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义马市二高第八次周练理科数学试题


义马市二高第八次周练理科数学试题
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分。共 60 分.在每小题所给出的四个选项中,只 有一个选项正确. ) 1.设 a∈R,若 A. ? 1 2.不等式

a+ i 为纯虚数,则 a 的值为 1- i
B.0 C.-1 D.1

x-1 >0 的解集是 x 2-4

A. (2,+∞) B. (-2,1)∪(2,+∞) C. (-2,1) D. (-∞,-2)∪(1,+∞) 3.已知向量 a=(3,4) ,b=(2,-1) ,如果向量 a+kb 与 b 垂直,则实数 k 的值为 A.

23 3

B.

3 23

C.2

D.-

2 5

4.已知关于 x 的函数 y= loga (2-ax)在[0,1]上是减函数,则 a 的取值范围是 A. (0,1) B. (1,2) C. (0,2) D.[2,+∞) 5.从正方体的八个顶点中任取四个点连线,在能构成的一对异面直线中,其所成的角的 度数不可能是 A.30° B.45° C.60° D.90° 6.设双曲线

x 2 y2 - = 1 的焦点为 F1、F2,过 F1 作 x 轴的垂线与该双曲线相交,其中一个 3 6

交点为 M,则| MF2 |= A.5 3 B.4 3 C.3 3 D.2 3

7.各项均为正数的等比数列{ an }的公比 q≠1,且 a2, 值是 A.

1 a + a4 a3,a1 成等差数列,则 3 的 2 a4+a5

5+1 2

B.

5-1 2

C.

1- 5 2

D.

5+1 5-1 或 2 2

8.已知 θ 是三角形的一个内角,且 sinθ、cosθ 是关于 x 的方程 2x2+px-1=0 的两根,则 θ 等于 A.

? 4

B.

? 3

C.

3? 4

D.

5? 6

9.如图,在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=2.若二面角 C-AB-C1 的大小为 60°,则异面直线 A1B1 和 BC1 所成 角的余弦值为 A.

1 2

B.

3 2

C.

7 2

D.

13 13

10.已知函数 y=f(x)对任意实数都有 f(-x)=f(x) ,f(x)=-f(x+1) ,且函数 y=f(x)在[0,1]上单调递减,则

7 7 7 )<f(- )<f( ) 2 3 5 7 7 7 C.f(- )<f( )<f( ) 3 2 5
A.f(

7 7 7 )<f( )<f(- ) 5 2 3 7 7 7 D.f( )<f(- )<f( ) 5 3 2
B.f(

11.设函数 y=xsinx+cosx 的图像上的点(x0,y0)的切线的斜率为 k,若 k=g(x0) ,则函 数 k=g(x0)的图像大致为

12.为了了解某校高三学生的视力情 况,随机地抽查了该校 100 名高 三学生,得到学生视力频率分布 直方图,如右图,由于不慎将部 分数据丢失,但知道前 4 组的频 数成等比数列,后 6 组的频率成 等差数列. 设最大频率为 a; 视力 在 4.6 到 5.0 之间的学生人数 为 b,则 a、b 的值分别为 A.0.27,78 B.0.27,83 二、填空题(共 4 小题。满分 20 分)
n
n

C.2.7,78

D.2.7,83

1) = x +…+ax3+bx2+…+1,且 a=3b,则 n=_______________ 13.若(x+
14.设集合 A={(x,y)|x,y,1-x-y 是三角形的三边长},则集合 A 所表示的平面区 域的面积是_______________. 15.如图,F1、F2 分别为椭圆

x 2 y2 + = 1 (a>b>0)的左、 a 2 b2

右焦点, 点 P 在椭圆上,△POF2 是面积为 3 的正三角 形,则 b2 的值是______________________. 16.已知函数 f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R) ,给出下列 命题: ①f(x)必是偶函数; ②当 f(0)=f(2)时,f(x)的图像必关于直线 x=1 对称; ③若 a2-b≤0,则 f(x)在区间[a,+∞)上是增函数;④f(x)有最大值为|a2-b|. 其中正确命题的序号是______________. 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分)

17. (本小题满分 10 分) 已知函数 f(x)=Asin(ω x+ ? )+B(A>0,ω >0,0≤ ? <2π )在同一周期内有最 高点(

? 7? ,1)和最低点( ,-3) . 12 12

(Ⅰ)求函数 y=f(x)的解析式; (Ⅱ)画出函数 y=f(x)在区间[0,π ]上的图象.

