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二次函数与角度问题


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(2009 益阳)如图 11,△ABC 中,已知∠BAC=45° ,AD⊥BC 于 D,BD=2,DC=3,求 AD 的长. 小萍同学灵活运用轴对称知识,将图形进行翻折变换,巧妙地解答了此题. 请按照小萍的思路,探究并解答下列问题: (1)分别以 AB、AC 为对称轴,画出△ABD、△ACD 的轴对称图形,D 点的对称点为 E、F, 延长 EB、FC 相交于 G 点,证明四边形 AEGF 是正方形; (2)设 AD=x,利用勾股定理,建立关于 x 的方程模型,求出 x 的值.
A

F E B D G C

图 11

(1)证明:由题意可得:△ABD≌△ABE,△ACD≌△ACF ∴∠DAB=∠EAB ,∠DAC=∠FAC ,又∠BAC=45° , ∴∠EAF=90° 又∵AD⊥BC ∴∠E=∠ADB=90° ∠F=∠ADC=90° 又∵AE=AD,AF=AD ∴AE=AF ∴四边形 AEGF 是正方形 (2)解:设 AD=x,则 AE=EG=GF=x ∵BD=2,DC=3 ∴BE=2 ,CF=3 ∴BG=x-2,CG=x-3 2 2 2 在 Rt△BGC 中,BG +CG =BC 2 2 2 ∴( x-2) +(x-3) =5 2 化简得,x -5x-6=0 解得 x1=6,x2=-1(舍) 所以 AD=x=6

1 (2010 南充)如图,△ ABC 内接于⊙ O,AD⊥ BC,OE⊥ BC, OE= 2 BC.
(1)求∠ BAC 的度数. (2)将△ ACD 沿 AC 折叠为△ ACF,将△ ABD 沿 AB 折叠为△ ABG,延长 FC 和 GB 相交 于点 H.求证:四边形 AFHG 是正方形. (3)若 BD=6,CD=4,求 AD 的长.

A

A

G B

O F ED H A C

G B

O F ED H C

G B

O F ED H C

(1)解:连结 OB 和 OC. ∵ OE⊥BC,∴ BE=CE. ∵ OE=

1 BC,∴ ∠BOC=90° ,∴ ∠BAC=45° . 2

(2)证明:∵ AD⊥BC,∴ ∠ADB=∠ADC=90° . 由折叠可知,AG=AF=AD,∠AGH=∠AFH=90° , ∠BAG=∠BAD,∠CAF=∠CAD, ∴ ∠BAG+∠CAF=∠BAD+∠CAD=∠BAC=45° . ∴ ∠GAF=∠BAG+∠CAF+∠BAC=90° . ∴ 四边形 AFHG 是正方形. (3)解:由(2)得,∠BHC=90° ,GH=HF=AD,GB=BD=6,CF=CD=4. 设 AD 的长为 x,则 BH=GH-GB=x-6,CH=HF-CF=x-4. 在 Rt△BCH 中,BH2+CH2=BC2,∴ (x-6)2+(x-4)2=102. 解得,x1=12,x2=-2(不合题意,舍去). ∴ AD=12.

(2013?呼和浩特)在平面直角坐标系中,已知点 A(4,0) 、B(﹣6,0) ,点 C 是 y 轴上 的一个动点,当∠ BCA=45°时,点 C 的坐标为 (0,12)或(0,﹣12) . 考 点: 分 析: 解 答: 圆周角定理;坐标与图形性质;勾股定理.
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如解答图所示,构造含有 90°圆心角的⊙ P,则⊙ P 与 y 轴的交点即为所求的点 C. 注意点 C 有两个. 解:设线段 BA 的中点为 E, ∵ 点 A(4,0) 、B(﹣6,0) ,∴ AB=10,E(﹣1,0) . (1)如答图 1 所示,过点 E 在第二象限作 EP⊥ BA,且 EP= AB=5,则易知△ PBA 为 等腰直角三角形,∠ BPA=90°,PA=PB= ; 以点 P 为圆心,PA(或 PB)长为半径作⊙ P,与 y 轴的正半轴交于点 C, ∵ ∠ BCA 为⊙ P 的圆周角, ∴ ∠ BCA= ∠ BPA=45°,即则点 C 即为所求. 过点 P 作 PF⊥ y 轴于点 F,则 OF=PE=5,PF=1, 在 Rt△ PFC 中,PF=1,PC= ,由勾股定理得:CF= =7,

