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广东省湛江一中2015-2016学年高二数学上学期期末试卷 文(含解析)

2015-2016 学年广东省湛江一中高二(上)期末数学试卷(文科)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了 4 个不同模型,它们的相关指数 R2 如下,其 中拟合效果最好的模型是( ) A.模型 1 的相关指数 R2 为 0.98 B.模型 2 的相关指数 R2 为 0.80 C.模型 3 的相关指数 R2 为 0.50 D.模型 4 的相关指数 R2 为 0.25

2.数列 , , , ,…的第 10 项是( ) A. B. C. D.

3.下列有关命题的说法正确的是( ) A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为:“若 x2=1,则 x≠1” B.若 p∨q 为真命题,则 p,q 均为真命题 C.命题“存在 x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是:“对任意 x∈R,均有 x2+x+1<0” D.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题

4.工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归直线方程为 =60+90x,下列判断正 确的是( ) A.劳动生产率为 1000 元时,工资为 50 元 B.劳动生产率提高 1000 元时,工资提高 150 元 C.劳动生产率提高 1000 元时,工资提高 90 元 D.劳动生产率为 1000 元时,工资为 90 元

5.设△ABC 的角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=2,c=4,B=60°,则 b 等于( ) A.28 B.2 C.12 D.2

6.曲线 y=xlnx 在点(1,0)处的切线方程是( ) A.y=x﹣1 B.y=x+1 C.y=2x﹣2 D.y=2x+2

7.m=0 是方程 x2+y2﹣4x+2y+m=0 表示圆的( A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要

)条件.

8.用反证法证明“若 a+b+c<3,则 a,b,c 中至少有一个小于 1”时,“假设”应为( ) A.假设 a,b,c 至少有一个大于 1 B.假设 a,b,c 都大于 1 C.假设 a,b,c 至少有两个大于 1 D.假设 a,b,c 都不小于 1

9.在下列函数中,最小值是 2 的是( )

1

A.

(x∈R 且 x≠0) B.

C.y=3x+3﹣x(x∈R) D.



10.设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则 y=f(x)的图象 最有可能的是( )

A.

B.

C.

D.

11.数列{an}满足:a1=2,an+1=

(n∈N*)其前 n 项积为 Tn,则 T2014=( )

A.﹣6 B.﹣ C. D.6

12.椭圆 C 的两个焦点分别是 F1,F2,若 C 上的点 P 满足

离心率 e 的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.



,则椭圆 C 的

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

13.双曲线 4x2﹣y2=16 的渐近线方程是



14.在等差数列 an 中,若 a3+a4+a5+a6+a7=450,则 a2+a8=



2

15.设 a>0,b>0,且 a+b=1,则 + 的最小值为



16.设 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=x+y 的最大值为



三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsinA= (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,分别求 a 和 c 的值.

a?cosB.

18.在对人们休闲方式的一次调查中,共调查 120 人,其中女性 70 人、男性 50 人,女性中 有 40 人主要的休闲方式是看电视,另外 30 人主要的休闲方式是运动;男性中有 20 人主要 的休闲方式是看电视,另外 30 人主要的休闲方式是运动. (Ⅰ)根据以上数据建立一个 2×2 的列联表:
看电视运动总计

女性

男性

总计

(Ⅱ)休闲方式与性别是否有关?

参考数据:

P(K2≥k0)0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.0250.0100.0050.001

K0

0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考公式:随机变量 K2=



19.已知命题 P:函数 f(x)=logax 在区间(0,+∞)上是单调递增函数;命题 Q:不等式 (a﹣2)x2+2(a﹣2)x﹣4<0 对任意实数 x 恒成立.若 P∨Q 是真命题,且 P∧Q 为假命题, 求实数 a 的取值范围.
20.已知{an}为等差数列,且 a1+a3=8,a2+a4=12. (Ⅰ)求{an}的通项公式 (Ⅱ)记{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1,ak,Sk+2 成等比数列,求正整数 k 的值.
21.已知 a 为实数,f(x)=(x2﹣4)(x﹣a). (1)求导数 f′(x); (2)若 f′(﹣1)=0,求 f(x)在[﹣2,2]上的最大值和最小值; (3)若 f(x)在(﹣∞,﹣2)和(2,+∞)上都是递增的,求 a 的取值范围.

