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人教A版高中数学必修四 1.3 《三角函数的诱导公式》导学案

1.3 《三角函数的诱导公式》导学案 【学习目标】 1.诱导公式(一)、 (二)的探究、推导借助单位圆的直观性 探索正弦、余弦、正切的诱 导公式. 2.利用诱导公式进行简单的三角函数式的求值、化简和恒等式的证明. 【导入新课】 1.复习公式一,公式二 2.回忆公式的推导过程 新授课阶段 1.诱导公式二: 思考: (1)锐角 ? 的终边与 180 ? ? 的终边位置关 系如何? ? (2)写出 ? 的终边与 180 ? ? 的终边与单位圆交点 P, P ' 的坐标. ? (3)任意角 ? 与 180 ? ? 呢? ? 结论:任意 ? 与 180 ? ? 的终边都是关于原点中心对称的.则有 P( x, y), P '( ?x, ? y) , ? 由正弦函数、余弦函数的定义可知: sin ? ? y , cos? ? x ; cos(180? ? ? ) ? ? x . sin(180? ? ? ) ? ? y , ? ? 从而,我们得到诱导公式二: sin(180 ? ? ) ? ? sin ? ; cos(180 ? ? ) ? ? cos? . 说明:①公式中的 ? 指任意角; ②若 ? 是弧度制,即有 sin(? ? ? ) ? ? sin ? , cos(? ? ? ) ? ? cos? ; ③公式特点:函数名不变,符号看象限; ④可以导出正切: tan(180 ? ? ) ? ? sin(180? ? ? ) ? sin ? ? ? ? tan ? . cos(180? ? ? ) ? cos ? 2.诱导公式三: 思考: (1) 360 ? ? 的终边与 ?? 的终边位置 关系如何?从而得出应先研究 ?? ; ? (2)任何角 ? 与 ?? 的终边位置关系如何? 可以由学生自己结合一个简单的例子思考,从坐标系看 20 ? 与 20? ? 180? , 20 ? 与 20? ? 180? 的终边的关系.从而易知, ? ? ? 与? ? ? , ? ? 3?,? ? 3?, ?,? ? (2k+1), ? (k ? z ) 终边相同,所以三角函数值相等.由 ? 与 ? ?? 的终边与单位圆分别相交于 P 与 P?, 它们的坐标互为相反数 P( x,y),P?(-x,-y) (见课本图 1-18) ,所以有 cos ?? ? (2k ? 1)? ? ? -cos? sin ?? ? (2k ?1)? ? ? -sin ? tan ?? ? (2k ?1)? ? ? tan ? 结论:同诱导公式二推导可得:诱导公式三: sin(?? ) ? ? sin ? ; cos(?? ) ? cos ? . 说明:①公式中的 ? 指任意角; ②在角度制和弧度制下,公式都成立; ③公式特点:函数名不变,符号看象限; ④可以导出正切: tan(?? ) ? ? tan ? . 3.诱导公式四: sin(180? ? ? ) ? sin ? ; (三) cos(180? ? ? ) ? ? cos ? . 4.诱导公式五: sin(360? ? ? ) ? ? sin ? ; cos(360? ? ? ) ? cos ? . 说明:①公式四、五中的 ? 指任意角; ②在角度制和弧度制下,公式都成立; ③公式特点:函 数名不变,符号看象限; ④可以导出正切: tan(180 ? ? ) ? ? tan ? ; tan(360 ? ? ) ? ? tan ? ? ? 5.公式六: sin( ? 2 ? ? ) ? cos ? cos( cos( ? 2 ? ? ) ? sin ? sin( ? 2 ? ? ) ? cos ? ? 2 ? ? ) ? ? sin ? 说明:①公式六中的 ? 指任意角; ②在角度制和弧度制下,公式都成立; ③公式特点:函数名变化,符号看象限. 结合公式(一)和(三)可以得出下结论: ?? sin a, sin(? ? n? ) ? ? ?sin a, 当n为奇数 当n为偶数 ?? cos a, cos(? ? n? ) ? ? ?cos a, tan(? ? n? ) ? tan ? , 当n为奇数 当n为偶数 n?Z 由 ? 与 ? ?? 和单位圆分别交于点 P?与点 P,由诱导公式(二)和(三)或 P?与点 P 关于 y 轴对称,可以得到 ? 与 ? ?? 只见的三角函数关系(见课本图 1-19) cos(? ? ?) ? -cos? 2? 3 19? ) 4 sin(? ? ?) ? sin? 例1 下列各三角函数值: sin120? 解: cos135? tan cos(? 例2 将下列三角函 数化为 0 到 45 之间角的三角函数: ? ? sin 68? 解: cos75? tan126? 例 3 求下列三角函数值: (1) sin 960 ; (2) cos(? ? 43? ). 6 解: 例 4 (1)化简 cot ? ? cos(? ? ? ) ?sin 2(3? ? ?) ; tan ? ? cos 3( ?? ? ?) ? ? ? ? ? (2) sin120 ? cos330 ? sin(?690 )cos(?660 ) ? tan 675 ? cot 765 . ? 解: (1) (2) 例 5 已知: tan ? ? 3 ,求 解: 2 cos(? ? ? ) ? 3sin(? ? ? ) 的值. 4 cos(?? ) ? sin(2? ? ? ) . 例 6 已知 sin ? ? ? 解: 3 , 且 ? 是第四象限角, 求 tan ?[cos(3? ? ? ) ? sin(5? ? ? )] 的值. 5 例 7 化简 解: sin(? ? n? ) ? sin(? ? n? ) (n ? Z ) . sin(? ? n? ) cos(?