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(2011淄博二模)山东省淄博市2011届高三第二次模拟考试(数学理)


山东省淄博市 山东省淄博市 2011 届高三第二次模拟考试 淄博

数学(理科)试题
注意事项: 注意事项:

2011.04、25

卷为非选择题, 1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题,共 60 分;第Ⅱ卷为非选择题, 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。 卷为选择题, 分钟。 共 90 分,满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 每小题只有一个正确答案, 小题, 2.第Ⅰ卷共 2 页,12 小题,每小题 5 分;每小题只有一个正确答案,请将选出的答案标 涂在答题卡上。 号(A、B、C、D)涂在答题卡上。

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 选择题: 在每小题给出的四个选项中 是符合题目要求的。 是符合题目要求的。 1.复数 z = A.3 A.3

x + 3i ( x, y ∈ R, i 是虚数单位)是实数,则 x 的值为 ( 是虚数单位)是实数, 1? i
B.-3 . C.0 .



D. 3

2.记者为 4 名志愿者和他们帮助的 1 位老人拍照,要求排成一排 且老人必须排在正中间,那 . 位老人拍照,要求排成一排,且老人必须排在正中间 且老人必须排在正中间, 么不同的排法共有 ( ) A.120 种 B.72 种 C.56 种 D.24 A. . . D. 种 → → → → → → 3.已知 a =(tanθ,―1), b =(1,―2),若( a + b )⊥( a ― b ),则 tan θ = . , ⊥ , A.2 A. B.- 2 . C.2 或-2 . D.0 D. ( )

4.已知数列{an}各项均为正数.若对于任意的正整数 p、q 总有 ap+q=ap·aq 且 a8=16,则 .已知数列{ 各项均为正数. 、 , a10= ( ) A.16 B.32 C .48 D .64 . . 2 5.从抛物线 y =4x 上一点 P 引抛物线准线的垂线,垂足为 M,且|PM|=5.设抛物线的焦点 引抛物线准线的垂线, . , . 为 F.则△MPF 的面积为 . ( ) A.6 B.8 C .10 D .15 . . 6.下列命题中,正确的是 .下列命题中, ( ) A.直线 l ⊥平面 α ,平面β∥直线 l ,则 α ⊥β 平面β . 则 B.平面 α ⊥平面β,直线 m⊥平面β,则 m∥ α 平面β . ⊥平面β 则 ∥ C.直线 l 是平面 α 的一条斜线 且 l ? β,则 α 与β必不垂直 的一条斜线,且 则 . D.一个平面内的两条直线与另一个平面内的两条直线分别平行 则这两个平面平行 线分别平行,则这两 .一个平面内的两条直线与另一个平面内的两条直线分别平行 则这两个 7.已知命题 . 为真命题的是 A. p ∧ q . 8.函数 y=tan( . ( B. p ∨ (?q ) . . C. (?p ) ∧ q . D. p ∧ (?q ) . ,2 ( tan (—∞,0) <3 ;命题 q:?x ∈ 0, ), x? sin x ,则下列命题 ) ,
x x

π

2





πx
4

?

π
2

(0<x<4)的图像如图所示,A 为图像与 x ) ( )的图像如图所示,

轴的交点, 、 两点, 轴的交点,过点 A 的直线与 l 与函数的图像交于 A、B 两点,

则 (OB + OC ) ? OA = A.―8 . C .4 9.若多项式 x + x .
3 10











B.―4 . D .8

= a 0 + a1 ( x + 1) + L + a 9 ( x + 1) 9 + a10 ( x + 1)10 ,则 a 9 =
D.- .-10 .-





A.9 . B.10 C.- .-9 . .- 10.一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m) .一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位: )

则该几何体的体积为( 则该几何体的体积为( A. .

)m .

3

( C. .



11.已知函数 f(x)=Asin(ωx+ ? )(A>0, ω>0)的图象与直线 y=b(0<b<A)的三个相邻 . ) ( ) ( ) ω + ( 交点的横坐标分别是 2、4、8,则函数 f(x)的单调递增区间是 、 、 则函数 的单调递增区间是 ( ) A.[6kπ, 6kπ+3],k∈Z B.[6k―3, 6k],k∈Z . π π , ∈ . ― , ∈ C.[6k, 6k+3],k∈Z D.无法确定 . + , ∈ .

7 2

B. .

9 2

7 3

D. .

9 4

?x ≥ 1 ? 12.已知 x,y 满足 ? x + y ≤ 4 . , ,且目标函数 3x+y 的最大值为 7,最小值为 1,则 + , , ?ax + by + c ≤ 0 ?
a+b+c =( ( a 1 A. ? . 3
) B. .

1 3

C.3 .

D.―3 .

第Ⅱ卷(非选择题,满分 90 分) 非选择题,
注意事项: 1.第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题. 卷包括填空题和解答题共两个大题. 注意事项: . 2.第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置上. 卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置上. . 填空题: 小题, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13.y= .

1 ,x=1,x=2,y=0 所围成的封闭图形的面积为 所围成的封闭图形的面积为________________. . x

14.已知某程序框图如图所示,则执行该程序后输出的结果是_________________________。 .已知某程序框图如图所示,则执行该程序后输出的结果是 。

15.已知过双曲线等 .

x2 y2 ? =l 右焦点且倾斜角 a2 b2

为 45°的直线与双曲线右支有两个交点,则 °的直线与双曲线右支有两个交点, 的取值范围是_________ 双曲线的离心离 e 的取值范围是 16.请阅读下列材料:若两个正实数 a1,a2 满足 .请阅读下列材料: a1 +a2 =l,那么 a1+a2≤ 2 , 证明: 证明:构造函数 f(x) =(x—a1) +(x—a2)2= — — 2 2x —2(a1+a2)x+1,因为对一切实数 x,恒有 + , , 2 f(x)≥0,所以△≤ ,从而得 4(a1+a2) —8≤0, △≤0, ≥ ,所以△≤ ≤ , 根据上述证明方法, 所以 a1+a2≤ 2 。根据上述证明方法, 若 n 个正实数满足 a1 +a2 +…+an =1 时, 你能得到的结论为_________ ______ 你能得到的结论为 解答题( 小题, 三:解答题(本大题共 6 个小题,共 74 分) → 17 、 ( 本 题满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , a 、 b 、 c 分 别 为角 A 、 B 、 C 的 对 边 , 若 m = (sin
2

2

2

2

2

2

2

B+C ,1) , 2
(Ⅰ) 求角 A ;(Ⅱ) 当 a = Ⅱ

→ → → 7 =(cos2A+ ,4), n =(cos2A+ ,4),且 m ∥ n . 2 的大小。 和角 B 的大小。 18、(本题满分 12 分) 、 本题满分

3 , S ?ABC =

3 时,求边长 b 2

kx+ · 已知函数 f(x)=(2x2―kx+k)·e-x

为何值时, 无极值; Ⅱ 的值, (Ⅰ) 当 k 为何值时, f ( x ) 无极值; (Ⅱ) 试确定实数 k 的值,使 f ( x ) 的极小值为 0 a a 19、(本题满分 12 分) 、 本题满分 一个多面体的三视图及直观图 2a a 2a a 如右图所示: 如右图所示: (Ⅰ)求异面直线 AB1 与 DD1 所成角的余弦值: 所成角的余弦值: (Ⅱ)试在平面 ADD1A1 中确定 一个点 F,使得 , FB1⊥平面 BCC1B1; 的条件下, (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求 的余弦值. 二面角 F―CC1―B 的余弦值 ― 2a D C 2a 主视图 a 2a A1 2a 侧视图 D1 B1 C1

俯视图

A 直观图

B

20、(本题满分 12 分) 、 本题满分 A、B 是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验。每个试验组由 4 只小白 、 是治疗同一种疾病的两种药,用若干试验组进行对比试验。 鼠组成, 鼠组成,其中 2 只服用 A,另 2 只服用 B,然后观察疗效。若在一个试验组中,服用 A 有效 , ,然后观察疗效。若在一个试验组中, 有效的多,就称该试验组为甲类组。 的小白鼠的只数比服用 B 有效的多,就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用 A 有效的概 率为

2 1 ,服用 B 有效的概率为 . 服用 3 2

(Ⅰ)求一个试验组为甲类组的概率; 一个试验组为甲类组的概率; 个试验组, 个试验组中甲类组的个数, 的分布列和数学期望。 (Ⅱ)观察 3 个试验组,用 ξ 表示这 3 个试验组中甲类组的个数,求 ξ 的分布列和数学期望。

21、(本题满分 12 分) 、 本题满分
* ……+ 设数列{a 的各项都是正数, 设数列{an}的各项都是正数,且对任意 n∈N ,都有 a13+a23+a33+……+an3=sn2,其

项和. 中 sn为数列的前 n 项和. (Ⅲ )
*

求数列{a 的通项公式; (Ⅰ)求证:an2=2sn―an;(Ⅱ)求数列{an}的通项公式; 求证:

* 为非零整数, ∈ 试确定λ的值, 设 bn=3n+(―1)n-1λ·2an(λ为非零整数,n∈N ),试确定λ的值,使得对任意的

n∈N ,都有 bn+1>bn成立. ∈ 成立.

22、(本题满分 14 分) 、 本题满分 椭圆 G: :

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的两个焦点为 F1、F2,短轴两端点 B1、B2,已知 a 2 b2

F1、F2、B1、B2 四点共圆,且点 N(0,3)到椭圆上的点最远距离为 5 2 . 四点共圆, ( , ) 的方程; (1)求此时椭圆 G 的方程; ) 的中点, (2)设斜率为 k(k≠0)的直线 m 与椭圆 G 相交于不同的两点 E、F,Q 为 EF 的中点, ) ( ≠ ) 、 , 问 E、F 两点能否关于过点 P(0, 、 ( , 若不能,请说明理由. 若不能,请说明理由.

3 、Q 的取值范围; ) 的直线对称?若能,求出 k 的取值范围; 、 的直线对称?若能, 3

参考答案

一、选择题 1.B D C B C .

6.ACDD A 11.CA . .

.-1; 15. (1, 二、填空题 13.ln2; 14.- . .- . (

2 ); 16.a1+a2+…+an≤ n .

17:解: )Q m // n,∴ 4 sin 2 (I) (

7 B+C = cos 2 A + …… ………… 分 …………2 2 2 7 1 2[1 ? cos( B + C )] = 2 cos 2 A ―1+ , 4 cos 2 A ? 4 cos A + 1 = 0 ∴ cos A = …… 分 ……4 + 2 2

又Q 0 < A < π ,∴ A = (II)Q S ?ABC = )

π

3

……5 …… …… …… 分 ……6 ( ? )…… …… 分

1 bc sin A,∴ bc = 2 2

2 2 2 2 2 2 2 由 a = b + c ? 2bc cos A = b + c ? bc = (b + c ) ? 3bc, (b + c ) = 9

∴b + c = 3 ……8 ( ? ? )…… …… …… …… 分 由( ? ) ? ? )解得 b=2,c=1 或 b=1,c=2…… ……… …… …10 分 ( …… π sin A × b = 1,∴ B = 当 b=2 时, sin B = a 2 sin A 1 π × b = ,Q b < a ∴ B = …… …… …… 分 ……12 当 b= 1 时, sin B = a 2 6

18、解: )Q f ' ( x) = (4 x ? k )e ? x + (2 x 2 ? kx + k )(?1)e ? x (I) (
= [ ?2 x + ( 4 + k ) x ? 2k ]e
2

?x

k = ?2( x ? )( x ? 2)e ? x ……………… 分 ………………3 2

∴ k = 4时,f ' ( x) = ?( x ? 2) 2 e ? x ≤ 0,∴ f ( x) 在 R 上单调递减, 上单调递减,
所以, 无极值 无极值…… ……6 所以,f(x)无极值…… …… …… …… …… 分 (II)当 k ≠ 4 时,令 f ( x) = ?2( x ? )
'

k k )( x ? 2)e ? x = 0 ,得 x1 = , x 2 = 2 2 2

(1) k<4 时, ) x

k < 2 ,有 2 k (?∞, ) 2

k 2
0 极小值

k ( , 2) 2


2 0 极大值

(2,+∞)
_

f ' ( x)
f(x)

_

↓ k 2 k 2
2





令 f ( ) = 0 ,得 2 × ( ) ? k ×

k + k = 0 ,即 k=0.…………………… 分 ……………………9 …………………… 2

x
f ' ( x)

(?∞,2)
<0

2 0

k (2, ) 2
>0

k 2
0

k ( ,+∞) 2
<0

(2)k>4 时, )

k > 2 ,有 2

f (x)



极小值



极大值



令 f ( 2) = 0 , 得 k=8 所 (2) 以,由(1) )知,k=0 或 8 时, f (x ) 有极小值 0 ) ( ……………12 …………… 分

19、解;依题意知,该多面体为底面是正方形的四棱台,且 D1D⊥底面 ABCD。 依题意知,该多面体为底面是正方形的四棱台, ⊥ 。
AB=2A1B1=2DD1=2a…………… 分以 D 为原点,DA、DC、DD1 所在的直线为 X,Y,Z ……………2 为原点, 、 、 …………… , , z 轴, D1 C1 建立如图所示的空间直角坐标系 直角坐标系, 建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0) ( , , ) , A(2a,0,0) ,B1( , , ) ,D1( , , ) ( , , ) , (a,a,a) , (0,0,a) , A1 B1 B(2a,2a,0) (0,2a,0) ,C( , , ) ,C1( , , ) ( , , ) , , (0,a,a)…4 分

0, (Ⅰ)Q AB1 = (? a,a,a ) DD1 = (0, a )
∴ cos? AB1, 1 ? = DD AB1 ·DD1 AB1 DD1 = a
2

D

C y

=

3a 2 a 2

3 3

A x

B

即直线 AB1 与 DD1 所成角的余弦值为

3 ………………………………………………6 ……………………………………………… 分 3

(II)设 F(x,0,z) Q BB1 = (? a,? a, a ), BC = (? 2a,0.0 ) ) ( , , ) ,

FB1 = (a ? x, a, a ? z )

由 FB1 ⊥ 平面 BCC1B1 得 ?

? FB1 ? BB1 = 0 ? ? FB1 ? BC = 0 ?

即?

?? a(a ? x ) ? a 2 + a(a ? z ) = 0 ? 2a ( a ? x ) = 0 ?

得?

?x = a ∴ F (a,0,0) 即 F 为 DA 的中点………… 的中点………… …………9 ?z = 0

分 的法向量。 (III)由(II)知 FB1 为平面 BCC1B1 的法向量。 ) ) 设 n = ( x1 , y 1 , z 1 ) 为平面 FCC1 的法向量。Q CC1 = (0,? a, a ), FC = ( ? a,2a,0) 的法向量。 由?

?n ? CC1 = 0 ? ? n ? FC = 0 ?

即?

? ? ay1 + az1 = 0 令 y1=1 得 x1=2,z1=1 , ?? ax1 + 2ay1 = 0
n ? FB1 n ? FB1 = a+a 6 × 2a
2

∴ n = (2,1,1) cos < n, FB1 >=

=

3 3

即二面角 F―CC1―B 的余弦值为 ―

3 …………………………………12 ………………………………… 分 3

20、 Ⅰ)解:设 Ai表示事件“一个试验组中,服用 A 有效的小白鼠有 i 只” i=0,1,2; 、 (Ⅰ 表示事件“一个试验组 试验组中 ( ,i=0,

表示事件“一个试验组 试验组中 有效的小白鼠有 Bi表示事件“一个试验组中,服用 B 有效的小白鼠有 i 只” i=0,1,2 ,i=0, 1 2 4 2 2 4 1 1 1 1 1 1 P(A )=2× P(A P(B P(B )=2× 依题意有 P( 1)=2× × = , P( 2)= × = , P( 0)= × = , P( 1)=2× × = , 3 3 9 3 3 9 2 2 4 2 2 2 1 4 1 4 1 4 4 所求的概率为 P( P(B P(B P(B …………6 所求的概率为 p=P( 0A1)+P( 0A2)+P( 1A2)= × + × + × = ………… 分 4 9 4 9 2 9 9 4 (Ⅱ) ξ的可能取值为 0,1,2,3,且 ξ~B(3, ), , , , , 9 5 3 125 4 5 2 100 4 2 5 80 P(ξ )= )=( P(ξ )= 3 )=C P(ξ )= 3 )=C ∴ P(ξ=0)=( ) = , P(ξ=1)= 1× ×( ) = , P(ξ=2)= 2×( ) × = , 9 729 9 9 243 9 9 243 4 3 64 P(ξ )= )=( P(ξ=3)=( ) = 9 729 ξ p ∴ ξ的分布列为 `0 125 729 1 100 243 2 80 243 3 64 729 ……………12 …………… 分

…………………10 ………………… 分

4 4 =3× 数学期望 Eξ=3× = 9 3

21、 …………1 21、解:(Ⅰ)由已知,当 n=1 时,a13=s12 又∵ a1>0 ∴ a1=1 ………… 分 由已知, ……+ ………… ……① 当 n≥2 时,a13+a23+a33+……+an3=sn2…………① ……+ …………② a13+a23+a33+……+an-13=sn-12…………② ………………2 ……………… 分

①―②得:an3=(sn―sn-1)(sn+sn-1)=an(sn+sn-1) ∵ an>0 ∴ an2=sn+sn-1 又 sn-1=sn―an …………3 ∴ an2=2sn―an ………… 分

…………4 当 n=1 时,a1=1 也适合上式 ∴ an2=2sn―an ………… 分 ………③ ……④ (Ⅱ) 由(1)知,an2=2sn―an………③当 n≥2 时,an-12=2sn-1―an-1……④ =2( )+a ……… ③―④得:an2―an-12=2(sn―sn-1)+an-1―an= an+an-1…………6 分 数列{a 是等差数列, =n…………8 ………… ∵an+an-1>0 ∴ an―an-1 =1 ∴ 数列{an}是等差数列,∴an=n………… 分 成立, (Ⅲ) ∵ an=n ∴ bn=3n+(―1)n-1λ·2n.要使 bn+1>bn恒成立,则 bn+1―bn=3n+1+(―1)n 3 =2× 成立, λ·2n+1―3n―(―1)n-1λ·2n=2×3n―3λ(―1) n-1·2n>0 恒成立,即(―1)n-1λ<( )n-1恒 ( 2 ………… ……9 成立 ………… 分, 3 3 为奇数时, 成立, (1)当 n 为奇数时,即λ<( )n-1恒成立,又( )n-1的最小值为 1,∴λ<1;…………10 分 ( ; ……… 2 2 3 3 3 3 成立, 的最大值为― 为偶数时, ― ……11 (2)当 n 为偶数时,即λ>―( )n-1恒成立,又―( )n-1的最大值为― ,∴λ>― …… 分 ― 2 2 2 2

3 * 成立. 即― <λ<1,又λ为非零整数,∴λ=―1 能使得对任意的 n∈N ,都有 bn+1>bn成立. … 12 分 又 为非零整数, ― ∈ 2 22、解: )根据椭圆的几何性质,线段 F1F2 与线段 B1B2 互相垂直平分,故椭圆中心即为该 、 (1)根据椭圆的几何性质, 互相垂直平分, ( …………………1 四点外接圆的圆心 ………………… 分 故该椭圆中 a =

2b = 2c, 即椭圆方程可为 x 2 + 2 y 2 = 2b 2 ……… 分 ………3

设 H(x,y)为椭圆上一点,则 ( )为椭圆上一点,

| HN | 2 = x 2 + ( y ? 3) 2 = ?( y + 3) 2 + 2b 2 + 18, 其中 ? b ≤ y ≤ b …………… 4 分
若 0 < b < 3 ,则 y = ?b时, | HN | 2 有最大值 b + 6b + 9
2 2

…………………5 分 …………………

舍去) 或 故无解)…………… 由 b + 6b + 9 = 50得b = ?3 ± 5 2 (舍去)(或 b +3b+9<27,故无解 …………… 6 分 故无解
2
2 2 …………………7 若 b ≥ 3, 当y = ?3时, | HN | 有最大值2b + 18 ………………… 分

由 2b + 18 = 50得b = 16 ∴所求椭圆方程为
2 2

x2 y2 + = 1 ………………… 8 分 32 16

? x12 y12 =1 ? + ? 32 16 (2) 设 E ( x1 , y1 ), F ( x 2 , y 2 ), Q( x 0 , y 0 ) ,则由 ? 2 ) 两式相减得 2 x2 y 2 ? + =1 ? 32 16 ? x0 + 2ky 0 = 0 ……③又直线 PQ⊥直线 m ……③又直线 ⊥
∴直线 PQ 方程为 y =

1 3 x+ k 3

代入上式得, 将点 Q( x 0 , y 0 )代入上式得, y 0 = ? (

1 3 x0 + ……④…………………11 ……④………………… 分 k 3

2 2 x0 y 0 2 3 3 k ,? ③④得 ( …………………12 + < 1, 由③④得 Q( )………………… 分而 Q 点必在椭圆内部∴ 3 3 32 16







k2 <

47 94 94 , 又k ≠ 0,∴ ? < k < 0或0 < k < 2 2 2

,





k ∈ (?

94 94 ) ,0) ∪ (0, 2 2

时,E、F 两点关于点 P、Q 的直线对称…… 14 分 、 、 的直线对称……


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