∴ OC=OF+CF=5+7=12, ∴ 点 C 坐标为(0,12) ; (2)如答图 2 所示,在第 3 象限可以参照(1)作同样操作,同理求得 y 轴负半轴 上的点 C 坐标为(0,﹣12) . 综上所述,点 C 坐标为(0,12)或(0,﹣12) . 故答案为: (0,12)或(0,﹣12) .

(2008 北京)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? x2 ? bx ? c 与 x 轴交于

A,B 两点(点 A 在点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C ,点 B 的坐标为 (3, 0) ,将
直线 y ? kx 沿 y 轴向上平移 3 个单位长度后恰好经过 B,C 两点. (1)求直线 BC 及抛物线的解析式; (2)设抛物线的顶点为 D ,点 P 在抛物线的对称轴上,且 ?APD ? ?ACB ,求 点 P 的坐标; (3)连结 CD ,求 ?OCA 与 ?OCD 两角和的度数. 解:(1)

y
4 3 2 1 -2 -1 O -1 -2 1 2 3 4

x

(2) 24.解:(1)

y ? kx 沿 y 轴向上平移 3 个单位长度后经过 y 轴上的点 C ,

? C (0, 3) .
设直线 BC 的解析式为 y ? kx ? 3 .

B(3, 0) 在直线 BC 上,

? 3k ? 3 ? 0 .

解得 k ? ?1 .

? 直线 BC 的解析式为 y ? ? x ? 3 . ·························································1 分
抛物线 y ? x2 ? bx ? c 过点 B,C ,

?9 ? 3b ? c ? 0, ?? ?c ? 3.
解得 ?

?b ? ?4, ?c ? 3.

? 抛物线的解析式为 y ? x2 ? 4x ? 3 . ······················································2 分
(2)由 y ? x2 ? 4x ? 3 . 可得 D(2, ? 1),A(1, 0) .

y
4 3 C 2 1 -2 -1 O -1 -2

? OB ? 3 , OC ? 3 , OA ? 1 , AB ? 2 .
可得 △OBC 是等腰直角三角形.

A

P E
1 2F 3

B

4

x

??OBC ? 45 , CB ? 3 2 .
如图 1,设抛物线对称轴与 x 轴交于点 F ,

D
P?

图1

? AF ?

1 AB ? 1 . 2

过点 A 作 AE ? BC 于点 E .

??AEB ? 90 .
可得 BE ? AE ? 2 , CE ? 2 2 . 在 △ AEC 与 △ AFP 中, ?AEC ? ?AFP ? 90 , ?ACE ? ?APF ,

?△ AEC ∽△ AFP .
? AE CE 2 2 2 ? , . ? AF PF 1 PF

解得 PF ? 2 . 点 P 在抛物线的对称轴上,

2) 或 (2, ? 2) . ···························································5 分 ? 点 P 的坐标为 (2,

(3)解法一:如图 2,作点 A(1 , 0) 关于 y 轴的对称点 A? ,则 A?(?1, 0) . 连结 A?C,A?D , 可得 A?C ? AC ? 10 , ?OCA? ? ?OCA . 由勾股定理可得 CD2 ? 20 , A?D 2 ? 10 . 又 A?C 2 ? 10 ,

y
4 3 C 2 1

? A?D2 ? A?C 2 ? CD2 .

?△ A?DC 是等腰直角三角形, ?CA?D ? 90 ,
??DCA? ? 45 .

