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2013~2014学年度第一学期期末复习(二)高二理科数学A

2013~2014 学年度第一学期期末复习(二) 高二理科数学(A)
考生注意:本试卷共三大题,20 小题,满分 150 分,时间 120 分钟,不准使用计算器。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。每小题各有四个选择支,仅有一个 选择支正确。请用 2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑。 ) 1. 有下列说法: (1)“ ” 为真是“ ” 为真的充分不必要条件; (2)“ ” 为假 是“ ” 为真的充分不必要条件; 3) ( “ ” 为真是“ ” 为假的必要不充分条件; (4)“ ” 为真是“ ” 为假的必要不充分条件. 其中正确的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2. 在 A. 或

中,

分别是三内角 B.

的对边, 设 C.

, D. 以上都不对

3. 已知圆 M 过定点 AB,则弦长 等于

且圆心 M 在抛物线

上运动, y 轴截圆 M 所得的弦长为 若

A.4

B.3 中, B.数列

C.2

D.与点 M 有关的值 ,则下列结论中正确的是

4. 在各项均为正数的等比数列 A.数列 是递增数列;

是递减数列;

C. 数列

是常数列;

D. 数列

有可能是递增数列也有可能是递减数列.

5. 若数列 为 A. 或

满足

, 则当

取最小值时 的值

B.

C.

D.



6. 已知椭圆 和

与双曲线

有相同的焦点

,若 c 是 a 与 m 的等比中项,n2 是 2m2 与 c2 的等差中项,则椭圆的
高二理科数学(A) 第 1 页 共 8 页

离心率为

A.

B.

C.

D.

已知变量 7.

满足约束条件

,则目标函数

的最大值是

A. 12

B. 11

C. 3

D.

8. 以双曲线

的离心率为首项,以函数

的零点为公比的等比数列

的前 项的和

A.

B.

C.

D.

9.在

中,已知



边上的中线

,则

A.

B.

C.

D.

已知直线 10.

. 若存在实数 a 使得一条曲线与直线 有两个不同的

交点, 且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|, 则称此曲线为直线 的“绝对曲线”. 下面给出四条曲线方程:① ④ ;② ;③ ) D. ② ④ ③ 7 8 9 10 ;

;则其中直线 的“绝对曲线” 有(

A. ① ④ 题 号 答 案 1 2

B. ② ③ 3 4 5

C. ② ④ 6

高二理科数学(A) 第 2 页 共 8 页

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。请把答案填在答题卡中相应的位置 上.) 11.命题“对任何 x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是______________________. 12.某数表中的数按一定规律排列,如下表所示,从左至右以及从上到下都是无限的. 此表中, 主对角线上数列 1,2,5,10,17,…的通项公式 an= . 1 1 1 1 1 ? 1 2 3 4 5 ?
2

1 3 5 7 9 ?

1 4 7 10 13 ?

1 5 9 13 17 ?

1 6 11 16 21 ?

? ? ? ? ? ?

x2 y 2 ? ? 1 相交于 A, B 两点,若 13. 抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F,其准线与双曲线 3 3
?ABF 为等边三角形,则 P ? _____________
14.在 中, ,则

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 15.(本小题满分 12 分) 在 中, 设内角 , 若 (1) 求角 的大小 ; 的对边分别为 向量 , 向量

(2) 若

, 且

,求

的面积.

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16.(本小题满分 12 分) 某村计划建造一个室内面积为 800 m2 的矩形蔬菜温室,在温室内,沿左、 右两侧与后侧内 墙各保留 1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地,当矩形温室的左后两侧边长各为多少 时,蔬菜的种植面积最大?最大面积是多少?

17.(本小题满分 14 分) 等边三角形 的边长为 3,点 (如图 3). 将△

、 沿

分别是边 折起到△



上的点,且满足 的位置,使二面角

成直二面角,连结



(如图 4).

(1)求证:

平面



(2)在线段 出

上是否存在点

,使直线

与平面

所成的角为

?若存在,求

的长,若不存在,请说明理由.

高二理科数学(A) 第 4 页 共 8 页

高二理科数学(A) 第 5 页 共 8 页

18. (本小题满分 14 分) 已知数列 的首项 ,前 项和为 ,且 ,

,设



.

(Ⅰ )判断数列

是否为等比数列,并证明你的结论;

(II)设

,证明:



(Ⅲ )对于(Ⅰ )中数列 之间都插入 (

,若数列

满足 )个 2,使得数列



) ,在每两个 与 ,

变成了一个新的数列

试问:是否存在正整数 的值;如果不存在,说明理由.

,使得数列

的前

项的和

?如果存在,求出

高二理科数学(A) 第 6 页 共 8 页

19. (本小题满分 14 分) 已知 ,设命题 :函数 在区间 在区间 上有最小值. 若 上与 轴有两个不同 是真命题,

的交点;命题 : 求实数 的取值范围.

高二理科数学(A) 第 7 页 共 8 页

20. (本小题满分 14 分) 经过点 且与直线 相切的动圆的圆心轨迹为 . 点 、 在轨迹 上, 在

且关于 轴对称,过线段 点

(两端点除外)上的任意一点作直线 ,使直线 与轨迹 交于点 、 .

