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上海版(第03期)-2014届高三名校数学(理)试题分省分项汇编 专题03 函数(解析版)Word版含解析


一.基础题组 1.
【上海市黄浦区 2014 届高三上学期期末考试(即一模)数学(理)试题】函数

f ( x) ?

log 2 ( x ? 1) 的定义域是 x?2



2. 【上海市长宁区 2013—2014 第一学期高三教学质量检测数学试卷(理科) 】 设 f ?x ? 是 R
上的奇函数,当 x ? 0 时, f ?x? ? 2 x 2 ? x ,则 f ?1? ? .

3. 【上海市嘉定区 2014 届高三上学期期末质量调研(一模)数学(理)试卷】函数
y ? log2 ( x ? 2) 的定义域是_____________.

4.

【虹口区 2013 学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知

y ? f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且在 [0, ? ?) 上单调递增,则满足 f (m) ? f (1) 的

实数 m 的范围是



5.

【上海市浦东新区 2013—2014 学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷(理卷) 】已

知函数 f ( x) ?

1 2x

?1 的反函数为 f ?1 ( x) ,则 f ?1 (12) ? ___________. 4x

6.【上海市黄浦区 2014 届高三上学期期末考试 (即一模) 数学 (理) 试题】 已知幂函数 f ?x ?
存在反函数,且反函数 ,则 f ?x ? 的解析式是 f ?1 ?x?过点(2,4) .

7.

【上海市杨浦区 2013—2014 学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(理科) 】

2 2 已知函数 f ( x) ? lg x ,若 f (ab) ? 1 ,则 f (a ) ? f (b ) ? _________.

【答案】2 【解析】

试题分析:已知条件为 f (ab) ? lg ab ? 1 ,待求式为

f (a 2 ) ? f (b2 ) ? lg a2 ? lg b2 ? 2lg a ? 2lg b
? 2lg(ab) ? 2 .
考点:对数的运算法则.

8. 【上海市长宁区 2013—2014 第一学期高三教学质量检测数学试卷(理科) 】已知函数
f ( x) ? x ?5 的图像关于直线 y ? x 对称,则 m ? 2x ? m

9.【上海市十三校 2013 年高三调研考数学试卷(理科) 】幂函数 y ?
1 1 (4, ) ,则 f ( ) 的值为 2 4
.

f ( x) 的图像经过点

10.【上海市普陀区 2014 届高三上学期 12 月质量调研数学(理)试题】函数
f ( x) ? log2 ( x ? 1) (1 ? x ? 2) 的反函数 f
?1

( x) ?

.

考点:反函数.

4 ? x2 11.【上海市十三校 2013 年高三调研考数学试卷(理科) 】函数 f ? x ? ? | x?2|
是___________.

的定义域

12.

【上海市十三校 2013 年高三调研考数学试卷(理科) 】函数 y ? 2x ? log2 x 的零点在 )内

区间(

(A) ( , )

1 1 4 3

(B) ( , )

1 2 3 5

(C) ( , )

2 1 5 2

(D) ( , )

1 2 2 3

13.

【上海市十三校 2013 年高三调研考数学试卷(理科) 】如图,点 P 在边长为 1 的正方形的

边上运动,M 是 CD 的中点, 则当 P 沿 A ? B ? C ? M 运动时,点 P 经过的路程 x 与 ?APM 的 面积 y 的函数 y ? f ? x ? 的图像的形状大致是下图中的( ) .

y

y

y

y

O

1

2 2.5

x

O

1

2 2.5

x

O

2 2.5

x

O

1

2 2.5

x

(A)

(B)

(C)

(D)

14. 【2013 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科(理科) 】 若函数 f ? x ?
的图像经过(0,1)点,则函数 f ? x ? 3? 的反函数的图像必经过点 .

15.

【2013 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科(理科) 】函数 )

f ? x ? ? x x ? a ? b 是奇函数的充要条件是--------------------------------------------(
(A) ab ? 0 (B) a ? b ? 0 (C) a ? b ? 0
2 2

(D) a ? b

16.

【上海市杨浦区 2013—2014 学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(理科) 】
?1

若函数 f ?x ? ? 3 x ? 2 的反函数为 f 【答案】1 【解析】

?x ? ,则 f ?1 ?1? ?



