? ? I ,则

M ?N ?( ) A.M B. N C. I D. ? ? ? ? ? ? ? 6. 设 a, b 是两个不共线的非零向量,则“向量 a ? ? b 与 ? a ? 4b 共线”是
“ 的( ) A.充分非必要条件 要条件

??2
B.必要非充分条件 C.充要条件

” D.非充分非必

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7.下列函数为偶函数,且在 ? ??, 0 ? 上单调递增的函数是( A.
f ? x? ? x3
2


?1? f ? x? ? ? ? ?2?
x

B.

f ? x ? ? x ?3

C.

D.

f ? x ? ? ln x
8 . ( 原 创 ) 设 定 义 在 实 数 集 上 函 数 f (x) 满 足 :

f ? x ? 1? ? f ? ? x ?1? ? 0, f ? x ? 2? ? f ? ? x? ,且当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 1 ,则有
( )
7 3 9 A. f ( ) ? f (? ) ? f ( ) 3 2 4 7 9 3 C. f ( ) ? f ( ) ? f (? ) 3 4 2 9 3 7 B. f ( ) ? f (? ) ? f ( ) 4 2 3 3 7 9 D. f (? ) ? f ( ) ? f ( ) 2 3 4 ? a, a ? b ? 1 9 . 对 实 数 a 和 b , 定 义 运 算 “ ? ” : a ?b ? ? ,设函数 ?b, a ? b ? 1 f ? x ? ? x 2 ? ? x ? 1? ,若函数 y ? f ? x ? ? c 恰有两个不同的零点,则实数 c 的取值范

围是 ( ) A. ? 0,1? ? ? 3, 4? 10.(原创)函数 y ? A . ? -1,3? D. ? ?2, 4?

B. ? 0,1? ? ? 2, 4?

C. ? 0,3? ? ? 4, ?? ? D. )

? 0, 4?

sin 3 x cos 5 x ? ? ? ?? ? ? x ? ? 0, 2 ? ? 的值域是( sin x cos x ? ? ??
B.

? ?1, 4?

C. ? ?6,3?

二.填空题.(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.) 11. 若扇形的半径为 1 ,周长为 4 ,则扇形的面积为 . 12.函数 f ? x ? 1? 的定义域为 ? ?1,1? ,则函数 f ? x ? 的定义域为 . .

? ?1 ? ? 13.函数 f ? x ? ? cos ? ln x ? ? x ? ? , e ? ? 的单调递减区间是 ?e ?? ?
14.给出下列命题: ① sin ? ?10 ? ? 0 ; ②函数 y=sin(2x+ 5π ? ? ? )的图像关于点 ? ? , 0 ? 对称; 4 ? 8 ?

③将函数 y=cos(2x-

π π )的图像向左平移 个单位,可得到函数 y=cos2x 3 3
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的图像;

?? ? ? ④ 函 数 y ? tan ? 2 x ? ? 的 最 小 正 周 期 是 . 其 中 正 确 的 命 题 的 序 号 4? 4 ?
是 15 . . 设
f ? x ? ? 1 ? ln x 2? x





? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ?4 0 2 5 ? f? ?? f ? ?? f ? ??? ? f ? ?? 3 ? 2 0 1 3? ? 2013 ? ? 201? ? 2 0 1?3

.

三.解答题.( 本大题共 6 小题,共 75 分.解答须写出文字说明、 证明过程和演算步 骤.)

? ? 16.(13 分 ) 已 知 A ? x x ? 1 ? 1 ; B ? ? x y ? ? ?

?

?

? x?2 ? , x ? R? , x ?1 ? ?



A ? B , A ? ? CR B ? 。

3 17. (13 分)计算(1) log 214 ? log 27 ? log3 ? log 2 2 ? ? log 23? log916 ; ? ? ? ?

(2)

? 1 1 ?? ? 2? 3 ? 2 2 ?

?1 ? 3

? 320.1 ? 4 ? 2 3 .

18.(13 分) (1)已知 sin 2? ? ? (2) 已 知

24 ? ? ?? , ? ? ? ? , ? ,求 sin ? ? cos ? 的值; 25 ? 2 2?

3 1 sin ?? ? ? ? ? , cos ?? ? ? ? ? 5 10

.



? ?? ?? ?sin ? ? cos ?? ? ? ? ? ?sin ? ? sin ? ? ? ? ? 的值. ? ? ?2 ?? ?

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?? ?? ? ? 19.(12 分)(原创)f ? x ? ? 2sin ? ? x ? ? cos ? x ? 2 cos ? 2? x ? ? ,其中 ? ? 0 . 3? 6? ? ?
(1)若 ? ? 2 ,求函数 f(x)的最小正周期;
?1 ? (2)若 y ? f ? x ? 满足 f ?? ? x ? ? f ?? ? x ?? x ? R ? ,且 ? ? ? ,1? ,求函数 f(x)的 ?2 ?