18. (本小题满分 12 分) 某种项目的射击比赛,开始时在距目标 100m 处射击,如果命中记 6 分,且停止射击; 若第一次射击未命中, 可以进行第二次射击, 但目标已经在 150m 处, 这时命中记 3 分, 且停止射击;若第二次仍未命中,还可以进行第三次射击,此时目标已经在 200m 处, 若第三次命中则记 1 分, 并停止射击; 若三次都未命中, 则记 0 分, 且不再继续射击. 已 知射手甲在 100m 处击中目标的概率为

1 ,他的命中率与其距目标距离的平方成反比, 2

且各次射击是否击中目标是相互独立的. (Ⅰ)分别求这名射手在 150m 处、200m 处的命中率; (Ⅱ)设这名射手在比赛中得分数为ξ ,求随机变量ξ 的分布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 A1ACC1 与底面 ABC 垂直,∠ABC=90°,BC=2,AC=2 3 ,且 AC=AA1=A1C. (Ⅰ)求侧棱 AA1 与底面 ABC 所成角的大小; (Ⅱ)求侧面 A1ABB1 与底面 ABC 所成二面角的正切 值; (Ⅲ)求顶点 C 到侧面 A1ABB1 的距离.

20. (本小题满分 12 分) 已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,且满足 a1=1,t Sn -(2t+1) S n-1 =t,其中 t>0, n∈N﹡,n≥2. (Ⅰ)求证:数列{ an }是等比数列; (Ⅱ)设数列{ an }的公比为 f(t)数列{ bn }满足 b1=1, bn =f( 列{ bn }的通项公式; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若 t=1,数列{ bn }的前 n 项和为 Tn ,试比较 an 和 Tn 的大小 关系. 21. (本小题满分 12 分) 过抛物线 y2=2px(p>0)的对称轴上的定点 M(m,0) (m>0) ,作直线 AB 与抛物线相交于 A、B 两点. (Ⅰ)试证明 A、B 两点的纵坐标之积为定值; (Ⅱ)若点 N(-m,2m) ,求直线 AN、BN 的斜率 之和.

1 ) (n≥2) ,求数 bn-1

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=(1+x)2-4a lnx(a∈N﹡) . (Ⅰ)若函数 f(x)在(1,+∞)上是增函数,求 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若关于 x 的方程 f(x)=x2-x+b 在区间[1,e]上恰有一个 实根,求实数 b 的取值范围.

义马市二高第八次周练理科数学试参考答案
一、选择题 DBDBA 二、填空题 13. 11 三、解答题 17.解: ⑴由题意 2 A ? 1 ? ( ?3) ? 4, BBCDB AA

14.

1 8

15. 2 3

16.③

T 7? ? ? 1 ? (?3) ? ? ? , ? A ? 2, T ? ? , B ? ? ?1 2 12 12 2 2
3分

故 f ( x) ? 2sin(2 x ? ? ) ? 1 因为函数 f ( x ) 图象过点 ( 又 0 ? ? ? 2? ,? ? ? ⑵

?
12

,1) ,所以 2 ?

?
12

?? ?

?
2

? 2k ? , k ? Z

?
3

, f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
3

) ? 1 为所求. 5 分
7? 3

2x ?

? 3

? 3
0

x
f ( x)

? 2 ? 12
1

?
? 3
?1

3? 2 7? 12
?3

2?

