当前位置:首页 >> 数学 >>

1991年全国统一高考数学试卷(湖南、云南、海南)



1991 年全国统一高考数学试卷(湖南、云南、海南) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (3 分) (1991?云南)sin15° cos30° sin75° 的值等于( ) A. B. C. D.

2. (3 分) (1991?云南)已知一个等差数列的第 5 项等于 10,前 3 项的和等于 3,那么( A. 它的首项是﹣B. 它的首项是 2,公差是﹣3 2,公差是 3 C. 它的首项是﹣D. 它的首项是 3,公差是﹣2 3,公差是 2 3. (3 分) (1991?云南)设正六棱锥的底面边长为 1,侧棱长为 A. B. C. D. 2 ,那么它的体积为( )



4. (3 分) (1991?云南) 在直角坐标系 xOy 中, 参数方程 A. 双曲线 B. 抛物线 C. 直线 D. 圆

(其中 t 是参数) 表示的曲 (



5. (3 分) (1991?云南)设全集 I 为自然数集 N,E={x 丨 x=2n,n∈N},F={x 丨 x=4n,n∈N},那么 集合 N 可以表示成( ) A. E∩F B. ?UE∪ F C. E∪ ?UF D. ?UE∩?UF 6. (3 分) (1991?云南)已知 Z1,Z2 是两个给定的复数,且 Z1≠Z2,它们在复平面上分别对应于点 Z1 和点 Z2.如果 z 满足方程|z﹣z1|﹣|z﹣z2|=0,那么 z 对应的点 Z 的集合是( ) A. 双曲线 B. 线段 Z1Z2 的垂直平分线 C. 分别过 Z1,Z2D. 椭圆 的两条相交直 线 7. (3 分) (1991?云南)设 5π<θ<6π,cos A. ﹣ B. ﹣ C. ﹣ =a,那么 sin D. ﹣ 等于( )

8. (3 分) (1991?云南)函数 y=sinx,x A. y=arcsinx, B. y=﹣arcsinx,x∈[﹣1,1] x∈[﹣1,1] C. y=π+arcsinx,D. y=π﹣arcsinx,x∈[﹣1,1] x∈[﹣1,1] 9. (3 分) (1991?云南)复数 z=﹣3(sin A. B. C. ﹣icos

的反函数为(



)的辐角的主值是( D.



10. (3 分) (1991?云南)满足 sin(x﹣ A. { B. { C. { D. {x|2kπ } }

) } }

的 x 的集合是(



} )

11. (3 分) (1991?云南)点(4,0)关于直线 5x+4y+21=0 的对称点是( A. (﹣6,8) B. (﹣8,﹣6)C. (6,8) D. (﹣6,﹣8) 12. (3 分) (1991?云南)极坐标方程 4sin2θ=3 表示的曲线是( A. 二条射线 B. 二条相交直线C. 圆 D. 抛物线 )

13. (3 分) (1991?云南)由数字 0,1,2,3,4,5 组成无重复数字的六位数,其中个位数字小于十 位数字的共有( ) A. 210 个 B. 300 个 C. 464 个 D. 600 个 14. (3 分) (1991?云南)如图是周期为 2π 的三角函数 y=f(x)的图象,那么 f(x)可以写成( )

A. sin(1+x)

B. sin(﹣1﹣x)C. sin(x﹣1) D. sin(1﹣x) )

15. (3 分) (1991?云南)设命题甲为 lgx2=0;命题乙为 x=1.那么( A. 甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件 B. 甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件

16. (3 分) (1991?云南) A. ﹣160 B. ﹣20

的展开式中常数项是( C. 20 D. 160



17. (3 分) (1991?云南)体积相等的正方体、球、等边圆柱(即底面直径与母线相等的圆柱)的全面 积分别为 S1,S2,S3,那么它们的大小关系为( ) A. S1<S2<S3 B. S1<S3<S2 C. S2<S3<S1 D. S2<S1<S3 18. (3 分) (1991?云南)曲线 2y2+3x+3=0 与曲线 x2+y2﹣4x﹣5=0 的公共点的个数是( A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 )

二、填空题:把答案填在题中的横线上. 19. (3 分) (1991?云南)椭圆 9x2+16y2=144 的离心率为

_________



20. (3 分) (1991?云南)设复数 z1=2﹣i,z2=1﹣3i,则复数

的虚部等于

_________



21. (3 分) (1991?云南)已知圆台的上、下底面半径分别为 r、2r,侧面积等于上、下底面积之和, 则圆台的高为 _________ .

