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2010中考数学专题复习——压轴题含答案 (2)


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中考(初三复习)数学资料

中考数学专题复习——压轴题
1.(2008 年四川省宜宾市) 已知:如图,抛物线 y=-x2+bx+c 与 x 轴、y 轴分别相交于点 A(-1,0)、B(0,3)两点,其 顶点为 D. (1) 求该抛物线的解析式; (2) 若该抛物线与 x 轴的另一个交点为 E. 求四边形 ABDE 的面积; (3) △AOB 与△BDE 是否相似?如果相似,请予以证明;如果不相似,请说明理由. (注:抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为 ? ??

?

b 4ac ? b 2 ? ? , ?) 2 a 4 a ? ?

. 2. (08 浙江衢州)已知直角梯形纸片 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所

示,四个顶点的坐标分别为 O(0,0),A(10,0),B(8, 2 3 ),C(0, 2 3 ),点 T 在线段 OA 上(不与线段端点重合), 将纸片折叠, 使点 A 落在射线 AB 上(记为点 A′),折痕经过点 T,折痕 TP 与射线 AB 交于点 P,设点 T 的横坐标为 t,折叠 后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为 S; (1)求∠OAB 的度数,并求当点 A′在线段 AB 上时,S 关于 t 的函数关系式; (2)当纸片重叠部分的图形是四边形时,求 t 的取值范围; (3)S 存在最大值吗?若存在,求出这个最大值,并求此时 t 的值;若不存在,请 说明理由.
y B C O T A x T A x y B

C O

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3. (08 浙江温州)如图,在 Rt△ ABC 中, ?A ? 90 , AB ? 6 , AC ? 8 , D,E 分别是 边 AB,AC 的中点,点 P 从点 D 出发沿 DE 方向运动,过点 P 作 PQ ? BC 于 Q ,过点 Q 作 QR ∥ BA 交 AC 于

R ,当点 Q 与点 C 重合时,点 P 停止运动.设 BQ ? x , QR ? y .
(1)求点 D 到 BC 的距离 DH 的长; (2)求 y 关于 x 的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围); (3)是否存在点 P ,使 △PQR 为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的 x 的值; 若不存在,请说明理由.

A D B P R E C

H Q

4.(08 山东省日照市)在△ ABC 中,∠A=90° ,AB=4,AC=3,M 是 AB 上的动点(不与 A,B 重合),过 M 点作 MN∥BC 交 AC 于点 N.以 MN 为直径作⊙O,并在⊙O 内作内接 矩形 AMPN.令 AM=x. (1)用含 x 的代数式表示△ MNP 的面积 S; (2)当 x 为何值时,⊙O 与直线 BC 相切? (3)在动点 M 的运动过程中,记△ MNP 与梯形 BCNM 重合的面积为 y,试求 y 关于 x 的函数表达式,并求 x 为何值时,y 的值最大,最大值是多少?
A A N C P 图 3 B 图 D 2 M O B P C B 图 1 C N M O A N

M

O

5、(2007浙江金华)如图1,已知双曲线y=

k (k>0)与直线y=k′x交于A,B两点,点A在 x
;若

第一象限.试解答下列问题:(1)若点A的坐标为(4,2).则点B的坐标为 点A的横坐标为m,则点B的坐标可表示为 ;

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(2)如图2,过原点O作另一条直线l,交双曲线y=

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k (k>0)于P,Q两点,点P在第一 x

象限.①说明四边形APBQ一定是平行四边形;②设点A.P的横坐标分别为m,n, 四边形APBQ可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能, 直接写出mn应满足的条件; 若不可能,请说明理由. y P A O B
图1

A x B Q O

图2

6. (2008浙江金华)如图1,在平面直角坐标系中,己知Δ AOB是等边三角形,点 A的坐标是(0,4),点B在第一象限,点P是x轴上的一个动点,连结AP,并把Δ AOP 绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到Δ ABD.(1)求直线AB的解析式; (2)当点P运动到点( 3 ,0)时,求此时DP的长及点D的坐标;(3)是否存在点

P,使Δ OPD的面积等于 请说明理由.

3 ,若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在, 4

7.(2008 浙江义乌)如图 1,四边形 ABCD 是正方形,G 是 CD 边上的一个动点(点 G 与 C、D 不重合),以 CG 为一边在正方形 ABCD 外作正方形 CEFG,连结 BG,DE.我们探究下列 图中线段 BG、线段 DE 的长度关系及所在直线的位置关系: (1)①猜想如图 1 中线段 BG、线段 DE 的长度关系及所在直线的位置关系; ②将图 1 中的正方形 CEFG 绕着点 C 按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度 ? , 得到如图 2、如图 3 情形.请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否 仍然成立,并选取图 2 证明你的判断.

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(2)将原题中正方形改为矩形(如图 4—6),且 AB=a,BC=b,CE=ka, CG=kb (a ? b, k ? 0),第(1)题①中得到的结论哪些成立,哪些不成立?若成立,以图 5 为例简要说 明理由.

(3)在第(2)题图 5 中,连结 DG 、 BE ,且 a=3,b=2,k=

1 ,求 BE 2 ? DG 2 的值. 2

8. (2008 浙江义乌)如图 1 所示, 直角梯形 OABC 的顶点 A、 C 分别在 y 轴正半轴与 x 轴负半 轴上.过点 B、 C 作直线 l . 将直线 l 平移, 平移后的直线 l 与 x 轴交于点 D, 与 y 轴交于点 E. (1)将直线 l 向右平移,设平移距离 CD 为 t (t ? 0),直角梯形 OABC 被直线 l 扫过的面积 (图中阴影部份)为 s , s 关于 t 的函数图象如图 2 所示, OM 为线段,MN 为抛物 线的一部分,NQ 为射线,N 点横坐标为 4. ①求梯形上底 AB 的长及直角梯形 OABC 的面积; ②当 2 ? t ? 4 时,求 S 关于 t 的函数解析式; (2)在第(1)题的条件下,当直线 l 向左或向右平移时(包括 l 与直线 BC 重合),在 直线 上是否存在点 P,使 ?PDE 为等腰直角三角形?若存在,请直接写出所有满 ..AB . . 足条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

9.(2008 山东烟台)如图,菱形 ABCD 的边长为 2,BD=2,E、F 分别是边 AD,CD 上的两个

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动点,且满足 AE+CF=2. (1)求证:△BDE≌△BCF; (2)判断△BEF 的形状,并说明理由; (3)设△BEF 的面积为 S,求 S 的取值范围.

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10.(2008 山东烟台)如图,抛物线 L1 : y ? ? x2 ? 2x ? 3 交 x 轴于 A、B 两点,交 y 轴于 M 点. 抛物线 L1 向右平移 2 个单位后得到抛物线 L2 , L2 交 x 轴于 C、D 两点. (1)求抛物线 L2 对应的函数表达式; (2)抛物线 L1 或 L2 在 x 轴上方的部分是否存在点 N,使以 A,C,M,N 为顶点的四边形 是平行四边形.若存在,求出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若点 P 是抛物线 L1 上的一个动点(P 不与点 A、B 重合),那么点 P 关于原点的对称 点 Q 是否在抛物线 L2 上,请说明理由.

11.2008 淅江宁波)2008 年 5 月 1 日,目前世界上最长的跨海大桥——杭州湾跨海大桥通车 了.通车后,苏南 A 地到宁波港的路程比原来缩短了 120 千米.已知运输车速度不变时,

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行驶时间将从原来的 3 时 20 分缩短到 2 时. (1)求 A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程. (2)若货物运输费用包括运输成本和时间成本,已知某车货物从 A 地到宁波港的运输成本 是每千米 1.8 元,时间成本是每时 28 元,那么该车货物从 A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港 的运输费用是多少元? (3)A 地准备开辟宁波方向的外运路线,即货物从 A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港,再从 宁波港运到 B 地.若有一批货物(不超过 10 车)从 A 地按外运路线运到 B 地的运费需 8320 元,其中从 A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与(2)中相同,从宁波港到 B 地的海上运费对一批不超过 10 车的货物计费方式是:一车 800 元,当货物每增加 1 车时, 每车的海上运费就减少 20 元,问这批货物有几车?

12.(2008 淅江宁波)如图 1,把一张标准纸一次又一次对开,得到“2 开”纸、“4 开”纸、“8 开”纸、“16 开”纸….已知标准纸 的 ...

短边长为 a . (1)如图 2,把这张标准纸对开得到的“16 开”张纸按如下步骤折 叠: 第一步 将矩形的短边 AB 与长边 AD 对齐折叠,点 B 落在 AD 上 的点 B? 处,铺平后得折痕 AE ; 第二步 将长边 AD 与折痕 AE 对齐折叠,点 D 正好与点 E 重合,铺平后得折痕 AF . 则 AD : AB 的值是 , AD,AB 的长分别是 , . (2)“2 开”纸、“4 开”纸、“8 开”纸的长与宽之比是否都相等?若相等,直接写出这 个比值;若不相等,请分别计算它们的比值. (3)如图 3,由 8 个大小相等的小正方形构成“ L ”型图案,它的四个顶点 E,F,G,H 分别在“16 开”纸的边 AB,BC,CD,DA 上,求 DG 的长.

①标准纸“2 开”纸、“4 开”纸、“8 开”纸、“16 开”纸……都是矩形. ②本题中所求边长或面积 都用含 a 的代数式表示.

( 4 )已知梯形 MNPQ 中, MN ∥ PQ , ∠M ? 90 , MN ? MQ ? 2PQ ,且四个顶点

M,N,P, Q 都在“4 开”纸的边上,请直接写出 2 个符合条件且大小不同的直角梯形的
面积.

4开 a 2开 8开 图1 16 开

A

B?
D F

A E

H

D G

B E 图2

C

B

F

C 图3

13.(2008 山东威海)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=7,CD=1,AD=BC=5.点 M,N 分别在边 AD,BC 上运动,并保持 MN∥AB,ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分别为 E,F.

