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高中数学2.4.1函数的零点课件新人教B版必修_图文

2.4.1 【学习要求】 函数的零点 1.了解函数零点的概念,会求函数的零点; 2.会判定二次函数零点的个数; 3.熟悉函数零点的性质,理解函数零点与方程根的关系. 【学法指导】 通过函数零点概念的建立,感知函数与方程的密切联系,进一 步加深对函数方程思想的理解, 同时体验数学中的转化思想的 意义和价值. 1.零点的定义:一般地,如果函数 y=f(x)在实数 α 处的值等于 零 ,即 f(α)=0 ,则 α 叫做这个函数的零点,我们也把一 个函数的图象与 x轴交点 的横坐标叫做这个函数的零点.函 数 y=f(x)有零点?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有 交点 ?方程 f(x)=0 有 实数根 . 2.二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)的零点. 当 Δ=b2-4ac>0 时,二次函数有__ 2 个零点; Δ=b2-4ac=0 时,二次函数有__ 1 个零点; Δ=b2-4ac<0 时,二次函数有__ 0 个零点. 3.如果函数 y=f(x)在实数集 R 上有零点 a,b (a<b),当函数的 变号 ,并在区间(-∞, 图象通过零点且穿过 x 轴时,函数值_____ a)、(a,b)、(b,+∞)上所有函数值保持同号. [ 问题情境 ] 下图是某地气象局测得当地一天的一张气温变 化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象),由于图象中 有一段被墨水污染了,有人想了解一下当天 7 时到 11 时之 间有无可能出现温度是 0 摄氏度, 你能帮助他做出正确判断 吗? 探究点一 导引 函数零点的定义 考察下列一元二次方程与对应的二次函数: (1)方程 x2-2x-3=0 与函数 y=x2-2x-3; (2)方程 x2-2x+1=0 与函数 y=x2-2x+1; (3)方程 x2-2x+3=0 与函数 y=x2-2x+3. 问题 1 你能列表表示出方程的根,函数的图象及图象与 x 轴 的交点坐标吗? 答 方程 函数 x2-2x-3=0 y=x2-2x-3 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3 函 数 的 图 象 方程的实数根 x1=-1,x2=3 函数的图象与 x 轴的交点 (-1,0)、(3,0) x1=x2=1 (1,0) 无实数根 无交点 问题 2 “导引”中方程的根与对应函数图象与轴的交点有怎样 的关系? 答 方程根的个数与对应函数与 x 轴交点的个数相同,方程的 根是函数与 x 轴交点的横坐标. 问题 3 在“导引”中,当 x 的值为-1,3 时,函数 y=x2-2x -3 的值为 0,我们把-1,3 叫做函数 y=x2-2x-3 的零点, 那么如何定义函数 f(x)的零点? 答 一般地, 如果函数 y=f(x)在实数 α 处的值等于零, 即 f(α) =0,则 α 叫做这个函数的零点.在坐标系中表示图象与 x 轴的公共点的是(α,0)点. 问题 4 函数 y=f(x)有零点可等价于哪些说法? 答 函数 y=f(x)有零点?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点? 方程 f(x)=0 有实数根. 问题 5 函数的零点与函数图象上的点有什么区别? 答 函数的零点不是点, 是函数值为 0 时对应的自变量的值, 也是函数图象与 x 轴交点的横坐标;函数图象上的点可用有 序实数对表示,而函数的零点只用一个实数表示. 例1 已知函数 y=ax2+bx+c,若 ac<0,则函数 f(x)的零点 ( C ) B.1 C. 2 D.不确定 个数有 A.0 解析 因为 ac<0,所以 Δ=b2-4ac>0, 所以函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个交点, 即函数 f(x)的零点个数为 2. 小结 求函数的零点或判断零点的个数除了利用零点的定 义外,还经常利用其等价结论. 跟踪训练 1 C.(4,0) 函数 y=x2-2x-8 的零点是 B.(-2,0) D.-2 和 4 ( D ) A.(-2,0),(4,0) 解析 函数 y=x2-2x-8 对应的方程为 x2-2x-8=0, 而方程 x2-2x-8=0 有两个实数根,x1=-2,x2=4, 由于函数零点就是对应方程的根,所以 D 选项正确. 探究点二 问题 1 函数零点的性质 二次函数 f(x)=x2-2x-3 的零点是什么, 画出函数 f(x) 的图象观察函数零点把 x 轴分成哪几部分?函数 f(x)在各部 分的函数值的符号有什么特点? 答 由 x2-2x-3=0,解得 x1=-1, x2=3,即函数的零点为-1,3. 画出函数 f(x)的图象如右图,发现函数 零点把 x 轴分成(-∞,-1),(-1,3), (3,+∞). 当 x∈(-1,3)时,y<0; 当 x∈(-∞,-1)∪(3,+∞)时,y>0. 问题 2 观察 f(x)=x2-2x-3 的图象, 指出函数值的符号在函 数零点附近发生怎样的变化? 答 当函数的图象通过零点且穿过 x 轴时,函数值变号. 问题 3 二次函数 f(x)=x2-2x-3 在区间(-2,1)上有零点 x= -1,而 f(-2)>0,f(1)<0,即 f(-2)· f(1)<0,在区间(2,4)上有 零点 x=3 而 f(2)<0,f(4)>0,即 f(2)· f(4)<0.由以上两步探索, 你可以得出什么样的结论? 答 如果函数 y=f(x)在区间[ a,b] 上的图象是连续不断的一 条曲线,并且有 f(a)· f(b)<0, 那么函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b), 使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. 问题 4 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的 一条曲线,函数 y = f(x) 在区间 (a , b) 上存在零点,那么 f(a)· f(b)<0 是否一定成立? 答