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2020版高考数学大二轮专题突破理科通用版专题突破练17 空间中的平行与空间角

专题突破练 17 空间中的平行与空间角 1. (2019 山东潍坊三模,理 18)如图,一简单几何体 ABCDE 的一个面 ABC 内接于圆 O,G,H 分别是 AE,BC 的中点,AB 是圆 O 的直径,四边形 DCBE 为平行四边形,且 DC⊥平面 ABC. (1)证明:GH∥平面 ACD; (2)若 AC=BC=BE=2,求二面角 O-CE-B 的余弦值. 1 2. (2019 新疆乌鲁木齐二模,理 18)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠ DAB=60°,PD=4,M 为 PD 的中点,E 为 AM 的中点,点 F 在线段 PB 上,且 PF=3FB. (1)求证:EF∥平面 ABCD; (2)若平面 PDC⊥底面 ABCD,且 PD⊥DC,求平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值. 2 3. (2019 湖北八校联考一,理 18)如图所示,四棱锥 P-ABCD 中,面 PAD⊥面 ABCD,PA=PD= ,四边形 ABCD 为等腰梯形,BC∥AD,BC=CD= AD=1,E 为 PA 的中点. (1)求证:EB∥平面 PCD. (2)求平面 PAD 与平面 PCD 所成的二面角 θ 的正弦值. 3 4. (2019 安徽“江南十校”二模,理 18)已知多面体 ABC-DEF,四边形 BCDE 为矩形,△ADE 与△BCF 为边长 为 2 的等边三角形,AB=AC=CD=DF=EF=2. (1)证明:平面 ADE∥平面 BCF; (2)求 BD 与平面 BCF 所成角的正弦值. 5. 4 (2019 四川宜宾二模,理 19)如图,四边形 ABCD 是菱形,EA⊥平面 ABCD,EF∥AC,CF∥平面 BDE,G 是 AB 中点. (1)求证:EG∥平面 BCF; (2)若 AE=AB,∠BAD=60°,求二面角 A-BE-D 的余弦值. 6. 5 如图,四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD,AB=BC= AD,∠BAD=∠ ABC=90°,E 是 PD 的中点. (1)证明:直线 CE∥平面 PAB; (2)点 M 在棱 PC 上,且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45°,求二面角 M-AB-D 的余弦值. 6 7. 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (1)证明:PB∥平面 AEC; (2)设二面角 D-AE-C 为 60°,AP=1,AD= ,求三棱锥 E-ACD 的体积. 7 8. (2019 河北衡水同卷联考,理 18)如图,在多面体 ABCDFE 中,四边形 ABCD 是菱形,∠ABC=60°,四边 形 ABEF 是直角梯形,∠FAB=90°,AF∥BE,AF=AB=2BE=2. (1)证明:CE∥平面 ADF; (2)若平面 ABCD⊥平面 ABEF,H 为 DF 的中点,求平面 ACH 与平面 ABEF 所成锐二面角的余弦值. 8 参考答案 专题突破练 17 空间中的 平行与空间角 1.(1)证明 连接 GO,OH,∵GO∥CD,OH∥AC,∴GO∥平面 ACD,OH∥平面 ACD, 又 GO 交 HO 于点 O,∴平面 GOH∥平面 ACD, ∴GH∥平面 ACD. (2)解 以 C 为原点,CB 为 x 轴,CA 为 y 轴,CD 为 z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则 C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),O(1,1,0),E(2,0,2). 平面 BCE 的法向量 m=(0,1,0),设平面 OCE 的法向量 n=(x0,y0,z0). =(2,0,2), =(1,1,0). 则 令 x0=-1,∴n=(-1,1,1). ∵二面角 O-CE-B 是锐二面角,记为 θ, ∴cos θ=|cos<m,n>|= 9 2.(1)证明 取 MD 的中点 N,连接 EN,FN. ∵E 为 AM 的中点,∴EN∥AD. 又 M 为 PD 的中点,N 为 MD 的中点,∴PN=3ND. ∵PF=3FB,∴FN∥BD. ∵EN∩FN=N,AD∩BD=D, ∴平面 ENF∥平面 ABCD, ∵EF?平面 ENF,∴EF∥平面 ABCD. (2)解 ∵平面 PDC⊥平面 ABCD,PD⊥DC, ∴PD⊥平面 ABCD. 设 AB 的中点为 G,以 D 为坐标原点,DG 为 x 轴,DC 为 y 轴,DP 为 z 轴,建立空间直角坐标 系, 则 B( ,1,0),C(0,2,0),P(0,0,4),则 =(- ,1,0), =(0,-2,4), 设平面 PBC 的法向量 n=(x,y,z), 则 - - 取 x=2,得 n=(2,2 ), 10 同理得平面 PAD 的法向量 m=( ,3,0),设平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角为 θ,则 cos θ= , ∴平面 PAD 与平面 PBC 所成锐二面角的余弦值为 3.(1)证明 取 AD 的中点 O,连接 EO,OB. ∵E 为 PA 的中点,O 为 AD 的中点, ∴OE∥PD. 又∵BC∥AD,BC= AD, ∴四边形 BCDO 是平行四边形, ∴BO∥CD. ∵OE∥PD,BO∥CD,OE 和 BO 是平面 EBO 内的两条交线, ∴平面 EBO∥平面 PCD. 又 BE?平面 PCD,∴BE∥平面 PCD. (2)解 取 BC 的中点 M,以 方向为正方向建立如图所示的空间直角系 O-xyz. 则 P(0,0,1),A(0,-1,0),D(0,1,0),C =(0,1,-1), = - ,0 . ,0 ,则平面 PCD 的一个法向量为 n1=(1,0,0), 设平面 PDC 的一个法向量为 n2=(x,y,z),则 - 11 不妨令 x=1,则 y= ,z=1,n