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2017届河北省唐山市高三第二次模拟考试数学(文)试题(解析版)


2016-2017 学年河北省唐山市度高三年级第二次模拟考试 数学(文)试题

一、选择题 1 . 已知集合 A ? ?1,2? , B ? {x | x ? a ? b, a ? A, b ? A} ,则集合 B 中元素个数为




C. 3 D. 4

A. 1 B. 2 【答案】C

【解析】由题意,得 A ? ?1,2? , B ? ?x|x ? a ? b, a ? A, b ? A? ? ?2,3,4? ,则集合 B 中 元素个数为 3;故选 C. 2.设复数 z 满足 A. 1 B. 5

i ? z ? 1 ,则 z ? ( 1? i
C.



2

D. 2

【答案】C 【解析】由题意,得 z ?

1? i ? ?1 ? i ,则 z ? 2 ;故选 C. i


2 3.命题“ ?x ? ? 0,1? , x ? x ? 0 ”的否定是(

A. ?x0 ? ? 0,1? , x02 ? x0 ? 0 C. ?x0 ? ? 0,1? , x02 ? x0 ? 0 【答案】B

B. ?x0 ? ? 0,1? , x02 ? x0 ? 0 D. ?x0 ? ? 0,1? , x02 ? x0 ? 0

2 【解析】命题“ ?x ? ? 0,1? , x ? x ? 0 ”的否定是 ?p : ?x0 ? ? 0,1? , x0 ? x0 ? 0 ;故选 B.

2

4.从 1,2,3,4 四个数字中任取两个不同数字,则这两个数字之积小于 5 的概率为


A.



1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

5 6

【答案】B 【 解 析 】 从

1,2,3,4

四 个 数 字 中 任 取 两 个 不 同 数 字 , 共 有 共 ,6 3 个基本事件,其中这两个数字之积小于 , 2 , 4 , 3 , 4 ?2 5 的有

?1 , ? 2 ? ,? ?1 , ? 3 ?

,? 1 ? , ?4 ? ,

?1,2?, ?1,3?, ?1,4 ? 共 3 个基本事件,则这两个数字之积小于 5 的概率为 P ? 6 ? 2 ;故选
B. 5.已知双曲线 mx ? y ? 1的渐进线方程为 y ? ?3x ,则 m ? (
2 2

3

1



A.

1 3

B.

1 9

C. 3

D. 9

【答案】D 【解析】显然 m ? 0 ,令 mx 2 ? y 2 ? 0 ,则 y ? ? mx ,因为双曲线 mx 2 ? y 2 ? 1的渐进线 方程为 y ? ?3x ,则 m ? 9 ;故选 D. 点睛:研究双曲线的渐近线的方法往往是先确定焦点坐标,再去确定渐近线的形式,比较容 易出现错误,记住下列结论可较好的避免错误: ①双曲线 mx2 ? ny 2 ? 1(mn ? 0) 的渐近线方程为 mx2 ? ny 2 ? 0(mn ? 0) ;

②以

x2 y 2 x y ? ? 0 为渐近线的双曲线方程可设为 2 ? 2 ? ? ? ? ? 0 ? . a b a b


6.一个几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为(

A. 24 ? ?

B. 24 ? 3?

C. 8 ?

4? 3

D. 8 ?

8? 3

【答案】C 【解析】由三视图,可知该几何体是由一个棱长为 2 的正方体挖去一个半径为 2 的八分之
3 一球,则该几何体的体积为 V ? 2 ? ?

1 4 4 π ? 23 ? 8 ? π ;故选 C. 8 3 3


7.已知 ? , ? 均为锐角,且 cos ?? ? ? ? ? ncos ?? ? ? ? ,则 tan? tan? ? ( A.

1? n 1? n

B.

1? n 1? n

C.

n ?1 1? n

D.

1? n n ?1

【答案】A 【 解 析 】 因 为

?



? 均 为 锐 角 , 且 cos ?? ? ? ? ? ncos ?? ? ? ? , 所 以

c o? s

c? o ?s

? s i n? ?n ? sin
? ? ? n ?s ? ?

