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新高中数学第一章集合与函数概念1-3函数的基本性质1-3-1单调性与最大小值第一课时函数的单调性学案含解析新

新高中数学第一章集合与函数概念 1-3 函数的基本性质 1-3-1 单调性 与最大小值第一课时函数的单调性学案含解析新人教 A 版必修 1
第一课时 函数的单调性

[提出问题] 观察下列函数图象:

问题 1:从图象上看,自变量 x 增大时,函数 f(x)的值如何变化? 提示:甲图中,函数 f(x)的值随 x 增大而增大. 乙图中,函数 f(x)的值随 x 增大而减小. 丙图中,在 y 轴左侧,函数 f(x)的值随 x 的增大而减小; 在 y 轴右侧,函数 f(x)的值随 x 的增大而增大. 问题 2:甲、乙图中,若 x1<x2,则 f(x1)与 f(x2)的大小关系是什么? 提示:甲图中,若 x1<x2,则 f(x1)<f(x2); 乙图中,若 x1<x2,则 f(x1)>f(x2). 问题 3:丙图中,若 x1<x2,f(x1)<f(x2),则自变量 x 属于哪个区间? 提示:(0,+∞).

[导入新知] 1.定义域为 I 的函数 f(x)的增减性

2.单调性与单调区间 如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间上 1 / 12

具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间. [化解疑难] 1.x1,x2 的三个特征 (1)任意性,即 x1,x2 是在某一区间上的任意两个值,不能以特殊值代换; (2)有大小,即确定的两个值 x1,x2 必须区分大小,一般令 x1<x2; (3)同属一个单调区间. 2.理解函数的单调性应注意的问题 (1)函数的单调性是函数的局部性质,体现在函数的定义域或其子区间上,所以函数的 单调区间是其定义域的子集. (2)函数的单调性是对某个区间而言的,在某一点上不存在单调性. (3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时, 不能用“∪”连接, 而应该用“和” 1 1 连接. 如函数 y= 在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,却不能表述为:函数 y= 在(-∞,

x

x

0)∪(0,+∞)上单调递减.
?1,x是有理数, ? (4)并非所有的函数都具有单调性. 如函数 f(x)=? ?0,x是无理数 ?

就不具有单调性.

由函数图象说明函数的单调性 [例 1] (1)函数 y=f(x)的图象如图所示,其增区间是( A.[-4,4] B.[-4,-3]∪[1,4] C.[-3,1] D.[-3,4] (2)画出函数 y=-x +2|x|+1 的图象并写出函数的单调区间. [解] (1)选 C 根据函数单调性定义及函数图象知 f(x)在[-3,1]上单调递增.
?-x +2x+1, ? (2)y=? 2 ?-x -2x+1, ? ? ?- 即 y=? ?- ?
2 2

)

x≥0, x<0, x≥0,

x- x+

2

+2,

2

+2, x<0,

函数图象如图所示,单调增区间为(-∞,-1],[0,1],单调减区间为[-1,0],[1, +∞).

2 / 12

[类题通法] 由图象确定函数单调性的方法及注意事项 (1)图象从左向右上升,则函数递增;图象从左向右下降,则函数递减. (2)单调区间必须是函数定义域的子集,单调区间之间不能用“∪”,而应用“,”将 它们隔开或用“和”字连接. [活学活用] 求下列函数的单调区间. (1)f(x)=3|x|; (2)f(x)=|x +2x-3|.
? ?3x,x≥0, 解:(1)f(x)=3|x|=? ?-3x,x<0. ?
2

图象如图所示.

f(x)的单调递减区间为(-∞,0],单调递增区间为[0,+∞).
(2)令 g(x)=x +2x-3=(x+1) -4. 先作出 g(x)的图象,保留其在 x 轴及 x 轴上方部分,把它在 x 轴下方的图象翻到 x 轴 上方就得到 f(x)=|x +2x-3|的图象,如图所示.
2 2 2

由图象易得函数的递增区间是[-3, -1],[1,+∞);函数的递减区间是(-∞,-3], [-1,1]. 函数单调性的证明

3 / 12

1 [例 2] 求证:函数 f(x)= 2在(0,+∞)上是减函数,在(-∞,0)上是增函数.

x

[解] 证明:对于任意的 x1,x2∈(-∞,0),且 x1<x2, 1 1 有 f(x1)-f(x2)= 2- 2

x1 x2

2 x2 x2-x1 x2+x1 2-x1 = 2 2 = . 2 x1x2 x2 1x2

∵x1<x2<0,∴x2-x1>0,x1+x2<0,x1x2>0. ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 1 ∴函数 f(x)= 2在(-∞,0)上是增函数.