3

22.过直角坐标平面 xOy 中的抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 作一条倾斜角为 的直线与 抛物线相交于 A、B 两点. (1)求直线 AB 的方程; (2)试用 p 表示 A、B 之间的距离; (3)当 p=2 时,求∠AOB 的余弦值. 参考公式:(xA2+yA2)(xB2+yB2)=xAxB[xAxB+2p(xA+xB)+4p2].
4

2015-2016 学年广东省湛江一中高二(上)期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了 4 个不同模型,它们的相关指数 R2 如下,其 中拟合效果最好的模型是( ) A.模型 1 的相关指数 R2 为 0.98 B.模型 2 的相关指数 R2 为 0.80 C.模型 3 的相关指数 R2 为 0.50 D.模型 4 的相关指数 R2 为 0.25 【考点】相关系数. 【专题】常规题型. 【分析】两个变量 y 与 x 的回归模型中,它们的相关指数 R2,越接近于 1,这个模型的拟合 效果越好,在所给的四个选项中 0.98 是相关指数最大的值,得到结果. 【解答】解:两个变量 y 与 x 的回归模型中,它们的相关指数 R2,越接近于 1, 这个模型的拟合效果越好, 在所给的四个选项中 0.98 是相关指数最大的值, ∴拟合效果最好的模型是模型 1. 故选 A. 【点评】本题考查相关指数,这里不用求相关指数,而是根据所给的相关指数判断模型的拟 合效果,这种题目解题的关键是理解相关指数越大拟合效果越好.

2.数列 , , , ,…的第 10 项是( )

A. B. C. D.
【考点】数列的概念及简单表示法. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由数列 , , , ,…可得其通项公式 an=

.即可得出.

【解答】解:由数列 , , , ,…可得其通项公式 an= .



=.

故选 C. 【点评】得出数列的通项公式是解题的关键.

3.下列有关命题的说法正确的是( ) A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为:“若 x2=1,则 x≠1” B.若 p∨q 为真命题,则 p,q 均为真命题 C.命题“存在 x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是:“对任意 x∈R,均有 x2+x+1<0” D.命题“若 x=y,则 sinx=siny”的逆否命题为真命题 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】简易逻辑.

5

【分析】A.利用否命题的定义即可判断出; B.利用“或”命题的定义可知:若 p∨q 为真命题,则 p 与 q 至少有一个为真命题; C.l 利用命题的否定即可判断出; D.由于命题“若 x=y,则 sinx=siny”为真命题,而逆否命题与原命题是等价命题,即可判 断出. 【解答】解:对于 A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为“若 x2≠1,则 x≠1”,因此不 正确; 对于 B.若 p∨q 为真命题,则 p 与 q 至少有一个为真命题,因此不正确; 对于 C.“存在 x∈R,使得 x2+x+1<0”的否定是:“对任意 x∈R,均有 x2+x+1≥0”,因 此不正确 对于 D.由于命题“若 x=y,则 sinx=siny”为真命题,因此其逆否命题为真命题,正确. 故选:D. 【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法,考查了推理能力,属于基础题.

4.工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归直线方程为 =60+90x,下列判断正 确的是( ) A.劳动生产率为 1000 元时,工资为 50 元 B.劳动生产率提高 1000 元时,工资提高 150 元 C.劳动生产率提高 1000 元时,工资提高 90 元 D.劳动生产率为 1000 元时,工资为 90 元 【考点】线性回归方程. 【专题】常规题型. 【分析】根据所给的线性回归方程,当 x 增加 1 时,y 要增加 90 元,当劳动效率增加 1000 元时,工资提高 90 元,这里的值是平均增加 90 元.

【解答】解:∵回归直线方程为



∴当 x 增加 1 时,y 要增加 90 元, ∴当劳动效率增加 1000 元时,工资提高 90 元, 故选 C. 【点评】本题考查线性回归方程的应用,解题的关键是看清题目中自变量的值每增加 1 个单 位,y 的值就平均增加 90,注意平均一词.