试题分析:求 f ?1 ?1? ,可以先求出 f ?1 ( x) ,再求值,当然我们可以根据反函数的定义,通 过解方程来求 f ?1 ?1? ,令 f ( x) ? 3x ? 2 ? 1 ,解得 x ? 1 ,故 f ?1 ?1? ? 1 . 考点:反函数.

17. 【上海市嘉定区 2014 届高三上学期期末质量调研(一模)数学(理)试卷】已知函
数 y ? f ( x) 存在反函数 y ? f 的值是___________.
?1

( x) ,若函数 y ? f ( x ? 1) 的图像经过点 (3 , 1) ,则 f ?1 (1)

18.

【上海市杨浦区 2013—2014 学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(理

科) 】某公司一年购买某种货物 600 吨,每次都购买 x 吨,运费为 3 万元/次,一年的总 存储费 吨. 用为 2 x 万元,若要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需购买

二.能力题组 1. 【上海市黄浦区 2014 届高三上学期期末考试 (即一模) 数学 (理) 试题】 方程 7 ? 3 ? 2
x

9x ? 2

的解是

.

【答案】 x ? 2log3 2 【解析】 试题分析:解这类方程,首先要把 3 作为整体考虑,方程可化为 2 ? 9 ? 4 ? 7 ? 3 ,即
x
x x

2 ? (3x )2 ? 7 ? 3x ? 4 ? 0 , (2 ? 3x ? 1)(3x ? 4) ? 0 ,其次要知道 3x ? 0 ,因此此方程有 3x ? 4 , x ? log3 4 ? 2log3 2 .
考点:解指数方程.

2. 【上海市嘉定区 2014 届高三上学期期末质量调研(一模)数学(理)试卷】已知函数
? ?ax ? 2 x ? 1 , x ? 0 , f ( x) ? ? 2 是偶函数, 直线 y ? t 与函数 f ( x) 的图像自左至右依次交于 ? ? x ? bx ? c , x ? 0 ?
2

四个不同点 A 、 B 、 C 、 D ,若 | AB |?| BC | ,则实数 t 的值为________.

3.

【虹口区 2013 学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】函数

f ( x) ? 2 sin ?x 与函数 g ( x) ? 3 x ? 1 的图像所有交点的橫坐标之和为



也有 8 个交点,而且关于点 (1, 0) 对称的两个交点横坐标之和为 2,16 个交点横坐标之 和就是 16,所有交点横坐标之和为 17.
考点:函数的周期性,最值,函数图象的对称性.

4.

【虹口区 2013 学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知

y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? ?
为 .

1 1 ? x ,则此函数的值域 x 4 2

5.

【2013 学年第一学期十二校联考高三数学(理)考试试卷】已知函数

f ( x) ? sin x ? tan
取值范围是

x ? x 3 ,x ? (?1,1) , 则满足不等式 f (a ? 1) ? f (2a ? 1) ? 0 的实数 a 的 2



6. 【上海市长宁区 2013—2014 第一学期高三教学质量检测数学试卷(理科) 】函数
.. y ? 1 ? 2 x ? 4 x a 在 x ? (??,1] 上 y ? 0 恒成立,则 a 的取值范围是 __________
【答案】 (? 【解析】

3 ,?? ) 4

7.

【上海市普陀区 2014 届高三上学期 12 月质量调研数学(理)试题】已知函数

?2 x ? a , x ? 0 ,若方程 f ( x) ? x ? 0 有且仅有两个解,则实数 a 的取值范围 f ( x) ? ? ? f ( x ? 1), x ? 0
是 .

考点:方程的解与函数图象的交点.

8.

【2013 学年第一学期十二校联考高三数学(理)考试试卷】已知函数 f ( x) 有反函数

f ?1 ( x) ,且 f ( x) ? 4 x ? 2 x?1 , x ? ?0,???, 则 f ?1 (0) ?



9.

