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湖南省衡阳市常宁三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析


湖南省衡阳市常宁三中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 2 1. (5 分)若命题 p:?x∈R,2x +1>0,则¬p 是() 2 2 2 2 A.?x∈R,2x +1≤0 B.?x∈R,2x +1>0 C.?x∈R,2x +1<0 D.?x∈R,2x +1≤0 2. (5 分)不等式 x ≥5x 的解集是() A. B. (﹣∞,0]∪ D. 15. (5 分)有下列命题: ①双曲线 ﹣ =1 与椭圆
2 2

B. (﹣∞,0)∪(1,+∞) C. ∪

+y =1 有相同的焦点;

2

②“﹣ <x<0”是“2x ﹣5x﹣3<0”必要不充分条件; ③若 、 共线,则 、 所在的直线平行; ④?x∈R,x ﹣3x+3≠0. 其中是真命题的有: .
2

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤. ) 2 2 16. (12 分)已知命题 p:c <c,和命题 q:?x∈R,x +4cx+1>0,且 p∨q 为真,p∧q 为假, 求实数 c 的取值范围. 17. (12 分)某次飞行表演中,一架直升从空中 A 处测出前下方海岛两侧海岸 P、Q 处的俯角 分别是 45°和 30°(如右图所示,A、P、Q 在同一平面内) . (1)若直升飞机在海拔 800m 的高度飞行,试计算这个海岛的宽度 PQ. (2)若地面观测者测得 P、Q 两海岸距离大约为 600m,由此试估算出观测者甲(在 P 处)到 飞机的直线距离(精确到 100m) .

18. (12 分)设 a1=2,a2=4,数列{bn}满足:bn=an+1﹣an,bn+1=2bn+2, (1)求证:数列{bn+2}是等比数列(要指出首项与公比) ,

(2)求数列{an}的通项公式. 19. (13 分)设直线 y=ax+b 与双曲线 3x ﹣y =1 交于 A、B,且以 AB 为直径的圆过原点,求 点 P(a,b)的轨 迹方程.
2 2

20. (13 分)如图所示,F1,F2 分别为椭圆 C:

+

=1, (a>b>0)的左、右两个焦点,A,

B 为两个顶点,已知椭圆 C 上的点(1, )到焦点 F1,F2 两点的距离之和为 4. (1)求椭圆 C 的方程和焦点坐标; (2)过椭圆 C 的焦点 F2 作 AB 的平行线交椭圆于 P,Q 两点,求△ F1PQ 的面积.

21. (13 分)设 A、B 分别为双曲线 长为 ,焦点到渐近线的距离为 (1)求双曲线的方程; (2)已知直线 使 .

的左右顶点,双曲线的实轴

与双曲线的右支交于 M、N 两点,且在双曲线的右支上存在点 D, ,求 t 的值 及点 D 的坐标.

湖南省衡阳市常宁三中 2014-2015 学年高二上学期期中数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 2 1. (5 分)若命题 p:?x∈R,2x +1>0,则¬p 是() 2 2 2 2 A.?x∈R,2x +1≤0 B.?x∈R,2x +1>0 C.?x∈R,2x +1<0 D.?x∈R,2x +1≤0 考点: 命题的否定;全称命题.

专题: 计算题. 分析: 根据含有量词的命题的否定形式:将任意改为存在,结论否定,即可写出否命题 解答: 解:由题意?x∈R,2x +1>0, 2 的否定是?x∈R,2x +1≤0 故选 D 点评: 本题的考点是命题的否定,主要考查含量词的命题的否定形式:将任意与存在互换, 结论否定即可. 2. (5 分)不等式 x ≥5x 的解集是() A. B. (﹣∞,0]∪ D. 2 2 2 由余弦定理得,BC =AB +AC ﹣2AB?AC?cosA =4+1﹣ =3,
2 2

则 BC= , 故选:A. 点评: 本题考查余弦定理的应用,三角形的面积公式,考查学生对解三角形有关基本知识 的掌握. 6. (5 分)已知两点 F1(﹣1,0) 、F2(1,0) ,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点 P 的轨迹方程是() A. B.

C.

D.

考点: 椭圆的定义. 专题: 计算题. 分析: 根据|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,得到 2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,即|PF1|+|PF2|=4,得到 点 P 在以 F1,F2 为焦点的椭圆上,已知 a,c 的值,做出 b 的值,写出椭圆的方程. 解答: 解:∵F1(﹣1,0) 、F2(1,0) , ∴|F1F2|=2, ∵|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项, ∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|, 即|PF1|+|PF2|=4, ∴点 P 在以 F1,F2 为焦点的椭圆上, ∵2a=4,a=2 c=1 ∴b =3, ∴椭圆的方程是 故选 C.
2

点评: 本题考查椭圆的方程,解题的关键是看清点所满足的条件,本题是用定义法来求得 轨迹,还有直接法和相关点法可以应用.