5.设△ABC 的角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=2,c=4,B=60°,则 b 等于( ) A.28 B.2 C.12 D.2 【考点】余弦定理. 【专题】解三角形. 【分析】利用余弦定理列出关系式,把 a,c 以及 cosB 的值代入计算即可求出 b 的值. 【解答】解:∵△ABC 中,a=2,c=4,B=60°, ∴由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2accosB=4+16﹣8=12, 则 b=2 . 【点评】此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题关键.

6.曲线 y=xlnx 在点(1,0)处的切线方程是( ) A.y=x﹣1 B.y=x+1 C.y=2x﹣2 D.y=2x+2

6

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】方程思想;导数的概念及应用. 【分析】求出函数的导数,求得切线的斜率,运用点斜式方程可得切线的方程.
【解答】解:y=xlnx 的导数为 y′=lnx+x? =1+lnx,
即有曲线在点(1,0)处的切线斜率为 1, 则在点(1,0)处的切线方程为 y﹣0=x﹣1, 即为 y=x﹣1. 故选 A. 【点评】本题考查导数的运用:求切线的方程,注意运用导数的几何意义,正确求导和运用 点斜式方程是解题的关键.

7.m=0 是方程 x2+y2﹣4x+2y+m=0 表示圆的( )条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】简易逻辑. 【分析】根据充分必要条件的定义,分别判断其充分性和必要性即可. 【解答】解:m=0 时,方程为 x2+y2﹣4x+2y=0,表示圆,是充分条件, 若方程 x2+y2﹣4x+2y+m=0 表示圆,则需满足 5﹣m>0,即 m<5,推不出 m=0,不是必要条件, 故选:A. 【点评】本题考查了充分必要条件,考查了圆的有关性质,是一道基础题.

8.用反证法证明“若 a+b+c<3,则 a,b,c 中至少有一个小于 1”时,“假设”应为( ) A.假设 a,b,c 至少有一个大于 1 B.假设 a,b,c 都大于 1 C.假设 a,b,c 至少有两个大于 1 D.假设 a,b,c 都不小于 1 【考点】反证法. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】考虑命题的反面,即可得出结论. 【解答】解:由于命题:“若 a,b,c 中至少有一个小于 1”的反面是:“a,b,c 都不小 于 1”, 故用反证法证明“若 a+b+c<3,则 a,b,c 中至少有一个小于 1”时,“假设”应为“a,b, c 都不小于 1”, 故选 D. 【点评】此题主要考查了反证法的步骤,熟记反证法的步骤:(1)假设结论不成立;(2)从 假设出发推出矛盾;(3)假设不成立,则结论成立.

9.在下列函数中,最小值是 2 的是( )

A.

(x∈R 且 x≠0) B.

C.y=3x+3﹣x(x∈R) D.



【考点】基本不等式. 【专题】计算题.

7

【分析】利用均值定理求函数最值需要满足三个条件即一“正”,二“定”,三“等号”, 选项 A 不满足条件一“正”;选项 B、D 不满足条件三“等号”,即等号成立的条件不具备, 而选项 C 三个条件都具备
【解答】解:当 x<0 时,y= <0,排除 A,

∵lgx= 在 1<x<10 无解,∴

大于 2,但不能等于 2,排除 B

∵sinx= 在 0<x< 上无解,∴

)大于 2,但不能等于 2,

排除 D

对于函数 y=3x+3﹣x,令 3x=t,则 t>0,y=t+ ≥2

=2,(当且仅当 t=1,即 x=0 时取等

号) ∴y=3x+3﹣x 的最小值为 2 故选 C 【点评】本题考察了均值定理求函数最值的方法,解题时要牢记口诀一“正”,二“定”, 三“等号”,并用此口诀检验解题的正误

10.设 f′(x)是函数 f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则 y=f(x)的图象 最有可能的是( )

A.

B.

C.

D.
【考点】函数的单调性与导数的关系. 【专题】压轴题;数形结合. 【分析】先根据导函数的图象确定导函数大于 0 的范围和小于 0 的 x 的范围,进而根据当 导函数大于 0 时原函数单调递增,当导函数小于 0 时原函数单调递减确定原函数的单调增减 区间. 【解答】解:由 y=f'(x)的图象易得当 x<0 或 x>2 时,f'(x)>0, 故函数 y=f(x)在区间(﹣∞,0)和(2,+∞)上单调递增; 当 0<x<2 时,f'(x)<0,故函数 y=f(x)在区间(0,2)上单调递减;
8

故选 C. 【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系,即当导函数大于 0 时原 函数单调递增,当导函数小于 0 时原函数单调递减.

11.数列{an}满足:a1=2,an+1=

(n∈N*)其前 n 项积为 Tn,则 T2014=( )

A.﹣6 B.﹣ C. D.6
【考点】数列递推式. 【专题】点列、递归数列与数学归纳法.

【分析】根据数列{an}满足 a1=2,an+1=

(n∈N*),可得数列{an}是周期为 4 的周期数

列,且 a1a2a3a4=1,即可得出结论.

【解答】解:∵a1=2,an+1=

(n∈N*),

∴a2=﹣3,a3=﹣ ,a4= ,a5=2,…,
∴数列{an}是周期为 4 的周期数列,且 a1a2a3a4=1, ∵2014=4×503+2, ∴T2014=﹣6. 故选:A. 【点评】本题考查数列递推式,考查学生分析解决问题的能力,确定数列{an}是周期为 4 的 周期数列,且 a1a2a3a4=1 是关键.

12.椭圆 C 的两个焦点分别是 F1,F2,若 C 上的点 P 满足

离心率 e 的取值范围是( )

A.

B.

,则椭圆 C 的

C.

D.



【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】利用椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆 C 的离心率 e 的计算公式即可得出

【解答】解:∵椭圆 C 上的点 P 满足

,∴|PF1|=

=3c,

由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a,∴|PF2|=2a﹣3c. 利用三角形的三边的关系可得:2c+(2a﹣3c)≥3c,3c+2c≥2a﹣3c,

化为



9

∴椭圆 C 的离心率 e 的取值范围是



故选:C. 【点评】本题考查了椭圆的定义、三角形的三边的关系、椭圆的离心率的计算公式等基础知 识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.双曲线 4x2﹣y2=16 的渐近线方程是 y=±2x . 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】将双曲线化成标准方程,得到 a=2 且 b=4,利用双曲线渐近线方程的公式加以计算, 可得答案.

【解答】解:将双曲线化成标准方程,得



∴a=2 且 b=4,双曲线的渐近线方程为 y=±2x. 故答案为:y=±2x. 【点评】本题给出双曲线的方程,求它的渐近线.着重考查了双曲线的标准方程与简单几何 性质等知识,属于基础题.

14.在等差数列 an 中,若 a3+a4+a5+a6+a7=450,则 a2+a8= 180 . 【考点】等差数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】据等差数列的性质可知,项数之和相等的两项之和相等,化简已知的等式即可求出 a5 的值,然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后,将 a5 的值代入即可求出值. 【解答】解:由 a3+a4+a5+a6+a7=(a3+a7)+(a4+a6)+a5=5a5=450, 得到 a5=90, 则 a2+a8=2a5=180. 故答案为:180. 【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值,是一道基础题.学生化简已知条 件时注意项数之和等于 10 的两项结合.

15.设 a>0,b>0,且 a+b=1,则 + 的最小值为 4 .

【考点】基本不等式. 【专题】不等式的解法及应用.

【分析】根据基本不等式的应用,即可求 + 的最小值.

【解答】解:∵a+b=1,

∴ + =(a+b)( + )=2+



当且仅当 ,即 a=b= 时,取等号. 故答案为:4.

10

【点评】本题主要考查基本不等式的应用,注意基本不等式成立的三个条件.

16.设 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=x+y 的最大值为 7 .

【考点】简单线性规划. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最大值. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分). 由 z=x+y 得 y=﹣x+z, 平移直线 y=﹣x+z, 由图象可知当直线 y=﹣x+z 经过点 A 时,直线 y=﹣x+z 的截距最大, 此时 z 最大.



,解得 ,即 A(3,4),

代入目标函数 z=x+y 得 z=3+4=7. 即目标函数 z=x+y 的最大值为 7. 故答案为:7.

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.利 用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 bsinA= a?cosB. (1)求角 B 的大小; (2)若 b=3,sinC=2sinA,分别求 a 和 c 的值. 【考点】正弦定理;余弦定理. 【专题】解三角形. 【分析】(1)由 bsinA= a?cosB,由正弦定理可得:sinBsinA= sinAcosB,化简整理即 可得出. (2)由 sinC=2sinA,可得 c=2a,由余弦定理可得:b2=a2+c2﹣2accosB,代入计算即可得出. 【解答】解:(1)∵bsinA= a?cosB,由正弦定理可得:sinBsinA= sinAcosB,
11

∵sinA≠0,∴sinB= cosB, B∈(0,π ), 可知:cosB≠0,否则矛盾.

∴tanB= ,∴B= .

(2)∵sinC=2sinA,∴c=2a,

由余弦定理可得:b2=a2+c2﹣2accosB,

∴9=a2+c2﹣ac,

把 c=2a 代入上式化为:a2=3,解得 a= ,





【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、三角形内角和定理与三角函数的单调性,考查了推

理能力与计算能力,属于中档题.

18.在对人们休闲方式的一次调查中,共调查 120 人,其中女性 70 人、男性 50 人,女性中 有 40 人主要的休闲方式是看电视,另外 30 人主要的休闲方式是运动;男性中有 20 人主要 的休闲方式是看电视,另外 30 人主要的休闲方式是运动. (Ⅰ)根据以上数据建立一个 2×2 的列联表:
看电视运动总计

女性

男性

总计

(Ⅱ)休闲方式与性别是否有关?

参考数据:

P(K2≥k0)0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.0250.0100.0050.001

K0

0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考公式:随机变量 K2=



【考点】独立性检验的应用.

【专题】应用题;概率与统计.

【分析】(Ⅰ)根据所给数据得到列联表.

(Ⅱ)根据列联表中所给的数据做出观测值,把观测值同临界值进行比较得到在犯错误的概

率不超过 0.10 的前提下,认为休闲方式与性别有关.

【解答】解:(Ⅰ)2×2 的列联表:

休闲方式 看电视 运动 合计

性别



40

30

70



20

30

50

合计

60

60

120

(Ⅱ)根据列联表中的数据得到 K2 的观测值为

K2=

≈3.429>2.706,

12

所以在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下,认为休闲方式与性别有关. 【点评】独立性检验是考查两个分类变量是否有关系,并且能较精确的给出这种判断的可靠 程度的一种重要的统计方法,主要是通过 k2 的观测值与临界值的比较解决的.

19.已知命题 P:函数 f(x)=logax 在区间(0,+∞)上是单调递增函数;命题 Q:不等式 (a﹣2)x2+2(a﹣2)x﹣4<0 对任意实数 x 恒成立.若 P∨Q 是真命题,且 P∧Q 为假命题, 求实数 a 的取值范围. 【考点】复合命题的真假. 【专题】简易逻辑. 【分析】若命题 P 为真,则 a>1.若命题 Q 为真,则 a﹣2=0 或

,解得 a.由 P∨Q 是真命题,且 P∧Q 为假命题,可

得 P 真 Q 假,或 P 假 Q 真.即可解出. 【解答】解:若命题 P 为真,则 a>1.

若命题 Q 为真,则 a﹣2=0 或

,解得﹣2<a<2.

∵P∨Q 是真命题,且 P∧Q 为假命题, ∴P 真 Q 假,或 P 假 Q 真.







即 a≥2 或﹣2<a≤1. 【点评】本题考查了对数函数的单调性、一元二次不等式的解集与判别式的关系、复合命题 真假的判定方法,考查了分类讨论的思想方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.

20.已知{an}为等差数列,且 a1+a3=8,a2+a4=12. (Ⅰ)求{an}的通项公式 (Ⅱ)记{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1,ak,Sk+2 成等比数列,求正整数 k 的值. 【考点】等比数列的性质;等差数列的通项公式. 【专题】计算题.

【分析】(Ⅰ)设等差数列{an}的公差等于 d,则由题意可得

,解得 a1=2,d=2,

从而得到{an}的通项公式. (Ⅱ) 由(Ⅰ)可得 {an}的前 n 项和为 Sn = 求得正整数 k 的值.

=n(n+1),再由 =a1 Sk+2 ,

【解答】解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差等于 d,则由题意可得 d=2.

,解得 a1=2,

13

∴{an}的通项公式 an =2+(n﹣1)2=2n. (Ⅱ) 由(Ⅰ)可得 {an}的前 n 项和为 Sn =

=n(n+1).

∵若 a1,ak,Sk+2 成等比数列,∴

=a1 Sk+2 ,

∴4k2 =2(k+2)(k+3),k=6 或 k=﹣1(舍去),故 k=6. 【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质,等差数列的通项公式,属于中档题.

21.已知 a 为实数,f(x)=(x2﹣4)(x﹣a). (1)求导数 f′(x); (2)若 f′(﹣1)=0,求 f(x)在[﹣2,2]上的最大值和最小值; (3)若 f(x)在(﹣∞,﹣2)和(2,+∞)上都是递增的,求 a 的取值范围. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;导数的运算;利用导数研究函数的单调性. 【专题】计算题;综合题;压轴题. 【分析】(1)按导数的求导法则求解 (2)由 f′(﹣1)=0 代入可得 f(x),先求导数,研究函数的极值点,通过比较极值点与 端点的大小从而确定出最值 (3)(法一)由题意可得 f′(2)≥0,f′(﹣2)≥0 联立可得 a 的范围
(法二)求出 f′(x),再求单调区增间(﹣∞,x1)和[x2,+∞),依题意有(﹣∞, ﹣2)? (﹣∞,x1)[2,+∞]? [x2,+∞) 【解答】解:(1)由原式得 f(x)=x3﹣ax2﹣4x+4a,∴f'(x)=3x2﹣2ax﹣4.
(2)由 f'(﹣1)=0 得 ,此时有



由 f'(x)=0 得 或 x=﹣1,又



所以 f(x)在[﹣2,2]上的最大值为 ,最小值为



(3)解法一:f'(x)=3x2﹣2ax﹣4 的图象为开口向上且过点(0,﹣4)的抛物线,由条件 得 f'(﹣2)≥0,f'(2)≥0, ∴﹣2≤a≤2. 所以 a 的取值范围为[﹣2,2].

解法二:令 f'(x)=0 即 3x2﹣2ax﹣4=0,由求根公式得:

所以 f'(x)=3x2﹣2ax﹣4.在(﹣∞,x1]和[x2,+∞)上非负. 由题意可知,当 x≤﹣2 或 x≥2 时,f'(x)≥0, 从而 x1≥﹣2,x2≤2,

14


解不等式组得﹣2≤a≤2. ∴a 的取值范围是[﹣2,2]. 【点评】本题考查了导数的求解,利用导数求闭区间上函数的最值,求函数在闭区间[a,b] 上的最大值与最小值是通过比较函数在 (a,b)内所有极值与端点函数 f(a),f(b) 比较而得到的.利用导数求单调区间要区 分“单调区间”和“在区间上单调递增”两个不同概念.
22.过直角坐标平面 xOy 中的抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 作一条倾斜角为 的直线与
抛物线相交于 A、B 两点. (1)求直线 AB 的方程; (2)试用 p 表示 A、B 之间的距离; (3)当 p=2 时,求∠AOB 的余弦值. 参考公式:(xA2+yA2)(xB2+yB2)=xAxB[xAxB+2p(xA+xB)+4p2].

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;直线的一般式方程. 【专题】计算题. 【分析】(1)根据所给的抛物线的方程写出抛物线的焦点坐标,又有所给的直线的倾斜角得 到这条直线的斜率,由点斜式写出直线的方程,整理成最简形式. (2)要求两点之间的距离,首先要把直线与抛物线方程联立,整理出关于 x 的方程,根据 根和系数之间的关系,和抛物线的定义,写出结果. (3)根据所给的 p 的值,写出具体的直线的方程,把直线的方程和抛物线方程联立,利用 韦达定理,写出根与系数之间的关系,利用余弦定理写出要求的角的余弦值,得到结果.

【解答】解:(1)由题意知焦点



∴过抛物线焦点且倾斜角为 的直线方程是



即 x﹣y﹣ =0,

(2)由 ? |AB|=xA+xB+p=4p.

15

(3)由 xAxB=1.

? x2﹣6x+1=0? xA+xB=6,

=



∴∠AOB 的大小是与 p 无关的定值. 【点评】本题考查直线与圆锥曲线之间的关系,实际上这种问题在解题时考虑的解题方法类 似,都需要通过方程联立来解决问题,注意本题中抛物线还有本身的特点,注意使用.

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