【2013 学年第一学期十二校联考高三数学(理)考试试卷】 (理)函数 f ( x) 的

定义域为 A ,若 x1 , x2 ? A 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时总有 x1 ? x 2 ,则称 f ( x) 为单函 数,例如,函数 f ( x) ? 2 x ? 1( x ? R) 是单函数.下列命题: ①函数 f ( x) ? x 2 ( x ? R) 是单函数; ②指数函数 f ( x) ? 2 x ( x ? R) 是单函数; ③若 f ( x) 为单函数, x1 , x2 ? A 且 x1 ? x 2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数; ⑤若 f ( x) 为单函数,则函数 f ( x) 在定义域上具有单调性. 其中的真命题是________.(写出所有真命题的编号)

10. 【2013 学年第一学期十二校联考高三数学(理)考试试卷】某同学为了研究函数
f ( x) ? 1 ? x 2 ? 1 ? (1 ? x) 2 (0 ? x ? 1) 的性质,构造了如图所示的两个边长为1 的
正方形 ABCD 和 BEFC ,点 P 是边 BC 上的一个动点,设 CP ? x ,则

f ( x) ? AP ? PF .那么可推知方程 f ( x) ?
是????????????( (A) 0 .
D C P F

22 解的个数 2

) (C) 2 . (D) 4 .

(B) 1 .

A

B

E

11.

【上海市十三校 2013 年高三调研考数学试卷(理科) 】函数 g ( x) ? x ? R ? 的图像如图

所示,关于 x 的方程 [g ( x)]2 ? m ? g ( x) ? 2m ? 3 ? 0 有三个不同的实数解,则 m 的取值范围 是_______________.

12.

【上海市杨浦区 2013—2014 学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(理科) 】
x

已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? 1(a ? 0) ,定义函数 F ( x) ? ?

? f ( x), x ? 0, 给出下列命题: ?? f ( x), x ? 0.

① F ( x) ? f ( x) ; ②函数 F ( x) 是奇函数;③当 a ? 0 时,若 mn ? 0 , m ? n ? 0 ,总 有 F (m) ? F (n) ? 0 成立,其中所有正确命题的序号是 .

13. 【虹口区 2013 学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】给出
以下四个命题:

(1)对于任意的 a ? 0 , b ? 0 ,则有 a lg b ? b lg a 成立; (2)直线 y ? x ? tan? ? b 的倾斜角等于 ? ; (3)在空间 如果两条直线与同一条直线垂直,那么这两条直线平行; .. (4)在平面 将单位向量的起点移到同一个点,终点的轨迹是一个半径为 1 的圆. .. 其中真命题的序号是 .

14.

【上海市浦东新区 2013—2014 学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷(理卷) 】 )

方程 log5 x = sin x 的解的个数为( (A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 5

考点:方程的解与函数图象的交点.

15.

【虹口区 2013 学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】函数

?1 x为有理数 f ( x) ? ? ,下列结论不正确 的( ... ?? x为无理数
A. 此函数为偶函数.
C. 此函数既有最大值也有最小值.



B. 此函数是周期函数.
D. 方程 f [ f ( x)] ? 1 的解为 x ? 1 .

x 16. 【上海市长宁区 2013—2014 第一学期高三教学质量检测数学试卷 (理科) 】 函数 y ? 2

的定义域为 [ a, b] ,值域为 [1,16] , a 变动时,方程 b ? g (a) 表示的图形可以是 ( )

A. 【答案】B

B.

C.

D.

【解析】

17.

【上海市黄浦区 2014 届高三上学期期末考试(即一模)数学(理)试题】我国西部

某省 4A 级风景区内住着一个少数民族村,该村投资了 800 万元修复和加强民俗文化基础设 施,据调查,修复好村民俗文化基础设施后,任何一个月内(每月按 30 天计算)每天的旅
8 游人数 f ?x ? 与第 x 天近似地满足 f ?x ? ? 8 ? (千人) , 且参观民俗文化村的游客人均消费 g ? x ? x

近似地满足 g ?x ? ? 143? x ? 22 (元) . (1)求该村的第 x 天的旅游收入 p ? x ? (单位千元,1≤x≤30, x ? N ? )的函数关系; (2)若以最低日收入的 20%作为每一天的计量依据,并以纯收入的 5%的税率收回投资成 本,试问该村在两年内能否收回全部投资成本?

试题解析:(1)依据题意,有

8 p ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? (8 ? ) ? (143? | x ? 22 |)(1 ? x ? 30, x ? N * ) x

968 ? 8x ? ? 976, (1 ? x ? 22, x ? N * ) ? ? x =? ??8 x ? 1320 ? 1312.(22 ? x ? 30, x ? N * ) ? x ?

18.