7. (5 分)设 P 是双曲线

上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x﹣2y=O,F1、F2

分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|=3,则|PF2|=() A.1 或 5 B. 6 C. 7 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题.

D.9

分析: 由双曲线的方程、渐近线的方程求出 a,由双曲线的定义求出|PF2|. 解答: 解:由双曲线的方程、渐近线的方程可得 = ,∴a=2.由双曲线的定义可得||PF2|﹣ 3|=2 a=4, ∴|PF2|=7, 故选 C. 点评: 本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,由双 曲线的方程、渐近线的方程 求出 a 是解题的关键.

8. (5 分)直线 y=kx+1(k∈R)与椭圆 A.

恒有公共点,则 m 的取值范围是()

B. (﹣∞,0)∪(1,+∞) C. ∪ =3 =﹣1

①当公比 q>0 时, ②当公比 q<0 时,

则:S3 的取值范围: (﹣∞,﹣1]∪ 二、填空题(本题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分. ) a b a b 11. (5 分)命题“若 a>b,则 2 >2 ﹣1”的逆否命题为若 2 ≤2 ﹣1,则 a≤b. 考点: 四种命题. 专题: 综合题. 分析: 本题根据“若 p,则 q”的逆否命题的形式是:“若¬q,则¬p”,可以解答. 解答: 解:若 p,则 q 的逆否命题的形式是:若¬q,则¬p. a b a b 因此命题“若 a>b,则 2 >2 ﹣1”的逆否命题为“若 2 ≤2 ﹣1,则 a≤b”. a b 故答案为:若 2 ≤2 ﹣1,则 a≤b. 点评: 本题考查了逆否命题的概念,四种命题的关系.

12. (5 分)已知实数 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y 的最小值为﹣3.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组表示的平面区域,由 z=2x+y 可得 y=﹣2x+z,则 z 表示直线 y=﹣2x+z 在 y 轴上的截距,截距越小,z 越小,结合图象可求 z 的最小 值 解答: 解:作出不等式组表示的平面区域,如图所示的阴影部分 由 z=2x+y 可得 y=﹣2x+z,则 z 表示直线 y=﹣2x+z 在 y 轴上的截距,截距越小,z 越小 由题意可得,当 y=﹣2x+z 经过点 C 时,z 最小 由 ,可得 A(﹣1,﹣1) ,

此时 z=﹣3 故答案为:﹣3.

点评: 本题主要考查了线性目标函数在线性约束条件 下 的最值的求解, 解题的关键是明确 z 的几何意义

13. (5 分)若椭圆

+

=1 的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率为



考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设出弦的两个端点坐标,代入椭圆方程后作差,整理后即可得到弦所在直线的斜率 的等式,代入弦中点坐标后即可得到 解答: 解:设弦的两个端点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 + =1,①,

+

=1,②.

①﹣②得:

=﹣



∵点(1,2)是弦的中点 ∴x1+x2=8,y1+y2=4, ∴k= =﹣ .

故答案是﹣ . 点评: 本题考查了直线和圆锥曲线的关系,涉及弦中点问题,常采用“点差法”,是中档题.

14. (5 分)已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1,a3,a9 成等比数列,则

的值是



考点: 等差数列的性质. 专题: 压轴题. 分析: 由 a1,a3,a9 成等比数列求得 a1 与 d 的关系,再代入 解答: 解:∵a1,a3,a9 成等比数列, 2 ∴(a1+2d) =a1?(a1+8d) , ∴a1=d, ∴ = , 即可.

故答案是:



点评: 本题主要考查等差数列的通项公式及等比数列的性质. 15. (5 分)有下列命题: ①双曲线 ﹣ =1 与椭圆
2

+y =1 有相同的焦点;

2

②“﹣ <x<0”是“2x ﹣5x﹣3<0”必要不充分条件; ③若 、 共线,则 、 所在的直线平行; ④?x∈R,x ﹣3x+3≠0. 其中是真命题的有:①④. 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 不等式的解法及应用;平面向量及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程.
2

分析: 本题可以利用椭圆方程、不等式化 简、向量的几何意义等知识对 4 个命题分别进行 判断,确定其真假,得到本题结论. 解答: 解:关于命题① ∵双曲线
2 2 2



=1 中,a =25,b =9 . =1 的焦点坐标为
2 2

2

2

∴c =a +b =34, ∴双曲线 ﹣
2



∵椭圆
2 2

+y =1 中,a′ =35,b′ =1,
2

∴c′ =a′ ﹣b′ =35﹣1=34, ∴椭圆 +y =1 的焦点坐标为
2 2

. .