处的切线平行,设直线 与轨迹

(1)求轨迹 (2)证明:

的方程; ;

(3)若点

到直线

的距离等于

,且△

的 面积为 20,求直线

的方程.

高二理科数学(A) 第 8 页 共 8 页

2013~2014 学年度第一学期期末复习(二) 高二理科数学(A)参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。每小题各有四个选择支,仅有一个 选择支正确。请用 2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑。 ) 题 号 答 案 1 B 2 C 3 A 4 C 5 A 6 A 7 B 8 B 9 A 10 D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。请把答案填在答题卡中相应的位置 上.) 11. 存在 x0∈R,使|x0-2|+|x0-4|≤3 13. 6

12. n2-2n+2
14.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 15.(本小题满分 12 分) 解: (1)

.





.

(2)由余弦定理知:

,



,解得

.

. 16.(本小题满分 12 分) 解: 设温室的左侧边长为 x m,则后侧边长为 m.

高二理科数学(A) 第 9 页 共 8 页

∴蔬菜种植面积 y=(x-4)

=808-2

(4<X<400). span <>

∵x+

≥2

=80,

∴y≤808-2× 80=648(m2).

当且仅当 x=

,即 x=40 时,y 有最大值.

此时

=20,y 最大=648 m2.

∴当矩形温室的左侧边长为 40 m,后侧边长为 20 m 时,蔬菜的种植面积最大,为 648 m2. 17.(本小题满分 14 分) 解: 证明: (1)因为等边△ 的边长为 3,且 ,

所以



.

在△

中,



由余弦定理得

.

因为 所以 折叠后有



.

.

因为二面角

是直二面角,所以平面

平面

.

又平面

平面



平面





所以

平面

.

(2)解法 1:假设在线段

上存在点

,使直线

与平面

所成的角为

.

高二理科数学(A) 第 10 页 共 8 页

如图,作

于点

,连结



.

由(1)有

平面

,而

平面



所以

.





所以

平面

.

所以

是直线

与平面

所成的角.



,则



.





中,

,所以

.





中,



.







.

解得

,满足

,符合题意.

高二理科数学(A) 第 11 页 共 8 页

所以在线段

上存在点

,使直线

与平面

所成的角为

,此时

.

解法 2:由(1)的证明,可知



平面

.



为坐标原点, 以射线 如图.





分别为 轴、

轴、 轴的正半轴,建立空间直角坐标系











.

所以





.

所以

.

因为

平面



所以平面

的一个法向量为

.

因为直线

与平面

所成的角为



所以

,解得

.



,满足

,符合题意.
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所以在线段

上存在点

,使直线

与平面

所成的角为

,此时

.

18.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)∵ ,



.







=常数,

数列

是等比数列. ………4 分

(II)由(Ⅰ)知, 等比数列

的公比

,且首项为





,∴

.



,



,

∴当

时,

,

,

……,

,

以上

个等式相加得



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.















. ………………10 分

(Ⅲ)由(II)得







假设存在正整数

,使得数列

的前

项的和

.

则数列

中, (含 项)前的所有项的和是:

.
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时,其和是

,



时,其和是

.

又因为 2011-1077=934=467 2,是 2 的倍数,

所以当

时,



即存在正整数

=988,使得数列

的前

项的和

.

19.(本小题满分 14 分) 解: 要使函数 在 上与 轴有两个不同的交点,

必须



解得

.

所以当 点. 下面求

时,函数



上与 轴有两个不同的交



上有最小值时 的取值范围:

方法 1:因为

①当

时,





上单调递减,



上无最小值;

②当

时,



上有最小值



③当 有最小值

时, .



上单调递减,在

上单调递增,





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所以当

时,函数



上有最小值.

方法 2:因为

因为

,所以

.

所以函数

是单调递减的.

要使 数,即 所以当

在 ,即

上有最小值,必须使 . 在 上有最小值.



上单调递增或为常

时,函数



是真命题,则

是真命题且 是真命题,即

是假命题且 是真命题.

所以

解得



.

故实数 的取值范围为

.



20.(本小题满分 14 分) 解: (1)方法 1:设动圆圆心为 ,依题意得, .

整理,得

. 所以轨迹

的方程为

.

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方法 2:设动圆圆心为 离和点 到定直线 的距离相等,

,依题意得点

到定点

的距

根据抛物线的定义可知,动点 且其中定点

的轨迹是抛物线. 为准线.

为焦点,定直线

所以动圆圆心

的轨迹

的方程为

.

(2)由(1)得

,即

,则

.

设点

,由导数的几何意义知,直线 的斜率为

.

由题意知点

. 设点







,即

.

因为



.

由于

,即

.

高二理科数学(A) 第 17 页 共 8 页

所以

.

(3)方法 1:由点



的距离等于

,可知

.

不妨设点



上方(如图) ,即

,直线

的方程为:

.



解得点

的坐标为

.

所以

.

由(2)知

,同理可得

.

所以△

的面积



解得

. 当

时,点

的坐标为





直线

的方程为

,即

.



时,点

的坐标为





直线

的方程为

,即

.

方法 2:由点



的距离等于

,可知

.

由(2)知

,所以

,即

.

由(2)知



.
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所以

.



.



由(2)知

.



不妨设点



上方(如图) 即 ,

.

由①、②解得

因为



同理

. 以下同方法 1.

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