【上海市浦东新区 2013—2014 学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷(理卷) 】

噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明,声音强度 D (分贝) 由公式 D ? a lg I ? b ( a、 b 为非零常数)给出,其中 I (W / cm ) 为声音能量.
2

(1)当声音强度 D1 , D2 , D3 满足 D1 ? 2D2 ? 3D3 时,求对应的声音能量 I1 , I 2 , I 3 满足的 等量关系式; (2)当人们低声说话,声音能量为 10 话,声音能量为 10
?12 ?13

W / cm2 时,声音强度为 30 分贝;当人们正常说

W / cm2 时,声音强度为 40 分贝.当声音能量大于 60 分贝时属于噪音,

一般人在 100 分贝~120 分贝的空间内,一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时, 人会暂时性失聪.

【答案】(1) ? I1 ? I 2 ? I 3 ;(2) I ? (10?6 ,10?4 ) .
2 3

【解析】 试题分析:这是应用题,高考常考题型,解决这类问题关键是读懂题意,即根据题目提供的 信息,找到需要的等量关系,列出相应的函数式(方程,不等式等等),然后借助函数的知识 (或方程, 不等式知识(解决问题. 本题中(1)就是根据已知? D1 ? 2D2 ? 3D3 , 把 D1 , D 2 ,D 3 用 I1 , I 2 , I3 代入进去,化简就可得所求结论;(2)在公式 D ? a lg I ? b 中有两个参数 a , b ,这 是我们首先要求出的,还好题中有两个已知,我们只要列出相应的方程组,就能解出 a , b , 而最终要求的范围就是解不等式 100 ? a lg I ? b ? 120 . 试题解析: (1)? D1 ? 2D2 ? 3D3

? a lg I1 ? b ? 2(a lg I 2 ? b) ? 3(a lg I 3 ? b) ? lg I1 ? 2 lg I 2 ? 3 lg I 3

? I1 ? I 2 ? I 3
(2)由题意得 ?

2

3

?? 13a ? b ? 30 ?? 12a ? b ? 40 ?a ? 10 ? ?b ? 160

? 100 ? 10lg I ? 160 ? 120
10?6 ? I ? 10?4
答:当声音能量 I ? (10 ,10 ) 时,人会暂时性失聪. 考点:应用题.
?6 ?4

19. 【2013 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科(理科) 】某种海洋生物
身体的长度 f ? t ? (单位: 米) 与生长年限 (单位: t 年) 满足如下的函数关系:f ? t ? ? (设该生物出生时 t=0) (1)需经过多少时间,该生物的身长超过 8 米; (2)设出生后第 t 0 年,该生物长得最快,求 t0 ?t0 ? N *? 的值.

10 . 1 ? 2?t ? 4

【答案】 (1)6 年; (2)4 或 5. 【解析】 试题分析: (1)求需经过多少时间,该生物的身长超过 8 米,实质就是解不等式

f (t ) ?

10 ? 8 ,不等式解集中的最小值就是本题结论; (2)首先要搞懂什么是“长得 1 ? 2? t ? 4

最快” , “长得最快”就是说明这一年该生物身体增长的长度最大,因此实质就是求

f (t ) ? f (t ? 1) 的最大值,即 f (t0 ) ? f (t0 ?1) 就是这个最大值,下面我们只要求出

f (t0 ) ? f (t0 ?1) ,分析它的最大值是在 t 0 为何值时取得, f (t0 ) ? f (t0 ? 1) ?

10 ? 1 ? 2?t0 ? 4

10 10 ? 2?t0 ? 4 ?t ? 4 ,此式较繁,因此我们用换元法,设 u ? 2 0 ,由有 ? 1 ? 2?t0 ?5 (1 ? 2?t0 ? 4 )(1 ? 2?t0 ?5 )

f (t0 ) ? f (t0 ?1) ?
g (u ) ? u u ? 2 ,它的最大值求法一般是分子分母同时除以 u ,然后 (1 ? u )(1 ? 2u ) 2u ? 3u ? 1

用基本不等式及不等式的性质得到结论.

三.拔高题组 1. 【上海市长宁区 2013—2014 第一学期高三教学质量检测数学试卷(理科) 】已知

1 ? ? 2 ?x ? ? 的展开式中的常数项为 T , f ( x) 是以 T 为周期的偶函数,且当 x ? [0,1] 时, 5 x3 ? ?