∴双曲线



=1 与椭圆

+y =1 有相同的焦点.

故命题①正确; 关于命题② ∵2x ﹣5x﹣3<0, ?(2x+1) (x﹣3)<0, ? . ”,反之不成立,
2 2

又∵“﹣ <x<0”?“

∴“﹣ <x<0”是“2x ﹣5x﹣3<0”充分不必要条件; 故命题②错误; 关于命题③ 若 、 共线, 则 ∥ . ∴ 、 所在的直线平行或者共线, 故命题③错误; 关于命题④ ?x∈R, x ﹣3x+3= ∴x ﹣3x+3≠0, 故命题④正确. 综上,正确的命题有:①④.
2 2



故答案为:①④. 点评: 本题考查了椭圆方程、不等式化简、向量的几何意义等知识,本题难度适中,属于 中档题. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步 骤. ) 16. (12 分)已知命题 p:c <c,和命题 q:?x∈R,x +4cx+1>0,且 p∨q 为真,p∧q 为假, 求实数 c 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 首先化简命题 p 与 q,求得它们的等价命题,即 c 的取值范围;然后根据 p 与 q 一真 一假分类讨论 c 的范围即可. 2 解答: 解:由命题 p:c <c?0<c<1. 命题 q:?x∈R,x +4cx+1>0?△ =16c ﹣4<0?﹣ <c< p∨q 为真,p∧q 为假,故 p 和 q 一个为真命题,另一个为假命题. 若 p 是真命题,且 q 是假命题,可得 ≤c<1. 若 p 是假命题,且 q 是真命题,可得﹣ <c≤0. 综上可得,所求的实数 c 的取值范围为(﹣ ,0]∪ 分析: (1)先在 Rt△ ACP 中求出 PC,再在 Rt△ ACQ 中求出 CQ,即可求出这个海岛的宽 度 PQ. (2)先在△ APQ 中锝,PQ=600,∠AQP=30°,∠PAQ=45°﹣30°=15°.再利用正弦定理即可 求出 PA,即为观测者甲(在 P 处)到飞机的直线距离. 解答: 解: (1)在 Rt△ ACP 中, 则 PC=800×tan45°=800. (3 分) 在 Rt△ ACQ 中, =tan∠CAQ,则 QC=800 . (5 分) ,
2 2 2 2

所以,PQ=QC﹣PC=800 ﹣800(m) . (7 分) (2)在△ APQ 中,PQ=600,∠AQP=30°,∠PAQ=45°﹣30°=15°. (8 分) 根据正弦定理,得 , (10 分)

则 PA=300( + )≈11589m. 故观测者甲(在 P 处)到飞机的直线距离为 11589m(14 分) 点评: 本题主要考查解三角形的实际应用.这一类型题目,一般都是借助与正弦定理,余 弦定理来求解. 18. (12 分)设 a1=2,a2=4,数列{bn}满足:bn=an+1﹣an,bn+1=2bn+2, (1)求证:数列{bn+2}是等比数列(要指出首项与公比) , (2)求数列{an}的通项公式.

考点: 等比关系的确定;等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用 bn+1=2bn+2,构造数列{bn+2},通过等比数列的定义,证明数列是等比数 列; n+1 (2)利用(1)求出数列 bn=2 ﹣2.通过 bn=an+1﹣an,推出数列 an 的递推关系式,利用累 加法求出数列的通项公式即可. 解答: 解: (1)bn+1=2bn+2?bn+1+2=2(bn+2) , ∵ ,又 b1+2=a2﹣a1=4,

∴数列{bn+2}是首项为 4,公比为 2 的等比数列. n﹣1 n+1 n+1 n+1 (2)由(1)可知 bn+2=4?2 =2 .∴bn=2 ﹣2.则 an+1﹣an=2 ﹣2 2 3 n 令 n=1,2,…n﹣1,则 a2﹣a1=2 ﹣2,a3﹣a2=2 ﹣2,…,an﹣an﹣1=2 ﹣2, 2 3 n n+1 n+1 各式相加得 an=(2+2 +2 +…+2 )﹣2(n﹣1)=2 ﹣2﹣2n+2=2 ﹣2n. n+1 所以 an=2 ﹣2n. 点评: 本题主要考查数列的证明,数列的递推关系式的应用,通项公式的求法,考查计算 能力,逻辑推理能力,属于基础题. 19. (13 分)设直线 y=ax+b 与双曲线 3x ﹣y =1 交于 A、B,且以 AB 为直径的圆过原点,求 点 P(a,b)的轨迹方程. 考点: 轨迹方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 将直线方程与双曲线方程消去 y,可得(a ﹣3)x +2abx+b +1=0,利用根的判别式 算出 a <3. 设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 利用根与系数的关系可得 x1+x2=
2 2 2 2 2 2

