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河南省卢氏一中2012届高考数学二轮《基本初等函数、函数与方程及函数的应用》专题训练


河南省卢氏一中 2012 届高考数学二轮《基本初等函数、函数与方程及函数的应用》专题训练 一、选择题 1 1 1.(2011· 东城模拟)设 a=log 1 2,b=log 1 ,c=( )0.3,则 a,b,c 的大小关系为( 3 2
3

)

2

A.a<c<b C.b<a<c

B.a<b<c D.b<c<a

1 1 1 解析:因为 a=log 1 2<0,b=log 1 >log 1 =1,0<c=( )0.3<1,所以 a<c<b. 3 2 2
3

2

2

答案:A 1 1 2.设 2a=5b=m,且 + =2,则 m=( a b A. 10 C.20 B.10 D.100 )

解析:a=log2m,b=log5m,代入已知得 logm2+logm5=2,即 logm10=2,所以 m= 10. 答案:A
?x2+2x-3,x≤0, ? 3.函数 f(x)=? 的零点个数为( ? ?-2+lnx,x>0

)

A.0 C.2

B.1 D.3

? ? ?x≤0, ?x>0, 解析:法一:令 f(x)=0 得,? 2 或? ? ? ?x +2x-3=0 ?lnx=2,

∴x=-3 或 x=e2. 法二:画出函数 f(x)的图像可得其图像与 x 轴有两个交点,则函数 f(x)有 2 个零点. 答案:C 4.(2011· 湖南高考)设直线 x=t 与函数 f(x)=x2,g(x)=lnx 的图像分别交于点 M,N,则当|MN|达到 最小时 t 的值为( A.1 C. 5 2 ) 1 B. 2 D. 2 2

解析:|MN|的最小值,即函数 h(x)=x2-lnx 的最小值,
2 1 2x -1 2 h′(x)=2x-x= x ,显然 x= 是函数 h(x)在其定义域内唯一的极小值点,也是最小值点,故 t 2



2 . 2

答案:D 5.(2011· 深圳模拟)若实数 t 满足 f(t)=-t,则称 t 是函数 f(x)的一个次不动点.设函数 f(x)=lnx 与函 数 g(x)=ex(其中 e 为自然对数的底数)的所有次不动点之和为 m,则( A.m<0 C.0<m<1 B.m=0 D.m>1 )

解析:在同一直角坐标系中画出函数 y=lnx、y=-x 的图像,其图像有唯一的公共点(t,-t),即有 lnt=-t,e t=t,于是有点(-t,t)是函数 y=ex、y=-x 的图像的交点,因此函数 f(x)=lnx 与 g(x)=ex 的 次不动点必是成对出现,且两者互为相反数,m=0. 答案:B 6. 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素, 其含量不断减少, 这种现象称为衰变. 假 设在放射性同位素铯 137 的衰变过程中,其含量 M(单位:太贝克)与时间 t(单位:年)满足函数关系:M(t) =M02
? t 30


,其中 M0 为 t=0 时铯 137 的含量.已知 t=30 时,铯 137 含量的变化率是-10ln2(太贝克/年), ) B.72ln2 太贝克 D.150 太贝克

则 M(60)=(

A.5 太贝克 C.150ln2 太贝克

解析:因为铯 137 含量的变化率为
? 1 M′(t)=- M02 30 ln2, 30
? M0 1 30 所以当 t=30 时,M′ (30)=- M02 30 - ln2=- ln2=-10ln2, 30 30 60 30

t

所以 M0=600,可解得 M(60)=150. 答案:D 二、填空题 7. (2011· 烟台模拟)已知函数 f(x)的图像如图所示, 则函数 g(x)=log 是________. 解析:当 f(x)>0 时,函数 g(x)=log 答案:(2,8]
2 2

f(x)

的定义域

f(x)有意义,由函数 f(x)的图像,知

x∈(2,8].

?2, x≥2 ? 8.(2011· 北京高考)已知函数 f(x)=?x 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则实 ? ??x-1?3,x<2.
数 k 的取值范围是________. 解析:当 x<2 时,f′(x)=3(x-1)2>0,说明函数在(-∞,2]上单调递增,函数的值域是(-∞,1), 函数在[2,+∞)上单调递减,函数的值域是(0,1].因此要使方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则 0<k<1.