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(1)求梯形 ABCD 的面积; (2)求四边形 MEFN 面积的最大值. (3)试判断四边形 MEFN 能否为正方形,若能, 求出正方形 MEFN 的面积;若不能,请说明理由.
D M C N

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A

E

F

B

14.(2008 山东威海)如图,点 A(m,m+1),B(m+3,m-1)都在反比例函数 y ? 的图象上. (1)求 m,k 的值; (2)如果 M 为 x 轴上一点,N 为 y 轴上一点, 以点 A,B,M,N 为顶点的四边形是平行四边形, 试求直线 MN 的函数表达式.
友情提示:本大题第(1)小题 4 分,第(2)小题 7 分. 对完成第 (2 ) 小题有困难的同学可以做下面的 ( 3) 选做题.选做题 2 分,所得分数计入总分.但第(2)、 (3) 小题都做的, 第 (3) 小题的得分不重复计入总分.

k x

y A B O x

(3)选做题:在平面直角坐标系中,点 P 的坐标 y 为(5,0),点 Q 的坐标为(0,3),把线段 PQ 向右平 移 4 个单位,然后再向上平移 2 个单位,得到线段 P1Q1, Q 2 则点 P1 的坐标为 ,点 Q1 的坐标为 .
1 O

Q1

P1 1 2 3 P x

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15.(2008 湖南益阳)我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”,如果 一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线. 如图 12,点 A、B、C、D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,已知点 D 的坐标为(0,-3), AB 为半圆的直径,半圆圆心 M 的坐标为(1,0),半圆半径为 2. (1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式,并写出自变量的取值范围; (2)你能求出经过点 C 的“蛋圆”切线的解析式吗?试试看; (3)开动脑筋想一想,相信你能求出经过点 D 的“蛋圆”切线的解析式.
y

C

A O M

B

x

D 图 12

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16.(2008 年浙江省绍兴市)将一矩形纸片 OABC 放在平面直角坐标系中, O(0, 0) , A(6, 0) ,

2 C (0, 3) .动点 Q 从点 O 出发以每秒 1 个单位长的速度沿 OC 向终点 C 运动,运动 秒时, 3 动点 P 从点 A 出发以相等的速度沿 AO 向终点 O 运动.当其中一点到达终点时,另一点也 停止运动.设点 P 的运动时间为 t (秒).
(1)用含 t 的代数式表示 OP,OQ ;

P Q 沿 PQ 翻折,点 O 恰好落在 CB 边上的点 D 处,求点 D (2) 当 t ? 1 时, 如图 1, 将 △O
的坐标; (4) 连结 AC ,将 △OPQ 沿 PQ 翻折,得到 △EPQ ,如图 2.问: PQ 与 AC 能否平 行? PE 与 AC 能否垂直?若能,求出相应的 t 值;若不能,说明理由. y D B C E Q P 图1 A x O 图2 P A x B

y C Q O

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17.(2008 年辽宁省十二市)如图 16,在平面直角坐标系中,直线 y ? ? 3x ? 3 与 x 轴交于 点 A ,与 y 轴交于点 C ,抛物线 y ? ax ?
2

2 3 x ? c(a ? 0) 经过 A,B,C 三点. 3

(1)求过 A,B,C 三点抛物线的解析式并求出顶点 F 的坐标; (2)在抛物线上是否存在点 P ,使 △ ABP 为直角三角形,若存在,直接写出 P 点坐标; 若不存在,请说明理由; (3) 试探究在直线 AC 上是否存在一点 M , 使得 △MBF 的周长最小, 若存在, 求出 M 点 的坐标;若不存在,请说明理由. y

A C

O F

B

x

图 16

18.(2008 年沈阳市)如图所示,在平面直角坐标系中,矩形 ABOC 的边 BO 在 x 轴的负半轴 上,边 OC 在 y 轴的正半轴上,且 AB ? 1 , OB ? 3 ,矩形 ABOC 绕点 O 按顺时针方向 旋转 60 后得到矩形 EFOD .点 A 的对应点为点 E ,点 B 的对应点为点 F ,点 C 的对应点 为点 D ,抛物线 y ? ax ? bx ? c 过点 A,E,D .
2

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(1)判断点 E 是否在 y 轴上,并说明理由; (2)求抛物线的函数表达式;

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(3)在 x 轴的上方是否存在点 P ,点 Q ,使以点 O,B,P,Q 为顶点的平行四边形的面 积是矩形 ABOC 面积的 2 倍,且点 P 在抛物线上,若存在,请求出点 P ,点 Q 的坐标;若 不存在,请说明理由. y E A B F C O D x

19.(2008 年四川省巴中市) 已知:如图 14,抛物线 y ? ? 与直线 y ? ?

3 2 x ? 3 与 x 轴交于点 A ,点 B , 4

3 3 x ? b 相交于点 B ,点 C ,直线 y ? ? x ? b 与 y 轴交于点 E . 4 4 (1)写出直线 BC 的解析式. (2)求 △ ABC 的面积. (3)若点 M 在线段 AB 上以每秒 1 个单位长度的速度从 A 向 B 运动(不与 A,B 重合), 同时,点 N 在射线 BC 上以每秒 2 个单位长度的速度从 B 向 C 运动.设运动时间为 t 秒, 请写出 △MNB 的面积 S 与 t 的函数关系式, 并求出点 M 运动多少时间时,△MNB 的面积
最大,最大面积是多少?

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20.(2008 年成都市)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,△OAB 的顶点A的坐标为(10,0), 顶点 B 在第一象限内,且 AB =3 5 ,sin∠OAB=

5 . 5

(1)若点 C 是点 B 关于 x 轴的对称点,求经过 O、C、A 三点的抛物线的函数表达式; (2)在(1)中,抛物线上是否存在一点 P,使以 P、O、C、A 为顶点的四边形为梯形?若存 在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若将点 O、点 A 分别变换为点 Q( -2k ,0)、点 R(5k,0)(k>1 的常数),设过 Q、 R 两点,且以 QR 的垂直平分线为对称轴的抛物线与 y 轴的交点为 N,其顶点为 M,记△ QNM 的面积为 S ?QMN ,△QNR 的面积 S ?QNR ,求 S ?QMN ∶ S ?QNR 的值.

21.(2008 年乐山市)在平面直角坐标系中△ABC 的边 AB 在 x 轴上,且 OA>OB,以 AB 为直 径的圆过点 C 若 C 的坐标为 (0,2),AB=5, A,B 两点的横坐标 XA,XB 是关于 X 的方程

x2 ? (m ? 2) x ? n ?1 ? 0 的两根:
(1) 求 m,n 的值 (2) 若∠ACB 的平分线所在的直线 l 交 x 轴于点 D,试求直线 l 对应的一次函数的解析式 (3) 过点 D 任作一直线 l 分别交射线 CA,CB(点 C 除外)于点 M,N,则 是否为定值,若是,求出定值,若不是,请说明理由
`

1 1 ? 的值 CM CN

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C

M

A

D

O

B

N L`

22.(2008 年四川省宜宾市)已知:如图,抛物线 y=-x2+bx+c 与 x 轴、y 轴分别相交于点 A(-1, 0)、B(0,3)两点,其顶点为 D. (1)求该抛物线的解析式; (2)若该抛物线与 x 轴的另一个交点为 E. 求四边形 ABDE 的面积; (3)△AOB 与△BDE 是否相似?如果相似,请予以证明;如果不相似,请说明理由. (注:抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为 ? ??

?

b 4ac ? b 2 ? ?) , 4a ? ? 2a ?

23.(天津市 2008 年)已知抛物线 y ? 3ax 2 ? 2bx ? c , (Ⅰ)若 a ? b ? 1 , c ? ? 1 ,求该抛物线与 x 轴公共点的坐标;

(Ⅱ)若 a ? b ? 1 ,且当 ?1 ? x ? 1 时,抛物线与 x 轴有且只有一个公共点,求 c 的取值范围;

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(Ⅲ) 若a ? b ? c ? 0, 且 x1 ? 0 时, 对应的 y1 ? 0 ; 对应的 y 2 ? 0 , 试判断当 0 ? x ? 1 x 2 ? 1 时, 时,抛物线与 x 轴是否有公共点?若有,请证明你的结论;若没有,阐述理由.

24.(2008 年大庆市) 如图①,四边形 AEFG 和 ABCD 都是正方形,它们的边长分别为 a, b ( b ≥ 2 a ),且点 F 在 AD 上(以下问题的结果均可用 a, b 的代数式表示).
(1)求 S△DBF ; (2)把正方形 AEFG 绕点 A 按逆时针方向旋转 45°得图②,求图②中的 S△DBF ; (3)把正方形 AEFG 绕点 A 旋转一周,在旋转的过程中, S△DBF 是否存在最大值、最小 值?如果存在,直接写出最大值、最小值;如果不存在,请说明理由. D F G . A F E B ① G A B ② E C D C

25. (2008 年上海市)已知 AB ? 2,AD ? 4 , ?DAB ? 90 , AD ∥ BC (如图 13). E 是射线 BC 上的动点(点 E 与点 B 不重合), M 是线段 DE 的中点. (1)设 BE ? x , △ ABM 的面积为 y ,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数的定义域; (2)如果以线段 AB 为直径的圆与以线段 DE 为直径的圆外切,求线段 BE 的长; (3)联结 BD ,交线段 AM 于点 N ,如果以 A,N,D 为顶点的三角形与 △BME 相似, 求线段 BE 的长. A D M B E C B C A D

图 13

备用图

26. (2008 年陕西省)某县社会主义新农村建设办公室,为了解决该县甲、乙两村和一所中

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学长期存在的饮水困难问题, 想在这三个地方的其中一处建一所供水站. 由供水站直接铺设 管道到另外两处. 如图, 甲, 乙两村坐落在夹角为 30 的两条公路的 AB 段和 CD 段 (村子和公路的宽均不计) , 点 M 表示这所中学.点 B 在点 M 的北偏西 30 的 3km 处,点 A 在点 M 的正西方向,点 D 在点 M 的南偏西 60 的 2 3 km 处. 为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短,现有如下三种方案: 方案一:供水站建在点 M 处,请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小 值; 方案二:供水站建在乙村(线段 CD 某处),甲村要求管道建设到 A 处,请你在图①中,画 出铺设到点 A 和点 M 处的管道长度之和最小的线路图,并求其最小值; 方案三:供水站建在甲村(线段 AB 某处),请你在图②中,画出铺设到乙村某处和点 M 处 的管道长度之和最小的线路图,并求其最小值. 综上,你认为把供水站建在何处,所需铺设的管道最短? 北 东 B 甲村 A M C 乙村 D 图① E A F 甲村 M C 乙村 D 图② E B F

30
O

30
O

27. (2008 年山东省青岛市)已知:如图①,在 Rt△ACB 中,∠C=90°,AC=4cm,BC= 3cm,点 P 由 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动,速度为 1cm/s;点 Q 由 A 出发沿 AC 方向向 点 C 匀速运动,速度为 2cm/s;连接 PQ.若设运动的时间为 t(s)(0<t<2),解答下列 问题: (1)当 t 为何值时,PQ∥BC? (2)设△AQP 的面积为 y( cm ),求 y 与 t 之间的函数关系式; (3)是否存在某一时刻 t,使线段 PQ 恰好把 Rt△ACB 的周长和面积同时平分?若存在,求 出此时 t 的值;若不存在,说明理由; (4)如图②,连接 PC,并把△PQC 沿 QC 翻折,得到四边形 PQP′C,那么是否存在某一时 刻 t,使四边形 PQP′C 为菱形?若存在,求出此时菱形的边长;若不存在,说明理由.
2

