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2009届高三年第二次模拟考试试题2009.05.24


仙游一中 现代中学

2009 届高三年第二次模拟考试 2009.05.24

数 学 试 题
第 I 卷(选择题

(理科)

(满分 150 分,考试时间 120 分钟)

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知 x ? R , i 为虚数单位,若 (1 ? 2i)( x ? i) ? 4 ? 3i ,则 x 的值等于( A.-6 2. x ? 1 是 | x | ? B.-2 C.2 D.6 )

1 的( x

) D.既不充分也不必要条件 )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

3.设 m 、 n 是两条直线, ? 、 ? 是两个不同平面,下列命题中正确的是( A.若 m ? ? , n ? ? , m ? n ,则 ? ? ? C.若 ? ? ? , ? ? ? ? m, m ? n ,则 n ? ?

B.若 ? ? ? , m ? ? , n // ? ,则 m ? n D.若 ? // ? , m ? ? , n // ? ,则 m ? n

2 4. 已知各项不为 0 的等差数列 {an } ,满足 2a3 ? a7 ? 2a11 ? 0 ,数列 {bn } 是等比数列,

且 b7 ? a7 ,则 b6b8 ? (

)

A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 5. 如右下图,在一个长为 ? ,宽为 2 的矩形 OABC 内,曲线 y ? sin x(0 ? x ? ? ) 与 x 轴围成如 图所示的阴影部分,向矩形 OABC 内随机投一点(该点落在矩形 OABC 内任何一点是等可 能的) ,则所投的点落在阴影部分的概率是( ) A.

1

?

B.

2

?

C.

3

?

D.

? 4

y 2 A y=sinx O B

6.某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为: 不超过 50 kg 按 0.53 元/ kg 收费,超过 50 kg 的部分按 0.85 元 / kg 收费.相应收费系统的流程图如右图所示,则①处应填 ( )

?

C x

A. y ? 0.85 x C. y ? 0.53 x

B. y ? 5 0? 0 . 5 3 x ?( ? D. y ? 5 0? 0 . 5 3 ?

? 0) 5

0.85

0x. 8 5
第 1 页(共 4 页)

仙游一中﹑现代中学 2009 届高三年二模试题(理科)

7.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ? 1 对称,

开始 输入 x Y ①

f (?1) ? 1, 则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2009) 的值为(
A. -1
2

)

B. 0
2

C. 1

D. 2

8.已知⊙ C : x ? y ? 1,点 A(-2,0)和点 B(2,a) , 从点 A 观察点 B,要使视线不被⊙C 挡住, 则实数 a 的取值范围是( ) A. (??,?2) ? (2,??) C. (??,? B. (??,?

x ? 50

N ②

2 3 2 3 )?( ,??) 3 3

输出 y 结束 第 6 题图

4 3 4 3 )?( ,??) 3 3

D. (?

4 3 4 3 , ) 3 3

9.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,P 是抛物线上不同于顶点的任一点,过点 P 作抛物线 的切线 l ,交 y 轴于 Q,则 PQ ? FQ ? ( A. -2p
2

) C. 0 D. ( C. [3, ??) p ) D. (0,3]
(

B. -p

10. f ( x) ? x ? 2 x, g ( x) ? ax ? 2(a ? 0) ,对 ?x1 ?[?1, 2], ?x0 ?[?1, 2], 使 g ( x1 ) ? f ( x0 ) ,则 a 的取值范围是 A. (0, ]

1 2

B. [ , 3]

1 2

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填写在答题卡的相应位置. 11.双曲线的中心在坐标原点,离心率等于 2,一个焦点的坐标为(2,0) ,则此双曲线的渐近线 方程是 . 12.函数

f ( x) ? 2 ? x ? x 2 ? 3 的零点的个数为

13.已知函数 f ( x) ? cos x sin x ,给出下列四个说法: ①若 f ( x1 ) ? ? f ( x2 ) ,则 x1 ? ? x2 ③ f (x) 在区间 ?? ② f (x) 的最小正周期是 2? ;

? ? ?? , ? 上是增函数; ? 4 4?
3? 对称,其中正确说法所有序号为 4
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④ f (x) 的图象关于直线 x ?

仙游一中﹑现代中学 2009 届高三年二模试题(理科)

?2 x ? y ? 0, ? 且z ? 2 x ? y 的最小值为 3,则实数 b 的值为 14.若实数 x, y满足? y ? x, ? y ? ? x ? b. ?
15.定义一个对应法则 f : P ? m, n ? ? P?