5? 6
1

?
3 ?1
7分

3 ?1

10 分 18.解:⑴由题意,这名选手距目标 xm 处的命中率 Px ?

k , x2 1 5000 2 5000 1 p100 ? ,? k ? 5000 ,? p150 ? ? , p200 ? ? 2 2 9 150 2002 8 2 1 即这名射手在 150 m 处、 200m 处的命中率分别为 , 5分 9 8

⑵由题意 ? ? {6,3,1,0}

记 100m,150m, 200m 处命中目标分别为事件 A, B, C 由⑴知 P (? ? 6) ? P ( A) ?

1 , 2

1 2 1 ? ? 2 9 9 1 7 1 7 P(? ? 1) ? P( A ? B ? C ) ? ? ? ? 2 9 8 144 P(? ? 3) ? P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ?

P(? ? 0) ? 1 ? P(? ? 6) ? P(? ? 3) ? P(? ? 1) ?
所以随机变量 ? 的分布列为

49 144

?
P

6

3

1

0

1 2

1 9

7 144

49 144
10 分 12 分

E? ? 6 ?

1 1 7 49 487 ? 3 ? ? 1? ? 0? ? 2 9 144 144 144

ABC , AA1 ? 侧面 A1 ACC1 , 19.解:⑴因为侧面 A 1 ACC1 ⊥底面
侧面 A1 ACC1 底面 ABC ? AC ,所以直线 AA1 在底面 ABC 内的射影为直线 AC

ABC 所成的角 故 ?A 1 AC 为侧棱 AA 1 与底面
又 AC ? AA 1 ? A 1C ,所以 ?A 1 AC ? 60 为所求.4 分 ⑵取 AC , AB 的中点分别为 M , N ,连结 A 1 M , MN , NA 1

ABC , A1 M ? AB , 由⑴知 A 1 M ? AC ,故 A 1 M ? 底面
又 MN / / BC , ?ABC ? 90 , 所以 MN ? AB ,又 MN ? A 1M ? M 所以 AB ? 平面 A1 MN , 则 ?A1 NM 即为所求二面角的平面角 在 Rt A1 MN 中, A1 M ?

3 1 AC ? 3, MN ? BC ? 1, ?A1 MN ? 90 2 2
8分

所以 tan ?A1 NM ?

A1 M ? 3 ,即所求二面角的正切值为 3 . MN

d , 由 ⑴ ⑵ 知 , 点 A1 到 底 面 ABC 的 距 离 ⑶设点 C 到平面 A 1 ABB 1 的距离为

h ? A1 M ? 3

且 cos ?A1 AB ? cos ?A1 AC ? cos ?CAB ?

1 6 6 ? ? 2 3 6

S

ABC

1 AB ? BC ? 2 2 , S 2 1 由 VA1 ? ABC ? VC ? A1 AB 得 S 3 ?

A1 AB

ABC

1 AA1 ? AB ? sin ?A1 AB ? 2 5 2 1 ? h ? S A1 AB ? d , 3 ?
12 分

所以 d ?

3 10 3 10 ,即点 C 到侧面 A . 1 ABB 1 的距离为 5 5
①,

20.解:⑴当 n ? 2 时, tSn ? (2t ? 1)Sn?1 ? t ②-①得: tan?1 ? (2t ? 1)an ? 0 ,

tSn?1 ? (2t ? 1)Sn ? t
2t ? 1 an t



t ? 0,? an ?1 ?

又当 n ? 2 时,由 a1 ? 1 , t (a2 ? a1 ) ? (2t ? 1)a1 ? t ,得 a2 ? 由于 an ? 0,

2t ? 1 t

a 2t ? 1 2t ? 1 ? 0 ,所以对 n ? N ? 总有 n ?1 ? t an t
2t ? 1 的等比数列. t
4分

即数列 {an } 是首项为 1 ,公比为 ⑵由⑴知 f (t ) ?