5

f ( x) ? x ,若在区间 [?1,3] 内,函数 g ( x) ? f ( x) ? kx ? k 有 4 个零点,则实数 k 的取值范
围是 .

【答案】 (0, ] 【解析】

1 4

1 ? ? 2 试题分析:首先应该 T 求出, ? x ? ? 展开式的通项是 5 x3 ? ?

5

T ? C5k ( x 2 )5?k (?

1 k 1 ) ? (? ) k C5k x10?5k , 3 5x 5

2.

【上海市浦东新区 2013—2014 学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷(理卷) 】已
* *
*

知函数 y ? f ( x), x ? N , y ? N ,对任意 n ? N 都有 f [ f (n)] ? 3n ,且 f ( x ) 是增函数, 则 f (3) ?

3. 【上海市普陀区 2014 届高三上学期 12 月质量调研数学(理)试题】如图所示,一种医
用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时,滴管内匀速滴下球状液体,其中球状液 体的半径 r ? 3 10 毫米,滴管内液体忽略不计. (1)如果瓶内的药液恰好 156 分钟滴完,问每分钟应滴下多少滴? (2)在条件(1)下,设输液开始后 x (单位:分钟) ,瓶内液面与进气管的距离为 h (单位:
3 mm3 ) 厘米) ,已知当 x ? 0 时, h ? 13 .试将 h 表示为 x 的函数.(注 1cm ? 1000

试题解析: (1)设每分钟滴下 k ( k ? N )滴,??????1 分
*

则瓶内液体的体积 V1 ? ? ? 4 2 ? 9 ? ? ? 2 2 ? 3 ? 156 ? cm ??????3 分
3

4 40 k k? k 滴球状液体的体积 V2 ? k ? ? ? ? 10 ? mm 3 ? cm3 ??????5 分 3 3 75 k? ? 156 ,解得 k ? 75 ,故每分钟应滴下 75 滴。??????6 分 所以 156? ? 75
(2)由(1)知,每分钟滴下 ? cm 药液??????7 分
3

x ,此时 0 ? x ? 144 ???10 分 16 x 当 1 ? h ? 4 时, 即 h ? 40 ? , 此时 144 ? x ? 156 ??? x? ? ? ? 4 2 ? 9 ? ? ? 2 2 ? (4 ? h) , 4
2 当 4 ? h ? 13 时, x? ? ? ? 4 ? (13 ? h) ,即 h ? 13 ?

13 分

x ? 13 ? , 0 ? x ? 144 ? ? 16 综上可得 h( x ) ? ? ??????14 分 ?40 ? x , 144 ? x ? 156 ? 4 ?
考点: (1)圆柱的体积,球的体积; (2)分段函数的解析式.

4.

【2013 学年第一学期十二校联考高三数学(理)考试试卷】某企业生产某种商品 x 吨,

2 此时所需生产费用为( x ? 100x ? 10000)万元,当出售这种商品时,每吨价格为 p 万元,

这里 p ? ax ? b ( a , b 为常数, x ? 0 )

(1)为了使这种商品的生产费用平均每吨最低,那么这种商品的产量应为多少吨? (2)如果生产出来的商品能全部卖完,当产量是 120 吨时企业利润最大,此时出售价 格是每吨 160 万元,求 a , b 的值.

试题解析: (1)设生产平均费用为 y 元, (1 分) 由题意可知 y=

x 2 ? 100x ? 10000 10000 ? x? ? 100 ? 100 ;(5 分) x x

当且仅当 x ? 100 时等号成立, (6 分) 所以这种商品的产量应为 100 吨. (7 分) (2)设企业的利润为 S 元,有题意可知(7 分)

S ? (ax ? b) x ? x 2 ? 100x ? 10000
= (a ? 1) x ? (b ? 100) x ? 10000 (3 分)
2

x?

? b ? 100 ? 120 2a ? 2

又由题意可知 120 a ? b ? 160 (5 分)

?b ? 240a ? 140 (6 分) ?? ?120a ? b ? 160
1 ? ?a ? ? ?? 6 ? ?b ? 180
考点:函数的应用.

(7 分)

5. 【上海市十三校 2013 年高三调研考数学试卷 (理科) 】 已知函数 f ? x ? ? log2 ? x ? a ? .

