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排列组合问题的几种基本方法zonghe


问题1 问题
从已知的 3 个不同 元素中每 次取出2 次取出 个元素 , 按照一定 的顺序排 成一列. 成一列.

问题2 问题
从已知的 3个不同 个不同 元素中每 次取出2 次取出 个元素 , 并成一组

有 顺 序

排列

组合

无 顺 序

概念讲解
排列定义: 一般地, 个不同元素中取出m 排列定义: 一般地,从n个不同元素中取出 (m≤n) 个 元素,按照一定的顺序排成一列, 元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素 个元素的一个排列 排列. 中取出 m 个元素的一个排列. 组合定义: 一般地, 个不同元素中取出m( 组合定义: 一般地,从n个不同元素中取出 (m≤n)个 个不同元素中取出 ) 元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出 个元素的一 元素并成一组,叫做从 个不同元素中取出m个元素的一 并成一组 个不同元素中取出 组合. 个组合.

共同点: 都要“ 个不同元素中任取m个元素 共同点: 都要“从n个不同元素中任取 个元素” 个不同元素中任取 个元素” 不同点: 排列与元素的顺序有关 与元素的顺序有关, 不同点: 排列与元素的顺序有关, 而组合则与元素的顺序无关 则与元素的顺序无关. 而组合则与元素的顺序无关.

概念理解
思考一: b 是相同的排列还是相同的组合? 思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么? 是相同的排列还是相同的组合 为什么? 思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢? 思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?

元素相同; 1)元素相同; 2)元素排列顺序相同 元素排列顺序相同.
思考三:组合与排列有联系吗? 思考三:组合与排列有联系吗?

元素相同

构造排列分成两步完成,先取后排; 构造排列分成两步完成,先取后排;而构造 组合就是其中一个步骤. 组合就是其中一个步骤

排列数公式

A = n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m +1)
m n

n! = (n ? m)!

(n, m∈ N , m ≤ n)
*
m

一般地:连乘形式用于 An 值的计算;阶乘 一般地: 值的计算; m 的式子化简。 形式用于有关 An 的式子化简。 n叫被选数,m叫选出数,n-m叫剩余数 叫被选数, 叫选出数 叫选出数, 叫剩余数. 叫被选数 叫剩余数
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组合数公式: 组合数公式
A n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m + 1) C = = A m!
m n m n m m

n! C = m !(n ? m)!
m n

组合数性质: 组合数性质
m n m n +1

⑴ C =C m ?1 ⑵ C = C + Cn
5

n?m n m n

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判断下列问题是组合问题还是排列问题? 判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合 的含有3 (1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合 的含有3个元素的子集有 设集合 ,则集合A的含有 多少个? 多少个? 组合问题 (2)某铁路线上有5个车站, (2)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线上共需准备多少种 某铁路线上有 车票? 车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价? 有多少种不同的火车票价? ,排列 组合是选择的结果, 组合问题 组合是选择的结果

是选择后再排序的结果. (3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有 (3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组, 是选择后再排序的结果 名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组 多少种分法? 多少种分法?? 组合问题
(4)10人聚会,见面后每两人之间要握手相互问候, (4)10人聚会,见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手 人聚会 多少次? 多少次?? 组合问题 (5)从 个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法? (5)从4个风景点中选出2个游览,有多少种不同的方法? 组合问题 (6)从 个风景点中选出2 并确定这2个风景点的游览顺序, (6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序, 有多少种不同的方法? 有多少种不同的方法? 排列问题