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B P P

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B

A

Q 图①

C

A 图②

Q

C

P?

k 1 与直线 y ? x 相交于 A、B 两点.第一象限 x 4 k 上的点 M(m,n)(在 A 点左侧)是双曲线 y ? 上的动点.过点 B 作 BD∥y 轴于点 D.过 N x k (0,-n)作 NC∥x 轴交双曲线 y ? 于点 E,交 BD 于点 C. x
28. (2008 年江苏省南通市)已知双曲线 y ? (1)若点 D 坐标是(-8,0),求 A、B 两点坐标及 k 的值. (2)若 B 是 CD 的中点,四边形 OBCE 的面积为 4,求直线 CM 的解析式. (3)设直线 AM、BM 分别与 y 轴相交于 P、Q 两点,且 MA=pMP,MB=qMQ,求 p-q 的值.

y M D B C E O N A x

29. (2008 年江苏省无锡市)一种电讯信号转发装置的发射直径为 31km.现要求:在一边 长为 30km 的正方形城区选择若干个安装点,每个点安装一个这种转发装置,使这些装置转 发的信号能完全覆盖这个城市.问: (1)能否找到这样的 4 个安装点,使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求? (2)至少需要选择多少个安装点,才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求? 答题要求:请你在解答时,画出必要的示意图,并用必要的计算、推理和文字来说明你的理 由.(下面给出了几个边长为 30km 的正方形城区示意图,供解题时选用)

图1

图2

图3

图4

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压轴题答案
?c ? 3 解得 ? ??1 ? b ? c ? 0
2

1. 解:( 1)由已知得: c=3,b=2

∴抛物线的线的解析式为 y ? ? x ? 2 x ? 3 (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4) 所以对称轴为 x=1,A,E 关于 x=1 对称,所以 E(3,0) 设对称轴与 x 轴的交点为 F 所以四边形 ABDE 的面积= S?ABO ? S梯形BOFD ? S?DFE

y

D B G A O F E
x

1 1 1 AO ? BO ? ( BO ? DF ) ? OF ? EF ? DF 2 2 2 1 1 1 = ?1? 3 ? (3 ? 4) ?1 ? ? 2 ? 4 2 2 2
= =9 (3)相似 如图,BD= BG2 ? DG2 ? 12 ? 12 ? 2 BE= BO2 ? OE 2 ? 32 ? 32 ? 3 2 DE= DF 2 ? EF 2 ? 22 ? 42 ? 2 5

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2 2 2

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2 2 2 所以 BD ? BE ? 20 , DE ? 20 即: BD ? BE ? DE ,所以 ?BDE 是直角三角形

所以 ?AOB ? ?DBE ? 90? ,且 所以 ?AOB

AO BO 2 , ? ? BD BE 2

?DBE .

2. (1) ∵A,B 两点的坐标分别是 A(10,0)和 B(8, 2 3 ), ∴ tan?OAB ?

2 3 ? 3, 10 ? 8

∴ ?OAB ? 60? 当点 A?在线段 AB 上时,∵ ?OAB ? 60? ,TA=TA?, ∴△A?TA 是等边三角形,且 TP ? TA ? , ∴ T P ? (10 ? t ) sin 60? ?

1 1 3 (10 ? t ) , A ?P ? AP ? AT ? (10 ? t ) , 2 2 2
y A? C E B

∴ S ? S ?A?TP ?

1 3 A?P ? T P ? (10 ? t ) 2 , 2 8

O T 所以此时 6 ? t ? 10 . (2)当点 A?在线段 AB 的延长线,且点 P 在线段 AB(不与 B 重合)上时, 纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1),其中 E 是 TA?与 CB 的交点), 当点 P 与 B 重合时,AT=2AB=8,点 T 的坐标是(2,0) y 又由(1)中求得当 A?与 B 重合时,T 的坐标是(6,0) 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时, 2 ? t ? 6 . E (3)S 存在最大值 C
1 当 6 ? t ? 10 时, S ? ○

2 3 当 A?与 B 重合时,AT=AB= ? 4, sin 60?

P A x

A? P B

F

3 (10 ? t ) 2 , 8

O

T

A x

在对称轴 t=10 的左边,S 的值随着 t 的增大而减小, ∴当 t=6 时,S 的值最大是 2 3 .
2 当 2 ? t ? 6 时,由图○ 1 ,重叠部分的面积 S ? S ○ ?A?TP ? S ?A?EB

∵△A?EB 的高是 A ?B sin 60? , ∴S ?

3 1 3 (10 ? t ) 2 ? (10 ? t ? 4) 2 ? 8 2 2

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?

3 3 (?t 2 ? 4t ? 28) ? ? ( t ? 2) 2 ? 4 3 8 8

当 t=2 时,S 的值最大是 4 3 ;
3 当 0 ? t ? 2 ,即当点 A?和点 P 都在线段 AB 的延长线是(如图○ 2 ,其中 E 是 TA?与 ○ CB 的交点,F 是 TP 与 CB 的交点), ∵ ?EFT ? ?FTP ? ?ETF ,四边形 ETAB 是等腰形,∴EF=ET=AB=4,

∴S ?

1 1 EF ? OC ? ? 4 ? 2 3 ? 4 3 2 2

综上所述,S 的最大值是 4 3 ,此时 t 的值是 0 ? t ? 2 . 3. 解:(1)

?A ? Rt? , AB ? 6 , AC ? 8 ,? BC ? 10 . 1 点 D 为 AB 中点,? BD ? AB ? 3 . 2

?DHB ? ?A ? 90 , ?B ? ?B .
?△BHD ∽△BAC , DH BD BD 3 12 ? ? AC ? ? 8 ? . ,? DH ? AC BC BC 10 5
(2)

QR ∥ AB ,??QRC ? ?A ? 90 .

?C ? ?C ,? △RQC ∽△ABC ,

?

RQ QC y 10 ? x ? ,? ? , AB BC 6 10 3 x ? 6. 5

即 y 关于 x 的函数关系式为: y ? ? (3)存在,分三种情况:

①当 PQ ? PR 时,过点 P 作 PM ? QR 于 M ,则 QM ? RM . A

?1 ? ?2 ? 90 , ?C ? ?2 ? 90 ,
??1 ? ?C .
B

? cos ?1 ? cos C ?

8 4 QM 4 ? ,? ? , 10 5 QP 5

D P 1 M 2 H Q

R

E C

1? 3 ? ? ? x ? 6? 4 2 5 ? ? ,? x ? 18 . ? ? 12 5 5 5
3 12 ②当 PQ ? RQ 时, ? x ? 6 ? , 5 5

A D B H A D B EP R C P E Q

R C

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? x ? 6.
③当 PR ? QR 时,则 R 为 PQ 中垂线上的点, 于是点 R 为 EC 的中点,

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1 1 CE ? AC ? 2 . 2 4 QR BA tan C ? ? , CR CA 3 ? x?6 15 6 ? 5 ? ,? x ? . 2 2 8 18 15 综上所述,当 x 为 或6或 时, △PQR 为等腰三角形. 5 2 ? CR ?
4. 解:(1)∵MN∥BC,∴∠AMN=∠B,∠ANM=∠C. ∴ △ AMN ∽ △ ABC.

A M O P B 图 1 C N

x AN ∴ AM ? AN ,即 ? . 4 3 AB AC 3 ∴ AN= x. ……………2 分 4
∴ S = S ?MNP ? S ?AMN ?

1 3 3 ? x ? x ? x 2 .(0< x <4) ……………3 分 2 4 8
1 MN. 2

(2)如图 2,设直线 BC 与⊙O 相切于点 D,连结 AO,OD,则 AO =OD = 在 Rt△ABC 中,BC = AB2 ? AC 2 =5. 由(1)知 △ AMN ∽ △ ABC.
M O B Q D 图 2 A N

x MN ∴ AM ? MN ,即 ? . 4 5 AB BC

C

5 x, 4 5 ∴ OD ? x . 8
∴ MN ?

…………………5 分

过 M 点作 MQ⊥BC 于 Q,则 MQ ? OD ?

5 x. 8

在 Rt△ BMQ 与 Rt△ BCA 中,∠B 是公共角, ∴ △ BMQ∽△BCA. ∴ BM ? QM . BC AC

5 5? x 8 ? 25 x , AB ? BM ? MA ? 25 x ? x ? 4 . ∴ BM ? 24 3 24
∴ x=

96 . 49

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∴ 当 x=

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96 时,⊙O 与直线 BC 相切.…………………………………7 分 49 (3)随点 M 的运动,当 P 点落在直线 BC 上时,连结 AP,则 O 点为 AP 的中点. A ∵ MN∥BC,∴ ∠AMN=∠B,∠AOM=∠APC. ∴ △ AMO ∽ △ ABP. M N ∴ AM ? AO ? 1 . AM=MB=2. O AB AP 2
故以下分两种情况讨论:
B 图

3 ① 当 0< x ≤2 时, y ? SΔPMN ? x 2 . 8
∴ 当 x =2 时, y最大 ?

P 3

C

3 2 3 ? 2 ? . ……………………………………8 分 8 2
M E P 图 O

A

② 当 2< x <4 时,设 PM,PN 分别交 BC 于 E,F. ∵ 四边形 AMPN 是矩形, ∴ PN∥AM,PN=AM=x. 又∵ MN∥BC, ∴ 四边形 MBFN 是平行四边形. ∴ FN=BM=4-x. ∴ PF ? x ? ? 4 ? x ? ? 2x ? 4 . 又△ PEF ∽ △ ACB.

N C

B

F 4

S ?PEF ? PF ? ∴ ? . ? ? S ?ABC ? AB ?


2

3 2 ? x ? 2? . … … … … … … … … … … … … … … … … … … 9 分 2 3 3 9 2 y ? S?MNP ? S?PEF = x 2 ? ? x ? 2 ? ? ? x 2 ? 6 x ? 6 . … … … … … … … … 1 0 分 8 2 8 S ?PEF ?
2

9 2 9? 8? 当 2< x <4 时, y ? ? x ? 6 x ? 6 ? ? ? x ? ? ? 2 . 8 8? 3?
8 时,满足 2< x <4, y最大 ? 2 . ……………………11 分 3 8 综上所述,当 x ? 时, y 值最大,最大值是 2. …………………………12 分 3 k 5. 解:(1)(-4,-2);(-m,- ) m
∴ 当x ? (2) ①由于双曲线是关于原点成中心对称的,所以OP=OQ,OA=OB,所以四边形APBQ 一定是平行四边形 ②可能是矩形,mn=k即可 不可能是正方形,因为 Op 不能与 OA 垂直. 解:(1)作BE⊥OA,

阳光家教网 www.ygjj.com ∴Δ AOB是等边三角形
∴BE=OB·sin60 = 2 3 ,
o

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∴B( 2 3 ,2) ∵A(0,4),设 AB 的解析式为 y ? kx ? 4 ,所以 2 3k ? 4 ? 2 ,解得 k ? ? 解析式为

3 ,的以直线 AB 的 3

y??