? c? ? o s c? o in ? s ? s i n s,
? ,则itan? tan? ?
sin? sin? 1 ? n ? ;故选 n s A. cos? cos? 1 ? n




? ? n ?1?

?

i

8.函数 y ?

2? x , x ? ? m, n? 的最小值为 0,则 m 的取值范围是( x ?1

A. ?1, 2 ? 【答案】D

B.

? ?1, 2?

C. 1, 2 ?

?

D.

??1, 2?

【解析】因为 f ? x ? ? y ?

2? x 3 ? ?1 ? 在 ? ?1, ?? ? 上单调递减,且 f ? 2? ? 0 ,所以 x ?1 x ?1

n ? 2, ?1 ? m ? 2 ;故选 D.
9.执行如图所示的程序框图,若输入的 n ? 5 ,则输出的结果为(



A. 4 B. 5 【答案】B 【 解

C. 6 析

D. 7 】 由 程 序 框 图 , 得

16 8 n ? 5, i ? 1; n ? 3 ? 5 ? 1 ? 16, i ? 2; n ? ? 8, i ? 3; n ? ? 4, i ? 4; 2 2 4 n ? ? 2, i ? 5; n ? 1, 结束循环,输出 i 值,即 i ? 5 ;故选 B. 2
10.已知函数 f ? x ? ? 3sin ? 2 x ? ? ? ? cos ? 2 x ? ? ? ( ? ?

?

2

)的图象关于 y 轴对称,

? ? ?? 则 f ? x ? 在区间 ? ? , ? 上的最大值为( ? 6 3?
A. 1 B.



3

C.

2

D. 2

【答案】A 【解析】因为函数 f ? x ? ? 3sin ? 2 x ? ? ? ? cos ? 2 x ? ? ? ? 2sin ? 2 x ? ? ?

? ?

??

? 的图象关于 6?

y

轴 对 称 , 所 以 ?? ?

π π ? π ? ? kπ , 又 ? ? , 则 ? ?? 6 2 2 3
, 2 因 x c 为 o ? s 2? x ?

, 即

f

? ?x? 2

?? ? s ? i n? x 2 ??? 2? ?

π 6

π π 2π , 所 以 ? ? 2x ? ,则当 3 3 3

2x ?

2π π 2π ? 1 ;故选 A. ,即 x ? 时, f ? x ? 取得最大值 ?2cos 3 3 3

点睛:判定三角函数的奇偶性时,往往与诱导公式进行结合,如: 若 y ? sin ?? x ? ? ? 为奇函数,则 ? ? kπ, k ? Z ; 若 y ? sin ?? x ? ? ? 为偶函数,则 ? ? kπ+

π ,k ?Z ; 2

若 y ? cos ??x ? ? ? 为偶函数,则 ? ? kπ, k ? Z ; 若 y ? cos ??x ? ? ? 为奇函数,则 ? ? kπ+

π ,k ?Z. 2

11.已知平面 ? ? 平面 ? ? a ,平面 ? ? 平面 ? ? b ,平面 ? ? 平面 ? ? c ,则下列命

题: ①若 a / / b , 则 a / /c , b / /c ; ②若 a ? b ? O , 则O ?c; ③若 a ? b , b ? c , 则a ? c. 其中正确的命题是( ) A. ①②③ B. ②③ C. ①③ D. ①②
【答案】D 【解析】因为 a / / b ,且平面 ? ? 平面 ? ? b ,所以 a / / 平面? ,又平面 ? ? 平面 ?

? c,

所以 a / / c ,由平行公理,得 b / / c ,故①正确;若 a ? b ? O ,且平面 ? ? 平面 ? ? a , 平面 ? ? 平面 ? ? b ,则 O ? 平面? 且 O ? 平面? ,又平面 ? ? 平面 ?

? c ,所以 O ? c ,

故②正确;由正方体的三个相邻侧面可知③错误;故选 D. 点睛:本题考查三个平面两两相交,有三条交线,可考虑三条交线的位置关系(三条交线相 互平行、三条交线重合、三条交线交于一点)进行判定,也可以结合具体几何体(三棱柱、 三棱锥、正方体等)进行判定. 12.已知 f ? x ? 是定义在 R 上的可导函数, 且满足 ? x ? 1? f ? x ? ? xf ' ? x ? ? 0 , 则 ( A. f ? x ? ? 0 【答案】A
x x ? ? 0, 【解析】令 g ? x ? ? e ? ? xf ? x ? ? ? ,则由题意,得 g ? ? x ? ? e ? ?? x ? 1? f ? x ? ? xf ? ? x ? ?