答案:(0,1) 9.(2011· 合肥模拟)设函数 f(x)的定义域为 R,若 f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数,则函数 y=f(x)在区间 [0,100]上至少有________个零点. 解析:∵f(x+1)与 f(x-1)都是奇函数, ∴f(-x+1)=-f(x+1),f(-x-1)=-f(x-1).① ∴f(x)=-f(2-x),f(x)=-f(-2-x). ∴f(2-x)=f (-2-x). ∴f(x)=f(x-4). ∴f(x)是以 4 为周期的函数. 令①中的 x=0,则 f(1)=0,f(-1)=0, ∴f(3)=0,∴x∈[0,4]时 f(x)至少有两个零点. ∴x∈[0,100]时 f(x)至少有 50 个零点. 答案:50 三、解答题 10.函数 f(x)的图像在[-2,2]上为连续不断的曲线,且满足 2 012f( 若 f(log2m)<f[log4(m+2)]成立,求实数 m 的取值范围. 解:2 012f(
-x) -x)



1 ,且在[0,2]上是增函数, 2 012f?x?



1 - - ,即 2 012f( x)=2 012 f(x),可得 f(-x)=-f(x). 2 012f?x?

又因为函数的定义域[-2,2]关于原点对称,所以函数 f(x)为奇函数. 由奇函数的性质,可知函数在关于原点对称的两个区间上的单调性是相同的,而已知函数 f(x)在[0,2] 上是单调递增的,所以函数 f(x)在[-2,0]上也是单调递增的.

?-2≤log2m≤2, ? 故由 f(log2m)<f[log4(m+2)],可得?-2≤log4?m+2?≤2, ?log m<log ?m+2?. ? 2 4
1 由-2≤log2m≤2,解得 ≤m≤4. 4 1 31 由-2≤log4(m+2)≤2,解得 ≤m+2≤16,即- ≤m≤14. 16 16 由 log2m<log4(m+2),得 log4m2<log4(m+2),

?m>0, ? 故有?m+2>0, ?m2<m+2, ?

解得 0<m<2.

1 综上所述,m 的取值范围为[ ,2). 4

11.已知函数 f(x)=log4(4x+1)+2kx(k∈R)是偶函数, (1)求 k 的值; (2)若方程 f(x)=m 有解,求 m 的取值范围. 解:(1)由函数 f(x)是偶函数, 可知 f(x)=f(-x), ∴log4(4x+1)+2kx=log4(4 x+1)-2kx. 4x+1 即 log4 -x =-4kx. 4 +1 ∴log44x=-4kx. ∴x=-4kx 对一切 x∈R 恒成立. 1 ∴k=- . 4 1 (2)由 m=f(x)=log4(4x+1)- x, 2 4x+1 1 得 m=log4 x =log4(2x+ x), 2 2 1 1 ∵2x+ x≥2,∴m≥log42= . 2 2 故要使方程 f(x)=m 有解, 1 m 的取值范围为[ ,+∞). 2 12.(2011· 深圳模拟)如图,有一正方形钢板 ABCD 缺损一角(图中的阴 边缘线 OC 是以直线 AD 为对称轴, 以线段 AD 的中点 O 为顶点的抛物线的 分.工人师傅要将缺损一角切割下来,使剩余的部分成为一个直角梯形.若 边长为 2 m,问如何画切割线 EF,可使剩余的直角梯形的面积最大?并求 值. 解:以 A 为坐标原点,直线 AB、AD 分别为 x 轴、y 轴,建立如图所示的直角坐标系,依题意可设边 缘线 OC 的方程为 y=ax2+1(0≤x≤2), ∵点 C 的坐标为(2,2), 1 ∴22a+1=2,a= . 4 1 故边缘线 OC 的方程为 y= x2+1(0≤x≤2). 4 1 要使梯形 ABEF 的面积最大, EF 所在的直线必与边缘线 OC 相切, 则 设切点坐标为 P(t,t2+1)(0<t<2), 4 影部分), 一 部


正方形的 其 最 大

1 ∵y′= x, 2 1 1 ∴直线 EF 的方程可表示为 y- t2-1= t(x-t), 4 2 1 1 即 y= tx- t2+1, 2 4 1 1 由此可求得 E(2,t- t2+1),F(0,- t2+1). 4 4 1 1 ∴|AF|=1- t2,|BE|=- t2+t+1. 4 4 设梯形 ABEF 的面积为 S(t),则 1 S(t)= |AB|· (|AF|+|BE|) 2 1 1 1 =(1- t2)+(- t2+t+1)=- t2+t+2 4 4 2 1 5 5 =- (t-1)2+ ≤ . 2 2 2 5 ∴当 t=1 时,S(t)= , 2 故 S(t)的最大值为 2.5,此时|AF|=0.75,|BE|=1.75. 答:当 AF=0.75 m,BE=1.75 m 时,可使剩余的直角梯形的面积最大,其最大值为 2.5 m2.


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