, x1?x2=

. 根

据直径所对的圆周角为直角,结合题意得到
2 2



,所以 x1x2+y1y2=0,代入前面的等式化为

关于 a、b 的等式,化简得到 a ﹣2b =﹣1.由此即可得到点 P(a,b)满足的轨迹方程. 解答: 解:由
2 2


2

消去 y 得: (a ﹣3)x +2abx+b +1=0. ∵直线与双曲线交于 A、B 两点, ∴ ,

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 可得 x1+x2= ,x1?x2=
2


2

∴y1?y2=(ax1+b) (ax2+b)=a x1x2+ab(x1+x2)+b ,

又∵以 AB 为直径的圆过原点, ∴ ⊥ ,得 x1x2+y1y2=0,

由此可得 x1x2+=0, 2 2 即(1+a )x1x2+ab(x1+x2)+b =0, 可得: (1+a )?
2

﹣ab?

+b =0,化简得:a ﹣2b =﹣1.
2 2 2 2 2

2

2

2

因此,点 P(a,b)的轨迹方程为 x ﹣2y =﹣1,即 2y ﹣x =1(x <3) . 点评: 本题已知直线与双曲线相交得到弦 AB,以 AB 为直径的圆过原点,求点 P(a,b) 满足的轨迹方程.着重考查了圆的性质、双曲线的标准方程与简单性质、直线与圆锥曲线的位 置关系等知识,考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,属于中档题.

20. (13 分)如图所示,F1,F2 分别为椭圆 C:

+

=1, (a>b>0)的左、右两个焦点,A,

B 为两个顶点,已知椭圆 C 上的点(1, )到焦点 F1,F2 两点的距离之和为 4. (1)求椭圆 C 的方程 和焦点坐标; (2)过椭圆 C 的焦点 F2 作 AB 的平行线交椭圆于 P,Q 两点,求△ F1PQ 的面积.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分 析: (1)由椭圆定义可得 a=2,将点 代入椭圆方程求得 b =3,从而得到 c=1,
2

写出椭圆方程和焦点坐标; (2)由条件求出直线 PQ 的方程,联立椭圆方程,消去 x,得到 y 的二次方程,运用韦达定 理,可求|y1﹣y2|, 再由面积公式 |F1F2|?|y1﹣y2|计算即得. 解答: 解: (1)由题设知:2a=4,即 a=2,

将点
2 2 2

代入椭圆方程得

,得 b =3

2

∴c =a ﹣b =4﹣3=1,

故椭圆方程为



焦点 F1、F2 的坐标分别为(﹣1,0)和(1,0) . (2)由(1)知 ∴ ,∴PQ 所在直线方程为 , ,





设 P (x1,y1) ,Q (x2,y2) ,则 ∴ ∴ . ,



点评: 本题考查椭圆的定义、方程和性质,考查直线方程和椭圆方程联立消去一个未知数, 运用韦达定理求解的方法,考查运算能力,属于中档题.

21. (13 分)设 A、B 分别为双曲线 长为 ,焦点到渐近线的距离为 (1)求双曲线的方程; (2)已知直线 使 .

的左右顶点,双曲线的实轴

与双曲线的右支交于 M、N 两点,且在双曲线的右支上存在点 D, ,求 t 的值及点 D 的坐标.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;双曲线的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由实轴长可得 a 值,由焦点到渐近线的距离可得 b,c 的方程,再由 a,b,c 间 的平方关系即可求得 b; (2) 设M (x1, y1) , N (x2, y2) , D (x0, y0) , 则 x1+x2=tx0, y1+y2=ty0, 则 x1+x2=tx0, y1+y2=ty0, 联立直线方程与双曲线方程消掉 y 得 x 的二次方程,由韦达定理可得 x1+x2,进而求得 y1+y2, 从而可得 ,再由点 D 在双曲线上得一方程,联立方程组即可求得 D 点坐标, 从而求得 t 值; ,得 y=0, ,

解答: 解: (1)由实轴长为 渐近线方程为 x,即 bx﹣2 ,

∵焦点到渐近线的距离为



,又 c =b +a ,∴b =3,

2

2

2

2

∴双曲线方程为:



(2)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,D(x0,y0) ,则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0,





∴y1+y2=

﹣4=12,



,解得

,∴t=4,

∴ ,t=4. 点评: 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线标准方程的求解,考查向量的线性运 算,考查学生分析问题解决问题的能力.


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