3 x?4 3
o

(2)由旋转知,AP=AD, ∠PAD=60 ,

∴Δ APD是等边三角形,PD=PA= AO2 ? OP2 ? 19
6. 解:(1)作BE⊥OA,∴Δ AOB是等边三角形∴BE=OB·sin60 = 2 3 ,
o

∴B( 2 3 ,2)
∵A(0,4),设 AB 的解析式为 y ? kx ? 4 ,所以 2 3k ? 4 ? 2 ,解得 k ? ?

3 , 3

以直线 AB 的解析式为 y ? ?

3 x?4 3
o

(2)由旋转知,AP=AD, ∠PAD=60 , ∴Δ APD 是等边三角形,PD=PA=

AO2 ? OP2 ? 19
y

如图,作 BE⊥AO,DH⊥OA,GB⊥DH,显然Δ GBD 中∠GBD=30° ∴GD=

1 BD= 2

3 3 5 3 ,DH=GH+GD= +2 3= , 2 2 2

A H E O P

G B

D

∴GB=

3 3 7 3 BD= ,OH=OE+HE=OE+BG= 2 ? ? 2 2 2 2

5 3 7 ∴D( , ) 2 2
(3)设 OP=x,则由 (2) 可得 D( 2 3 ? x, 2 ?

x

3 1 3 3 x )若Δ OPD 的面积为: x (2 ? x) ? 2 2 2 4

解得: x ?

?2 3 ? 21 ?2 3 ? 21 所以 P( ,0) 3 3

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7. 解:

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(1)① BG ? DE, BG ? DE ……………………………………………………………… 2分 ②

BG ? DE, BG ? DE







立 ……………………………………………………1 分 在图(2)中证明如下 ∵四边形 ABCD 、四边形 ABCD 都是正方形
0 ∴ BC ? CD , CG ? CE , ?BCD ? ?ECG ? 90



?BCG ? ?DCE …………………………………………………………………1 分 ∴ ?BCG ? ?DCE (SAS) ………………………………………………………
1分 ∴ BG ? DE

?C B G ? ? C D E

又∵ ?BHC ? ?DHO ∴ ?CDE ? ?DHO ? 90
0

?CBG ? ?BHC ? 900
∴ ?DOH ? 90
0

∴ BG ? DE …………………………………………………………………………1 分 (2)BG ? DE 成立,BG ? DE 不成立 ………………………………………………… 2分 简要说明如下

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∵四边形 ABCD 、四边形 CEFG 都是矩形, 且 AB ? a , BC ? b , CG ? kb , CE ? ka ( a ? b , k ? 0 )

BC CG b ? ? , ?BCD ? ?ECG ? 900 DC CE a ∴ ?BCG ? ?DCE
∴ ∴

?BCG

?DCE ………………………………………………………………………1 分 ∴ ?CBG ? ?CDE
又∵ ?BHC ? ?DHO ∴ ?CDE ? ?DHO ? 90 ∴
0

?CBG ? ?BHC ? 900
∴ ?DOH ? 90
0

BG ? DE

……………………………………………………………………………1 分 ∴ BE ? DG ? OB ? OE ? OG ? OD ? BD ? GE
2 2 2 2 2 2 2 2

(3)∵ BG ? DE

又∵ a ? 3 , b ? 2 , k ? ∴

1 2

3 65 BD 2 ? GE 2 ? 22 ? 32 ? 12 ? ( ) 2 ? ………………………………………………1 分 2 4


BE 2 ? DG 2 ?
8. 解:

65 4

………………………………………………………………………1 分

(1)① AB ? 2 ……………………………………………………………………………2 分

OA ?

8 ? 4 , OC ? 4 ,S 梯形 OABC=12 ……………………………………………2 分 2 ②当 2 ? t ? 4 时, 直角梯形 OABC 被直线 l 扫过的面积=直角梯形 OABC 面积-直角三角开

DOE 面积

S ?1 2?


1 ( 4?t )? 2 ( 4 ? t 2
2

? ) 2t?

?t 8………………………………………… ? 4 4分
) 存

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在 ……………………………………………………………………………………1 分

8 P 1 ( ?12, 4), P 2 ( ?4, 4), P 3 ( ? , 4), P 4 (4, 4), P 5 (8, 4) …(每个点对各得 1 分)……5 分 3
对于第(2)题我们提供如下详细解答(评分无此要求).下面提供参考解法二: ① 以点 D 为直角顶点,作 PP 1 ?x 轴

OE ? 2OD, ? 设 OD ? b,OE ? 2b . Rt?ODE ? Rt?PPD 在Rt ?ODE中, (图示 , 1
阴影)

? b ? 4, 2b ? 8 ,在上面二图中分别可得到 P 点的生标为 P(-12,4)、P(-4,4)
E 点在 0 点与 A 点之间不可能; ② 以点 E 为直角顶点

同理在②二图中分别可得 P 点的生标为 P(-

8 ,4)、P(8,4)E 点在 0 点下方不可能. 3

以点 P 为直角顶点

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同理在③二图中分别可得 P 点的生标为 P(-4,4)(与①情形二重合舍去)、P(4,4), E 点在 A 点下方不可能. 综上可得 P 点的生标共 5 个解,分别为 P(-12,4)、P(-4,4)、P(- P(8,4)、P(4,4). 下面提供参考解法二: 以直角进行分类进行讨论(分三类): 第一类如上解法⑴中所示图

8 ,4)、 3

此时D (-b,o),E(O,2b) ?P为直角:设直线DE:y ? 2x ? 2b,
b 1 b 的中点坐标为 (- ,b),直线 DE 的中垂线方程: y ? b ? ? ( x ? ) ,令 y ? 4 得 2 2 2 P( 3b 3 ? 8, 4) .由已知可得 2 PE ? DE 即 2 ? ( b ? 8)2 ? (4 ? 2b)2 ? b2 ? 4b2 化简 2 2
2

得 3b ? 32b ? 64 ? 0 解得 b1 ? 8,b2 ?

8 3b 将之代入( P -8,4) ?P (4,4)、 1 ? 3 2

P2 (?4,4) ;
第二类如上解法②中所示图

此时D (-b,o),E(O,2b) ?E为直角:设直线DE:y ? 2x ? 2b,
,直线 PE 的方程: y ? ?

1 x ? 2b ,令 y ? 4 得 P(4b ? 8,4) .由已知可得 PE ? DE 即 2

(4b ? 8) 2 ? (4 ? 2b) 2 ? b 2 ? 4b 2 化简得 b2 ? (2b ? 8)2 解之得 ,

b1 ? 4,b2 ?

8 4 P4 (? , 4) 将之代入( P 4b-8,4) ? P3 ? (8,4)、 3 3

第三类如上解法③中所示图

此时D (-b,o),E(O,2b) ?D为直角:设直线DE:y ? 2 x ? 2b,
,直线 PD 的方程: y ? ? ( x ? b) ,令 y ? 4 得 P(?b ? 8,4) .由已知可得 PD ? DE 即

1 2

P -b-8,4) ?P (-12,4)、 82 ? 42 ? b2 ? 4b2 解得 b1 ? 4,b2 ? ?4将之代入( 5 ?

P6 (?4,4) ( P6 (?4,4) 与 P2 重合舍去).
综上可得 P 点的生标共 5 个解,分别为 P(-12,4)、P(-4,4)、P(-

8 ,4)、 3

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P(8,4)、P(4,4).

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事实上,我们可以得到更一般的结论:

OA ? h、 如果得出 AB ? a、OC ? b、 设k ?

b?a ,则 P 点的情形如下 h

直角分类情形

k ?1

k ?1

?P为直角

P 1 (h, h) P2 (?h, h)
P3 (? hk , h) 1? k hk P4 ( , h) k ?1

P 1 (?h, h)

?E为直角

h P2 (? , h) 2

?D为直角

P 5 (?h(k ? 1), h) P 6 (?h(k ? 1), h)

P 3 (0, h)
P4 (?2h, h)

9.

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10.

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11. 解:(1)设 A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为 x 千米, 由题意得

x ? 120 x · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 ? ,· 10 2 3 解得 x ? 180 .
? A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程为 180 千米. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 (2) 1.8 ?180 ? 28 ? 2 ? 380 (元), · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ? 该车货物从 A 地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用为 380 元.· y (3)设这批货物有 车,
由题意得 y[800 ? 20 ? ( y ? 1)] ? 380 y ? 8320 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 整理得 y 2 ? 60 y ? 416 ? 0 , 解得 y1 ? 8 , y2 ? 52 (不合题意,舍去), · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 ? 这批货物有 8 车. ·

12. 解:(1) 2,

2 1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 a, a .· 4 4

(2)相等,比值为 2 .· · · · · · · · · · · · · ·5 分(无“相等”不扣分有“相等”,比值错给 1 分) (3)设 DG ? x , 在矩形 ABCD 中, ?B ? ?C ? ?D ? 90 ,

?HGF ? 90 , ??DHG ? ?CGF ? 90 ? ?DGH ,
?△HDG ∽△GCF , DG HG 1 ? ? ? , CF GF 2 ? CF ? 2 DG ? 2 x . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 同理 ?BEF ? ?CFG . EF ? FG , ?△FBE ≌△GCF , 1 ? BF ? CG ? a ? x . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 4 CF ? BF ? BC ,

1 2 ? 2x ? a ? x ? a ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 4 4

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解得 x ?