22. (3 分) (1991?云南)

= _________



23. (3 分) (1991?云南)在体积为 V 的斜三棱柱 ABC﹣A′B′C′中,已知 S 是侧棱 CC′上的一点,过 点 S,A,B 的截面截得的三棱锥的体积为 V1,那么过点 S,A′,B′的截面截得的三棱锥的体积为 _________ . 24. (3 分) (1991?云南)设函数 f(x)=x2+x+ 的定义域是{n,n+1}(n 是自然数) ,那么在 f(x) 的值域中共有 三、解答题. 25. (1991?云南)已知 α,β 为锐角,cosα= ,tan(α﹣β)= ,求 cosβ 的值. _________ 个整数.

26. (1991?云南)解不等式:

. ,

27. (1991?云南)如图:已知直棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠ ACB=90° ,∠ BAC=30° ,BC=1,AA1= M 是 CC1 的中点.求证:AB1⊥ A1M.

28. (1991?云南)设{an}是等差数列,a1=1,Sn 是它的前 n 项和;{bn}是等比数列,其公比的绝对值 小于 1,Tn 是它的前 n 项和,如果 a3=b2,S5=2T2﹣6, ,{an},{bn}的通项公式.

29. (1991?云南)已知双曲线 C 的实半轴长与虚半轴的乘积为 线 l 过 F2 且与直线 F1F2 的夹角为 tanψ=

,C 的两个焦点分别为 F1,F2,直

, l 与线段 F1F2 的垂直平分线的交点是 P, 线段 PF2 与双曲

线 C 的交点为 Q,且|PQ|:|QF2|=2:1.求双曲线 C 的方程.

30. (1991?云南)已知函数



(Ⅰ )证明:f(x)在(﹣∞,+∞)上是增函数; (Ⅱ )证明:对于任意不小于 3 的自然数 n,都有 f(n)> .

1991 年全国统一高考数学试卷(湖南、云南、海南) 参考答案与试题解析 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. (3 分) (1991?云南)sin15° cos30° sin75° 的值等于( ) A. B. C. D.

考点: 专题: 分析: 解答:

二倍角的正弦. 计算题;三角函数的求值. 利用诱导公式与二倍角的正弦即可求得答案. 解:∵ sin15° cos30° sin75° =sin15° cos15° cos30° = sin30° cos30° = sin60° = × = .

点评:

故选 B. 本题考查诱导公式与二倍角的正弦,属于中档题. )

2. (3 分) (1991?云南)已知一个等差数列的第 5 项等于 10,前 3 项的和等于 3,那么( A. 它的首项是﹣B. 它的首项是 2,公差是 3 2,公差是﹣3 C. 它的首项是﹣D. 它的首项是 3,公差是 2 3,公差是﹣2 考点: 专题: 分析: 解答:

等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和. 等差数列与等比数列. 设等差数列的首项为 a1,公差为 d,由题意可建立关于 a1 和 d 的方程组,解之即可. 解:设等差数列的首项为 a1,公差为 d, 由等差数列的求和公式可得 ,

解得



点评:

故选 A 本题考查等差数列的通项公式和求和运算,属基础题. ,那么它的体积为( )

3. (3 分) (1991?云南)设正六棱锥的底面边长为 1,侧棱长为 A. B. C. D. 2 考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积.

专题: 分析:

解答:

计算题. 由已知中正六棱锥的底面边长为 1,侧棱长为 ,结合正六边形面积的求法,及正六棱锥侧棱 长、高、对角线的一半构成直角三角形,满足勾股定理,我们可以分别求出其底面积和高,代 入棱椎体积公式,即可得到答案 解:∵ 正六棱锥的底面边长为 1, 则 S 底面积=6? 又∵ 侧棱长为 则棱锥的高 h= =2 × 2= =

故棱锥的体积 V= × S 底面积× h= × 点评:

故选 C 本题考查的知识点是棱锥的体积公式, 其中根据已知条件计算出棱锥的底面积和高是解答本题 的关键.

4. (3 分) (1991?云南) 在直角坐标系 xOy 中, 参数方程 A. 双曲线 考点: 专题: 分析: 解答: 解:由题意 , B. 抛物线 C. 直线 D. 圆

(其中 t 是参数) 表示的曲 (



简单曲线的极坐标方程. 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 判断此曲线的类型可以将参数方程化为普通方程,再依据变通方程的形式判断此曲线的类型, 由此参数方程的形式,可采用代入法消元的方式将其转化为普通方程.

由(1)得 2t=x﹣1 代入(2)得 2y=(x﹣1)2﹣2, 即 y= (x﹣1)2﹣1,其对应的图形是一条抛物线. 点评:

故选 B. 本题考查直线的参数方程,解题的关键是掌握参数方程转化为普通方程的方法代入法消元,本 题易因为忘记判断出 x,y 的取值范围而误判此曲线为直线,好在选项中没有这样的干扰项, 使得本题的出错率大大降低.