?

m , n , ? m ≥ 0, n ≥ 0 ? .现有点 A ? 2,6 ? 与 点B ? 6, 2 ? ,点

?

M 是线段 AB 上一动点,按定义的对应法则 f : M ? M ? .当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运动
到点 B 结束时,点 M 的对应点 M ? 所经过的路线长度为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.把解答过 程填写在答题卡的相应位置. 16.(本小题满分 13 分)在△ABC 中, a、b、c 是角 A、B、C 所对的边, 且满足 a ? c ? b ? ac .(Ⅰ)求角 B 的大小;
2 2 2

(Ⅱ)设 m ? (sin A,cos 2 A), n ? (?6, ?1) ,求 m ? n 的最小值. 17.(本小题满分 13 分) 某校举行环保知识大奖赛, 比赛分初赛和决赛两部分, 初赛采用选手选一题答一题的方式进 行, 每位选手最多有 5 次选题答题的机会, 选说累计答对 3 题或答错 3 题即终止其初赛的比赛, 答对 3 题者直接进入决赛,答错 3 题者则被淘汰,已知选手甲答题连续两次答错的概率为 (已知甲回答每个问题的正确率相同,并且相互之间没有影响。 ) (I)求甲选手回答一个问题的正确率; (Ⅱ)求选手甲可进入决赛的概率; (Ⅲ)设选手甲在初赛中答题的个数为 ? ,试写出 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望。 18. (本小题满分 13 分) 一个多面体的直观图及三视图如图所示 (其中 M , N 分别是 AF、BC 的 中点) (1)求证: MN // 平面 CDEF ; (2)求二面角 A ? CF ? B 的余弦值; (3)求多面体 A ? CDEF 的体积。

??

?

?? ?

1 , 9

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19.(本题满分 13 分) 已知椭圆 C1 :

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,直线 l:y=x+2 与以原点为圆心、 2 3 a b

椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆 O 相切. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设椭圆 C1 的左焦点为 F1,右焦点为 F2,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴,动直线 l2 垂直于 l1,垂足为点 P,线段 PF2 的垂直平分线交 l2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的方程; (3)设 C2 与 x 轴交于点 Q,不同的两点 R、S 在 C2 上,且 满足 QR ? RS ? 0 , 求 | QS | 的取值范围. 20. (本题满分 14 分) 设函数 f ( x ) ? (1 ? x ) 2 ? 2 ln(1 ? x ) .
1 (1)求 f (x)的单调区间;(2)若当 x ? [ ? 1, e ? 1] 时,不等式 f (x)<m 恒成立,求实数 m 的取值范 e

围;(3)若关于 x 的方程 f ( x ) ? x 2 ? x ? a 在区间[0, 2]上恰好有两个相异的实根,求实数 a 的取值范围. 21.本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多作,则按所 做的前两题计分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将选题号填 入括号中. (1)(本小题满分 7 分) 选修 4 一 2:矩阵与变换 ?1? 已知二阶矩阵 A 的属于特征值-1 的一个特征向量为 ? ? ,属于特征值 3 的一个特征向 ? ?3 ?

?1? 量为 ? ? ,求矩阵 A. ?1?
(2)(本小题满分 7 分) 选修 4 一 4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为

? 2 t ?1 ?x ? ? 2 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是: ? , ? y? 2t ? ? 2
求直线 l 与曲线 C 相交所成的弦的弦长.

(3)(本小题满分 7 分)选修 4——5:不等式选讲 已知 x ? 2 y ? 3 z ?
2 2 2

18 , 求3 x ? 2 y ? z 的最小值。 17
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仙游一中﹑现代中学 2009 届高三年二模试题(理科)

仙游一中 现代中学

2009 届高三年第二次模拟考试 2009.05.24

数学参考答案 (理科)
一、选择题: 1. C 2. A 二、填空题: 11. y ? ? 3x 三、解答题: 16.解: (Ⅰ)∵ a ? c ? b ? ac ,∴ cos B ?
2 2 2

3. D

4. D

5. A

6. B

7.A

8. C

9.C

10. A
2? . 3

12.

2.

13. ③ ④

14.

9 4

15.

a 2 ? c 2 ? b2 1 ? , 2ac 2

…………3 分

又∵ 0 ? B ? ? ,

∴B ?
2

?
3



…………6 分

(Ⅱ) m ? n ? ?6sin A ? cos 2 A ? 2sin A ? 6sin A ? 1 ? 2(sin A ? ) ?
2

?? ?