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2 ?1 a. 4 2 ?1 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 a .· 4

即 DG ? (4)

3 2 a ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 16

27 ? 18 2 2 a . 12 分 8
13. 解:(1)分别过 D,C 两点作 DG⊥AB 于点 G,CH⊥AB 于点 H. ……………1 分 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ AB∥CD, DG=CH,DG∥CH. 四边形 DGHC 为矩形,GH=CD=1. DG=CH,AD=BC,∠AGD=∠BHC=90°, C D △AGD≌△BHC(HL). M N AB ? GH 7 ? 1 ∴ AG=BH= =3. ………2 分 ? 2 2 ∵ 在 Rt△AGD 中,AG=3,AD=5, ∴ DG=4. A B E G H F ?1 ? 7 ? ? 4 ? 16 . ∴ S梯形ABCD ? ………………………………………………3 分 2 (2)∵ MN∥AB,ME⊥AB,NF⊥AB, C D ∴ ME=NF,ME∥NF. M N ∴ 四边形 MEFN 为矩形. ∵ AB∥CD,AD=BC, ∴ ∠A=∠B. ∵ ME=NF,∠MEA=∠NFB=90°, A B E G H F ∴ △MEA≌△NFB(AAS). ∴ AE=BF. ……………………4 分 设 AE=x,则 EF=7-2x. ……………5 分 ∵ ∠A=∠A,∠MEA=∠DGA=90°, ∴ △MEA∽△DGA. AE ME ∴ . ? AG DG 4 ∴ ME= x . …………………………………………………………6 分 3 ∴ S矩形MEFN ? ME ? EF ? 当 x=
4 8? 7 ? 49 x(7 ? 2 x) ? ? ? x ? ? ? . 3 3? 4? 6
2

……………………8 分

7 7 时,ME= <4,∴四边形 MEFN 面积的最大值为 49 .……………9 分 4 3 6 (3)能. ……………………………………………………………………10 分

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4 由(2)可知,设 AE=x,则 EF=7-2x,ME= x . 3 若四边形 MEFN 为正方形,则 ME=EF. 4x 21 即 ? 7-2x.解,得 x ? . ……………………………………………11 分 3 10 21 14 ∴ EF= 7 ? 2 x ? 7 ? 2 ? ? <4. 10 5

? 14 ? 196 ∴ 四边形 MEFN 能为正方形,其面积为 S正方形MEFN ? ? ? ? . 25 ?5?

2

14. 解:(1)由题意可知, m?m ? 1? ? ?m ? 3??m ? 1? . 解,得 m=3. ………………………………3 分 ∴ A(3,4),B(6,2); y ∴ k=4×3=12. ……………………………4 分 A (2)存在两种情况,如图: N1 ①当 M 点在 x 轴的正半轴上,N 点在 y 轴的正半轴 B 上时,设 M1 点坐标为(x1,0),N1 点坐标为(0,y1). M2 O x M1 ∵ 四边形 AN1M1B 为平行四边形, ∴ 线段 N1M1 可看作由线段 AB 向左平移 3 个单位, N2 再向下平移 2 个单位得到的(也可看作向下平移 2 个单位,再向左平移 3 个单位得到的). 由(1)知 A 点坐标为(3,4),B 点坐标为(6,2), ∴ N1 点坐标为(0,4-2),即 N1(0,2); ………………………………5 分 M1 点坐标为(6-3,0),即 M1(3,0). ………………………………6 分 2 设直线 M1N1 的函数表达式为 y ? k1 x ? 2 ,把 x=3,y=0 代入,解得 k1 ? ? . 3 2 ∴ 直线 M1N1 的函数表达式为 y ? ? x ? 2 . ……………………………………8 分 3 ②当 M 点在 x 轴的负半轴上,N 点在 y 轴的负半轴上时,设 M2 点坐标为(x2,0), N2 点坐标为(0,y2). ∵ AB∥N1M1,AB∥M2N2,AB=N1M1,AB=M2N2, ∴ N1M1∥M2N2,N1M1=M2N2. ∴ 线段 M2N2 与线段 N1M1 关于原点 O 成中心对称. ∴ M2 点坐标为(-3,0),N2 点坐标为(0,-2). ………………………9 分 2 设直线 M2N2 的函数表达式为 y ? k 2 x ? 2 ,把 x=-3,y=0 代入,解得 k2 ? ? , 3 2 ∴ 直线 M2N2 的函数表达式为 y ? ? x ? 2 . 3 2 2 所以,直线 MN 的函数表达式为 y ? ? x ? 2 或 y ? ? x ? 2 . ………………11 分 3 3 (3)选做题:(9,2),(4,5). ………………………………………………2 分 15. 解:(1)解法 1:根据题意可得:A(-1,0),B(3,0); 则设抛物线的解析式为 y ? a( x ? 1)( x ? 3) (a≠0) 又点 D(0,-3)在抛物线上,∴a(0+1)(0-3)=-3,解之得:a=1 ∴y=x -2x-3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 自变量范围:-1≤x≤3· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分
2

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解法 2:设抛物线的解析式为 y ? ax2 ? bx ? c (a≠0)

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根据题意可知,A(-1,0),B(3,0),D(0,-3)三点都在抛物线上
?a ? b ? c ? 0 ?a ? 1 ? ? ∴ ?9a ? 3b ? c ? 0 ,解之得: ?b ? ?2 ?c ? ?3 ?c ? ? 3 ? ?

∴y=x -2x-3· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 自变量范围:-1≤x≤3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 (2)设经过点 C“蛋圆”的切线 CE 交 x 轴于点 E,连结 CM, 在 Rt△MOC 中,∵OM=1,CM=2,∴∠CMO=60°,OC= 3 在 Rt△MCE 中,∵OC=2,∠CMO=60°,∴ME=4 ∴点 C、E 的坐标分别为(0, 3 ),(-3,0) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ∴切线 CE 的解析式为 y ?

2

3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 x? 3· 3
y

C

A E O M

B

x

D 解图 12

(3)设过点 D(0,-3),“蛋圆”切线的解析式为:y=kx-3(k≠0) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分
? ? y ? kx ? 3 由题意可知方程组 ? 只有一组解 2 ? ? y ? x ? 2x ? 3

即 kx ? 3 ? x 2 ? 2 x ? 3 有两个相等实根,∴k=-2· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 ∴过点 D“蛋圆”切线的解析式 y=-2x-3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 16. 解:(1) OP ? 6 ? t , OQ ? t ?

2 . 3

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y C Q O D B C Q y B

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y C Q E P 图3 F A x B

D1
图1

P

A

x

O 图2

P

A

x

O

(2)当 t ? 1 时,过 D 点作 DD1 ? OA ,交 OA 于 D1 ,如图 1, 则 DQ ? QO ?

5 4 , QC ? , 3 3

? CD ? 1 ,? D(1, 3) .
(3)① PQ 能与 AC 平行. 若 PQ ∥ AC ,如图 2,则

OP OA ? , OQ OC

14 7 6?t 6 ? ,? t ? ,而 0 ≤ t ≤ , 2 3 9 3 t? 3 14 ?t ? . 9 ② PE 不能与 AC 垂直.
即 若 PE ? AC ,延长 QE 交 OA 于 F ,如图 3,

2 t? QF OQ QF 3. ? ? 则 AC OC 3 5 3

? 2? ? QF ? 5 ? t ? ? . ? 3?
? EF ? QF ? QE ? QF ? OQ

? 2? ? 2? ? 5 ?t ? ? ??t ? ? ? 3? ? 3?
2 ? ( 5 ? 1)t ? ( 5 ? 1) . 3


Rt△EPF ∽ Rt△OCA ,?

PE OC ? , EF OA

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? 6?t 3 ? , ? 2? 6 ( 5 ? 1) ? t ? ? ? 3?
7 , 3

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? t ? 3.45 ,而 0 ≤ t ≤

?t 不存在.
17. 解:(1) 直线 y ? ? 3x ? 3 与 x 轴交于点 A ,与 y 轴交于点 C .

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 ? A(?1, 0) , C (0, ? 3) · 点 A,C 都在抛物线上,

? 2 3 ?c ?0 ? a ? ?? 3 ?? 3 ? c ?

? 3 ?a ? ?? 3 ?c ? ? 3 ?

? 抛物线的解析式为 y ?

3 2 2 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 x ? x? 3 · 3 3

? 4 3? 1 , ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? 顶点 F ? ? ? ?· 3 ? ?
(2)存在 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 P , ? 3) · 1 (0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 P , ? 3) · 2 (2 (3)存在 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 理由: 解法一: 延长 BC 到点 B? ,使 B?C ? BC ,连接 B?F 交直线 AC 于点 M ,则点 M 就是所求的点. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 ? ? 过点 B 作 B H ? AB 于点 H . y

B 点在抛物线 y ?

3 2 2 3 0) x ? x ? 3 上,? B(3, 3 3
H A C B O MF 图9 B x

3 在 Rt△BOC 中, tan ?OBC ? , 3
??OBC ? 30 , BC ? 2 3 ,
在 Rt△BB?H 中, B?H ?

1 BB? ? 2 3 , 2

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· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 BH ? 3B?H ? 6 ,? OH ? 3 ,? B?(?3, ? 2 3) · 设直线 B?F 的解析式为 y ? kx ? b

? ?2 3 ? ?3k ? b ? ?? 4 3 ? k ?b ?? ? 3

? 3 ?k ? ? 6 解得 ? ?b ? ? 3 3 ? ? 2

?y ?

3 3 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·13 分 x? 6 2
3 ? x? ? ?3 10 7 ? ?M ? , ? 解得 ? ? 7 ?7 ? y ? ? 10 3 , ? 7 ?
? 3 ? ? ?

? y ? ? 3x ? 3 ? ?? 3 3 3 x? ?y ? 6 2 ?

? 3 10 3 ? ? · · · · · ·14 分 ? 在直线 AC 上存在点 M ,使得 △MBF 的周长最小,此时 M ? ?.· ? 7, 7 ? ? ?
解法二: 过点 F 作 AC 的垂线交 y 轴于点 H ,则点 H 为点 F 关于直线 AC 的对称点.连接 BH 交

AC 于点 M ,则点 M 即为所求. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分
过点 F 作 FG ? y 轴于点 G ,则 OB ∥ FG , BC ∥ FH .

y

??BOC ? ?FGH ? 90 , ?BCO ? ?FHG
??HFG ? ?CBO

A

O C M G F H 图 10

B

x

0) . 同方法一可求得 B(3,
在 Rt△BOC 中, tan ?OBC ?

3 3 ,??OBC ? 30 ,可求得 GH ? GC ? , 3 3

? GF 为线段 CH 的垂直平分线,可证得 △CFH 为等边三角形, ? AC 垂直平分 FH .

? 即点 H 为点 F 关于 AC 的对称点.? H ? 0,
设直线 BH 的解析式为 y ? kx ? b ,由题意得

? ? ?

5 3? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 ?· 3 ? ?

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?0 ? 3k ? b ? 5 ? b?? 3 ? 3 ?
?y ?

5 ? k ? 3 ? ? 9 解得 ? ?b ? ? 5 3 ? 3 ?

5 5 3? 3· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·13 分 9 3

5 5 ? 3x ? 3 ?y ? 9 3 ?? ? y ? ? 3x ? 3 ?

3 ? x ? ? 7 ? 解得 ? ? y ? ? 10 3 ? 7 ?