B. f ? x ? ? 0

C. f ? x ? 为减函数

D. f ? x ? 为增函数

所以函数 g ? x ? 在 ? ??, ??? 上单调递增,又因为 g ? 0? ? 0 ,所以当 x ? 0 时, g ? x ? ? 0 , 则 f ? x? ? 0 , 当 x ? 0 时, g ? x ? ? 0 , 则 f ? x? ? 0 , 而 ? x ? 1? f ? x ?? x f x '? ? ? 0 恒成立,

则 f ? 0? ? 0 ;所以 f ? x ? ? 0 ;故选 A.
x 点睛:本题的难点在于如何利用 ? x ? 1? f ? x ? ? xf ' ? x ? ? 0 构造函数 g ? x ? ? e ? ? xf ? x ? ? ?,

这需要在学习多积累、多总结.

二、填空题 13.函数 y ? 1 ? log 2 ? x ? 1? 的定义域为__________. 【答案】 ? ?1,1

?

【解析】要使 y ? 1 ? log 2 ? x ? 1? 有意义,则 1 ? log2 ? x ? 1? ? 0 ,即 log2 ? x ? 1? ? 1,即

0 ? x ? 1 ? 2 ,即 ?1 ? x ? 1 ,即函数 y ? 1 ? log 2 ? x ? 1? 的定义域为 ? ?1,1? .
14.平行四边形 ABCD 中, AB ? ? AC ? ? DB ,则 ? ? ? ? __________. 【答案】1 【 解 析 】 在 平 行 四 边 形

??? ?

??? ?

??? ?

ABCD 中 ,

??? ? ??? ? ??? ? AB ? ? AC ? ? DB , 且 ? ? ? ?
A
,? 所 则

? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? , A C ? A ?B , A D? D B ? A B A D
? A ??

?
1?? ,

? ?

? B

?

??

? ? ?

?

?

?

B? 以

?

??

;故填 ? ? 1. 0 ? ?

15.在 ?ABC 中, AB ? 8 , BC ? 7 , AC ? 5 ,则 AB 边上的高是__________. 【答案】

5 3 2

【解析】由余弦定理,得 cosA ?

AB 2 ? AC 2 ? BC 2 64 ? 25 ? 49 1 3 ? ? , sinA ? , 2 AB ? AC 2?8? 5 2 2

则 AB 边上的高是 AC ? sinA ?

5 3 . 2

16.已知椭圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F ?3,0? ,上、下顶点分别为 A , a 2 b2

B ,直线 AF 交 ? 于另一点 M ,若直线 BM 交 x 轴于点 N ?12,0? ,则 ? 的离心率是
__________.

【答案】

1 2

【 解 析 】 由 题 意 , 得 A? 0, b ? , B ? 0, ?b ? , 则 直 线 AM 、BN 的 方 程 分 别 为

2 42 9 x y x y ? 24 3b ? ? ? 1, ? ? 1 , ? 联立两直线方程, 得M ? 则 ,? ?, 3 b 12 b 2 5 a2 2 5 5 ? ? 5
则该椭圆的离心率为 e ?

? 1, 解得 a ? 6 ,

3 1 ? . 6 2 点睛:本题的关键点在于理解 M 是两条直线和椭圆的公共点,若先联立直线与椭圆方程, 计算量较大, 而本题中采用先联立两直线方程得到点 M 的坐标, 再代入椭圆方程进行求解,
有效地避免了繁琐的计算量. 三、解答题 17 . 已知 ?an ? 是 等 差 数 列,