单调递减区间.

20.

(12

分 )

( 原 创 ) 已 知 定 义 域 为 R 的 偶 函 数

f ? x ? ? a x ? b ? a ? x ? a ? 0, a ? 1, b ? R ? .
(1)求实数 b 的值; (2)判断并证明 f (x ) 的单调性; (3)若 f

?? log

2

? ? 2 x ? ? log 2 x ? 1 ? f ? m ? log 1 x 2 ? 对任意 x ? ? 2, 4? 恒成立,求实 ? 2 ?

?

数 m 的取值范围.

21. (12 分)我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数” : ①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数; ②在函数的定义域内存在区间 ? p, q ? ? p ? q ? ,使得函数在区间 ? p, q ? 上的值域 为 ? p2 , q2 ? . ? ?

2 ⑴ 知幂函数 f ? x ? 的图像经过点 ? 2,? ,判断 g ? x ? ? f ? x ? ? 2 ? x ? R ? 是否是
和谐函数?

?1 ? x 2 ? x ? 1? ? ⑵ ⑵判断函数 h ? x ? ? ? 是否是和谐函数? 2 ? 2 x ? x ? 1? ? ?
? 6? ⑶若函数 ? ? x ? ? x 2 ? 1 ? t ?1 ? x ? ? 是和谐函数,求实数 t 的取值范围. ? 2 ? ? ?

2013 年重庆一中高 2015 级高一上期期末考试(本部)
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数学试题答案
一.选择题.(每小题 5 分,共 50 分) 题号 1 2 3 4 答案 C D 二.填空题.(每小题 5 分,共 25 分) B D 5 B

2013.1

6 B

7 C

8 D

9 A

10 C

18. (1) sin 2? ? 2sin ? cos ? ? ?

24 ? ? ?? ? 0, ? ? ? ? , ? 25 ? 2 2?

? sin ? ? 0, cos ? ? 0 ? sin ? ? cos ? ? 0

? sin ? ? cos ? ?

2

? 1 ? 2sin ? cos ? ? 1 ? sin 2? ? 7 5

49 25

故 sin ? ? cos ? ? ?

????? ?????????????6分

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? ?? ?? ⑵ ?sin ? ? cos ?? ? ? ? ? ?sin ? ? sin ? ? ? ? ? ? ? ?2 ?? ?

? ? sin ? ? cos ? ?? sin ? ? cos ? ? ? ? sin ? sin ? ? cos ? cos ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? ? cos ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?
? 1 3 1 ? ?? 10 5 2

?????? ????????????13 分

?? ?? ? ? 19. (1) f ? x ? ? 2sin ? ? x ? ? cos ? x ? 2 cos ? 2? x ? ? 3? 6? ? ?

?? ? ? sin ? x ? 3 cos ? x cos ? x ? 2 cos ? 2? x ? ? 6? ? 1 ? sin 2? x ? 3 cos 2 ? x ? 3 cos 2? x ? sin 2? x 2 1 1 ? cos 2? x ? ? sin 2? x ? 3 ? 3 cos 2? x 2 2 3 1 3 ? cos 2? x ? sin 2? x ? 2 2 2 ?? 3 ? ? cos ? 2? x ? ? ? 6? 2 ?

?

?

?????? ?????????????????5分

?? 3 2? ? ? 若 ? ? 2 ,则 f ? x ? ? cos ? 4 x ? ? ? ,T ? ? 4 2 6? 2 ?
⑵ f ?? ? x ? ? f ?? ? x ?? x ? R ?

????7分

?? ? ? cos ? 2?? ? ? ? ?1 6? ?
? 2?? ? ?? ?

?
6

? k? , ? k ? Z ?

k 1 ? ,?k ? Z ? 2 12 ?? 3 11 ? 11 ?1 ? 又 ? ? ? ,1? ,故 ? ? , f ? x ? ? cos ? x ? ? ? 12 6? 2 ?6 ?2 ? 11 ? 12 ? 12 5? 由 2k? ? x ? ? 2k? ? ? , ? k ? Z ? ,得 k? ? ? x ? k? ? ,?k ? Z ? 6 6 11 11 11 11

? 12 5? ? ?12 故函数 f(x)的单调递减区间为 ? k? ? , k? ? ? , ? k ? Z ? .??13 分 11 11 11 ? ? 11
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20. (1) f ? ? x ? ? f ? x ? ? a ? x ? b ? a x ? a x ? b ? a ? x ? ? b ? 1? ? a x ? a ? x ? ? 0

? b ?1
⑵设 0 ? x1 <x2

?? ?????????????????3分

则 f ? x1 ? ? f ? x2 ? = ? a x1 ? a ? x1 ? ? ? a x2 ? a ? x2 ?
= ? a x1 ? a x2 ? ? ? a ? x1 ? a ? x2 ?