?3 10 ?M ? ? ? 7, 7 ?

? 3 ? ? ?

? 3 10 3 ? ? ? 在直线 AC 上存在点 M ,使得 △MBF 的周长最小,此时 M ? ?. 1 ? 7, 7 ? ? ?
18. 解:(1)点 E 在 y 轴上 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 理由如下: 连接 AO ,如图所示,在 Rt△ ABO 中,

AB ? 1 , BO ? 3 ,? AO ? 2

? sin ?AOB ?

1 ,??AOB ? 30 2

由题意可知: ?AOE ? 60

??BOE ? ?AOB ? ?AOE ? 30 ? 60 ? 90
点 B 在 x 轴上,? 点 E 在 y 轴上. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 (2)过点 D 作 DM ? x 轴于点 M

OD ? 1, ?DOM ? 30

? 在 Rt△DOM 中, DM ?
点 D 在第一象限,

1 3 , OM ? 2 2

? 3 1? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 ? 点 D 的坐标为 ? ?· ? 2 , 2? ? ?
由(1)知 EO ? AO ? 2 ,点 E 在 y 轴的正半轴上

2) ? 点 E 的坐标为 (0,
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 ? 点 A 的坐标为 (? 31) ,·

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抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 经过点 E ,

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?c ? 2
由题意,将 A(? 31) ,, D ?

? 3 1? 2 ? ? 2 , ? 代入 y ? ax ? bx ? 2 中得 2 ? ?

?3a ? 3b ? 2 ? 1 ? ?3 3 1 b?2? ? a? ?4 2 2

8 ? a?? ? 9 ? 解得 ? ?b ? ? 5 3 ? 9 ?

8 5 3 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 x?2 · ? 所求抛物线表达式为: y ? ? x 2 ? 9 9
(3)存在符合条件的点 P ,点 Q . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 理由如下: 矩形 ABOC 的面积 ? AB BO ? 3

? 以 O,B,P,Q 为顶点的平行四边形面积为 2 3 .
由题意可知 OB 为此平行四边形一边, 又

OB ? 3

? OB 边上的高为 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分

2) 依题意设点 P 的坐标为 ( m,
点 P 在抛物线 y ? ?

8 2 5 3 x ? x?2上 9 9

8 5 3 ?? m2 ? m?2 ? 2 9 9
解得, m1 ? 0 , m2 ? ?

5 3 8

? 5 3 ? P 2? , ?P (0 , 2) 2? 1 ?? 8 , ? ? ?
以 O,B,P,Q 为顶点的四边形是平行四边形,

? PQ ∥OB , PQ ? OB ? 3 , 2) 时, ? 当点 P1 的坐标为 (0,
A B F

y E C D x

O M

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点 Q 的坐标分别为 Q1 (? 3, 2) , Q2 ( 3, 2) ; 当点 P 2 的坐标为 ? ?

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? 5 3 ? 2? ? 8 , ? 时, ? ? ? 13 3 ? ?3 3 ? , 2 2? , Q4 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·14 分 ? ? ? ? 8 , ? .· 8 ? ? ? ?
3 2 x ? 3 中,令 y ? 0 4

点 Q 的坐标分别为 Q3 ? ?

(以上答案仅供参考,如有其它做法,可参照给分) 19. 解:(1)在 y ? ?

3 ?? x 2 ? 3 ? 0 4

? x1 ? 2 , x2 ? ?2
? A(?2, 0) , B(2, 0) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分
又 点B 在 y ? ? C E

y

3 x ?b上 4
A

N

3 ?0 ? ? ? b 2 3 b? 2

MD O

P

B

x

3 3 ? BC 的解析式为 y ? ? x ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 4 2

3 ? y ? ? x2 ? 3 ? x1 ? ?1 ? ? ? 4 (2)由 ? ,得 ? 9 y1 ? ?y ? ? 3 x ? 3 ? ? 4 ? ? 4 2

? x2 ? 2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 ? ? y2 ? 0

9? ? 0) ? C ? ?1, ? , B(2, 4? ?
9 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 4 1 9 9 ? S△ ABC ? ? 4 ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 2 4 2 (3)过点 N 作 NP ? MB 于点 P EO ? MB ? NP ∥ EO ?△BNP ∽△BEO · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 7分 BN NP ? ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 BE EO
? AB ? 4 , CD ?

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由直线 y ? ?

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3 3 ? 3? x ? 可得: E ? 0, ? 4 2 ? 2? 3 5 ,则 BE ? 2 2

? 在 △BEO 中, BO ? 2 , EO ?
?

6 2t NP ,? NP ? t · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 ? 5 3 5 2 2 1 6 ?S ? t (4 ? t ) 2 5 3 12 S ? ? t 2 ? t (0 ? t ? 4) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 5 5 3 12 S ? ? (t ? 2) 2 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·11 分 5 5 12 此抛物线开口向下,? 当 t ? 2 时, S最大 ? 5 12 ? 当点 M 运动 2 秒时, △MNB 的面积达到最大,最大为 . 5
20. 解:(1)如图,过点 B 作 BD⊥OA 于点 D. 在 Rt△ABD 中, ∵∣AB∣= 3 5 ,sin∠OAB=

5 , 5

∴∣BD∣=∣AB∣·sin∠OAB =3 5 × 又由勾股定理,得

5 =3. 5
2

AD ?

AB ? B D

2

? (3 5) 2 ? 32 ? 6
∴∣OD∣=∣OA∣-∣AD∣=10-6=4. ∵点 B 在第一象限,∴点 B 的坐标为(4,3). 设经过 O(0,0)、C(4,-3)、A(10,0)三点的抛物线的函数表达式为 2 y=ax +bx(a≠0). ……3 分

1 ? a? , ? 16 a ? 4 b ? ? 3 ? ? 8 ?? 由? ?100a ? 10b ? 0 ?b ? ? 5 . ? ? 4
∴经过 O、C、A 三点的抛物线的函数表达式为 y ?

1 2 5 x ? x. 8 4

……2 分

(2)假设在(1)中的抛物线上存在点 P,使以 P、O、C、A 为顶点的四边形为梯形

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①∵点 C(4,-3)不是抛物线 y ?

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1 2 5 x ? x 的顶点, 8 4

∴过点 C 做直线 OA 的平行线与抛物线交于点 P1 . 则直线 CP1 的函数表达式为 y=-3. 对于 y ? ∴?

1 2 5 x ? x ,令 y=-3 ? x=4 或 x=6. 8 4

? x1 ? 4, ? x2 ? 6, ? ? y1 ? ?3; ? y2 ? ?3.

而点 C(4,-3),∴P1(6,-3). 在四边形 P1AOC 中,CP1∥OA,显然∣CP1∣≠∣OA∣. ∴点 P1(6,-3)是符合要求的点. ②若 AP2∥CO.设直线 CO 的函数表达式为 y ? k1 x. 将点 C(4,-3)代入,得 4k1 ? ?3.? k1 ? ? . ∴直线 CO 的函数表达式为 y ? ?

……1 分

3 4

3 x. 4 3 x ? b1. 4

于是可设直线 AP2 的函数表达式为 y ? ?

3 15 x? . 4 2 3 15 ∴直线 AP2 的函数表达式为 y ? ? x ? . 4 2
将点 A(10,0)代入,得 ?

3 15 ? y ? ? x? . ? ? 4 2 ? x 2 ? 4 x ? 60 ? 0 ,即(x-10)(x+6)=0. 由? ? y ? 1 x2 ? 5 x ? 8 4 ?
∴?

? x1 ? 10, ? x2 ? ?6 ? ? y 1 ? 0; ? y2 ? 12;

而点 A(10,0),∴P2(-6,12). 过点 P2 作 P2E⊥x 轴于点 E,则∣P2E∣=12. 在 Rt△AP2E 中,由勾股定理,得

AP2 ?

P2 E ? AE ? 122 ? 162 ? 20.

2

2

而∣CO∣=∣OB∣=5. ∴在四边形 P2OCA 中,AP2∥CO,但∣AP2∣≠∣CO∣. ∴点 P2(-6,12)是符合要求的点. ③若 OP3∥CA,设直线 CA 的函数表达式为 y=k2x+b2 将点 A(10,0)、C(4,-3)代入,得

……1 分

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1 ? ?10k2 ? b2 ? 0 ?k2 ? , ?? 2 ? ? 4k2 ? b2 ? ?3 ?b ? ?5. ? 2
1 x ? 5. 2 1 ∴直线 OP3 的函数表达式为 y ? x 2
∴直线 CA 的函数表达式为 y ?

1 ? y? x ? ? 2 ? x 2 ? 14 x ? 0, 即 x(x-14)=0. 由? ? y ? 1 x2 ? 5 x ? 8 4 ?
∴?

? x1 ? 0, ? x2 ? 14, ? ? y1 ? 0; ? y2 ? 7.

而点 O(0,0),∴P3(14,7). 过点 P3 作 P3E⊥x 轴于点 E,则∣P3E∣=7. 在 Rt△OP3E 中,由勾股定理,得

OP 3 ?

P ? 72 ? 142 ? 7 5. 3 F ? OF

2

2

而∣CA∣=∣AB∣= 3 5 . ∴在四边形 P3OCA 中,OP3∥CA,但∣OP3∣≠∣CA∣. ∴点 P3(14,7)是符合要求的点. 综上可知,在(1)中的抛物线上存在点 P1(6,-3)、P2(-6,12)、P3(14,7), 使以 P、O、C、A 为顶点的四边形为梯形. (3)由题知,抛物线的开口可能向上,也可能向下. ①当抛物线开口向上时,则此抛物线与 y 轴的副半轴交与点 N. 可设抛物线的函数表达式为 y ? a( x ? 2k )( x ? 5k ) (a>0). 即 y ? ax ? 3akx ?10ak
2 2

……1 分 ……1 分

3 49 ? a ( x ? k ) 2 ? ak 2 . 2 4
如图,过点 M 作 MG⊥x 轴于点 G. ∵Q(-2k,0)、R(5k,0)、G( ?

?3 ? k , 0 ? 、N(0, ?2 ?

-10ak )、M ?

2

49 ?3 ? k , ? ak 2 ? , 4 ?2 ?

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∴ QO ? 2k , QR ? 7 k , OG ?

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3 7 49 2 k , QG ? k , ON ? 10ak 2 , MG ? ak . 2 2 4

?S

QNR

?

