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2015-2016学年辽宁省鞍山市第一中学高二下学期期中考试数学(理)试题(word)


2015-2016 学年辽宁省鞍山市第一中学高二下学期期中考试数学(理)试题 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
1.复数 A.1

2 ( i 是虚数单位)的虚部是( 1? i 1 1 B. i C. D. i 2 2



2.可导函数在闭区间的最大值必在( A.极值点 B.导数为 0 的点

)取得 D.区间端点

C.极值点或区间端点 )

3.下列推理过程利用的推理方法是(

①通过大量的试验得出抛硬币出现正面的概率为 0.4;②函数 f ( x) ? x ? | x | 为偶函数
2

A.演绎推理 归纳推理 C.归纳推理 合情推理

B.类比推理 演绎推理 D.归纳推理 演绎推理 )

4.圆上有 10 个点,过每 3 个点都可画 1 个圆的内接三角形,则所有圆的内接三角形的个数为( A.120 B.240 C.360 D.720 )

5.当一个圆与一个正方形的周长相等时,这个圆的面积 S 与正方形的面积 P 的大小关系为( A. S ? P B. S ? P C. S ? P D. S , P 的大小关系不定

7.设 z1 , z2 是复数,则下列命题中的假命题是( A.若 | z1 ? z2 |? 0 ,则 z1 ? z2 C.若 | z1 |?| z2 | ,则 z1 z1 ? z2 z2



B.若 z1 ? z2 ,则 z1 ? z2
2 D.若 | z1 |?| z2 | ,则 z12 ? z2

8.若函数 f ( x) ? x ln x ? a 有两个零点,则实数 a 的取值范围为( A. [0, ]



1 e

B. (0, )

1 e

C. (0, ]

1 e

D. (? , 0)

1 e

9.若函数 f ( x) 的导函数在区间 (a, b) 上的图象关于直线 x ? 的图象可能是( )

a?b 对称,则函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上 2



1第

A.①④

B.②④

C.③④

D.②③

10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,

16 1 即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V ,求其直径 d 的一个近似公式 d ? ( V ) 3 ,人们还 9
用过一些类似的近似公式,根据 ? ? 3.14159 ? 判断,下列近似公式中最精确的一个是( A. d ? ( )

16 1 V )3 9

B. d ? (

21 1 V )3 11

C. d ? (

300 1 V )3 157

D. d ? (2V ) 3 )种不同的站法

1

11.5 个人站成一列,重新站队时各人都不站在原来的位置上,共有( A.42 B.44 C.46 D.48
' ?x

12.已知函数 f ( x) 的定义域为 R ,且 f ( x) ? f ( x) ? 2 xe ,若 f (0) ? 1 ,则函数 ( ) B. [?1, 0] C. [0,1] D. [0, 2]

f ' ( x) 的取值范围为 f ( x)

A. [?2, 0]

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.设 f ( x) ? x , ( a, b 是常数) ,则 f (a ? bx) 的导数等于
3

. . 种.

14.直线 y ? 4 x 与曲线 y ? x 在第一象限内围成的封闭图形的面积为
3

15.将 5 名实习教师分配到高二年级的 3 个班实习,每班至少一名,则不同的分配方案有
1 2 3 n 16.计算 Cn 可以采用以下方法: ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn 0 1 2 2 n n 构造等式: Cn ? Cn x ? Cn x ? ? ? Cn x ? (1 ? x ) n ,两边对 x 求导得: 1 2 3 2 n n ?1 Cn ? 2Cn x ? 3Cn x ? ? ? nCn x ? n(1 ? x) n ?1 ,在上式中令 x ? 1 得: 1 2 3 n Cn ? 2Cn ? 3Cn ? ? ? nCn ? n 2n ?1 ,类比上述计算方法计算 1 2 3 n Cn ? 2 2 Cn ? 32 Cn ? ? ? n 2 Cn ?