?bn ? 是 各 项 均 为 正 数的等 比 数 列 ,

a1 ? b1 ? 1 ,

a3b2 ? 14 , a3 ? b2 ? 5 .
(Ⅰ)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn .
【答案】 (Ⅰ) an ? 3n ? 2 , bn ? 2n?1 ;(Ⅱ) Sn ? 【解析】试题分析: (Ⅰ)设数列 ?an ? 的公差为 d , 思想进行求解; (Ⅱ)利用分组求和法进行求解. 试题解析: (Ⅰ)设数列 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ( q ? 0 ) ,则 {

3n2 ? n ? 2n ? 1 . 2

,利用方程 ?bn ? 的公比为 q ( q ? 0 )

?1 ? 2d ? q ? 14, ?1 ? 2d ? ? q ? 5,

3 d ? 3, d ?? , 解得 { 或{ , 2 (舍) q ? 2, q ? ?7,
所以 an ? 3n ? 2 , bn ? 2n?1 . ( Ⅱ )

Sn ? ? a1 ? a2 ??? an ? ? ?b1 ? b2 ??? bn ?

n ?1 ? 3n ? 2 ? 1 ? 2n 3n 2 ? n ? ? ? ? 2n ? 1 . 2 1? 2 2
18.共享单车的出现方便了人们的出行,深受我市居民的喜爱.为调查某校大学生

对共享单车的使用情况, 从该校 8000 名学生中按年级用分层抽样的方式随机抽取了

100 位同学进行调查,得到这 100 名同学每周使用共享单车的时间(单位:小时) 如表: 使用时间 人数

?0, 2?
10

? 2, 4?
40

? 4,6?
25

? 6,8?
20

?8,10?
5

(Ⅰ)已知该校大一学生由 2400 人,求抽取的 100 名学生中大一学生人数; (Ⅱ)作出这些数据的频率分布直方图; (Ⅲ)估计该校大学生每周使用共享单车的平均时间 t (同一组中的数据用该组区 间的中点值作代表) . 【答案】 (Ⅰ)30 人;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)4.4 小时.
【解析】试题分析: (Ⅰ)利用分层抽样的特点(等比例抽样)进行求解; (Ⅱ)根据频率分 布表中的数据绘制频率分布直方图; (Ⅲ)利用频率分布直方图的实际意义进行求解. 试题解析: (Ⅰ)设抽取的 100 名学生中大一学生有 x 人,则 所以抽取的 100 名学生中大一学生有 30 人. (Ⅱ)频率分布直方图如图所示.

x 100 ? ,解得 x ? 30 , 2400 8000

(Ⅲ) t ? 1? 0.050 ? 2 ? 3 ? 0.200 ? 2 ? 5 ? 0.125 ? 2 ? 7 ? 0.100 ? 2 ? 9 ? 0.025 ? 2 ? 4.4 , 所以该校大学生每周使用共享单车的平均时间大约为 4.4 小时. 19 . 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , PA ? 平 面 A B C D, AD / / BC , AD ? DC ,

AD ? DC ? PA ? 2 , BC ? 4 , E 为 PA 的中点, M 为棱 BC 上一点.

(Ⅰ)当 BM 为何值时,有 EM / / 平面 PCD ; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求点 P 到平面 DEM 的距离.
【答案】 (Ⅰ)见解析;(Ⅱ)

4 21 . 21

【解析】试题分析: (Ⅰ)取 PD 中点 F ,连接 EF , CF ,利用三角形的中位线和梯形的 底边相互平行得到线线平行, 进而得到线线平行, 再利用线面平行的判定定理进行证明; (Ⅱ) 合理转化顶点,利用等体积法进行求解. 试题解析: (Ⅰ)当 BM ? 3 时,有 EM / / 平面 PCD . 取 PD 中点 F ,连接 EF , CF , ∵ E , F 分别为 PA , PD 的中点,

1 AD ? 1 . 2 又∵梯形 ABCD 中, CM / / AD ,且 CM ? 1 , ∴ EF / / CM ,且 EF ? CM , ∴四边形 EMCF 为平行四边形, ∴ EM / / FC , 又∵ EM ? 平面 PCD , FC ? 平面 PCD ,∴ EM / / 平面 PCD , 即当 BM ? 3 时, EM / / 平面 PCD . (Ⅱ)∵ E 为 PA 的中点, ∴点 P 到平面 DEM 的距离等于点 A 到平面 DEM 的距离,设点 P 到平面 DEM 的距离为 d,
∴ EF / / AD ,且 EF ? 由已知可得, AM ? MD ? ED ? 5 , EM ? 6 , ∴ S?AMD ? 2 , S?DEM ? 由 VA? DEM ? VE ? AMD ,得 ∴d ?