2? ,∴ 0 ? sin A ? 1 .∴当 sin A ? 1 时,取得最小值为 ?5 ……13 分 3 1 2 17.解: (1)设甲选手答对一个问题的正确率为 P ,则 (1 ? P ) ? 1 1 9 2 故甲选手答对一个问题的正确率 P ? 3分 1 3 2 3 8 (Ⅱ)选手甲答了 3 道题目进入决赛的概率为 ( ) = 4分 3 27 8 2 2 3 1 选手甲答了 4 道题目进入决赛的概率为 C3 ( ) ? ? 5分 3 3 27 16 2 2 3 1 2 选手甲答了 5 道题目进入决赛的概率为 C4 ( ) ( ) ? 6分 3 3 81 8 8 16 64 ? ? ? 选手甲可以进入决赛的概率 P ? 8分 27 27 81 81 2 3 1 3 1 (Ⅲ) ? 可取 3,4,5 则有 P(? ? 3) ? ( ) ? ( ) ? 9分 3 3 3 2 1 2 1 2 1 10 P(? ? 4) ? C32 ( ) 2 ? ? ? C32 ( ) 2 ? ? ? 10 分 3 3 3 3 3 3 27 1 2 2 1 8 2 2 2 1 P(? ? 5) ? C4 ( ) 2 ( ) 2 ? C4 ( ) 2 ( ) 2 ? 11 分 3 3 3 3 3 3 27
∵0 ? A ? 因此有(直接列表也给分)
仙游一中﹑现代中学 2009 届高三年二模试题(理科) 第 5 页(共 4 页)

3 2

11 ,…10 分 2

?
P
故 E? ? 3 ? ? 4 ?

3

4

5

1 3 1 3 10 8 107 ? 5? ? 27 27 27

10 27
13 分

8 27

18.解:由三视图知,该多面体是底面为直角三角形的 直三棱柱 ADE ? BCF , 且AB ? BC ? BF ? 4, DE ? CF ? 4 2, ?CBF ? (1)证明:连续取 BE ,易见 BE 通过点 M ,连接 CE 。

?
2

EM ? BM .CN ? BN ? MN // CE, CE ? 面CDEF ? MN // 面CDE
(2)作 BQ ? CF 于 Q ,连接 AQ ,面 BFC ? 面ABFE,

4分

面ABFE ? 面BFC=BF, AB ? 面ABFE, AB ? BF ? AB ? 面BCF CF ? 面BCF ? AB ? CF, BQ ? CF, AB ? BQ ? B ? CF ? 面ABQ,AQ ? 面ABQ
? AQ ? CF, 故 ?AQB 为所求二面角的平面角。
在 RT?ABQ 中 tan ?AQB ? 故所求二面角的余弦值为 6分

AB 4 3 ? ? 2 ? cos ?AQB ? BQ 2 2 3
9分

3 3
1 3

(3)棱锥 A ? CDEF 的体积 V ? 2 ? VC ? AEF ? 2 ? S ABF ? BC ? 19. 解: (1)由 e ?

64 . 3

13 分

3 b2 2 , 得 2 ? 1 ? e2 ? ; 3 a 3
2 2 2

(2 分)

由直线 l : x ? y ? 2 ? 0与圆x ? y ? b 相切, 得

2 2

?| b | .所以, b ? 2 , a ? 3

x2 y2 ? ? 1. 所以椭圆的方程是 3 2

(4 分)

(2)由条件,知|MF2|=|MP|.即动点 M 到定点 F2 的距离等于它到直线 l1 : x ? ?1 的距离, 由抛物线的定义得点 M 的轨迹 C2 的方程是 y ? 4 x .
2

(8 分)

(3)由(2) ,知 Q (0, 0) .设 R(

??? ? y12 y2 y2 , y1 ), S ( 2 , y2 ), 所以QR ? ( 1 , y1 ), 4 4 4
第 6 页(共 4 页)

仙游一中﹑现代中学 2009 届高三年二模试题(理科)

??? ? ??? ??? ? ? y 2 ? y12 y 2 ( y 2 ? y12 ) RS ? ( 2 , y2 ? y1 ). 由QR ? RS ? 0, 得 1 2 ? y1 ( y2 ? y1 ) ? 0. 4 16

因为y1 ? y2 , 化简得y2 ? ? y1 ?

16 ??????(10分) y1

2 ? y2 ? y12 ?