(1)若 0 ? f ?1 ? 2 x ? ? f ? x ? ?

1 ,当 a ? 1 时,求 x 的取值范围; 2

(2)若定义在 R 上奇函数 g ( x) 满足 g ? x ? 2? ? ? g ? x ? ,且当 0 ? x ? 1 时, g ( x) ? f ( x) , 求 g ? x ? 在 ? ?3, ?1? 上的反函数 h ? x ? ; (3)对于(2)中的 g ? x ? ,若关于 x 的不等式 g ( 实数 t 的取值范围.

t ? 2x ) ? 1 ? log 2 3 在 R 上恒成立,求 8 ? 2 x ?3

上是增函数,在 [1,3] 上是减函数,又 1 ? log 2 3 ? g (? ) ? g ( ) ,而

1 2

5 2

1 t ? 2x t ?1 1 u? ? ? 可无限趋近于 ? ,因此 x ? R 时,题中不等式恒成立,就等价 x ?3 x ?3 8 8? 2 8? 2 8
于? 可.

1 5 ? u ? ,现在我们只要求出 u 的范围,而要求 u 的范围,只要按 t ? 1 的正负分类即 2 2

①当 t ? ?1 时, u ? (? , ) ,因为 g ? u ? ? g ( ) ,所以

1 t 8 8

5 2

t 5 ? ,即 ?1 ? t ? 20 ; 8 2

②当 t ? ?1 时, u ? ? ,满足题意; ③当 t ? ?1 时, u ? ( , ? ) ,因为 g ? u ? ? g (? ) ,所以 综上,实数 t 的取值范围为 ? ?4,20?

1 8

t 8

1 8

1 2

t 1 ? ? ,即 ?4 ? t ? ?1 8 2

??????3 分

考点:(1)对数不等式; (2)分段函数的反函数; (3)不等式恒成立问题.

6.

【2013 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科(理科) 】已知函数

f ? x ? ? x ?1 , g ? x ? ? ? x2 ? 6 x ? 5 .
(1)若 g ? x ? ? f ? x ? ,求实数 x 的取值范围; (2)求 g ? x ? ? f ? x ? 的最大值.

试题解析: (1)当

时,

---------------------------------------1 分



,得



整理得

,所以

;------------------------------3 分



时,

,--------------------------------------------4 分



,得



整理得

,由



---------------6 分

综上 的取值范围是

;----------------------------------7 分

(2)由(1)知,

的最大值必在

上取到,--------------9 分

所以

所以当

时,

取到最大值为

.------------------14 分

考点: (1)解不等式; (2)函数的最大值.

7.【上海市长宁区 2013—2014 第一学期高三教学质量检测数学试卷(理科) 】上海某化学
试剂厂以 x 千克/小时的速度生产某种产品(生产条件要求 1 ? x ? 10 ) ,为了保证产品的 质量,需要一边生产一边运输,这样按照目前的市场价格,每小时可获得利润是

3 100(5 x ? 1 ? ) 元. x
(1)要使生产运输该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元,求 x 的取值范围; (2)要使生产运输 900 千克该产品获得的利润最大,问:该工厂应该选取何种生产速度?并 求最大利润.

试题解析:(1)根据题意, 200(5 x ? 1 ? ) ? 3000 ? 5 x ? 14 ? 又 1 ? x ? 10 ,可解得 3 ? x ? 10

3 x

3 ? 0 ???4分 x

????6分

因此,所求 x 的取值范围是 [3,10] (2)设利润为 y 元,则 y ? 故 x ? 6 时, y
max

????7分

900 3 1 1 61 ?100(5 x ? 1 ? ) ? 9 ?104 [?3( ? ) 2 ? ] ????11分 x x x 6 12
????13分

? 457500 元.

因此该工厂应该以每小时 6 千克的速度生产才能获得最大利润,最大利润为 457500 元. ????14 分 考点: (1)列解不等式; (2)函数的最值.

8.

