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2009年广州高三数学一模理科数学试题与答案


2009 年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数 学(理 科)
2009.3

本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分。 考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号,用黑色字迹钢笔或签字笔将自己 的市、县/区、学校,以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡。用 2B 铅笔将试卷 类型(A)填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要 求作答的答案无效。2013 年 1 月 1 日星期二 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多 涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式: 锥体的体积公式 V ?

1 Sh , 其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

如果事件 A 、 B 互斥,那么 P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ? . 如果事件 A 、 B 相互独立,那么 P? AB? ? P? A? ? P?B? . 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.函数 f ?x? ? sin x 的最小正周期为
2

A. ?

B. 2?

C. 3?

D. 4?

2.已知 z ? i(1 ? i)(i为虚数单位) ,则复数 z 在复平面上所对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3.某商场在国庆黄金周的促销活动中,对 10 月 2 号 9 时至 14 时 的销售额进行统计,其频率分布直方图如图 1 所示.已知 9 时 至 10 时的销售额为 2.5 万元,则 11 时至 12 时的销售额为 A. 6 万元 C. 10 万元 B. 8 万元 D. 12 万元
1

4.已知过 A?? 1, a ? 、 B?a, 8? 两点的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行, 则 a 的值为 A. ? 10 C. 5

B. 17 D. 2

5.阅读图2的程序框图(框图中的赋值符号“=”也可以写成“ ?”或“:=”), 若输出的 S 的值等于 16 ,那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是 A. i ? 5 ? C. i ? 7 ? B. i ? 6 ? D. i ? 8 ?

2 6.已知 p :关于 x 的不等式 x ? 2ax ? a ? 0 的解集是 R,

q : ? 1 ? a ? 0 ,则 p 是 q 的
A.充分非必要条件 C.充分必要条件
n

B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

7.在 ?1 ? x? ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? a3 x 3 ? ? ? ? ? an x n 中,若 2a2 ? an?5 ? 0 ,则自然数 n 的值是 A.7 B.8 C.9 D.10

8.在区间 ?0, 1? 上任意取两个实数 a, b ,则函数 f ? x ? ? 一个零点的概率为 A.

1 3 x ? ax ? b 在区间 ?? 1, 1?上有且仅 2
7 8

1 8

B.

1 4

C.

3 4

D.

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9~12 题) 9. 若 log2 ?a ? 2? ? 2 ,则 3 ?
a

. .

10.若

?

a

0

x d x =1, 则实数 a 的值是

11.一个几何体的三视图及其尺寸(单位:cm)如图 3 所示, 则该几何体的侧面积为 cm .
2

* 12.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,对任意 n ?N 都有 S n ?

2 1 an ? , 3 3
.

且1 ? Sk ? 9 ( k ? N ) ,则 a1 的值为
*

, k 的值为
2

(二)选做题(13~15 题,考生只能从中选做两题) 13. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线 ? sin ?? ? __ .

? ?

??

? ? 2 被圆 ? ? 4 截得的弦长为 4?

14.(几何证明选讲选做题)已知 PA 是圆 O ( O 为圆心)的切线,切点为 A , PO 交圆 O 于 B, C 两点, AC ? 3, ?PAB ? 30? ,则线段 PB 的长为 .

15. (不等式选讲选做题)已知 a, b, c ? R,且 a ? b ? c ? 2, a 2 ? 2b 2 ? 3c 2 ? 4 ,则实数 a 的取值 范围为_____________.

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分) 已知△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a ? 2, cos B ? (1)若 b ? 4 , 求 sin A 的值; (2) 若△ ABC 的面积 S ?ABC ? 4, 求 b, c 的值.

3 . 5

17.(本小题满分14分) 甲、乙两名同学参加一项射击游戏,两人约定,其中任何一人每射击一次,击中目标得2分,未 击中目标得0分. 若甲、乙两名同学射击的命中率分别为 分数之和为2的概率为 (1)求 p 的值; (2)记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

3 和 p , 且甲、乙两人各射击一次所得 5

9 .假设甲、乙两人射击互不影响. 20

18. (本小题满分14分) 如图 4, 在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , AB ? AC ,

D, E, F 分别是棱 PA, PB, PC 的中点,连接 DE, DF , EF .
(1) 求证: 平面 DEF // 平面 ABC ; (2) 若 PA ? BC ? 2 , 当三棱锥 P ? ABC 的体积最大时, 求二面角 A ? EF ? D 的平面角的余弦值. 图4

3

19.(本小题满分12分) 某车间有50名工人,要完成150件产品的生产任务,每件产品由3个 A 型零件和1个 B 型零件配 套组成.每个工人每小时能加工5个 A 型零件或者3个 B 型零件,现在把这些工人分成两组同时 工作(分组后人数不再进行调整),每组加工同一种型号的零件.设加工 A 型零件的工人人数为

x 名( x ?N * ).
(1)设完成 A 型零件加工所需时间为 f ?x ? 小时,写出 f ?x ? 的解析式; (2)为了在最短时间内完成全部生产任务, x 应取何值?

20. (本小题满分 14 分) 已知动圆 C 过点 A?? 2, 0? ,且与圆 M : ?x ? 2? ? y 2 ? 64 相内切.
2

(1)求动圆 C 的圆心的轨迹方程; (2)设直线 l : y ? kx ? m (其中 k , m ? Z ) 与(1)中所求轨迹交于不同两点 B ,D,与双曲线

???? ??? ? x2 y2 ? ? 1 交于不同两点 E , F ,问是否存在直线 l ,使得向量 DF ? BE ? 0 ,若存在,指 4 12
出这样的直线有多少条?若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 的相邻两项 a n , a n ?1 是关于 x 的方程 x 2 ? 2 n x ? bn ? 0 (n ? N * ) 的两根,且

a1 ? 1 .
(1) 求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2) 设 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和, 问是否存在常数 ? ,使得 bn ? ?S n ? 0 对任意 n ?N 都成立,
*

若存在, 求出 ? 的取值范围; 若不存在, 请说明理由.

4

2009 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学(理科)试题参考答案及评分标准
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法 供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分 标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变 该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不得超过该部分正 确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 D 5 A 6 C 7 B 8 D

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其 中 13~15 是选做题,考生只能选做两题. 第 12 题第一个空 2 分,第二个空 3 分. 9. 9 14.1 10. 2 15. ? , 2? 11 11. 80 12.-1;4 13. 4 3

?2 ?

? ?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查正弦定理、 余弦定理、 同角三角函数的基本关系等基础知识, 考查运算求解能力) 解: (1)∵ cos B ?

3 ? 0, 且0 ? B ? ? , 5 4 2 ∴ sin B ? 1 ? cos B ? . 5 a b ? 由正弦定理得 . sin A sin B 4 2? a sin B 5 ?2. ∴ sin A ? ? b 4 5 1 (2)∵ S ?ABC ? ac sin B ? 4, 2 1 4 ∴ ? 2? c ? ? 4. 2 5 ∴ c ? 5.
由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B ,
2 2 2

5

∴b ?

a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 2 2 ? 5 2 ? 2 ? 2 ? 5 ?

3 ? 17 . 5

17. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查概率、随机变量的分布列及其数学期望等基础知识,考查运算求解能力) 解: (1)记“甲射击一次,击中目标”为事件 A , “乙射击一次,击中目标”为事件 B , “甲射击一次, 未击中目标”为事件 A , “乙射击一次,未击中目标”为事件 B , 则 P ? A? ? 依题意得 解得 p ?

3 2 , P A ? , P?B? ? p, P B ? 1 ? p . 5 5

??

??

3 ?1 ? p ? ? ?1 ? 3 ? p ? 9 , ? ? 5 20 ? 5?
3 . 4 3 . 4

故 p 的值为

(2) ? 的取值分别为 0,2,4, .

P?? ? 0? ? P AB ? P A ? P B ? P ?? ? 2 ? ? 9 , 20

? ? ?? ??

2 1 1 ? ? , 5 4 10

P?? ? 4? ? P? AB ? ? P? A? ? P?B ? ?

3 3 9 ? ? , 5 4 20

? ? 的分布列为

?
p

0

2

4

1 10

9 20

9 20

? E ? ? 0?

1 9 9 27 ? 2? ? 4? ? . 10 20 20 10

18. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间中线面的位置关系、 空间的角、 几何体体积等基础知识, 考查空间想象能力、 推理论证能力和运算求解能力) P (1) 证明: ∵ D, E 分别是棱 PA, PB 的中点, ∴ DE 是△ PAB 的中位线. ∴ DE // AB . ∵ DE ? 平面 ABC, AB ? 平面 ABC,
6

D E A

F

C

B

∴ DE // 平面 ABC . 同理可证 DF // 平面 ABC . ∵ DE ? DF ? D, DE ? 平面 DEF , DF ? 平面 DEF , ∴平面 DEF // 平面 ABC . (2) 求三棱锥 P ? ABC 的体积的最大值, 给出如下两种解法: 解法 1: 由已知 PA ? 平面 ABC , AC ? AB , PA ? BC ? 2 ∴ AB ? AC ? BC ? 4 .
2 2 2

∴三棱锥 P ? ABC 的体积为 V ?

1 ? PA ? S ?ABC 3 1 1 ? ? PA ? ? AB ? AC 3 2 1 ? ? 2 ? AB ? AC 6

1 AB2 ? AC 2 ? ? 3 2 1 BC 2 ? ? 3 2
? 2 . 3 2 , 此时 AB ? AC ? 2 . 3

当且仅当 AB ? AC 时等号成立, V 取得最大值,其值为

解法 2:设 AB ? x ,在 Rt△ ABC 中, AC ?

BC2 ? AB2 ? 4 ? x 2 ?0 ? x ? 2? .

∴三棱锥 P ? ABC 的体积为 V ?

1 ? PA ? S ?ABC 3 1 1 ? ? PA ? ? AB ? AC 3 2 1 ? x 4 ? x2 3 1 ? 4x 2 ? x 4 3 2 1 ? ? x2 ? 2 ? 4 . 3

?

?

∵ 0 ? x ? 2,0 ? x ? 4 ,
2

7

∴ 当 x ? 2 ,即 x ?
2

2 2 时, V 取得最大值,其值为 ,此时 AB ? AC ? 2 . 3

求二面角 A ? EF ? D 的平面角的余弦值, 给出如下两种解法: 解法 1:作 DG ? EF ,垂足为 G , 连接 AG .

PA ? 平面 ABC ,平面 ABC // 平面 DEF , PA ? 平面 DEF . EF ? 平面 DEF , PA ? EF . DG ? PA ? D , ∴ EF ? 平面 PAG . ∵ AG ? 平面 PAG , ∴ EF ? AG . ∴ ?AGD 是二面角 A ? EF ? D 的平面角.
∵ ∴ ∵ ∴ ∵ 在 Rt△ EDF 中, DE ? DF ? ∴ DG ?

1 2 1 AB ? , EF ? BC ? 1, 2 2 2

P

1 . 2

D

F G

在 Rt△ ADG 中, AG ?

AD2 ? DG 2 ? 1 ?

1 5 , ? 4 2

E A

C

1 DG 5 . cos?AGD ? ? 2 ? AG 5 5 2
∴二面角 A ? EF ? D 的平面角的余弦值为

B

5 . 5

解法 2:分别以 AB, AC, AP 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴,建立如图的空间直角坐标系 A ? xyz , 则 A?0,0,0 ?, D?0,0,1?, E ?

? 2 ? ? 2 ? ? ? ? ? 2 ,0,1?, F ? 0, 2 ,1? . ? ? ? ?
P

z

? 2 ? ? 2 2 ? ? ,0,1?, EF ? ? ? ∴ AE ? ? ? 2 ? ? 2 , 2 ,0 ? . ? ? ? ?
设 n ? ?x, y, z ? 为平面 AEF 的法向量,
E

D

F

? ?n ? AE ? 0, ∴? ?n ? EF ? 0. ?
B x
8

A C y

? 2 x ? z ? 0, ? ? 2 即? ? ? 2 x ? 2 y ? 0. ? 2 2 ?
令x? ∴n ?

2 , 则 y ? 2, z ? ?1 .

?

2, 2,?1 为平面 AEF 的一个法向量.

?

∵平面 DEF 的一个法向量为 DA ? ?0,0,?1? , ∴ cos n, DA ?

n ? DA n DA

?

? 2? ? ? 2?
2

1

2

? ?? 1? ? 1
2

?

5 . 5

∴二面角 A ? EF ? D 的平面角的余弦值为

5 . 5

19. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查函数最值、 不等式、 导数及其应用等基础知识, 考查分类与整合的数学思想方法, 以及运算求解能力和应用意识) 解: (1)生产150件产品,需加工 A 型零件450个, 则完成 A 型零件加工所需时间 f ?x ? ?

450 90 ? ( x ? N * ,且1 ? x ? 49) . 5x x

(2)生产150件产品,需加工 B 型零件150个, 则完成 B 型零件加工所需时间 g ?x ? ?

150 50 ? ( x ? N * ,且1 ? x ? 49) . 3?50 ? x ? 50 ? x

设完成全部生产任务所需时间为 h?x ? 小时,则 h?x ? 为 f ?x ? 与 g ?x ? 的较大者. 令 f ?x ? ? g ?x ? ,即 解得 1 ? x ? 32

90 50 ? , x 50 ? x

1 . 7

所以,当 1 ? x ? 32 时, f ?x ? ? g ?x ? ;当 33 ? x ? 49 时, f ?x ? ? g ?x ? .

? 90 ? x , 故 h?x ? ? ? 50 ? , ? 50 ? x

?x ? N ,1 ? x ? 32? . ?x ? N ,33 ? x ? 49?
* *

90 ? 0 ,故 h?x ? 在 ?1, 32? 上单调递减, x2 90 45 ? 则 h?x ? 在 ?1,32? 上的最小值为 h?32 ? ? (小时) ; 32 16
' 当 1 ? x ? 32 时, h ? x ? ? ?

9

' 当 33 ? x ? 49 时, h ?x ? ?

?50 ? x ?2

50

? 0 ,故 h?x ? 在 ?33, 49? 上单调递增,
50 50 ? (小时) ; 50 ? 33 17

则 h?x ? 在 ?33, 49? 上的最小值为 h?33 ? ?

? h?33? ? h?32? ,

? h?x ? 在 ?1, 49?上的最小值为 h?32? .
? x ? 32 .
答:为了在最短时间内完成生产任务, x 应取 32 . 20. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查圆、椭圆、直线等基础知识和数学探究,考查数形结合、分类与整合的数学思想 方法,以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) 解: (1)圆 M : ?x ? 2? ? y 2 ? 64 , 圆心 M 的坐标为 ?2, 0? ,半径 R ? 8 .
2

∵ AM ? 4 ? R , ∴点 A?? 2, 0? 在圆 M 内. 设动圆 C 的半径为 r ,圆心为 C ,依题意得 r ? CA ,且 CM ? R ? r , 即 CM ? CA ? 8 ? AM . ∴圆心 C 的轨迹是中心在原点,以 A, M 两点为焦点,长轴长为 8 的椭圆,设其方程为

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? , 则 a ? 4, c ? 2 . a2 b2 2 2 2 ∴ b ? a ? c ? 12 . x2 y2 ? ? 1. ∴所求动圆 C 的圆心的轨迹方程为 16 12
(2)由 ? x 2

? y ? kx ? m, ? 消去 y 化简整理得: 3 ? 4k 2 x 2 ? 8kmx? 4m 2 ? 48 ? 0 . y2 ? ? 1. ? 16 12 ? 8km 设 B( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ? . 3 ? 4k 2

?

?

△ 1 ? ?8km? ? 4 3 ? 4k 2 4m2 ? 48 ? 0 . ①
2

?

??

?

由 ? x2

? y ? kx ? m, ? 2 2 2 消去 y 化简整理得: 3 ? k x ? 2kmx? m ? 12 ? 0 . y2 ? ? 1. ? 4 12 ? 2km 设 E?x3 , y3 ?, F ?x4 , y 4 ?,则 x3 ? x 4 ? , 3?k2

?

?

???? ??? ? ∵ DF ? BE ? 0 ,

△ 2 ? ?? 2km? ? 4 3 ? k 2 m2 ? 12 ? 0 . ②
2

?

??

?

10

∴ ( x4 ? x2 ) ? ( x3 ? x1 ) ? 0 ,即 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ,

8km 2km ? . 2 3 ? 4k 3?k2 4 1 ? ∴ 2km ? 0 或 ? . 2 3 ? 4k 3?k2 解得 k ? 0 或 m ? 0 . 当 k ? 0 时,由①、②得 ? 2 3 ? m ? 2 3 , ∵ m ?Z, ∴ m 的值为 ? 3,?2 ?1 , 0 , 1 ,2,3 ;
∴? 当 m ? 0 ,由①、②得 ? 3 ? k ? 3 , ∵ k ? Z, ∴ k ? ?1, 0, 1 . ∴满足条件的直线共有 9 条. 21. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查数列的通项公式、数列前 n 项和、不等式等基础知识,考查化归与转化、分类与 整合、特殊与一般的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力) 解: (1) ∵ a n , a n ?1 是关于 x 的方程 x 2 ? 2 n x ? bn ? 0 (n ? N ) 的两根,
*

∴?

?a n ? a n ?1 ? 2 n , ? bn ? a n a n ?1 .

求数列 ?an ? 的通项公式, 给出如下四种解法: 解法 1: 由 an ? an?1 ? 2 n ,得 a n ?1 ?

1 n ?1 1 ? ? ? 2 ? ?? a n ? ? 2 n ? , 3 3 ? ?

故数列 ?a n ? ∴ an ?

? ?

2 1 1 n? ? 2 ? 是首项为 a1 ? ? ,公比为 ? 1 的等比数列. 3 3 3 ?

1 n 1 1 n ?1 n ? 2 ? ? ?? 1? , 即 a n ? 2 n ? ?? 1? . 3 3 3
n ?1

?

?

解法 2: 由 an ? an?1 ? 2 n ,两边同除以 ?? 1?

, 得

?? 1?

an?1
n ?1

?

?? 1?

an

n

? ??? 2? ,
n

令 cn ?

?? 1?

an

n

, 则 cn?1 ? cn ? ??? 2? .
n

故 cn ? c1 ? ?c2 ? c1 ? ? ?c3 ? c2 ? ? ? ? ?cn ? cn?1 ?

? ?1 ? ?? 2? ? ?? 2? ? ?? 2? ? ? ? ?? 2?
2 3

n?1

? ?1 ?

?? 2? ? ?1 ? ?? 2?n?1 ? 1 ? ?? 2?
11

?
且 c1 ?

1 ?? 2?n ? 1 ?n ? 2? . 3

?

?

a1 ? ?1 也适合上式, ?1
? 1 ?? 2?n ? 1 , 即 a n ? 1 2 n ? ?? 1?n . 3 3



?? 1?

an

n

?

?

?

?

解法3: 由 an ? an?1 ? 2 n ,得 an?1 ? an?2 ? 2 n?1 , 两式相减得 an?2 ? an ? 2 n?1 ? 2 n ? 2 n . 当 n 为正奇数时, an ? a1 ? ?a3 ? a1 ? ? ?a5 ? a3 ? ? ? ? ?an ? an?2 ?

? 1 ? 2 ? 2 3 ? 2 5 ? ? ? 2 n?2
n ?1 ? ? 2?1 ? 4 2 ? ? ? ? ? 1? ? 1? 4

?

2n ? 1 ?n ? 3? . 3

且 a1 ? 1 也适合上式. 当 n 为正偶数时, an ? a2 ? ?a4 ? a2 ? ? ?a6 ? a4 ? ? ? ? ?an ? an?2 ?

? 1 ? 2 2 ? 2 4 ? 2 6 ? ? ? 2 n?2
n?2 ? ? ?1 ? 4 2 ? 4? ? ? ? ? 1? 1? 4

?
1

2n ? 1 ?n ? 4? . 3

且 a2 ? 2 ? a1 ? 1 也适合上式.
* ∴ 当 n ?N 时, an ?

1 n n 2 ? ?? 1? . 3
2

?

?

解法4:由 an ? an?1

? 1 ? ?? 2? 1 ? 2 , a1 ? 1 ,得 a2 ? 2 ? 1 ? ? 22 ? 1 , 1 ? ?? 2? 3
n

?

?

12

a3 ? 2 2 ? a 2 ? 2 2 ? 2 ? 1 ?
猜想 an ?

1 ? ?? 2? 1 ? 23 ? 1 . 1 ? ?? 2? 3
3

?

?

1 n n 2 ? ?? 1? . 3

?

?

下面用数学归纳法证明猜想正确. ① 当 n ? 1 时,易知猜想成立;
* ② 假设当 n ? k (k ? N )时,猜想成立,即 a k ?

由 ak ? ak ?1 ? 2 k ,得 a k ?1

1 k k 2 ? ?? 1? , 3 1 1 k k ?1 ? 2 k ? a k ? 2 k ? 2 k ? ?? 1? ? 2 k ?1 ? ?? 1? , 3 3

? ?

? ? ?

?

故当 n ? k ? 1 时,猜想也成立.
* 由①、②得,对任意 n ?N , an ?

1 n n 2 ? ?? 1? . 3

?

?

∴ bn ? a n a n ?1 ?

?

1 2 n ?1 n 2 ? ?? 2 ? ? 1 . 9

?

1 n n n ?1 2 ? ?? 1? ? 2 n ?1 ? ?? 1? 9

?

??

?

?

(2) S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an

?

1 2 n 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? ?? 1? ? ?? 1? ? ? ? ?? 1? 3

??

? ?

??

?

?? 1?n ? 1? . 1 ? n ?1 2 ?2? ? ? 3? 2 ?
*

要使 bn ? ?S n ? 0 对任意 n ?N 都成立,

?? 1?n ? 1? ? 0 (*)对任意 N * 都成立. 1 2 n ?1 ? ? n ?1 n ? ?? 2 ? ? 1 ? ?2 ? 2 ? 即 2 n? ? 9 3? 2 ?

?

?

① 当 n 为正奇数时, 由(*)式得 即

1 n ?1 ? 2 ? 1 2 n ? 1 ? 2 n ?1 ? 1 ? 0 , 9 3

1 2 n ?1 ? 2 ? 2 n ? 1 ? 2 n ?1 ? 1 ? 0 , 9 3

?

?

?

?

?

??

?

?

?

∵2 ∴? ?

n ?1

?1 ? 0 ,

1 n 2 ? 1 对任意正奇数 n 都成立. 3 1 n 2 ? 1 有最小值 1 . 当且仅当 n ? 1 时, 3 ∴ ? ? 1.

?

?

?

?

13

② 当 n 为正偶数时, 由(*)式得 即

1 n ?1 2? n 2 ? 1 2n ?1 ? 2 ?1 ? 0 , 9 3

1 2 n ?1 ? 2 ? 2 n ? 1 ? 2 n ?1 ? 2 ? 0 , 9 3

?

?

?

?

?

?? ?

?

?

?

∵ 2 ?1 ? 0 ,
n

1 n ?1 2 ? 1 对任意正偶数 n 都成立. 6 1 n ?1 3 2 ? 1 有最小值 . 当且仅当 n ? 2 时, 6 2 3 ∴? ? . 2
∴? ?

?

?

?

* 综上所述, 存在常数 ? ,使得 bn ? ?S n ? 0 对任意 n ?N 都成立, ? 的取值范围是 ?? ?, 1? .

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