21 , 2

1 1 S?DEM ? d ? S?AMD ? EA , 3 3

S?AMD ? EA 4 21 , ? S?DEM 21
4 21 . 21

所以点 P 到平面 DEM 的距离为

20.已知 ?ABC 的顶点 A ?1,0 ? ,点 B 在 x 轴上移动, AB ? AC ,且 BC 的中点在 y

轴上. (Ⅰ)求 C 点的轨迹 ? 的方程; (Ⅱ) 已知过 P ? 0, ?2? 的直线 l 交轨迹 ? 于不同两点 M , N , 求证: Q ?1, 2? 与 M ,

N 两点连线 QM , QN 的斜率之积为定值.
【答案】 (Ⅰ) y 2 ? 4 x ( y ? 0 );(Ⅱ)见解析. 【解析】试题分析: (Ⅰ)利用定义法求动点的轨迹方程; (Ⅱ)设出直线方程,联立直线与 抛物线的方程,得到关于 y 的一元二次方程,再利用根与系数的关系和斜率公式进行求解. 试题解析: (Ⅰ) 设C? , 因为 B 在 x 轴上且 BC 中点在 y 轴上, 所以 B ? ? x,0 ? , xy , ?( y ? 0 )
2 由 AB ? AC ,得 ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? y , 2 2

化简得 y ? 4 x ,所以 C 点的轨迹 ? 的方程为 y ? 4 x ( y ? 0 ) .
2 2

(Ⅱ)直线 l 的斜率显然存在且不为 0, 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 , M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , 由{

y 2 ? 4 x, y ? kx ? 2,

得 ky 2 ? 4 y ? 8 ? 0 ,

所以 y1 ? y2 ?

4 8 , y1 y2 ? ? , k k

k MQ ?

y1 ? 2 y1 ? 2 4 4 ? 2 ? ,同理 k NQ ? , x1 ? 1 y1 y1 ? 2 y2 ? 2 ?1 4

kMQ ? kNQ ?

4 4 16 ? ? ?4, y1 ? 2 y2 ? 2 y1 y2 ? 2 ? y1 ? y2 ? ? 4

所以 Q ?1, 2 ? 与 M , N 两点连线的斜率之积为定值 4.

21.已知函数 f ? x ? ? lnx ?

a ? 1 的图象与 x 轴相切. x
2

(Ⅰ)求证: f ? x ?

? x ? 1? ?
x



(Ⅱ)若 1 ? x ? b ,求证: ? b ? 1? log b x ?

x2 ?1 . 2

【答案】 (Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析. 【解析】试题分析: (Ⅰ)求导,利用导数的几何意义进行求出 a ? 1 ,再将所证不等式合理 转化,作差构造函数,利用导数研究函数的单调性和最值即可; (Ⅱ)作差构造函数,利用 导数和换元思想进行证明. 试题解析: (Ⅰ) f ' ? x ? ?

1 a ? , x x2

设 f ? x ? 的图象与 x 轴相切于点 ? x0 ,0? ,

则{

f ' ? x0 ? ? 0,

f ? x0 ? ? 0,

lnx0 ?
即{

a ? 1 ? 0, x0

1 a ? ? 0, x0 x0 2

解得 a ? x0 ? 1 ,

所以 f ? x ? ? lnx ?

1 ?1 , x

f ? x?

? x ? 1? ?
x

2

等价于 lnx ? x ? 1 .

设 h ? x ? ? lnx ? x ? 1,则 h ' ? x ? ?

1 ?1 , x

当 0 ? x ? 1 时, h ' ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递增; 当 x ? 1 时, h ' ? x ? ? 0 , h ? x ? 单调递减, 所以 h ? x ? ? h ?1? ? 0 , 即 lnx ? x ? 1 , () 所以 f ? x ?