2t ? 1 1 ,则 bn ? f ( ) ? 2 ? bn?1 ,又 b1 ? 1 t bn?1
故 bn ? 2n ? 1, n ? N ? 7

所以数列 {bn } 是以 1 为首项, 2 为公差的等差数列, 分 ⑶当 t ? 1 时, an ? 3n?1 , Tn ? n2 对于 n ? 1, 2,3 , a1 ? T1 ? 1; a2 ? 3, T2 ? 4; a3 ? T3 ? 9 下面用数学归纳法证明,当 n ? 4 时 an ? Tn 当 n ? 4 时, a4 ? 27, T4 ? 16 , a4 ? T4 成立 假设当 n ? k (k ? 4) 时 ak ? Tk 当 n ? k ? 1 时,

ak ?1 ? 3ak ? 3Tk ? 3k 2 ? k 2 ? k ? k ? k 2 ? k 2 ? 2k ? 1 ? (k ? 1)2 ? Tk ?1
所证不等式也成立 综上:对 n ? N , n ? 4 均有 an ? Tn 所以当 n ? 1,3 时, an ? Tn ,当 n ? 2 时, a2 ? T2 ,当 n ? 4 时, an ? Tn .12 分
?

21.⑴证明:由题意设直线 AB 的方程为 x ? ty ? m , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 由?

? x ? ty ? m ? y ? 2 px
2

消 x 得: y 2 ? 2 pty ? 2 pm ? 0



y1 , y2 为方程①的两根,由韦达定理得 y1 y2 ? ?2 pm 为定值.
⑵解:设直线 AN , BN 的斜率分别为 k1 , k2 ,则 k1 ?

4分

y1 ? 2m y ? 2m , k2 ? 2 x1 ? m x2 ? m

注意到 x ?

y2 , 2 pm ? ? y1 y2 ,且 y1 ? y2 ,所以 2p

y1 ? 2m y2 ? 2m y ? 2m y ? 2m ? 2 ? 2 p( 21 ? 22 ) 2 y1 y2 y1 ? 2 pm y2 ? 2 pm ?m ?m 2p 2p y ? 2m y ? 2m y y ? 2 y2 m ? y1 y2 ? 2 y1m 4 pm ? 2 p( 21 ? 22 ) ? 2p? 1 2 ? ? ?2 y1 y2 ( y1 ? y2 ) y1 y2 y1 ? y1 y2 y2 ? y1 y2 k1 ? k2 ?
即直线 AN , BN 的斜率和为 ?2 ,为所求. 22.解:⑴由题意,函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) 由 f ?( x) ? 2(1 ? x) ? 知a ? 12 分

4a 2( x 2 ? x ? 2a) ? ?0 x x

1 2 1 ( x ? x ) 对 x ? 1 恒成立,记 g ( x) ? ( x 2 ? x) 2 2

由于函数 g ( x) 在 (1, ??) 上是增函数,故 g ( x) ? 1 ,所以 a ? 1
? 又 a ? N ,所以 a ? 1 为所求.

5分

⑵由题知 (1 ? x) ? 4ln x ? x ? x ? b ,整理得 b ? 3x ? 4 ln x ? 1
2 2

记 u( x) ? 3x ? 4ln x ? 1 ,则 u ?( x) ? 3 ?

4 3x ? 4 ? x x 4 3

注意到 x ? [1, e] ,故函数 u ( x) 在 [1, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增. 由 u (1) ? 4, u ( ) ? 5 ? 4 ln

4 3

4 3

4 , u (e) ? 3e ? 3 知, u(e) ? u(1) 3
2

所以关于 x 的方程 f ( x) ? x ? x ? b 在区间 [1, e] 上恰有一个实根时

4 b ? 5 ? 4 ln 或 4 ? b ? 3e ? 3 为所求. 3

12 分

义马市二高第八次周练理科数学试题

答题卷


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