A? A B -1 O 1 2 F 3 4 -1 D -2

x

图2

??OCA? ? ?OCD ? 45 .
??OCA ? ?OCD ? 45 .
即 ?OCA 与 ?OCD 两角和的度数为 45 . ·················································7 分 解法二:如图 3,连结 BD . 同解法一可得 CD ? 20 , AC ? 10 . 在 Rt△DBF 中, ?DFB ? 90 , BF ? DF ? 1 ,

y
4 3 C 2 1 -2 -1 O -1 -2

A

? DB ? DF ? BF ? 2 .
2 2

1 2F 3

B

4

x

D
图3

在 △CBD 和 △COA 中,

BC 3 2 CD 20 DB 2 ? ? 2, ? ? 2, ? ? 2. OC 3 AO 1 CA 10
? DB BC CD ? ? . AO OC CA

?△CBD ∽△COA .
??BCD ? ?OCA .
?OCB ? 45 ,

??OCA ? ?OCD ? 45 .
即 ?OCA 与 ?OCD 两角和的度数为 45 .

(2013?十堰)已知抛物线 y=x ﹣2x+c 与 x 轴交于 A.B 两点,与 y 轴交于 C 点,抛 物线的顶点为 D 点,点 A 的坐标为(﹣1,0) . (1)求 D 点的坐标; (2)如图 1,连接 AC,BD 并延长交于点 E,求∠ E 的度数; (3)如图 2,已知点 P(﹣4,0) ,点 Q 在 x 轴下方的抛物线上,直线 PQ 交线段 AC 于点 M,当∠ PMA=∠ E 时,求点 Q 的坐标.

2

考 二次函数综合题. 点: 分 (1)将点 A 的坐标代入到抛物线的解析式求得 c 值,然后配方后即可确定顶 析: 点 D 的坐标; (2)连接 CD、CB,过点 D 作 DF⊥ y 轴于点 F,首先求得点 C 的坐标,然后 证得△ DCB∽ △ AOC 得到∠ CBD=∠ OCA,根据∠ ACB=∠ CBD+∠ E=∠ OCA+∠ OCB, 得到∠ E=∠ OCB=45°; (3)设直线 PQ 交 y 轴于 N 点,交 BD 于 H 点,作 DG⊥ x 轴于 G 点,增大 △ DGB∽ △ PON 后利用相似三角形的性质求得 ON 的长,从而求得点 N 的坐标, 进而求得直线 PQ 的解析式,
3718684

设 Q(m,n) ,根据点 Q 在 y=x ﹣2x﹣3 上,得到﹣ m﹣2=m ﹣2m﹣3,求 得 m、n 的值后即可求得点 Q 的坐标. 2 解 解: (1)把 x=﹣1,y=0 代入 y=x ﹣2x+c 得:1+2+c=0 答: ∴ c=﹣3 2 2 ∴ y=x ﹣2x﹣3=y=(x﹣1) ﹣4 ∴ 顶点坐标为(1,﹣4) ; (2)如图 1,连接 CD、CB,过点 D 作 DF⊥ y 轴于点 F, 2 由 x ﹣2x﹣3=0 得 x=﹣1 或 x=3 ∴ B(3,0) 2 当 x=0 时,y=x ﹣2x﹣3=﹣3 ∴ C(0,﹣3) ∴ OB=OC=3 ∵ ∠ BOC=90°, ∴ ∠ OCB=45°, BC=3 又∵ DF=CF=1,∠ CFD=90°, ∴ ∠ FCD=45°,CD= , ∴ ∠ BCD=180°﹣∠ OCB﹣∠ FCD=90°.

2

2

∴ ∠ BCD=∠ COA 又∵ ∴ △ DCB∽ △ AOC, ∴ ∠ CBD=∠ OCA 又∵ ∠ ACB=∠ CBD+∠ E=∠ OCA+∠ OCB ∴ ∠ E=∠ OCB=45°,

(3)如图 2,设直线 PQ 交 y 轴于 N 点,交 BD 于 H 点,作 DG⊥ x 轴于 G 点 ∵ ∠ PMA=45°, ∴ ∠ EMH=45°, ∴ ∠ MHE=90°, ∴ ∠ PHB=90°, ∴ ∠ DBG+∠ OPN=90° 又∴ ∠ ONP+∠ OPN=90°, ∴ ∠ DBG=∠ ONP 又∵ ∠ DGB=∠ PON=90°, ∴ △ DGB=∠ PON=90°, ∴ △ DGB∽ △ PON ∴ 即: = ∴ ON=2, ∴ N(0,﹣2) 设直线 PQ 的解析式为 y=kx+b 则

