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数学(理)一轮教学案:第十章第1讲 椭圆及其性质 Word版含解析


第十章 圆锥曲线与方程 第 1 讲 椭圆及其性质 考纲展示 命题探究 考点一 椭圆的标准方程 1 椭圆的定义 (1)定义:在平面内到两定点 F1,F2 的距离的和等于常数(大于 |F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦 点间的距离叫做椭圆的焦距. (2)集合语言:P={M||MF1|+|MF2|=2a,且 2a>|F1F2|},|F1F2|= 2c,其中 a>c>0,且 a,c 为常数. 2 椭圆的焦点三角形 椭圆上的点 P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2 叫做焦点三角形. 如图所示,设∠F1PF2=θ. (1)当 P 为短轴端点时,θ 最大. 1 sinθ θ (2)S△PF1F2=2|PF1||PF2|· sinθ=b2· =b2tan2=c|y0|, 当|y0|=b, 1+cosθ 即 P 为短轴端点时,S△PF1F2 取最大值,为 bc. (3)焦点三角形的周长为 2(a+c). 3 椭圆的标准方程 椭圆的标准方程是根据椭圆的定义, 通过建立适当的坐标系得出 的.其形式有两种: x2 y2 (1) 当 椭圆的 焦点在 x 轴上 时, 椭圆 的标 准方程 为 a2 + b2 = 1(a>b>0). y2 x2 (2) 当 椭圆的 焦点在 y 轴上 时, 椭圆 的标 准方程 为 a2 + b2 = 1(a>b>0). 4 特殊的椭圆系方程 x2 y2 x2 y2 (1)与椭圆m2+n2=1 共焦点的椭圆可设为 2 + 2 =1(k>- m +k n +k m2,k>-n2). x2 y2 x2 y2 (2)与椭圆a2+b2=1(a>b>0)有相同离心率的椭圆可设为a2+b2= y2 x2 k1(k1>0,焦点在 x 轴上)或a2+b2=k2(k2>0,焦点在 y 轴上). 注意点 对椭圆定义的理解 当 2a>|F1F2|时,轨迹为椭圆;当 2a=|F1F2|时,轨迹为线段 F1F2; 当 2a<|F1F2|时,轨迹不存在. 1.思维辨析 (1)平面内与两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是 椭圆.( 2 ) ) 2 (2)方程 mx2+ny2=1(m>0, n>0, m≠n)表示的曲线是椭圆. ( y x (3)a2+b2=1(a≠b)表示焦点在 y 轴上的椭圆.( ) ) x2 y2 y2 x2 (4)a2+b2=1(a>b>0)与a2+b2=1(a>b>0)的焦距相同.( 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)√ x2 y2 2. 已知方程 + =1 表示椭圆, 则 m 的取值范围为( 5-m m+3 A.(-3,5) C.(1,5) 答案 D 5-m>0, ? ? 方程表示椭圆的条件为?m+3>0, ? ?5-m≠m+3, B.(-3,1) D.(-3,1)∪(1,5) ) 解析 解得 m∈(-3,1)∪(1,5).故选 D. 3.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列, 则该椭圆的离心率是( 4 A.5 2 C.5 答案 解析 B 由题意知 2a+2c=2(2b),即 a+c=2b,又 c2=a2-b2, ) 3 B.5 1 D.5 消去 b 整理得 5c2=3a2-2ac,即 5e2+2e-3=0, 3 ∴e=5或 e=-1(舍去). [考法综述] 高考对椭圆的标准方程考查形式有两种:一种 是求椭圆的方程;一种是通过方程研究椭圆的性质. 命题法 椭圆的定义和标准方程 典例 x2 y2 (1)已知椭圆 E:a2+b2=1(a>b>0)

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