1 1 QR ON ? ? 7k ?10ak 2 ? 35ak 3 . 2 2

∴S

QNM

1 1 1 QO ON ? ( ON ? GM ) OG ? QG GM 2 2 2 1 1 49 3 1 7 49 ? ? 2k ?10ak 2 ? ? (10ak 2 ? ak 2 ) ? k ? ? k ? ak 2 2 2 4 2 2 2 4 1 49 49 ? (29 ? 15 ? 3 ? ? 7 ? )ak 3 . 2 8 8 21 3 : S QNR ? ( ak ) : (35ak 3 ) ? 3 : 20. 4 ?

……2 分

②当抛物线开口向下时,则此抛物线与 y 轴的正半轴交于点 N, 同理,可得 S 综上所知, S 21.解: (1)m=-5,n=-3 (2)y=
QNM

:S

QNR

? 3: 20.

……1 分 ……1 分

QNM

:S

QNR

的值为 3:20.

4 x+2 3

(3)是定值. 因为点 D 为∠ACB 的平分线,所以可设点 D 到边 AC,BC 的距离均为 h, 设△ABC AB 边上的高为 H, 则利用面积法可得:

CM ? h CN ? h MN ? H ? ? 2 2 2
(CM+CN)h=MN﹒H

CM ? CN MN ? H h CM ? CN 又 H= MN
化简可得 (CM+CN)﹒ 故

MN 1 ? CM ? CN h
y

1 1 1 ? ? CM CN h

?c ? 3 22. 解:( 1)由已知得: ? 解得 ??1 ? b ? c ? 0
c=3,b=2 ∴抛物线的线的解析式为 y ? ? x ? 2 x ? 3
2

D B G A O F E
x

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(2)由顶点坐标公式得顶点坐标为(1,4) 所以对称轴为 x=1,A,E 关于 x=1 对称,所以 E(3,0) 设对称轴与 x 轴的交点为 F 所以四边形 ABDE 的面积= S?ABO ? S梯形BOFD ? S?DFE

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1 1 1 AO ? BO ? ( BO ? DF ) ? OF ? EF ? DF 2 2 2 1 1 1 = ?1? 3 ? (3 ? 4) ?1 ? ? 2 ? 4 2 2 2
= =9 (3)相似 如图,BD= BG2 ? DG2 ? 12 ? 12 ? 2 BE= BO2 ? OE 2 ? 32 ? 32 ? 3 2 DE= DF 2 ? EF 2 ? 22 ? 42 ? 2 5
2 2 2 所以 BD ? BE ? 20 , DE ? 20 即: BD ? BE ? DE ,所以 ?BDE 是直角三角形
2 2 2

所以 ?AOB ? ?DBE ? 90? ,且 所以 ?AOB

AO BO 2 , ? ? BD BE 2

?DBE .

23. 解(Ⅰ)当 a ? b ? 1 , c ? ? 1 时,抛物线为 y ? 3x 2 ? 2x ? 1, 方程 3x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 的两个根为 x1 ? ?1 , x 2 ?

1 . 3

∴该抛物线与 x 轴公共点的坐标是 ? ?1 0? . , 0? 和 ? ,

?1 ?3

? ?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分

(Ⅱ)当 a ? b ? 1 时,抛物线为 y ? 3x 2 ? 2x ? c ,且与 x 轴有公共点.

1 对于方程 3x 2 ? 2 x ? c ? 0 ,判别式 ? ? 4 ? 12c ≥0,有 c ≤ . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分 3
①当 c ?

1 1 1 时,由方程 3x 2 ? 2 x ? ? 0 ,解得 x1 ? x 2 ? ? . 3 3 3

此时抛物线为 y ? 3x 2 ? 2 x ? ②当 c ?

? 1 ? 1 与 x 轴只有一个公共点 ? ? , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4分 0? .· 3 ? 3 ?

1 时, 3

x1 ? ?1 时, y1 ? 3 ? 2 ? c ? 1 ? c ,

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x 2 ? 1 时, y 2 ? 3 ? 2 ? c ? 5 ? c .

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1 由已知 ?1 ? x ? 1 时,该抛物线与 x 轴有且只有一个公共点,考虑其对称轴为 x ? ? , 3
应有 ?

? y1 ≤ 0, ?1 ? c ≤ 0, 即? ? y2 ? 0. ?5 ? c ? 0.

解得 ?5 ? c ≤ ?1 . 1 综上, c ? 或 ?5 ? c ≤ ?1 . 3

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

(Ⅲ)对于二次函数 y ? 3ax 2 ? 2bx ? c , 由已知 x1 ? 0 时, y1 ? c ? 0 ; x 2 ? 1 时, y 2 ? 3a ? 2b ? c ? 0 , 又 a ? b ? c ? 0 ,∴ 3a ? 2b ? c ? (a ? b ? c) ? 2a ? b ? 2a ? b . 于是 2 a ? b ? 0 .而 b ? ? a ? c ,∴ 2a ? a ? c ? 0 ,即 a ? c ? 0 . ∴a ?c ?0. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·7分

∵关于 x 的一元二次方程 3ax 2 ? 2bx ? c ? 0 的判别式

? ? 4b 2 ? 12ac ? 4(a ? c) 2 ? 12ac ? 4[(a ? c) 2 ? ac] ? 0 ,
∴抛物线 y ? 3ax 2 ? 2bx ? c 与 x 轴有两个公共点,顶点在 x 轴下方. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 又该抛物线的对称轴 x ? ?

b , 3a

y

由 a ? b ? c ? 0 , c ? 0 , 2a ? b ? 0 , 得 ?2 a ? b ? ? a , ∴
O

1

x

1 b 2 ?? ? . 3 3a 3

又由已知 x1 ? 0 时, y1 ? 0 ; x 2 ? 1 时, y 2 ? 0 ,观察图象, 可知在 0 ? x ? 1 范围内,该抛物线与 x 轴有两个公共点. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分

24. 解:(1)∵点 F 在 AD 上, ∴ AF ? 2a , ∴ DF ? b ? 2a , ∴ S△ DBF ?

1 1 1 2 DFAB ? × (b ? 2a)× b ? b 2 ? ab . 2 2 2 2

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(2)连结 AF , 由题意易知 AF ∥BD , ∴ S△DBF ? S△ ABD ? b2 .

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1 2

(3)正方形 AEFG 在绕 A 点旋转的过程中,F 点的轨迹是以点 A 为圆心,AF 为半径的圆. 第一种情况:当 b>2a 时,存在最大值及最小值; 因为 △BFD 的边 BD ? 得最大、最小值. 如图②所示 CF2 ? BD 时,

2b ,故当 F 点到 BD 的距离取得最大、最小值时, S△BFD 取

S△BFD 的最大值= S△ BF2 D ? S△BFD 的最小值= S△ BF2 D ?

? 2b ? b 2 ? 2ab 1 2b ? ? ? 2 a , ? ? 2 ?? 2 2 ? ? ? 2b ? b 2 ? 2ab 1 2b ? ? ? 2 a , ? ? 2 ?? 2 2 ? ?

第二种情况:当 b=2a 时,存在最大值,不存在最小值;

S△BFD 的最大值=

b 2 ? 2ab .(如果答案为 4a2 或 b2 也可) 2
D F C

O E F1 B G A F2 25. 解:(1)取 AB 中点 H ,联结 MH ,

M 为 DE 的中点,? MH ∥ BE , MH ?


1 ( BE ? AD) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) 2

AB ? BE ,? MH ? AB . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) 1 1 ? S△ ABM ? AB MH ,得 y ? x ? 2( x ? 0) ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·(2 分)(1 分) 2 2
(2)由已知得 DE ?

( x ? 4) 2 ? 22 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分)

以线段 AB 为直径的圆与以线段 DE 为直径的圆外切,

1 1 1 1 AB ? DE ,即 ( x ? 4) ? ? 2 ? (4 ? x) 2 ? 22 ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (2 分) ? 2 2 2 2? 4 4 解得 x ? ,即线段 BE 的长为 ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) 3 3 (3)由已知,以 A,N,D 为顶点的三角形与 △BME 相似, 又易证得 ?DAM ? ?EBM . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) 由此可知,另一对对应角相等有两种情况:① ?ADN ? ?BEM ;② ?ADB ? ?BME . ①当 ?ADN ? ?BEM 时, AD ∥ BE ,??ADN ? ?DBE .??DBE ? ?BEM . ? DB ? DE ,易得 BE ? 2 AD .得 BE ? 8 ; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (2 分) ? ADB ? ? BME AD ∥ BE ?? ADB ? ? DBE ②当 时, , . ? MH ?

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??DBE ? ?BME .又 ?BED ? ?MEB ,?△BED ∽△MEB . DE BE 1 2 2 2 ? ? 2 ? ( x ? 4)2 22 ? ( x ? 4)2 . ,即 BE ? EM DE ,得 x ? BE EM 2
解得 x1 ? 2 , x2 ? ?10 (舍去).即线段 BE 的长为 2. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (2 分) 综上所述,所求线段 BE 的长为 8 或 2. 26. 解:方案一:由题意可得: MB ? OB , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (1 分) ? 点 M 到甲村的最短距离为 MB . · 点 M 到乙村的最短距离为 MD . ? 将供水站建在点 M 处时,管道沿 MD,MB 铁路建设的长度之和最小. 即最小值为 MB ? MD ? 3 ? 2 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (3 分) 方案二:如图①,作点 M 关于射线 OE 的对称点 M ? ,则 MM ? ? 2ME ,连接 AM ? 交 OE

1 AM . 2 AM ? 2 BM ? 6 ,? PE ? 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (4 分) 在 Rt△ DME 中,
于点 P ,则 PE ∥

DE ? DM sin 60 ? 2 3 ?

1 1 3 ? 3 , ME ? DM ? ? 2 3 ? 3 , 2 2 2

? PE ? DE ,? P,D 两点重合.即 AM ? 过 D 点.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (6 分) ? ? ? 在线段 CD 上任取一点 P? ,连接 P?A,P?M,P?M ? ,则 P M ? P M . AP? ? P?M ? ? AM ? , ? 把供水站建在乙村的 D 点处,管道沿 DA,DM 线路铺设的长度之和最小.
即最小值为 AD ? DM ? AM ? ?

AM 2 ? MM ?2 ? 62 ? (2 3) 2 ? 4 3 . · · · · · · · · · (7 分)
北 东

M?
F

B 甲村 A O

F

G?
M A A N

G

B

30
C P?

P D

E

30
O

H

M E

C N? D

M?
(第 25 题答案图①) (第 25 题答案图②)

方案三:作点 M 关于射线 OF 的对称点 M ? ,连接 GM ,则 GM ? ? GM . N ? OE 于点 N ,交 OF 于点 G ,交 AM 于点 H , 作M? ? M ?N 为点 M ? 到 OE 的最短距离,即 M ?N ? GM ? GN .

HM 中, ?MM ? N ? 30 , MM ? ? 6 , 在 Rt△M ?