.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. (本小题满分 10 分)
页 2第

在二项式 (1 ? 2 x) n ( n ? N * ) 的展开式中,偶数项的二项式系数之和为 128. (1)求展开式中的二项式系数最大项; (2)若展开式的第二项大于第三项,求 x 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? e x ? ax ? 1 . (1)若函数 f ( x) 在 R 上单调递增,求 a 的取值范围; (2)当 a ? 0 时,设函数 f ( x) 的最小值为 g (a ) ,求证: g (a ) ? 0 . 19. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的通项公式为: an ? n(1 ? ) n ( e 为自然对数的底数). (1)计算 a1 , a2 , a3 ,由此推测计算 a1a2 a3 ? an 的公式,并给出证明; (2)若 cn ?

1 n

an ,求证: 2 ? cn ? e . n

20. (本小题满分 12 分)

1 2 a ? ? (a ? R) . x x 2 x3 1 (1)若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 在 [ ?4, ? ] 上的最值; 2
已知函数 f ( x) ? (2)若 a ? 0 ,求函数 f ( x) 的极值点. 21. (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 1 ? 2 , S3 ? 9 ? 3 2 . (1)求数列 {an } 的通项 an 与前 n 项和为 S n ; (2)设 bn ?

Sn (n ? N *) ,求证:数列 {bn } 中任意不同的三项都不可能成为等比数列. n 1 处有水平切线. a

22.(本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? ( x ? 1)e (其中 a ? 0 ) ,曲线 y ? f ( x) 在 x ?
ax

(1)求 a 的值; (2)设 g ( x) ? f ( x) ? x ? x ln x , 证明:对任意 x1 , x2 ? (0, ??) ,有 | g ( x1 ) ? g ( x2 ) |? e ?1 ? 2e ?2 .



3第

参考答案 一、选择题 ACDAB DDDCB BA

二、填空题 13. ?3b(a ? bx) 2 三、解答题 17.解:由题意可得: 2n ?1 ? 128 ,∴ n ? 8
4 ∴ (1 ? 2 x) 展开式二项式系数最大项为第 5 项, T5 ? C8 (?2 x) 4 ? 1120 x 4 ,

14. 4

15.

150

16. n(n ? 1)2n ?1

8

1 因为 T2 ? C8 (?2 x) , T3 ? C82 (?2 x) 2 ,∴ T2 ? T3 的解集为 {x | ?

1 ? x ? 0} . 7

(2)∵ f ( x) ? e ? a , a ? 0 ,∴ f ( x) ? 0 ,得 x ? ln a ,
' x '

当 x ? ln a 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 递增,
'

当 x ? ln a 时, f ( x) ? 0 , f ( x) 递减,
'

∴ x ? ln a 时, f ( x) min ? g (a ) ? a ? a ln a ? 1 , 求 g ( a ) 在 a ? 0 时的最大值,可知当 a ? 1 时 g (a ) 取最大值 0, ∴ g (a) ? 0 . 19. 解:当 n ? 1 时, a1 ? 2 ;当 n ? 2 时, a2 ? ∴ a1a2 ? 9 , a1a2 a3 ? 64 , a1a2 a3 a4 ? 625 ,? 猜想 a1a2 a3 ? an ? (n ? 1) 2 , (n ? N )
*

9 64 625 ;当 n ? 3 时, a3 ? ? a4 ? 2 9 64

用数学归纳法证明(略) (2) 2 ? cn ,用二项展开式证明,将 (1 ? ) n 二项展开取前两项得证

1 n



4第

1 1 1 ,由 ln x ? x ? 1 可得 n n n 1 2 1 20.解: (1)∵ f ( x) ? ? 2 ? 3 ? x ?1 ? 2 x ?2 ? x ?3 , x x x
欲证 cn ? e ,只需证 n ln(1 ? ) ? 1 ,只要证 ln(1 ? ) ? ∴ f ( x) ? ? x
' ?2