? x ? 1? ?
x

2



?lnb ? x 2 ? b ? 1 ? x2 ?1 b ?1 (Ⅱ)设 g ? x ? ? ?b ? 1? log b x ? , g '? x? ? , ?x? 2 xlnb xlnb
由 g ' ? x ? ? 0 ,得 x0 ?

b ?1 . lnb

x ?1 ? 1; lnx 1 1 1 x ?1 x ?1 ? x. 以 代换 x 可得 ln ? ? 1 ,有 lnx ? ,即 x x x x lnx
由()式可得,当 x ? 1 时, lnx ? x ? 1 ,即 所以当 b ? 1 时,有 1 ? x0 ? b . 当 1 ? x ? x0 时, g ' ? x ? ? 0 , g ? x ? 单调递增; 当 x0 ? x ? b 时, g ' ? x ? ? 0 , g ? x ? 单调递减, 又因为 g ?1? ? g

? b ? ? 0 ,所以 g ? x? ? 0 ,
x2 ?1 . 2

即 ? b ? 1? log b x ?

点睛:利用导数研究不等式恒成立问题,往往是先合理构造函数(作差、作商、转化等) , 将不等式恒成立问题等价转化为求函数的最值问题, 再利用导数求函数的最值, 如本题中先 将 f ? x?

? x ? 1? ?
x

2

等价转化为 lnx ? x ? 1 ,再作差构造函数 h ? x ? ? lnx ? x ? 1.

22.选修 4-4:坐标系与参数方程

1 x ? 1? t 2 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 的参数方程为 { ( t 为参数) ,以坐标原点为 3 y? t 2
极点,

x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为

? 2 ?1 ? 2sin 2? ? ? 3 .
(Ⅰ)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)直线 C1 与曲线 C2 相交于 A , B 两点,点 M ?1,0? ,求 MA ? MB .
【答案】 (Ⅰ) 3x ? y ? 3 ? 0 ,

x2 2 ? y 2 ? 1 ;(Ⅱ) . 5 3

【解析】试题分析: (Ⅰ)通过消参和极坐标与普通方程的互化公式进行求解; (Ⅱ)将直线

C1 的参数方程代入 C2 的直角坐标方程整理得到关于 t 的一元二次方程,再利用参数 t 的几
何意义进行求解. 试题解析: (Ⅰ)曲线 C1 的普通方程为 3x ? y ? 3 ? 0 ,

曲线 C2 的直角坐标方程为

x2 ? y2 ? 1 . 3

(Ⅱ)将直线 C1 的参数方程代入 C2 的直角坐标方程整理得: 5t 2 ? 2t ? 4 ? 0 ,

2 t1 ? t2 ? ? , 5
由 t 的几何意义可知:

MA ? MB ? t1 ? t2 ?

2 . 5

23.选修 4-5:不等式选讲

已知函数 f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 1 , P 为不等式 f ? x ? ? 4 的解集. (Ⅰ)求 P ; (Ⅱ)证明:当 m , n ? P 时, mn ? 4 ? 2 m ? n .
【答案】 (Ⅰ) {x x 2或x ? ?2} ;(Ⅱ)见解析; 【解析】试题分析: (Ⅰ)利用绝对值的代数意义和零点分段讨论法去掉绝对值符号,得到 分段函数,再利用函数的单调性得到不等式的解集; (Ⅱ)通过平方、作差、分解因式进行 证明即可.

2 x, x ? 1, 试题解析: (Ⅰ) f ? x ? ? x ? 1 ? x ? 1 ? {2, ?1 ? x ? 1, ?2 x, x ? ?1.
由 f ? x ? 的单调性及 f ? x ? ? 4 得, x ? 2 或 x ? ?2 . 所以不等式 f ? x ? ? 4 的解集为 P ? {x x 2或x ? ?2} .
2 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 m ? 2 , n ? 2 ,所以 m ? 4 , n ? 4 ,

? mn ? 4 ?

2

? 4 ? m ? n ? ? m2 ? 4 n2 ? 4 ? 0 ,
2
2 2

?

??

?

所以 ? mn ? 4 ? ? 4 ? m ? n ? , 从而有 mn ? 4 ? 2 m ? n .


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