解得: ∴ y=﹣ x﹣2 设 Q(m,n)且 n<0, ∴ n=﹣ m﹣2 又∵ Q(m,n)在 y=x ﹣2x﹣3 上,
2

∴ n=m ﹣2m﹣3 ∴ ﹣ m﹣2=m ﹣2m﹣3 解得:m=2 或 m=﹣ ∴ n=﹣3 或 n=﹣ ∴ 点 Q 的坐标为(2,﹣3)或(﹣ ,﹣ ) . (2014?威海)如图,已知抛物线 y=ax +bx+c(a≠0)经过 A(﹣1,0),B(4, 0),C(0,2)三点. (1)求这条抛物线的解析式; (2)E 为抛物线上一动点,是否存在点 E 使以 A、B、E 为顶点的三角形与△COB 相似?若存在,试求出点 E 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若将直线 BC 平移,使其经过点 A,且与抛物线相交于点 D,连接 BD,试求 出∠BDA 的度数.
2

2

2

考点: 分析:

二次函数综合题 (1)本题需先根据已知条件,过 C 点,设出该抛物线的解析式为 y=ax2+bx+2,再根据过 A,B 两点,即可得出结果; (2)由图象可知,以 A、B 为直角顶点的△ABE 不存在,所以 △ABE 只可能是以点 E 为直角顶点的三角形.由相似关系求出点 E 的坐标; (3)如图 2,连结 AC,作 DE⊥x 轴于点 E,作 BF⊥AD 于点 F, 由 BC∥AD 设 BC 的解析式为 y=kx+b,设 AD 的解析式为 y=kx+n,由待定系数法求出一次函数的解析式,就可以求出 D 坐 标,由勾股定理就可以求出 BD 的值,由勾股定理的逆定理就可以 得出∠ACB=90°,由平行线的性质就可以得出∠CAD=90°,就可以 得出四边形 ACBF 是矩形,就可以得出 BF 的值,由勾股定理求出 DF 的值,而得出 DF=BF 而得出结论.

解答:

解:(1)∵该抛物线过点 C(0,2), ∴可设该抛物线的解析式为 y=ax2+bx+2. 将 A(﹣1,0),B(4,0)代入, 得 ,

解得



∴抛物线的解析式为:y=﹣ x2+ x+2.

(2)存在. 由图象可知,以 A、B 为直角顶点的△ABE 不存在,所以△ABE 只 可能是以点 E 为直角顶点的三角形.

[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

在 Rt△BOC 中,OC=2,OB=4, ∴BC= = . h= × 2×4,

在 Rt△BOC 中,设 BC 边上的高为 h,则 × ∴h= .

∵△BEA∽△COB,设 E 点坐标为(x,y),



=

,∴y=±2

将 y=2 代入抛物线 y=﹣ x + x+2,得 x1=0,x2=3. 当 y=﹣2 时,不合题意舍去. ∴E 点坐标为(0,2),(3,2).

2

(3)如图 2,连结 AC,作 DE⊥x 轴于点 E,作 BF⊥AD 于点 F,

∴∠BED=∠BFD=∠AFB=90°. 设 BC 的解析式为 y=kx+b,由图象,得 ,





yBC=﹣ x+2. 由 BC∥AD,设 AD 的解析式为 y=﹣ x+n,由图象,得 0=﹣ × (﹣1)+n ∴n=﹣ , yAD=﹣ x﹣ .

∴﹣ x2+ x+2=﹣ x﹣ , 解得:x1=﹣1,x2=5 ∴D(﹣1,0)与 A 重合,舍去,D(5,﹣3). ∵DE⊥x 轴, ∴DE=3,OE=5. 由勾股定理,得 BD= .