1. 分组(堆)问题 分组( 分组( 问题的六个模型: 无序不等分; 分组(堆)问题的六个模型:①无序不等分; 无序等分; 无序局部等分; ④有序不等分; ②无序等分;③无序局部等分;(④有序不等分; 有序等分; 有序局部等分.) ⑤有序等分;⑥有序局部等分 处理问题的原则: 处理问题的原则: ①若干个不同的元素“等分”为 m个堆,要将 若干个不同的元素“等分” 个堆 要将 选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! 选取出每一个堆的组合数的乘积除以 若干个不同的元素局部“等分” 个均等堆, ②若干个不同的元素局部“等分”有 m个均等堆 要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! 要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以 非均分堆问题, ③非均分堆问题,只要按比例取出分完再用乘 法原理作积. 法原理作积 要明确堆的顺序时, ④要明确堆的顺序时,必须先分堆后再把堆数当 作元素个数作全排列. 作元素个数作全排列
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1. 分组(堆)问题 分组( 有四项不同的工程, 例1.有四项不同的工程,要发包给三个工程队,要 有四项不同的工程 要发包给三个工程队, 求每个工程队至少要得到一项工程. 求每个工程队至少要得到一项工程 共有多少种不同 的发包方式? 的发包方式? 解:要完成发包这件事,可以分为两个步骤: 要完成发包这件事,可以分为两个步骤: ⑴先将四项工程分为三“堆”,有 先将四项工程分为三“
2 1 C4 C2C11 =6 2 A2

种分法; 种分法;

⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队, 再将分好的三“ 依次给三个工程队, 种给法. 有3!=6种给法 = 种给法 种不同的发包方式. ∴共有6×6=36种不同的发包方式 共有 × = 种不同的发包方式
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2.插空法: 插空法: 插空法 解决一些不相邻问题时,可以先排“ 解决一些不相邻问题时,可以先排“一 元素然后插入“特殊”元素, 般”元素然后插入“特殊”元素,使问题得以 解决. 解决 ♀ ♀ ♀ ♀ ♀♀ ♀ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
人排成一排.甲 乙两人不相邻,有多少种不同的排法? 例2 . 7人排成一排 甲、乙两人不相邻,有多少种不同的排法? 人排成一排 解:分两步进行: 分两步进行: 第1步,把除甲乙外的一般人排列: 有A5 =120种排法 步 把除甲乙外的一般人排列:
5

插孔): 第2步,将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中 插孔 : 步 将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插孔

有A62 =30种插入法
∴ 共有120 × 30=3600种排法
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几个元素不能相邻 先排一般元素, 时,先排一般元素, 先排一般元素 再让特殊元素插孔. 再让特殊元素插孔
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3.捆绑法 捆绑法 相邻元素的排列,可以采用“局部到整体” 相邻元素的排列,可以采用“局部到整体”的 排法,即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素, 排法,即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素, 然后再进行整体排列. 然后再进行整体排列
人排成一排.甲 乙两人必须相邻,有多少种不的排法 有多少种不的排法? 例3 . 6人排成一排 甲、乙两人必须相邻 有多少种不的排法 人排成一排 解:(1)分两步进行: )分两步进行: 第一步,把甲乙排列 捆绑 捆绑): 第一步,把甲乙排列(捆绑 : ♀♀♀♀♀♀ 甲乙 2

有A2=2种捆法

第二步,甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队: 第二步,甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队:

∴ 共有2 × 120=240种排法
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有 A55= 120种 排 法