256 256 ? 32 ? 2 256 ? 32 ? 64(当且仅当y12 ? 2 ,即 y 1 = ? 4 时等号成立) ? 2 y1 y1

2 y2 2 1 2 2 2 ? QS |? ( ) ? y 2 ? | ( y 2 ? 8) 2 ? 64,? y 2 ? 64. 4 4

2 所以当 y2 ? 64,即y2 ? ?8时, | QS |min ? 8 5. 故 | QS | 的取值范围是 8 5. ? ? . (13 分)

?

?

20.解: (Ⅰ)函数的定义域为(-1, +∞).…………………………………… 1 分 ∵ f / ( x) ? 2[( x ? 1) ? 1 ] ? 2 x( x ? 2) , x ?1 x ?1 由 f / ( x) ? 0 ,得 x>0;由 f / ( x) ? 0 ,得 ?1 ? x ? 0 .………………… 3 分 ∴ f (x)的递增区间是 (0, ??) ,递减区间是(-1, 0).…………… 4 分 (Ⅱ)∵ 由 f / ( x) ? 2 x( x ? 2) ? 0 ,得 x=0,x=-2(舍去) x ?1 由(Ⅰ)知 f (x)在 [ 1 ? 1, 0] 上递减,在 [0, e ? 1] 上递增. ……… 6 分 e 1 1 又 f ( ? 1) ? 2 ? 2 , f (e ?1) ? e2 ? 2 , 且 e 2 ? 2 ? 12 ? 2 . e e e 2 1 ∴ 当 x ? [ ? 1, e ? 1] 时,f (x)的最大值为 e ? 2 . e 故当 m ? e2 ? 2 时,不等式 f (x)<m 恒成立.……………… 9 分 (Ⅲ)方程 f ( x) ? x2 ? x ? a , x ? a ? 1 ? 2ln(1 ? x) ? 0 . 记 g ( x) ? x ? a ? 1 ? 2ln(1 ? x) , ∵ g / ( x) ? 1 ? 2 ? x ? 1 , 1? x x ?1 / 由 g ( x) ? 0 ,得 x>1 或 x<-1(舍去). 由 g / ( x) ? 0 , 得 ?1 ? x ? 1 . ∴ g(x)在[0,1]上递减, 在[1,2]上递增. ………………12 分 为使方程 f ( x) ? x2 ? x ? a 在区间[0, 2]上恰好有两个相异的实根, 只须 g(x)=0 在[0,1]和 (1, 2] 上各有一个实数根,于是有 ? g (1) ? 0, ∵ 2 ? 2 ln 2 ? 3 ? 2 ln 3 , ∴a∈(2-ln2,3-2ln3] 21. (1)(本小题满分 7 分) 选修 4 一 2:矩阵与变换
? g (0) ? 0, ? ? g (2) ? 0. ?

………………14 分

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?a 解: (1) 设 A= ? ?c

b? ?a b ? ? ,由题知 ? c d ? d? ? ?

? 1 ? ? ?1? ? a b ? ? ?3 ? = ? 3 ? , ? c d ? ? ? ? ? ? ?
?2 1? ? ?3 0?

?1? ?1? ?1? =3 ?1? ? ? ? ?

?a ? 2 ?a ? 3b ? ?1 ? ? c ? 3d ? 3 即? ,解之得: ? b ? 1 ? ? ?c ? 3 ? a?b ?3 ?d ? 0 ? c?d ?3 ? ?

∴ ? A=

----------------------------7 分

(2)(本小题满分 7 分) 选修 4 一 4:坐标系与参数方程 解: 曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? 化为直角坐标方程为 x2+y2-4x=0,
即(x-2)2+y2=4

? 2 t ?1 ?x ? ? 2 直线 l 的参数方程 ? ,化为普通方程为 x-y-1=0, ? y? 2t ? ? 2
曲线 C 的圆心(2,0)到直线 l 的距离为

1 2 ? 2 2
14 .
------------------------7 分

所以直线 l 与曲线 C 相交所成的弦的弦长 2 4 ? 1 = 2

(3)(本小题满分 7 分)选修 4——5:不等式选讲 解:

? ? ? x ? 2 y ? 3z ? ?32 ? ? ?
2 2 2

? 2?

2

2 ? 1 ? ? ?? ? ? ? 3? ? ?

1 ? ? ? ? 3x ? 2 y 2 ? 3z ? 3? ? ? ? 3x ? 2 y ? z ?
2 2

2

? ? 3 x ? 2 y ? z ? ? 12, ?2 3 ? 3 x ? 2 y ? z ? 2 3
当且仅当 x ? ?

9 3 3 3 3 3x ? 2 y ? z 取最小值,最小值为 ?2 3 …7 分 ,y?? ,z ? ? 17 17 17

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