∵A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2), ∴OA=1,OB=4,OC=2. ∴AB=5 在 Rt△AOC 中,Rt△BOC 中,由勾股定理,得 AC=
2 2

,BC=2
2


2

∴AC =5,BC =20,AB =25, ∴AC +BC =AB
2 2

∴△ACB 是直角三角形, ∴∠ACB=90°. ∵BC∥AD, ∴∠CAF+∠ACB=180°, ∴∠CAF=90°. ∴∠CAF=∠ACB=∠AFB=90°, ∴四边形 ACBF 是矩形, ∴AC=BF= , ,

在 Rt△BFD 中,由勾股定理,得 DF= ∴DF=BF, ∴∠ADB=45°.

0? 、 C ? 0 , 4? 两点,与 x 轴交 (2009 武汉)如图,抛物线 y ? ax2 ? bx ? 4a 经过 A ? ?1, 于另一点 B . ⑴求抛物线的解析式; m ? 1? 在第一象限的抛物线上,求点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标; ⑵已知点 D ? m , ⑶在⑵的条件下,连接 BD ,点 P 为抛物线上一点,且 ?DBP ? 45? ,求点 P 的坐标.
y

C

A O

B

x

0? , C ? 0 , 4? 两点, 【答案】解:⑴∵抛物线 y ? ax2 ? bx ? 4a 经过 A ? ?1,
? a ? b ? 4a ? 0 ∴? ??4a ? 4 ? a ? ?1 解得 ? ?b ? 3

∴抛物线的解析式为 y ? ? x2 ? 3x ? 4 .
y

C

D

A

E O

B

x

m ? 1? 在抛物线上,∴ m ? 1 ? ?m2 ? 3m ? 4 , ⑵∵点 D ? m ,
即 m2 ? 2m ? 3 ? 0 ,∴ m ? ?1 或 m ? 3 . 4? . ∵点 D 在第一象限,∴点 D 的坐标为 ? 3 , 由⑴知 OC ? OB ,∴ ?CBA ? 45? . 设点 D 关于直线 BC 的对称点为点 E . 4? ,∴ CD ∥ AB ,且 CD ? 3 , ∵ C ?0 , ∴ ?ECB ? ?DCB ? 45? , ∴ E 点在 y 轴上,且 CE ? CD ? 3 . 1? . ∴ OE ? 1 ,∴ E ? 0 ,

y

C P A F O E

D

B

x

1? . 即点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标为 ? 0 , ⑶方法一:作 PF ? AB 于 F , DE ? BC 于 E . 由⑴有: OB ? OC ? 4 ,∴ ?OBC ? 45? , ∵ ?DBP ? 45? , ?CBD ? ?PBA . 4? , D ? 3 , 4? ,∴ CD ∥ OB 且 CD ? 3 . ∵ C ?0 , ∴ ?DCE ? ?CBO ? 45? , 3 2 ∴ DE ? CE ? . 2
∵ OB ? OC ? 4 ,∴ BC ? 4 2 ,∴ BE ? BC ? CE ?
DE 3 ? . BE 5 设 PF ? 3t ,则 BF ? 5t ,∴ OF ? 5t ? 4 , 3t ? . ∴ P ? ?5t ? 4 , ∵ P 点在抛物线上,
5 2 , 2

∴ tan ?PBF ? tan ?CBD ?

∴ 3t ? ? ? ?5t ? 4? ? 3? ?5t ? 4? ? 4 ,
2

∴ t ? 0 (舍去)或 t ?
y

22 ? 2 66 ? ,∴ P ? ? , ? . 25 ? 5 25 ?