5. (3 分) (1991?云南)设全集 I 为自然数集 N,E={x 丨 x=2n,n∈N},F={x 丨 x=4n,n∈N},那么 集合 N 可以表示成( ) A. E∩F B. ?UE∪ F C. E∪ ?UF D. ?UE∩?UF 考点: 专题: 分析: 解答:

子集与交集、并集运算的转换. 计算题. 根据已知条件,对四个选项一一进行验证,看它们运算的结果是否是自然数集 N,即可得出答 案. 解:∵ E={x 丨 x=2n,n∈N},F={x 丨 x=4n,n∈N}, 对于选项 A:E∩F=F,不合. B:?UE∪ F={x|x=2n+1,n∈N}∪ F,其中不能含有元素 2,故不合题意; C:E∪ ?UF=N,正确; D:?UE∩?UF=?U(E∪ F)={x|x=2n+1,n∈N}≠N,故不合题意.

点评:

故选 C. 本题主要考查了子集与交集、并集运算的转换,考查了自然数集 N 的概念,属于基础题.

6. (3 分) (1991?云南)已知 Z1,Z2 是两个给定的复数,且 Z1≠Z2,它们在复平面上分别对应于点 Z1 和点 Z2.如果 z 满足方程|z﹣z1|﹣|z﹣z2|=0,那么 z 对应的点 Z 的集合是( ) A. 双曲线 B. 线段 Z1Z2 的 垂直平分线 C. 分别过 Z1,Z2D. 椭圆 的两条相交直 线 考点: 专题: 分析: 解答: 复数求模. 计算题. 利用复数 z 的几何意义可知|z﹣z1|﹣|z﹣z2|=0 中 z 对应的点 Z 的集合. 解:∵ |z﹣z1|﹣|z﹣z2|=0, ∴ |z﹣z1|=|z﹣z2|,又复数 z1,z2 在复平面上分别对应于点 Z1 和点 Z2, ∴ z 对应的点 Z 到点 Z1 和点 Z2 的距离相等, ∴ 点 Z 为线段 Z1Z2 的垂直平分线. 故选 B. 本题考查复数 z 的几何意义,考查理解与转化能力,属于中档题. =a,那么 sin D. ﹣ 等于( )

点评:

7. (3 分) (1991?云南)设 5π<θ<6π,cos A. ﹣ 考点: 专题: 分析: 解答: B. ﹣ C. ﹣

二倍角的余弦. 计算题;三角函数的求值. 5π<θ<6π? ∈( ,3π)? ∈( , ) ,由 cos =a 即可求得 sin .

解:∵ 5π<θ<6π ∴ ∈( 又 cos ,3π) , =a, ∈( , ) ,

∴ sin 点评:

=﹣

=﹣



故选 D. 本题考查二倍角的正弦与余弦,考查平方关系的应用,考查运算能力,属于中档题. 的反函数为( )

8. (3 分) (1991?云南)函数 y=sinx,x A. y=arcsinx, B. y=﹣arcsinx,x∈[﹣1,1] x∈[﹣1,1] C. y=π+arcsinx,D. y=π﹣arcsinx,x∈[﹣1,1] x∈[﹣1,1] 考点: 反三角函数的运用.

专题: 分析:

三角函数的求值. 由于 x 时,﹣1≤sinx≤1,而 arcsinx,x∈[﹣1,1],表示在区间[﹣ , ]上,正

弦值等于 x 的一个角,从而得到函数 y=sinx,x 的反函数. 解答: 解:由于 x 时,﹣1≤sinx≤1,而 arcsinx,x∈[﹣1,1],表示在区间[﹣ ,

]上,

正弦值等于 x 的一个角, 故函数 y=sinx,x 点评: 的反函数为 y=π﹣arcsinx,x∈[﹣1,1],

故选 D. 本题主要考查反正弦函数的定义,求一个函数的反函数,属于中档题. ﹣icos )的辐角的主值是( D. )

9. (3 分) (1991?云南)复数 z=﹣3(sin A. B. C.

考点: 专题: 分析: 解答:

复数的基本概念. 计算题. 利用诱导公式即可得出. 解: = . ∴ argZ= . = =

点评:

故选 C. 熟练掌握诱导公式和辐角主值的意义即可得出. ) } } } } 正弦函数的单调性. 三角函数的图像与性质. 由 sin(x﹣ 满足 sin(x﹣ ) ) ,结合正弦函数的单调性可得 2kπ+ 的 x 的集合. ≤x﹣ ≤2kπ+ ,k∈z,由此求得 } 的 x 的集合是( )

10. (3 分) (1991?云南)满足 sin(x﹣ A. { B. { C. { D. {x|2kπ 考点: 专题: 分析:

解答:

解:由 sin(x﹣ 解得



,结合正弦函数的单调性可得 2kπ+ ,

≤x﹣

≤2kπ+

,k∈z.