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? MH ? 3 .? NE ? MH ? 3 . DE ? 3 ,? N,D 两点重合,即 M ?N 过 D 点.

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DM 中, DM ? 2 3 ,? M ? 在 Rt△M ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (10 分) D?4 3.·
在线段 AB 上任取一点 G ? ,过 G ? 作 G?N ? ? OE 于点 N ? ,连接 G ?M ?,G ?M . D. 显然 G?M ? G?N ? ? G?M ? ? G?N ? ? M ? ? 把供水站建在甲村的 G 处,管道沿 GM ,GD 线路铺设的长度之和最小. 即最小值为 GM ? GD ? M ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·(11 分) D ? 4 3 .· 综上, · · · · · (12 分) 3 ? 2 3 ? 4 3 ,? 供水站建在 M 处,所需铺设的管道长度最短. ·

27. 解:(1)由题意:BP=tcm,AQ=2tcm,则 CQ=(4-2t)cm, ∵∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,∴AB=5cm ∴AP=(5-t)cm, ∵PQ∥BC,∴△APQ∽△ABC, ∴AP∶AB=AQ∶AC,即(5-t)∶5=2t∶4,解得:t= ∴当 t 为

10 7

10 秒时,PQ∥BC 7
………………2 分

(2)过点 Q 作 QD⊥AB 于点 D,则易证△AQD∽△ABC ∴AQ∶QD=AB∶BC ∴2t∶DQ=5∶3,∴DQ= t

6 5

1 1 6 ×AP×QD= (5-t)× t 2 2 5 3 2 ∴y 与 t 之间的函数关系式为:y= 3t ? t 5
∴△APQ 的面积: ………………5 分 (3)由题意: 当面积被平分时有: 3t ? t =
2

3 5

1 1 5? 5 × ×3×4,解得:t= 2 2 2

当周长被平分时:(5-t)+2t=t+(4-2t)+3,解得:t=1 ∴不存在这样 t 的值 ………………8 分 (4)过点 P 作 PE⊥BC 于 E 易证:△PAE∽△ABC,当 PE=

1 QC 时,△PQC 为等腰三角形,此时△QCP′为菱形 2

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∵△PAE∽△ABC,∴PE∶PB=AC∶AB,∴PE∶t=4∶5,解得:PE= ∵QC=4-2t,∴2× ∴当 t=

4 t 5

4 10 t =4-2t,解得:t= 9 5

10 时,四边形 PQP′C 为菱形 9 8 2 7 此时,PE= ,BE= ,∴CE= 9 3 3
………………10 分 在 Rt△CPE 中,根据勾股定理可知:PC= PE 2 ? CE 2 = ( ) ? ( ) =
2 2

8 9

7 3

505 9

∴此菱形的边长为

505 cm 9

………………12 分

28. 解:(1)∵D(-8,0),∴B 点的横坐标为-8,代入 y ?

1 x 中,得 y=-2. 4

∴B 点坐标为(-8,-2).而 A、B 两点关于原点对称,∴A(8,2) 从而 k=8×2=16 (2)∵N(0,-n),B 是 CD 的中点,A,B,M,E 四点均在双曲线上, ∴mn=k,B(-2m,-

n ),C(-2m,-n),E(-m,-n) 2 1 1 1 1 S矩形DCNO =2mn=2k, S△DBO = mn= k, S△OEN = mn= k. 2 2 2 2

∴ S矩形OBCE = S矩形DCNO ― S△DBO ― S△OEN =k.∴k=4. 由直线 y ?

1 4 x 及双曲线 y ? ,得 A(4,1),B(-4,-1) 4 x

∴C(-4,-2),M(2,2) 设直线 CM 的解析式是 y ? ax ? b ,由 C、M 两点在这条直线上,得

??4a ? b ? ?2 2 ,解得 a=b= ? 3 ? 2a ? b ? 2
∴直线 CM 的解析式是 y=

2 2 x+ . 3 3
y Q D B C E O M1 N M A A1 x

(3)如图,分别作 AA1⊥x 轴,MM1⊥x 轴,垂足分别为 A1,M1

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设 A 点的横坐标为 a,则 B 点的横坐标为-a.于是 p ?

MA A1M1 a ? m , ? ? MP M 1O m

同理 q ?

MB m ? a ? MQ m
a?m m?a - =-2 m m

∴p-q=

29. 解: (1)将图 1 中的正方形等分成如图的四个小正方形,将这 4 个转发装置安装在这 4 个小正方形对角线的交点处,此时,每个小正方形的对角线长为

1 30 2 ? 15 2 ? 31 ,每 2

个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域,故安装 4 个这种装置可以达到预设的要求. · · · · · · · · · · · · · · · · · · (3 分)(图案设计不唯一) (2)将原正方形分割成如图 2 中的 3 个矩形,使得 BE ? DG ? CG .将每个装置安装在这 些矩形的对角线交点处,设 AE ? x ,则 ED ? 30 ? x , DH ? 15 . 由 BE ? DG ,得 x2 ? 302 ? 152 ? (30 ? x)2 ,

225 15 ? 15 ? ?x ? ? ,? BE ? ? ? ? 302 ? 30.2 ? 31 , 60 4 ? 4?
即如此安装 3 个这种转发装置,也能达到预设要求. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (6 分) 或:将原正方形分割成如图 2 中的 3 个矩形,使得 BE ? 31 , H 是 CD 的中点,将每个装 置 安 装 在 这 些 矩 形 的 对 角 线 交 点 处 , 则 AE ? 312 ? 302 ? 61 , DE ? 30 ? 61 ,

2

? DE ? (30 ? 61) 2 ? 152 ≈ 26.8 ? 31 ,即如此安装三个这个转发装置,能达到预设要
求.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (6 分) 要用两个圆覆盖一个正方形,则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点.如图 3,用一个直 径为 31 的 O 去覆盖边长为 30 的正方形 ABCD , 设 O 经过 A,B , O 与 AD 交于 E , 连 BE ,则 AE ? 31 ? 30 ?
2 2

61 ? 15 ?

1 AD ,这说明用两个直径都为 31 的圆不能完 2

全覆盖正方形 ABCD . 所以,至少要安装 3 个这种转发装置,才能达到预设要求. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · (8 分) 评分说明:示意图(图 1、图 2、图 3)每个图 1 分. A E O B 图1 C B F 图2 D H O B F 图3 C

A

D

A

E

D

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30 解:(1) OH ? 1 ; k ?

3 2 3 ,b ? . 3 3

(2)设存在实数 a ,使抛物线 y ? a( x ? 1)( x ? 5) 上有一点 E ,满足以 D,N,E 为顶点的 三角形与等腰直角 △ AOB 相似. 一类是 ? 以 D,N,E 为顶点的三角形为等腰直角三角形,且这样的三角形最多只有两类, 以 DN 为直角边的等腰直角三角形,另一类是以 DN 为斜边的等腰直角三角形. ①若 DN 为等腰直角三角形的直角边,则 ED ? DN .

, 0) , N (5, 0) . 由抛物线 y ? a( x ? 1)( x ? 5) 得: M (?1 ? D(2, 0) ,? ED ? DN ? 3 .? E 的坐标为 (2, 3) . 3) 代入抛物线解析式,得 a ? ? . 把 E (2,
1 ? 抛物线解析式为 y ? ? ( x ? 1)( x ? 5) . 3 1 2 4 5 即 y ?? x ? x? . 3 3 3
②若 DN 为等腰直角三角形的斜边, 则 DE ? EN , DE ? EN . P
?2

1 3

y

A

C H M O

B

D

N

x

? E 的坐标为 (3.5, 1.5) .

1.5) 代入抛物线解析式,得 a ? ? 把 E (3.5,

2 . 9

2 2 8 10 ? 抛物线解析式为 y ? ? ( x ? 1)( x ? 5) ,即 y ? ? x 2 ? x ? 9 9 9 9 1 1 2 4 5 3) 满足条件,如果此抛物线上 当 a ? ? 时,在抛物线 y ? ? x ? x ? 上存在一点 E (2, 3 3 3 3
还有满足条件的 E 点,不妨设为 E ? 点,那么只有可能 △DE ?N 是以 DN 为斜边的等腰直角

1.5) ,显然 E ? 不在抛物线 y ? ? 三角形,由此得 E?(3.5,

1 2 4 5 x ? x ? 上,因此抛物线 3 3 3

1 4 5 y ? ? x 2 ? x ? 上没有符合条件的其他的 E 点. 3 3 3 2 2 2 8 10 当 a ? ? 时,同理可得抛物线 y ? ? x ? x ? 上没有符合条件的其他的 E 点. 9 9 9 9 1 4 5 3) ,对应的抛物线解析式为 y ? ? x 2 ? x ? 时, 当 E 的坐标为 (2, 3 3 3
△EDN 和 △ ABO 都是等腰直角三角形,??GNP ? ?PBO ? 45 .


?NPG ? ?BPO ,?△NPG ∽△BPO .

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PG PN ? ,? PB PG ? PO PN ? 2 ? 7 ? 14 ,? 总满足 PB PG ? 10 2 . PO PB 2 8 10 当 E 的坐标为 (3.5, 1.5) ,对应的抛物线解析式为 y ? ? x 2 ? x ? 时, 9 9 9
同理可证得: PB PG ? PO PN ? 2 ? 7 ? 14 ,? 总满足 PB PG ? 10 2 31. 解:(1)如图所示: · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 A A

80
B C B

100
C

(注:正确画出 1 个图得 2 分,无作图痕迹或痕迹不正确不得分) (2)若三角形为锐角三角形,则其最小覆盖圆为其外接圆; · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 若三角形为直角或钝角三角形,则其最小覆盖圆是以三角形最长边(直角或钝角所对的边) 为直径的圆.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 EF EH △ EFH (3)此中转站应建在 的外接圆圆心处(线段 的垂直平分线与线段 的垂直 平分线的交点处). · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 M G 理由如下: 由 ?HEF ? ?HEG ? ?GEF ? 47.8 ? 35.1 ? 82.9 , H

?EHF ? 50.0 , ?EFH ? 47.1 ,
故 △EFH 是锐角三角形, 所以其最小覆盖圆为 △EFH 的外接圆, 设此外接圆为 O ,直线 EG 与 O 交于点 E,M , 则 ?EMF ? ?EHF ? 50.0 ? 53.8 ? ?EGF .

32.4 50.0

49.8

53.8 44.0 47.1
F

47.8 35.1
E

O 内,从而 O 也是四边形 EFGH 的最小覆盖圆. 所以中转站建在 △EFH 的外接圆圆心处,能够符合题中要求.
故点 G 在 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

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