Q

C P G

D

A O H

B

x

方法二:过点 D 作 BD 的垂线交直线 PB 于点 Q ,过点 D 作 DH ? x 轴于 H .过 Q 点作 QG ? DH 于 G . ∵ ?PBD ? 45? ,∴ QD ? DB . ∴ ?QDG ? ?BDH ? 90? , 又 ?DQG ? ?QDG ? 90? ,∴ ?DQG ? ?BDH . ∴ △QDG ≌△DBH ,∴ QG ? DH ? 4 , DG ? BH ? 1 . 4? ,∴ Q ? ?1, 3? . 由⑵知 D ? 3 ,
3 12 0? ,∴直线 BP 的解析式为 y ? ? x ? . ∵ B?4, 5 5

2 ? ? y ? ? x 2 ? 3x ? 4 x2 ? ? ? x ? 4 , ? ? ? 5 1 解方程组 ? ? 3 12 得 ? 66 y ? 0 y ? ? x ? ? 1 ? ?y ? 5 5 ? ? 2 25 ? ? 2 66 ? 点 P 的坐标为 ? ? , ? . ? 5 25 ?

(2013 年河南省中考数学试卷)如图,抛物线 y ? ? x2 ? bx ? c 与直线 y ?

1 x ? 2 交于 2

7? ? C , D 两点,其中点 C 在 y 轴上,点 D 的坐标为 ? 3 , ? .点 P 是 y 轴右侧的抛物线上 2? ? 一动点,过点 P 作 PE ? x 轴于点 E ,交 CD 于点 F . ⑴ 求抛物线的解析式; ⑵ 若点 P 的横坐标为 m ,当 m 为何值时,以 O , C , P , F 为顶点的四边形是平行 四边形?请说明理由. ⑶ 若存在点 P ,使 ?PCF ? 45? ,请直接写出相应的点 P 的坐标.
y P D C F

A

O E

B

x

【解答】⑴ ∵直线 y ?

1 x ? 2 经过点 C , 2 2? . ∴ C ?0 ,
7? ? ∵抛物线 y ? ? x2 ? bx ? c 经过点 C (0 ,2) , D ? 3 , ? , 2? ?

?2 ? c ? ∴ ?7 ? ?32 ? 3b ? c ? ?2

7 ? ?b ? 2. ∴? ? ?c ? 2 7 2 ∴抛物线的解析式为 y ? ? x ? x ? 2 2 m ⑵ ∵点 P 的横坐标为 且在抛物线上 7 1 ? ? ? ? 2 ∴ P ? m ,? m ? m ? 2 ? , F ? m , m ? 2 ? 2 2 ? ? ? ? ∵ PF ∥ CO , ∴当 PF ? CO 时,以 O , C , P , F 为顶点的四边 形是平行四边形. 7 ?1 ? 2 2 ①当 m<3 时, PF ? ?m ? m ? 2 ? ? m ? 2 ? ? ?m ? 3m 2 2 ? ? ∴ ?m2 ? 3m ? 2 , 解得: m1 ? 1 , m2 ? 2 . 即当 m ? 1 或 2 时,四边形 OCPF 是平行四边形. 7 ?1 ? ? ? 2 2 ②当 m ≥ 3 时, PF ? ? m ? 2 ? ? ? ?m ? m ? 2 ? ? m ? 3m 2 ?2 ? ? ?

m 2 ? 3m ? 2 , 3 ? 17 3 ? 17 解得: m1 ? , m2 ? (舍去) 2 2 3 ? 17 即当 m1 ? 时,四边形 OCFP 是平行四边形. 2 ⑶ 如图,当点 P 在 CD 上方且 ?PCF ? 45? 时, 作 PM ? CD , CN ? PF ,则
y P D C F N M

A

O E

B

x

△PMF ∽△CNF ,

PM CN m ? ? ?2 ∴ MF FN 1 m 2 ∴ PM ? CM ? 2CF

∴ PF ? 5 FM ? 5CF ? 5 ?

5 5 5 CN ? CN ? m 2 2 2

又∵ PF ? ?m2 ? 3m 5 2 ∴ ?m ? 3m ? m 2 1 解得: m1 ? , m2 ? 0 (舍去) 2 ?1 7? ∴ P? , ?. ?2 2? ? 23 13 ? P? , ? 同理可以求得:另外一点为 ? 6 18 ? .


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二次函数之压轴题 角度的存在性(四)(含答案) - 问题1:在分析特殊角的存在性问题,一般要将特殊角放在直角三角形中考虑,如何构造直角三角形? 问题2:在处理特殊...
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