点评:

故选 A. 本题主要考查正弦函数的图象和性质,三角不等式的解法,属于中档题. )

11. (3 分) (1991?云南)点(4,0)关于直线 5x+4y+21=0 的对称点是( A. (﹣6,8) B. (﹣8,﹣6)C. (6,8) D. (﹣6,﹣8) 考点: 专题: 分析: 解答:

与直线关于点、直线对称的直线方程. 直线与圆. 设出对称点的坐标,利用对称点的连线被对称轴垂直平分,建立方程组,即可求得结论. 解:设点 M 的坐标为(a,b) ,则 ∴ a=﹣6,b=﹣8 ∴ M(﹣6,﹣8) , 故选 D. 本题考查直线中的对称问题,考查学生的计算能力,属于基础题. )

点评:

12. (3 分) (1991?云南)极坐标方程 4sin2θ=3 表示的曲线是( A. 二条射线 B. 二条相交直线C. 圆 D. 抛物线 考点: 专题: 分析: 解答:

点评:

简单曲线的极坐标方程. 计算题. 根据极坐标方程 4sin2θ=3 可知 4ρ2sin2θ=3ρ2, 然后根据 y=ρsinθ, x=ρcosθ 可得其直角坐标方程, 即可得到答案. 解:∵ 4sin2θ=3 ∴ 4ρ2sin2θ=3ρ2 则 4y2=x2+y2, ∴ x= y 或 x=﹣ y, 则极坐标方程 4sin2θ=3 表示的图形是两条直线. 故选 B. 本题主要考查了简单曲线的极坐标方程, 以及极坐标方程与直角坐标方程的互化, 属于基础题.

13. (3 分) (1991?云南)由数字 0,1,2,3,4,5 组成无重复数字的六位数,其中个位数字小于十 位数字的共有( ) A. 210 个 B. 300 个 C. 464 个 D. 600 个 考点: 专题: 分析:

解答:

排列、组合及简单计数问题. 计算题. 由题意知本题是一个分类计数问题,由题意知个位数字小于十位数字,个位数字只能是 0,1, 2,3,4 共 5 种类型,每一种类型分别有 A55 个、A41A31A33 个、A31A31A33 个、A21A31A33 个、 A31A33 个,根据分类计数原理得到结果. 解:由题意知本题是一个分类计数问题 ∵ 由题意知个位数字小于十位数字, ∴ 个位数字只能是 0,1,2,3,4 共 5 种类型,

点评:

每一种类型分别有 A55 个、A41A31A33 个、A31A31A33 个、A21A31A33 个、A31A33 个, ∴ 共有 A55+A41A31A33+A31A31A33+A21A31A33+A31A33=300, 故选 B. 本题考查排列组合及分类计数原理,是一个数字问题,这种问题比较容易出错,解题时要做到 不重不漏,有些题目带有一定的约束条件,解题时要先考虑有限制条件的元素. )

14. (3 分) (1991?云南)如图是周期为 2π 的三角函数 y=f(x)的图象,那么 f(x)可以写成(

A. sin(1+x) 考点: 专题: 分析: 解答:

B. sin(﹣1﹣x)C. sin(x﹣1) D. sin(1﹣x)

点评:

由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 计算题. 由题意知,f(x)=sin(x+φ) ,利用 1+φ=π+2kπ,k∈Z,求得 φ,即可求得答案. 解:依题意,f(x)=sin(x+φ) , ∵ 函数 y=f(x)经过(1,0) , ∴ 1+φ=π+2kπ,k∈Z, ∴ φ=π+2kπ﹣1,k∈Z, ∴ f(x)=sin(x+π+2kπ﹣1) =sin(π+x﹣1) =﹣sin(x﹣1) =sin(1﹣x) , 故选 D. 本题考查由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,求得 φ 是关键,考查诱导公式与运算 能力,属于中档题. )

15. (3 分) (1991?云南)设命题甲为 lgx2=0;命题乙为 x=1.那么( A. 甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件 B. 甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 考点: 专题: 分析: 解答: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 探究型. 利用充分条件和必要条件的定义判断. 解:由 lgx2=0,的 x2=1,所以 x=1 或 x=﹣1, 所以甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件. 故选 B. 本题主要考查充分条件和必要条件关系的判断.

点评:

16. (3 分) (1991?云南) A. ﹣160 B. ﹣20

的展开式中常数项是( C. 20 D. 160



考点: 专题: 分析: 解答:

点评:

二项式系数的性质. 计算题. 利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令 x 的指数为 0,求出 r,进而求出展开式的 常数项. 解:展开式的通项为 Tr+1=(﹣2)rC6rx3﹣r 令 3﹣r=0 得 r=3 所以展开式的常数项为(﹣2)3C63=﹣160 故选 A 本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题.