a x2 ? a x1 = ? a ? a ? ? x1 ? x2 a
x1 x2

? a x1 +x2 ? 1 ? = ? a x1 ? a x2 ? ? x1 +x2 ? ? a ?
当 a ? 1 时,a x1 ? a x2 ? 0, a x1 +x2 ? 1 ,? f ? x1 ? ? f ? x2 ? , f ? x ? 为 ? 0, ?? ? 上的增函数; 当 a ? 1 时,a x1 ? a x2 ? 0, a x1 +x2 ? 1 ,? f ? x1 ? ? f ? x2 ? , f ? x ? 为 ? 0, ?? ? 上的增函数。 综上可得,当 a ? 0, a ? 1 时, f ? x ? 为 ? 0, ?? ? 上的增函数。 同理可证,当 a ? 0, a ? 1 时, f ? x ? 为 ? ??, 0? 上的减函数。 ⑶f ??????7分

?? log

2

? ? 2 x ? ? log 2 x ? 1 ? f ? m ? log 1 x 2 ? 对任意 x ? ? 2, 4? 恒成立, ? 2 ?

?

? f

?? log

2

x ? ? log 2 x ? 1 ? f ? m ? 2 log 2 x ? 对任意 x ? ? 2, 4? 恒成立,
2 2

?

? ? log 2 x ? ? log 2 x ? 1 ? m ? 2 log 2 x 对任意 x ? ? 2, 4? 恒成立,
? ? ? log 2 x ? ? log 2 x ? 1 ? m ? 2 log 2 x ? ? log 2 x ? ? log 2 x ? 1 对任意 x ? ? 2, 4? 恒成立
2 2

(令 t ? log 2 x ) ? ?t 2 ? 3t ? 1 ? m ? t 2 ? t ? 1 对任意 t ? ?1, 2? 恒成立,
? 5 ?m?3 4

??????????????12分

21. (1)设 f ? x ? ? x? ?? ? R ? ,由 f ? 2 ? ? 2? ? 2 ,得 ? ? 1, f ? x ? ? x ,

g ? x ? ? x ? 2 在 R 上是增函数,
?g ? p ? ? p ? 2 ? p2 ? 令? ? p ? q ? ,得 p ? ?1, q ? 2 2 ?g ?q? ? q ? 2 ? q ?

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故 g ? x ? ? f ? x ? ? 2 是和谐函数。 ⑵易得 h ? x ? 为 R 上的减函数,

?????????4分

?h ? p ? ? 2 ? 2 p ? q 2 ? ① 若 p ? q ? 1则 ? ,相减得 p ? q ? 2 与 p ? q ? 1 矛盾; 2 ? h ? q ? ? 2 ? 2q ? p ? ?h ? p ? ? 1 ? p 2 ? q 2 ? ② 若1 ? p ? q 则 ? , p 2 ? q 2 ? 1 与 1 ? p ? q 矛盾; 2 2 ?h ? q ? ? 1 ? q ? p ? ?h ? p ? ? 2 ? 2 p ? q 2 ? ③ 若 p ?1? q则? , p ? 1 与 p ? 1 矛盾。 2 2 ?h ? q ? ? 1 ? q ? p ?
故 h ? x ? 不是和谐函数。 ???????????????8分

? 6? ⑶ ? ? x ? ? x 2 ? 1 ? t 在 ?1, ? 上是增函数, ? 2 ? ? ? 6? 6? 由函数 ? ? x ? ? x 2 ? 1 ? t ?1 ? x ? ? 是和谐函数知, 函数 ? ? x ? 在 ?1, ? 内存在 ? 2 ? 2 ? ? ? ?

区间 ? p, q ? ? p ? q ? ,使得函数在区间 ? p, q ? 上的值域为 ? p 2 , q 2 ? . ? ?

?? ? p ? ? p 2 ? 1 ? t ? p 2 ? ?? ?? ? q ? ? q 2 ? 1 ? t ? q 2 ?
3? ? ? 3? ? p 2 , q 2 ?1 ? p 2 ? q 2 ? ? 是方程 m ? 1 ? t ? m 在区间 ?1, ? 内的两个不等实根 2? ? ? 2?

? 2? ? x 2 ? x ? 1 ? t ? 0 在区间 ?0, ? 内的两个不等实根, 令 m ? 1 ? x ? 2 ?

?

?

?? ? 1 ? 4 ?1 ? t ? ? 0 ? 1 2 ? ?0 ? 2 ? 2 ?? ?1 ? t ? 0 ?1 ? ? 2 ?1? t ? 0 ?2 2

? 3 3? 2 ? ? t ?? , ? ?4 2 ? ?

?????????12分

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