2 2

x

对于任意的 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2,有

f(x1)-f(x2)=

x2-x1
2 x2 1x2

x2+x1

.
2 2

∵0<x1<x2,∴x2-x1>0,x2+x1>0,x1x2>0. ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 1 ∴函数 f(x)= 2在(0,+∞)上是减函数.

x

[类题通法] 利用定义证明函数单调性的步骤

[活学活用] 求证:函数 f(x)=- x在其定义域上是减函数. 证明:f(x)=- x的定义域为[0,+∞). 设 0≤x1<x2,则 x1-x2<0, 且 f(x2)-f(x1)=(- x2)-(- x1) = x1- x2 = =

x1- x2 x1+ x2 x1+ x2 x1-x2 . x1+ x2

4 / 12

∵x1-x2<0, x1+ x2>0, ∴f(x2)-f(x1)<0,即 f(x2)<f(x1). ∴f(x)=- x在它的定义域[0,+∞)上是减函数. 由函数的单调性求参数的取值范围 [例 3] (1)已知 y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且 f(1-a)<f(2a-1),则 a 的 取值范围是________. (2)已知函数 f(x)=x -2ax-3 在区间[1,2]上单调,求实数 a 的取值范围.
?-1<1-a<1, ? [解] (1)由题意可知? ? ?-1<2a-1<1,
2

解得 0<a<1. ① 又∵f(x)在(-1,1)上是减函数, 且 f(1-a)<f(2a-1), ∴1-a>2a-1, 2 即 a< . 3 ②

2 由①②可知 0<a< , 3

? 2? 即所求 a 的取值范围是?0, ?. ? 3?
(2)函数 f(x)=x -2ax-3 的图象开口向上,对称轴为直线 x=a,画出草图如图所示.
2

由图象可知函数在(-∞,a]和[a,+∞)上分别单调,因此要使函数 f(x)在区间[1,2] 上单调,只需 a≤1 或 a≥2(其中当 a≤1 时,函数 f(x)在区间[1,2]上单调递增;当 a≥2 时,函数 f(x)在区间[1,2]上单调递减),从而 a∈(-∞,1]∪[2,+∞).

? 2? [答案] (1)?0, ? ? 3?
[类题通法] “函数的单调区间为 I”与“函数在区间 I 上单调”的区别

5 / 12

单调区间是一个整体概念,说函数的单调递减区间是 I,指的是函数递减的最大范围为 区间 I.而函数在某一区间上单调,则指此区间是相应单调区间的子区间.所以我们在解决 函数的单调性问题时,一定要仔细读题,明确条件含义. [活学活用] 若 f(x)=-x +2ax 与 g(x)= 在区间[1,2] 上都是减函数,则 a 的取值范围是( A.(-1,0)∪(0,1) C.(0,1) ) B.(-1,0)∩(0,1) D.(0,1]
2

a x

解析:选 D 因为 g(x)= 在区间[1,2]上是减函数,所以 a>0.因为函数 f(x)=-x + 2ax 的图象开口向下, 对称轴为直线 x=a, 且函数 f(x)在区间[1,2]上为减函数, 所以 a≤1. 故满足题意的 a 的取值范围是(0,1].

a x

2

4.研究函数的单调性易忽视定义域 [典例] 已知 f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且 f(x-2)<f(1-x),则 x 的取 值范围为________.
? ?-1≤x-2≤1, [解析] 由题意,得? ?-1≤1-x≤1, ?

解得 1≤x≤2. ① 因为 f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数, 且 f(x-2)<f(1-x),所以 x-2<1-x, 3 解得 x< . ② 2 3 由①②得 1≤x< . 2

? 3? [答案] ?1, ? 2 ? ?
[类题通法] 1.上题易忽视函数的定义域为[-1,1],直接利用单调性得到不等式 x-2<1-x,从而 3 得出 x< 的错误答案. 2 2. 解决此类问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号“f”, 从而转化为熟悉的不等 6 / 12

式.若函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数,则对任意 x1,x2∈D,且 f(x1)<f(x2),有 x1<x2; 若函数 y=f(x)在区间 D 上是减函数,则对任意 x1,x2∈D,且 f(x1)<f(x2),有 x1>x2.需要 注意的是,不要忘记函数的定义域. [成功破障] 函数 y= x+1的单调递增区间为________. 解析:∵x+1≥0,∴x≥-1, ∴函数 y= x+1的单调递增区间为[-1,+∞). 答案:[-1,+∞)