17. (3 分) (1991?云南)体积相等的正方体、球、等边圆柱(即底面直径与母线相等的圆柱)的全面 积分别为 S1,S2,S3,那么它们的大小关系为( ) A. S1<S2<S3 B. S1<S3<S2 C. S2<S3<S1 D. S2<S1<S3 考点: 专题: 分析: 解答:

棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 空间位置关系与距离. 由题意求出正方体,球,及圆柱的体积,通过相等即可得到棱长,球半径,及圆柱半径和母线 长,求出三者的表面积即可得到大小关系. 解:设球的半径为 R,正方体的棱长为 a,圆柱的底面半径是 r, 所以球的体积为: πR3,正方体的体积为:a3,圆柱的体积为:2πr3; 故 a3= πR3=2πr3 且球的表面积为:4πR2,正方体的表面积为:6a2,圆柱的表面积为:6πr2; 因为 S2﹣S1=4πR2﹣6a2=4πR2﹣6× ( πR3) =4πR2﹣6× ( π) R2<0.

点评:

∴ S2<S1 同样地,S2<S3<S1 故选 C. 本题是基础题,考查正方体、球、圆柱的表面积体积的关系,考查计算能力. )

18. (3 分) (1991?云南)曲线 2y2+3x+3=0 与曲线 x2+y2﹣4x﹣5=0 的公共点的个数是( A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 考点: 专题: 分析: 曲线与方程. 计算题;直线与圆. 将两个曲线方程联解,消去 y 得得 2x2﹣11x﹣13=0,解之得 x=﹣1 或 x=

.再将 x 的回代到

方程中,解之可得只有 x=﹣1、y=0 符合题意.由此即可得到两个曲线有唯一的公共点,得到 答案. 解答: 解:由 解之得 x=﹣1 或 x= 当 x=﹣1,代入第一个方程,得 y=0; 当 x= 时,代入第一个方程得 2y2+ +3=0,没有实数解 消去 y2,得 2x2﹣11x﹣13=0

点评:

因此,两个曲线有唯一的公共点(﹣1,0) 故选:D 本题求两个已知曲线公共点的个数,着重考查了曲线与方程、二元方程组的解法等知识,属于 基础题.

二、填空题:把答案填在题中的横线上. 19. (3 分) (1991?云南)椭圆 9x2+16y2=144 的离心率为 考点: 专题: 分析: 解答: .

椭圆的简单性质. 圆锥曲线的定义、性质与方程. 利用椭圆的标准方程和离心率计算公式即可得出. 解:由椭圆 9x2+16y2=144 化为 ,∴ a2=16,b2=9.

∴ 故答案为 点评: .

=



熟练掌握椭圆的标准方程和离心率计算公式是解题的关键.

20. (3 分) (1991?云南)设复数 z1=2﹣i,z2=1﹣3i,则复数

的虚部等于

1



考点: 专题: 分析:

复数代数形式的乘除运算. 计算题. 利用复数的运算性质将 + 转化为 a+bi(a,b∈R)的形式,即可求得答案.

解答:

解:∵ z1=2﹣i, ∴ =2+i, ∴ = = =﹣ + i;

又 z2=1﹣3i, ∴ =1+3i, ∴ = + i;

∴ +

=i,

∴ +

的虚部等于 1.

点评:

故答案为:1. 本题考查复数代数形式的乘除运算,属于中档题.

21. (3 分) (1991?云南)已知圆台的上、下底面半径分别为 r、2r,侧面积等于上、下底面积之和, 则圆台的高为 考点: 专题: 分析: 解答: .

旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 空间位置关系与距离. 求出圆台的上底面面积, 下底面面积, 写出侧面积表达式, 利用侧面面积等于两底面面积之和, 求出圆台的母线长,最后根据解直角三角形求出它的高即可. 解:设圆台的母线长为 l,则 圆台的上底面面积为 S 上=π?r2=r2π 圆台的下底面面积为 S 下=π?(2r)2=4r2π 所以圆台的两底面面积之和为 S=S 上+S 下=5r2π 又圆台的侧面积 S 侧=π(r+2r)l=3πrl 于是 5r2π=3πrl 即 l= 圆台的高为 h= 故答案为: . , = ,

点评:

本题考查旋转体(圆柱、圆锥、圆台) ,棱柱、棱锥、棱台的高,考查计算能力,是基础题.

22. (3 分) (1991?云南)

= 0



考点: 专题: 分析: 解答:

极限及其运算. 计算题;导数的概念及应用. 把分式的分子分母同时除以 n?3n,然后取极限值即可得到答案.