? 4 x ?3 ? 3 x ?4 ? ?(

1 4 4 x2 ? 4 x ? 3 ( x ? 1)( x ? 3) ? ? ) ? ? ?? 2 3 3 4 x x x x x4

令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? ?3 或 x ? ?1 ,令 f ' ( x) ? 0 ,得 ?3 ? x ? ?1 , 令 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? ?3 或 x ? ?1 且 x ? 0 随 x 的变化, f ' ( x) , f ( x) 的变化情况如下:

∴ f ( x) 在 [ ?4, ? ] 的最大值为 0,最小值为-2.
'

1 2

(2) g ( x) ? ?
'

x 2 ? 2 x ? 3a ,令 x 2 ? 2 x ? 3a ? 0 ,则 ? ? 16 ? 12a , 4 x

4 ' 时, g ( x) ? 0 ,故 g ( x) 没有极值点; 3 4 ②当 ? ? 0 ,即 0 ? a ? 时, x1 ? ?2 ? 4 ? 3a , x2 ? ?2 ? 4 ? 3a ? 0 ,减区间为 (??, x1 ) , ( x2 , 0) ; 3
①当 ? ? 0 ,即 a ? 增区间为 ( x1 , x2 ) ,故有两个极值点 x1 , x2 . ③当 a ? 0 时, g ( x) ? 点 x ? ?4 . 当0 ? a ? 当a ?

1 2 x?4 ? 2 , g ' ( x) ? ? 3 ,减区间为 (??, ?4) ,增区间为 (?4, 0) ,故有一个极值 x x x

4 时, g ( x) 有两个极值点 x ? ?2 ? 4 ? 3a 3

4 时, g ( x) 没有极值点. 3

21.解: (1)由已知得: ?

? ?

a1 ? 2 ? 1

? ?3a1 ? 3d ? 9 ? 3 2

,∴ d ? 2 ,

故 an ? 2n ? 1 ? 2 , S n ? n(n ? 2) . (2)由(1)得: bn ?


Sn ? n? 2 , n
5第

假设数列 {bn } 中存在三项 bp , bq , br ( p, q, r 互不相等)成等比数列,则

bq2 ? bp br ,即 (q ? 2) 2 ? ( p ? 2)(r ? 2) ,
∴ (q 2 ? pr ) ? (2q ? p ? r ) 2 ? 0 ,∵ p, q, r ? N * ,

? q 2 ? pr ? 0 p?r 2 ∴? ,∴ ( ) ? pr , ( p ? r ) 2 ? 0 ,∴ p ? r , 2 ? 2q ? p ? r ? 0
与 p ? r 矛盾,所以数列 {bn } 中任意不同的三项都不可能成等比数列. 22. 解: (1)对 f ( x) 求导得: f ' ( x) ? (ax ? a ? 1)e ax ,由题意知 f ' ( ) ? ( a ? 2)e ? 0 , 解得: a ? ?2 . (2)若对任意 x1 , x2 ? (0,1) ,有 | g ( x1 ) ? g ( x2 ) |? e ?1 ? 2e ?2 ,则只需 g ( x) max ? g ( x) min 小于 e ?1 ? 2e ?2 , 令 g ( x) ? h( x) ? k ( x) ,其中 h( x) ? ( x ? 1)e
?2 x

1 a

, k ( x) ? x ln x , x ? (0,1) ,
?2 x

当 x ? (0,1) 时,通过求导,求最值得 h( x) ? ( x ? 1)e

的取值范围 1 ? h( x) ? 1 ? 2e ,
?1

?2

当 x ? (0,1) 时,通过求导,求最值得 k ( x) ? x ln x 的取值范围 ?e
?1 ?2

? k ( x) ? 0 ,

∴ g ( x) ? h( x) ? k ( x) ? (1 ? e ,1 ? 2e ) ,∴ g ( x) min ? 1 ? e ?1 , g ( x) max ? 1 ? 2e ?2 , ∴ g ( x) max ? g ( x) min ? e ?1 ? 2e ?2 .



6第


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