【上海市黄浦区 2014 届高三上学期期末考试(即一模)数学(理)试题】已知函数
f ?x ? ? ax2 ? bx ? c (其中 a, b, c, d 是实数常数, x ? ?d ) x?d

(1)若 a ? 0 ,函数 f ?x ? 的图像关于点(—1,3)成中心对称,求 b, d 的值; (2)若函数 f ?x ? 满足条件 (1) , 且对任意 x0 ? ?3,10? , 总有 f ?x0 ? ? ?3,10? , 求 c 的取值范围;
3 (3)若 b=0,函数 f ?x ? 是奇函数, f ?1? ? 0 , f ?? 2? ? ? ,且对任意 x ? ?1,??? 时,不等式 2
f ?mx? ? mf ?x ? ? 0 恒成立,求负实数 m 的取值范围.

下面我们只要求出 ? 试题解析:(1)

1 2 x2 ?1

的最小值即可.

a ? 0,

? f ( x) ?

bx ? c c ? bd ?b? . x?d x?d k 类比函数 y ? 的图像,可知函数 f ( x ) 的图像的对称中心是 (?d , b) . x
又函数 f ( x ) 的图像的对称中心是 (?1,3) ,

?b ? 3, ?? ?d ? 1.

考察函数 y ? ?

1 2x2 ?1

( x ? 1) ,可知该函数在 [1, ??) 是增函数,故 ymin ? y(1) ? ?1.

所以,所求负实数 m 的取值范围是 m ? ?1 . 考点: (1)图象变换; (2)函数的最值; (3)分式不等式与分离参数法求参数取值范围.

9. 【上海市嘉定区 2014 届高三上学期期末质量调研(一模)数学(理)试卷】已知函数
f ( x) ? x ? m ? 2 ( m 为实常数) . x

(1) 若函数 y ? f ( x) 图像上动点 P 到定点 Q(0 , 2) 的距离的最小值为 2 , 求实数 m 的值; (2) 若函数 y ? f ( x) 在区间 [2 , ? ?) 上是增函数, 试用函数单调性的定义求实数 m 的 取值范围; (3)设 m ? 0 ,若不等式 f ( x) ? kx 在 x ? ?

?1 ? , 1? 有解,求 k 的取值范围. ?2 ?

试题解析: (1)设 P( x , y ) ,则 y ? x ?

m ? 2, x
????????????????(1 分)

m? ? | PQ | ? x ? ( y ? 2) ? x ? ? x ? ? x? ?
2 2 2 2

2

? 2x 2 ?

m2 ? 2m ? 2 2 | m | ?2m ? 2 , ??????????????(1 分) x2

当 m ? 0 时,解得 m ? 所以, m ?

2 ? 1 ;当 m ? 0 时,解得 m ? ? 2 ? 1. ????(1 分)
????????????????(1 分)

2 ? 1 或 m ? ? 2 ? 1.

(只得到一个解,本小题得 3 分)

10.

【上海市杨浦区 2013—2014 学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷(理科) 】

已知向量 m ? x 2 , 1 ,n ? ?a , 1? 2ax ? , 其中 a ? 0 .函数 g ?x? ? m ? n 在区间 x ? ?2 , 3? 上有最大值为 4,设 f ? x ? ? (1)求实数 a 的值; (2)若不等式 f 3

?

?

g ?x ? . x

? ? ? k3
x

x

? 0 在 x ? ?? 1 , 1?上恒成立,求实数 k 的取值范围.

11.

【2013 学年第一学期十二校联考高三数学(理)考试试卷】已知函数

f ( x) ? x x ? a ? b, x ? R .
(1)当 a ? 1, b ? 0 时,判断 f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)当 a ? 1, b ? 1时,若 f ( 2 ) ?
x

5 ,求 x 的值; 4

(3)若 b ? 0 ,且对任何 x ? ?0,1? 不等式 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

【解析】

12. 【上海市长宁区 2013—2014 第一学期高三教学质量检测数学试卷(理科) 】
2 数 F ( x) ? kx 2 ? 2 4 ? 2m ? m2 x , G ( x ) ? ? 1 ? ( x ? k ) (m, k ? R )

已知函

(1) 若 m, k 是常数,问当 m, k 满足什么条件时,函数 F ( x) 有最大值,并求出 F ( x) 取最 大值时 x 的值; (2) 是否存在实数对 (m, k ) 同时满足条件: (甲)F ( x) 取最大值时 x 的值与 G ( x) 取最小 值的 x 值相同, (乙) k ? Z ? (3 把满足条件(甲)的实数对 (m, k ) 的集合记作 A,设

B ? (m, k ) k 2 ? (m ? 1) 2 ? r 2 , r ? 0 ,求使 A ? B 的 r 的取值范围.

?

?

所以存在实数对 (3,?1), (?1,?1) 满足条件。

????10分

13.

【虹口区 2013 学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】设函数

f n ( x) ? ?2 n ?

2 22 2n ? 2 ??? n . x x x

(1)求函数 f 2 ( x) 在 [1,

2] 上的值域;
?

(2)证明对于每一个 n ? N ,在 [1, 2] 上存在唯一的 xn ,使得 f n ( xn ) ? 0 ; (3)求 f1 (a) ? f 2 (a) ? ? ? f n (a) 的值.

f1 (a) ? f 2 (a) ? ? ? f n (a) 时,只要用分组求和即可,在 a ? 2, a ? 0 时,
f m (a) ? ?2 m ? 2 22 2m ? 2 ? ? ? m 中除第一项外是一个公比不为 1 的等比数列的和,因此 a a a

2 2 [1 ? ( ) m ] a 先求出 f m (a) ? ?2m ? a 2 1? a 2 2 2 ? ?2m ? ? ? ( ) m ,同样在求 f1 (a) ? f 2 (a) ? ? ? f n (a) 时用分组求和的方法可 a?2 a?2 a
求得结论.

14.

【上海市浦东新区 2013—2014 学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷(理卷) 】

已知实数 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

1 ? x2 1 ? x2 . ? a 1 ? x2 1 ? x2

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的最小值; (2)当 a ? 1 时,判断 f ( x ) 的单调性,并说明理由; (3)求实数 a 的范围,使得对于区间 ? ? 以 f (r )、f ( s)、f (t ) 为边长的三角形.

? 2 5 2 5? , ? 上的任意三个实数 r、s、t ,都存在 5 5 ? ?

试题解析:易知 f ( x ) 的定义域为 (?1,1) ,且 f ( x ) 为偶函数. (1) a ? 1 时, f ? x ? ?

1 ? x2 1 ? x2 2 ?????????2 分 ? ? 2 2 1? x 1? x 1 ? x4
1 ? x2 1 ? x2 最小值为 2. ? 1 ? x2 1 ? x2
?????????4 分

x ? 0 时 f ? x? ?

a 1 在 [ ,1] 上单调递减, t 3 1 ? ymin ? a ? 1, ymax ? 3a ? , 3 5 5 由 2 ymin ? ymax 得 a ? ,从而 1 ? a ? ;?????????????????15 分 3 3 1 5 ? a ? . ?????????????????????????16 分 综上, 15 3
④当 a ? 1 时, y ? t ? 考点: (1)函数的最值; (2)函数的单调性的证明; (3)分类讨论与函数的最值.

15. 【上海市普陀区 2014 届高三上学期 12 月质量调研数学(理)试题】定义在 ? 0, ?? ? 上
* 的函数 f ? x ? ,如果对任意 x ? ? 0, ?? ? ,恒有 f ? kx ? ? kf ? x ? ( k ? 2 , k ? N )成立,

则称 f ? x ? 为 k 阶缩放函数. (1)已知函数 f ? x ? 为二阶缩放函数,且当 x ? ?1, 2? 时, f ? x ? ? 1 ? log 1 x ,求 f 2 2
2

?

?

的值; (2)已知函数 f ? x ? 为二阶缩放函数,且当 x ? ?1, 2? 时, f ? x ? ?

2 x ? x 2 ,求证:函数

y ? f ? x ? ? x 在 ?1, ?? ? 上无零点;
(3)已知函数 f ? x ? 为 k 阶缩放函数,且当 x ? ?1, k ? 时, f ? x ? 的取值范围是 ?0,1? ,求

f ? x ? 在 ? 0, k n ?1 ? ? ( n ? N )上的取值范围.

[来

条件可得当 x ? (k i , k i ?1 ] , i ? Z 时 f ( x ) 的值域为 (0, k i ] ,再由

(0, k n?1 ] ? (k n , k n?1 ] (k n?1, k n ]

(k 0 , k ] (k ?1 , k 0 ]

,从而所求 f ( x ) 值域为

[0, k n ) ? [0, k n?1 ) ? ? ? [0, k 0 ) ? [0, k ?1 ) ? ? ? [0, k n ) .


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