解:

=

=



点评:

故答案为 0. 本题考查数列的极限,解答的关键是消去趋于无穷大的式子,是基础题.

23. (3 分) (1991?云南)在体积为 V 的斜三棱柱 ABC﹣A′B′C′中,已知 S 是侧棱 CC′上的一点,过 点 S,A,B 的截面截得的三棱锥的体积为 V1,那么过点 S,A′,B′的截面截得的三棱锥的体积为 . 考点: 专题: 分析: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 空间位置关系与距离. 我们可设侧棱 CC′到侧面 ABB′A′的距离为 d,根据斜三棱柱 ABC﹣A′B′C′的体积等于侧面 ABB′A′的面积与 d 的乘积的一半,再根据同底同高的棱锥体积公式,求出四棱椎 S﹣ABB′A′ 的体积,进而得到答案.

解答:

解:设侧棱 CC′到侧面 ABB′A′的距离为 d ∵ 斜三棱柱 ABC﹣A′B′C′的体积等于侧面 ABB′A′的面积与 d 的乘积的一半, ∴ V= SABB'A'?d, 又四棱椎 S﹣ABB′A′的体积等于 SABB'A'?d= V, .

则那么过点 S,A′,B′的截面截得的三棱锥的体积为等于 V﹣V1﹣ V= 故答案为: .

点评:

本题考查的知识点是棱柱的体积,棱锥的体积,考查割补法.属于基础题.

24. (3 分) (1991?云南)设函数 f(x)=x2+x+ 的定义域是{n,n+1}(n 是自然数) ,那么在 f(x) 的值域中共有 考点: 专题: 分析: 2n+2 个整数.

二次函数的性质. 计算题;函数的性质及应用.

f(x)的对称轴是 x=﹣ ,当 n≥1 时,f(x)在[n,n+1]上是单调递增的,因为 f(n)和 f(n+1)

解答:

都不是整数,故 f(x)的值域中的整数个数问题只要计算 f(n+1)﹣f(n)即可;n=0 时,值 域为[f(0) ,f(1)]. 解:当 n≥1 时,f(x)在[n,n+1]上是单调递增的, f(n+1)﹣f(n)=(n+1)2+(n+1)+ ﹣n2﹣n﹣ =2n+2,故 f(x)的值域中的整数个数是 2n+2, n=0 时,值域为[f(0) ,f(1)]=[ , ],有 1,2 两个整数.

点评: 三、解答题.

故答案为:2n+2 本题考查二次函数的值域问题,对问题的化归转化能力.

25. (1991?云南)已知 α,β 为锐角,cosα= ,tan(α﹣β)= ,求 cosβ 的值.

考点: 专题: 分析:

两角和与差的正切函数. 计算题. 依题意,可求得 sinα 及 tanα,利用两角差的正切可求得 tanβ,由 cosβ= 案.

即可求得答

解答:

解:∵ α 为锐角,cosα= , ∴ sinα= ∴ tanα= = . = ,

∵ tanβ=tan[α﹣(α﹣β)]= 又 β 是锐角, ∴ cosβ= 点评: = = .

=

=



本题考查三角公式、三角函数式的恒等变形和运算能力,属于中档题. .

26. (1991?云南)解不等式: 考点: 专题: 分析: 解答:

其他不等式的解法. 不等式的解法及应用. 先移项平方后化成一般形式,再直接利用一元二次不等式的解法,求解即可. 解:① 当 x<0 时,由于 等价于 5﹣4x﹣x2≥0

即有﹣5≤x≤1,故不等式的解集是[﹣5,0) ; ② 当 x=0 时,由于 ③ 当 x>0 时,由于 ,显然 x=0 满足题意; 等价于

即有 由于 故不等式的解集是 综上可知,不等式的解集是 点评: . .

此题考查了一元二次不等式的解法,利用了转化的思想,考查计算能力. ,

27. (1991?云南)如图:已知直棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,∠ ACB=90° ,∠ BAC=30° ,BC=1,AA1= M 是 CC1 的中点.求证:AB1⊥ A1M.

考点: 专题: 分析: 解答:

直线与平面垂直的性质. 证明题. 要证,只要 A1M⊥ AC1,B1C1⊥ AC1 即证 MA1⊥ AB1C1,从而可证 AB1⊥ A1M 证明:连接 AC1 ∵ ∠ ACB=90° ,∠ BAC=30° ,BC=1, ∴ = = ,

Rt△ A1C1M 中,tan∠ A1MC1=

Rt△ AA1C1 中,tan∠ AC1A1=

=

点评:

∴ tan∠ MA1C1=tan∠ AC1A1 即∠ AC1A1=∠ A1MC1 ∴ A1M⊥ AC1 ∵ B1C1⊥ A1C1,B1C1⊥ CC1 且 AC1∩CC1=C1 ∴ B1C1⊥ 平面 AA1C1 且 MA1?面 AA1C1 ∴ B1C1⊥ MA1,又 AC1∩B1C1 是=C1 根据线面垂直的判定定理可知 MA1⊥ 平面 AB1C1 ∴ AB1⊥ A1M 本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理的应用,线线垂直与线面垂直的相互转化,属于中 档试题

28. (1991?云南)设{an}是等差数列,a1=1,Sn 是它的前 n 项和;{bn}是等比数列,其公比的绝对值 小于 1,Tn 是它的前 n 项和,如果 a3=b2,S5=2T2﹣6, ,{an},{bn}的通项公式.