几个元素必须相邻时,先 几个元素必须相邻时 先 捆绑成一个元素, 捆绑成一个元素,再与 其它的进行排列. 其它的进行排列
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4.消序法 留空法) 消序法(留空法 消序法 留空法 几个元素顺序一定的排列问题,一般是先排列, 顺序一定的排列问题 几个元素顺序一定的排列问题,一般是先排列,再 消去这几个元素的顺序.或者 或者, 消去这几个元素的顺序 或者,先让其它元素选取位置 排列,留下来的空位置自然就是顺序一定的了. 排列,留下来的空位置自然就是顺序一定的了 个人站成一排, 例4. 5个人站成一排,甲总站在乙的右侧的有多少 个人站成一排 种站法? 种站法? 5 种站法, 解法1: 个人依次站成一排, 解法 :将5个人依次站成一排,有 A5 种站法, 个人依次站成一排 2 然后再消去甲乙之间的顺序数 A2 A55 3 = 5 × 4 × 3 = A5 ∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 A2 2 解法2:先让甲乙之外的三人从5个位置选出 个站好, 个位置选出3个站好 解法 :先让甲乙之外的三人从 个位置选出 个站好, 3 有 A5 种站法,留下的两个位置自然给甲乙有 种站法 种站法,留下的两个位置自然给甲乙有1种站法 3 3 ∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 A5 × 1 = A5
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4.消序法 留空法 消序法(留空法 消序法 留空法) 解: 如图所示 变式:如下图所示,有 变式:如下图所示 有5 B 竖构成的方格图,从 横8竖构成的方格图 从 竖构成的方格图 A到B只能上行或右行 到 只能上行或右行 共有多少条不同的路线? 共有多少条不同的路线 也可以看作是 1,2,3,4,5,6,7,①,②,③, B ①②③ A 顺序一定的排列, ④顺序一定的排列, 将一条路经抽象为如下的一个 11 A11 有 排法(5-1)+(8-1)=11格: 排法 格
A 种排法. 种排法 其中必有四个↑和七个 组成! 和七个→组成 其中必有四个 和七个 组成 所以, 四个↑和七个 一个排序就对应一条路经, 和七个→一个排序就对应一条路经 所以 四个 和七个 一个排序就对应一条路经 5 4 C(5??11)+(8?1) = C11 条不同的路径 所以从A到 共有 所以从 到B共有 条不同的路径.
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4 7 A4 ? A7

→ ↑ → ↑ ↑ → → → ↑ → → 1 ① 2 ② ③ 3 4 5 ④ 6 7

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5.剪截法(隔板法): 剪截法(隔板法): 剪截法 n个 相同小球放入 个盒子里,要求每个 个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里 要求每个 个盒子里 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 盒子里至少有一个小球的放法等价于 个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成 段. 个结点剪截成m段 串成一串从间隙里选 个结点剪截成 某校准备参加今年高中数学联赛,把 个选手 例5. 某校准备参加今年高中数学联赛 把16个选手 名额分配到高三年级的1-4 个教学班 每班至少一个 个教学班,每班至少一个 名额分配到高三年级的 名额,则不同的分配方案共有 则不同的分配方案共有___种. 名额 则不同的分配方案共有 种 问题等价于把16个相同小球放入 个盒子里, 个相同小球放入4个盒子里 解: 问题等价于把 个相同小球放入 个盒子里 每个盒子至少有一个小球的放法种数问题. 每个盒子至少有一个小球的放法种数问题 3 将16个小球串成一串,截为4段有 C15 = 455 个小球串成一串,截为 段有 个小球串成一串 种截断法,对应放到4个盒子里 个盒子里. 种截断法,对应放到 个盒子里 因此,不同的分配方案共有 因此,不同的分配方案共有455种 . 种
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5.剪截法: 剪截法: 剪截法 n个 相同小球放入 个盒子里,要求每个 个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里 要求每个 个盒子里 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 盒子里至少有一个小球的放法等价于 个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成 段. 个结点剪截成m段 串成一串从间隙里选 个结点剪截成 变式: 某校准备参加今年高中数学联赛,把 个选 变式: 某校准备参加今年高中数学联赛 把16个选 手名额分配到高三年级的1-4 个教学班 每班的名额 个教学班,每班的名额 手名额分配到高三年级的 不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有 则不同的分配方案共有___种. 不少于该班的序号数 则不同的分配方案共有 种 问题等价于先给2班 个 解: 问题等价于先给 班1个,3班2个,4班3个, 班 个 班 个 再把余下的10个相同小球放入 个盒子里,每个盒子 个相同小球放入4个盒子里 再把余下的 个相同小球放入 个盒子里 每个盒子 至少有一个小球的放法种数问题. 至少有一个小球的放法种数问题 3 个小球串成一串, 将10个小球串成一串,截为 段有 C9 = 84 个小球串成一串 截为4段有 种截断法,对应放到4个盒子里 种截断法,对应放到 个盒子里. 个盒子里 因此,不同的分配方案共有84种 因此,不同的分配方案共有 种 .
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6.错位法: 错位法: 错位法 编号为1至 的 个小球放入编号为 个小球放入编号为1到 的 个盒 编号为 至n的n个小球放入编号为 到 n的n个盒 子里,每个盒子放一个小球 每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编 子里 每个盒子放一个小球 要求小球与盒子的编 号都不同,这种排列称为错位排列. 这种排列称为错位排列 号都不同 这种排列称为错位排列 特别当n=2,3,4,5时的错位数各为 时的错位数各为1,2,9,44. 特别当 时的错位数各为 例6. 编号为1至6的6个小球放入编号为 至6的6个 编号为 至 的 个小球放入编号为1至 的 个 个小球放入编号为 盒子里,每个盒子放一个小球 其中恰有2个小球与盒 每个盒子放一个小球,其中恰有 盒子里 每个盒子放一个小球 其中恰有 个小球与盒 子的编号相同的放法有____种. 子的编号相同的放法有 种 2 解: 选取编号相同的两组球和盒子的方法有 C6 = 15 其余4组球与盒子需错位排列有 种放法. 种,其余 组球与盒子需错位排列有 种放法 其余 组球与盒子需错位排列有9种放法 故所求方法有15× = 故所求方法有 ×9=135种. 种
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7.剔除法 剔除法 从总体中排除不符合条件的方法数, 从总体中排除不符合条件的方法数,这是一 种间接解题的方法. 种间接解题的方法
排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面 排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、 解析几何的某些知识联系,从而增加了问题的综合性, 解析几何的某些知识联系,从而增加了问题的综合性,解 答这类应用题时,要注意使用相关知识对答案进行取舍. 答这类应用题时,要注意使用相关知识对答案进行取舍