[随堂即时演练] 1. 下列函数中, 满足“对任意 x1, x2∈(0, +∞), 都有 2 A.f(x)=

f x1 -f x2 >0”的是( x1-x2

)

x

B.f(x)=-3x+1 C.f(x)=x +4x+3 1 D.f(x)=x+
2

x

解析:选 C

f x1 -f x2 2 >0?f(x)在(0,+∞)上为增函数,而 f(x)= 及 f(x)= x1-x2 x x

1 -3x+1 在(0,+∞)上均为减函数,故 A,B 错误;f(x)=x+ 在(0,1)上递减,在[1,+ ∞)上递增,故 D 错误;f(x)=x +4x+3=x +4x+4-1=(x+2) -1,所以 f(x)在[-2, +∞)上递增,故只有 C 正确. 2.函数 f(x)=|x|,g(x)=x(2-x)的递增区间依次是( A.(-∞,0],(-∞,1] C.[0,+∞),(-∞,1] )
2 2 2

B.(-∞,0],(1,+∞) D.[0,+∞),[1,+∞)

解析:选 C 分别作出 f(x) 与 g(x)的图象(图略)得:f(x)在[0,+∞)上递增,g(x) 在(-∞,1]上递增,选 C.

?3? 2 3 .已知函数 f(x) 是 (0 ,+∞)上的减函数,则 f(a - a + 1) 与 f ? ? 的大小关系是 ?4?
________________________________________________________________________.

? 1?2 3 3 2 解析:∵a -a+1=?a- ? + ≥ >0, ? 2? 4 4
又∵f(x)是(0,+∞)上的减函数, 7 / 12

?3? 2 ∴f(a -a+1)≤f? ?. ?4? ?3? 2 答案:f(a -a+1)≤f? ? ?4?
4.已知函数 f(x)=x -2(1-a)x+2 在(-∞,4]上是减函数,则实数 a 的取值范围为 ________. 解析:∵f(x)=x -2(1-a)x+2 =[x-(1-a)] +2-(1-a) , ∴f(x)的单调递减区间是(-∞,1-a]. 又∵函数 f(x)在(-∞,4]上是减函数, ∴1-a≥4,即 a≤-3. ∴所求实数 a 的取值范围是(-∞,-3]. 答案:(-∞,-3] 5.求证:函数 y= 1
2 2 2 2

x-1

在区间(1,+∞)上为单调减函数.

证明:任取 x1,x2∈(1,+∞),且 x1<x2,则

y1-y2= - = x1-1 x2-1


1

1

x2- - x1- x1- x2-

x2-x1 x1- x2-

.

∵x2>x1>1, ∴x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0, ∴

x2-x1 x1- x2-

>0,

∴y1>y2, ∴函数 y= 1 在区间(1,+∞)上为单调减函数. x-1 [课时达标检测] 一、选择题 1.若函数 f(x)在区间(a,b)上是增函数,在区间(b,c)上也是增函数,则函数 f(x) 在区间(a,b)∪(b,c)上( A.必是增函数 C.是增函数或减函数 ) B.必是减函数 D.无法确定单调性

1 解析:选 D 函数在区间(a,b)∪(b,c)上无法确定单调性.如 y=- 在(0,+∞)上

x

是增函数,在(-∞,0)上也是增函数,但在(-∞,0)∪(0,+∞)上并不具有单调性.

8 / 12

2.设(a,b),(c,d)都是 f(x)的单调增区间,且 x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,则

f(x1)与 f(x2)的大小关系为(
A.f(x1)<f(x2) C.f(x1)=f(x2)

) B.f(x1)>f(x2) D.不能确定

解析:选 D 根据单调函数的定义,所取两个自变量必须是同一单调区间内的任意两个 自变量,才能由该区间上函数的单调性来比较出函数值的大小,而本题中的 x1,x2 不在同一 单调区间,故 f(x1)与 f(x2)的大小不能确定,选 D. 3.设 f(x)=(2a-1)x+b 在 R 上是减函数,则有( 1 A.a≥ 2 1 C.a>- 2 1 B.a≤ 2 1 D.a< 2 )

1 解析:选 D ∵f(x)在 R 上是减函数,故 2a-1<0,即 a< . 2 4.下列四个函数在(-∞,0)上为增函数的是( |x| x ①y=|x|+1;②y= ;③y=- ; x |x| ④y=x+ . |x| A.①② C.③④ B.②③ D.①④
2

)

x

| x| 解析: 选 C ①y=|x|+1=-x+1(x<0)在(-∞, 0)上为减函数; ②y= =-1(x<0)

x

在(-∞, 0)上既不是增函数, 也不是减函数; ③y=-

x2 =x(x<0)在(-∞, 0)上是增函数; |x|

④y=x+ =x-1(x<0)在(-∞,0)上也是增函数. |x|

x

a- x+5,x≤1, ? ? 5.已知函数 f(x)=?2a ,x>1 ? ?x
围是( ) B.(0,3] D.(0,2]

是 R 上的减函数,则实数 a 的取值范

A.(0,3) C.(0,2) 解析:选 D 依题意得实数 a 满足

9 / 12

a-3<0, ? ? ?2a>0, ? ? a- +5≥2a,
二、填空题

解得 0<a≤2.

6.函数 f(x)=|x-1|+2 的单调递增区间为________.
?x+1,x≥1, ? 解析:f(x)=? ?3-x,x<1, ?

显然函数 f(x)在 x≥1 时单调递增.

答案:[1,+∞)

?1 ? 2 7.如果二次函数 f(x)=x -(a-1)x+5 在区间? ,1?上是增函数,则实数 a 的取值范 ?2 ?
围为________. 解析:∵函数 f(x)=x -(a-1)x+5 的对称轴为 x= ∴
2

a-1
2

?1 ? 且在区间? ,1?上是增函数, ?2 ?

a-1 1
2

≤ ,即 a≤2. 2

答案:(-∞,2] 8.函数 f(x)是定义域上的单调递减函数,且过点(-3,2)和(1,-2),则使|f(x)|<2 的自变量 x 的取值范围是________. 解析:∵f(x)是定义域上的减函数,f(-3)=2,f(1)=-2,∴当 x>-3 时,f(x)<2, 当 x<1 时,f(x)>-2,则当-3<x<1 时,|f(x)|<2. 答案:(-3,1) 三、解答题
?-x+3-3a,x<0, ? 9.已知函数 f(x)=? 2 ?-x +a,x≥0 ?

满足对任意的 x1,x2∈R,(x1-x2)[f(x1)-

f(x2)]<0,求 a 的取值范围.
解:由对任意的 x1,x2∈R,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 知函数 f(x)在 R 上为减函数.当

x<0 时,函数 f(x)=-x+3-3a 为一次函数,且为减函数,则此时 f(x)>f(0)=3-3a;当
2 x≥0 时, 函数 f(x)=-x +a 为二次函数, 也为减函数, 且有 f(x)≤f(0)=a.要使函数 f(x)

3? 3 ? 在 R 上为减函数,则有 a≤3-3a,解得 a≤ .所以 a 的取值范围是?-∞, ?. 4? 4 ? 10.已知函数 f(x)= 1

x2-1

.

(1)设 f(x)的定义域为 A,求集合 A; (2)判断函数 f(x)在(1,+∞)上的单调性,并用定义加以证明.

10 / 12

解:(1)由 x -1≠0,得 x≠±1,所以函数 f(x)= (2)函数 f(x)= 1 在(1,+∞)上单调递减.

2

1 的定义域为 A={x∈R|x≠±1}. x -1
2

x2-1

证明:任取 x1,x2∈(1,+∞),设 x1<x2, 则 Δ x=x2-x1>0, Δ y=y2-y1= 1
2 x2 x1 -1 2-1



1



x1-x2 x2 1-

x1+x2 , x2 2-

∵x1>1,x2>1, ∴x1-1>0,x2-1>0,x1+x2>0. 又 x1<x2,所以 x1-x2<0,故 Δ y<0. 因此,函数 f(x)= 1
2 2

x2-1

在(1,+∞)上单调递减.

11.讨论函数 f(x)=x+ (a>0)的单调性. 解:f(x)=x+ (a>0). ∵定义域为{x|x∈R,且 x≠0}, ∴可分开证明,设 x1>x2>0, 则 f(x1)-f(x2)=x1+ -x2- =(x1-x2)?1-

a x

a x

a x1

a x2

? ?

a ? . x1x2? ? a >1, x1x2

当 0<x2<x1≤ a时,恒有 则 f(x1)-f(x2)<0,

故 f(x)在(0, a]上是减函数; 当 x1>x2> a时,恒有 0< 则 f(x1)-f(x2)>0, 故 f(x)在( a,+∞)上是增函数. 同理可证 f(x)在(-∞,- a)上是增函数,在[- a,0)上是减函数. 综上所述,f(x)在(-∞,- a),( a,+∞)上是增函数,在[- a,0),(0, a] 上是减函数.

a <1, x1x2

11 / 12

12.已知 f(x)=

x

x-a

(x≠a).

(1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围. 解:(1)证明: 设 x1<x2<-2, 则 f(x1)-f(x2)= - = x1+2 x2+2 x1+

x1

x2

x1-x2 x2+

.

∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)设 1<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= ∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,∴a≤1. 综上所述 a 的取值范围是(0,1].

x1

x1-a x2-a



x2



a x2-x1 . x1-a x2-a

12 / 12


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