考点: 专题: 分析:

数列的极限;等差数列的性质;等比数列的性质. 等差数列与等比数列. 则由题意可得 ,化简可得 3b1q=2b1﹣6 ① .再由

=

② ,由① ② 构成方程组,解方程组求得 b1 和 q 的值,可得 d 的值,从而求得,

解答:

{an},{bn}的通项公式. 解:设数列{an}的公差为 d,数列{bn}的公比为 q(|q|<1) .

则由题意可得

,化简可得 3b1q=2b1﹣6 ① .

再由

=

② ,由① ② 构成方程组,解方程组求得

,故有 d= .

∴ an=1+ (n﹣1) ,bn=6? 点评:



本小题考查等差数列、等比数列的概念,数列的极限,运用方程(组)解决问题的能力,属于 中档题. ,C 的两个焦点分别为 F1,F2,直

29. (1991?云南)已知双曲线 C 的实半轴长与虚半轴的乘积为 线 l 过 F2 且与直线 F1F2 的夹角为 tanψ=

, l 与线段 F1F2 的垂直平分线的交点是 P, 线段 PF2 与双曲

线 C 的交点为 Q,且|PQ|:|QF2|=2:1.求双曲线 C 的方程. 考点: 专题: 分析: 直线与圆锥曲线的综合问题;双曲线的简单性质. 圆锥曲线的定义、性质与方程. 如图,以 F1F2 所在的直线为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系.设双曲线 的方程为 ,可得直线 PQ 的方程为 ,得到点 P 的坐

标.由线段的定比分点坐标公式得点 Q 的坐标,代入双曲线的方程即可得到 .又 ab= 解答: 立即可得出. 解:如图,以 F1F2 所在的直线为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系. 设双曲线的方程为 直线 PQ 的方程为 ,则 P , ,

,联

由线段的定比分点坐标公式得 ∴ .



=



代入双曲线的方程得 解得 ∴ ∴ ,或 .又 ab= ,a=1. , =

,整理得 . (舍去) .



故所求的双曲线方程为



点评:

本小题考查利用坐标法研究几何问题的思想,线段的定比分点坐标公式,双曲线的有关知识及 综合解题能力.

30. (1991?云南)已知函数



(Ⅰ )证明:f(x)在(﹣∞,+∞)上是增函数; (Ⅱ )证明:对于任意不小于 3 的自然数 n,都有 f(n)> 考点: 专题: 分析: 函数单调性的性质;函数单调性的判断与证明. 证明题;函数的性质及应用. (Ⅰ )设 x1,x2 为任意两个实数,且 x1<x2,而 f(x)= >f(x1)即可; (Ⅱ )要证 f(n)> 解答: (n∈N,n≥3) ,即要证 1﹣ =1﹣ .

,利用作差证明 f(x2)

,即要证 2n﹣1>2n(n≥3) .用

数学归纳法即可证明; (Ⅰ )证明:设 x1,x2 为任意两个实数,且 x1<x2, f(x)= =1﹣ ,

f(x2)﹣f(x1)= 由指数函数性质知,

= >0,

, >0,

∴ f(x2)﹣f(x1)>0, 故 f(x)在(﹣∞,+∞)上是增函数; (Ⅱ )要证 f(n)> (n∈N,n≥3) ,即要证 1﹣ ,

即要证 2n﹣1>2n(n≥3) .① 现用数学归纳法证明① 式. (1)当 n=3 时,左边=23﹣1=7,右边=2× 3=6, ∴ 左边>右边,因而当 n=3 时① 式成立.

(2)假设当 n=k(k≥3)时① 式成立,即有 2k﹣1>2k,那么 2k+1﹣1=2?2k﹣1=2(2k﹣1)+1>2?2k+1=2(k+1)+(2k﹣1) , ∵ k≥3,∴ 2k﹣1>0. k+1 ∴ 2 ﹣1>2(k+1) . 这就是说,当 n=k+1 时① 式成立. 根据(1) (2)可知,① 式对于任意不小于 3 的自然数 n 都成立. 由此有 f(n)> 点评: . (n≥3,n∈N) .