例7. 从集合 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取 个元素分别作为直 中任取3个元素分别作为直 中任取 线方程Ax+By+C=0中的 、B、C,所得的经过坐标 中的A、 、 , 线方程 中的 原点的直线有_________条. 原点的直线有 条 解:所有这样的直线共有
3 A7 = 210 条, 1 2 其中不过原点的直线有 A6 × A6 = 180 条,
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∴所得的经过坐标原点的直线有210-180=30条. 所得的经过坐标原点的直线有 = 条
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巩固练习
1.将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒, 将 个不同的邮筒, 则不同的投法 的种数是( 的种数是( B ) A. 3
4

B. 4

3

C. A

3 4

D. C

3 4

2.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 从黄瓜、白菜、油菜、 从黄瓜 3 种, 分别种在不同土质的三块地上, 分别种在不同土质的三块地上, 其中黄瓜必须种 不同的种植方法共有( 植,不同的种植方法共有( B ) A.24 种 B.18 种 C.12 种 D.6 种

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巩固练习
3. 12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调 则不同的分配方案共有( 查,若每个路口 4 人,则不同的分配方案共有( A )
4 4 A. C12 C84 C 4 种 4 4 B.3 C12 C84 C 4 种

4 3 C. C12 C 84 A3 种

4 4 C12 C84 C 4 D. 种 3 A3

4. 5个人排成一排,其中甲、乙不相邻的排法种数是 个人排成一排,其中甲、 个人排成一排 (C ) A.6 B.12 C.72 D.144
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小结 ①分堆问题; 分堆问题; ②解决排列、组合问题的一些常用方法: 解决排列、组合问题的一些常用方法: 错位法、剪截法(隔板法)、捆绑法、 )、捆绑法 错位法、剪截法(隔板法)、捆绑法、 剔除法、插孔法、消序法(留空法 留空法). 剔除法、插孔法、消序法(留空法).

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