本小题考查指数函数, 数学归纳法, 不等式证明等知识以及综合运用有关知识解决问题的能力.


相关文章:
1991年全国统一高考数学试卷(湖南、云南、海南).doc
1991年全国统一高考数学试卷(湖南云南海南) - 1991 年全国统一高考数学试卷(湖南云南海南) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目...
1991年全国普通高等学校招生统一考试((湖南、云南、海....doc
1991年全国普通高等学校招生统一考试((湖南云南海南卷) - www.qpgk.com 1991 年高考物理试题((湖南云南海南) 第Ⅰ卷(选择题 共 70 分) 一、本题...
1992年全国统一高考数学试卷(湖南、云南、海南).doc
1992年全国统一高考数学试卷(湖南云南海南) - 1992 年全国统一高考数学试卷(湖南云南海南) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目...
1991年全国统一高考数学试卷(湖南、云南、海南).doc
1991年全国统一高考数学试卷(湖南云南海南) - 1991 年全国统一高考数学试卷(湖南云南海南) 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目...
1991年全国统一高考数学试卷(理科).doc
1991年全国统一高考数学试卷(理科) - 1991 年全国统一高考数学试卷(理科) 一、选择题(共 15 小题,每小题 3 分,满分 45 分) 1. (3 分)已知 sinα= ,...
1991年全国高考数学试题及其参考答案.doc
1991年全国高考数学试题及其参考答案 - 1991年全国高考数学试题及其参考答案 (理工农医类) 考生注意:这份试卷共三道大题(26个小题).满分120分 王新敞 奎屯 ...
1992年普通高等学校招生全国统一考试(湖南 云南 海南).doc
1992 年普通高等学校招生全国统一考试 物 理 (湖南云南海南试题) 第 I ...1991年全国普通高等学校... 13页 免费 1992年全国统一高考数学... 暂无评价...
1993年普通高等学校招生全国统一考试(湖南 云南 海南).doc
1993年普通高等学校招生全国统一考试(湖南 云南 海南)_高中教育_教育专区。各地高考试卷word版 1993 年普通高等学校招生全国统一考试 物理 (湖南、云南海南卷) 第...
1991全国高考理科数学试题.doc
1991全国高考理科数学试题 - 1991年普通高等学校招生全国统一考试-数学 (理工农医类) 考生注意:这份试卷共三道大题(26个小题).满分120分 王新敞 奎屯 新疆 一...
90年代高考物理试题全集.doc
1991 年高考物理试题((湖南云南海南)---30 1992 年全国高考物理试题---43 1993 年全国高考物理试题---66 1993 年高考物理试题((湖南云南海南)---...
1993年普通高等学校招生全国统一考试(北京及云南等省用....doc
1993年普通高等学校招生全国统一考试(北京及云南等省用题)理科数学试题及答案 - 1993 年试题(理工农医类) (北京、湖北、湖南云南海南、贵州等省市用题) 本...
1991高考数学全国卷及答案理.doc
1991高考数学全国卷及答案理_高三数学_数学_高中教育_教育专区。1991年普通高等学校招生全国统一考试-数学 1991年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国...
1993年普通高等学校招生全国统一考试(北京及云南等省用....doc
1993 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文史类) (北京、湖北、湖南云南海南、贵州等省市用题) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分 本...
1991年三南高考化学试题.doc
1991年三南高考化学试题 - 1991年高考化学试题(湖南云南海南三省用题
...招生全国统一考试数学试题及答案全国(三南试题)(理....doc
1993 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理工农医类) (北京、湖北、湖南云南海南、贵州等省市用)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第...
1995年全国统一高考数学试卷(文科).doc
1995年全国统一高考数学试卷(文科) - 1995 年全国统一高考数学试卷(文科) 一、选择题(共 15 小题,1-10 每小题 4 分,11-15 每小题 5 分,满分 65 分)...
1995年全国统一高考数学试卷(理科).doc
1995年全国统一高考数学试卷(理科) - 1995 年全国统一高考数学试卷(理科) 一、选择题(共 15 小题,1-10 每小题 4 分,11-15 每小题 5,满分 65 分) 1....
1991年全国高考数学理科.doc
1991年全国高考数学理科 - 1989年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题、答案及其解析
1998年全国统一高考数学试卷(理科).doc
1998年全国统一高考数学试卷(理科) - 1998 年全国统一高考数学试卷(理科) 一、选择题(共 15 小题,每小题 4 分,满分 60 分) 1. (4 分) (2008?陕西)...
2017年湖南高考数学试题(含详解).doc
2017年湖南高考数学试题(含详解)_高考_高中教育_教育专区。2017年湖南高考数学试题,含试题详解 绝密★启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学本试卷 ...
更多相关标签: