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高中数学(人教版选修4-5)配套课件第一讲 1.2.1 绝对值三角不等式


第一讲 1.2 1.2.1 不等式和绝对值不等式 绝对值不等式 绝对值三角不等式 栏 目 链 接 1.理解绝对值的几何意义. 2.能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式: (1)|a+b|≤|a|+|b|; (2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|. 栏 目 链 接 栏 目 链 接 1.研究在绝对值符号内含有未知数的不等式(也 称绝对值不等式), 关键在于去掉绝对值符号, 化成普 通的不等式.主要的依据是绝对值的意义. 在数轴上,一个点到原点的距离称为这个点所表 示的数的绝对值. 栏 目 链 接 x,x>0, ? ? 即|x|=?0,x=0, ? ?-x,x<0. 思考1 (1)3; 3 求下列各数的绝对值: (2)-8; 8 (3)0. 0 2.证明一个含有绝对值的不等式成立,除了要应用一般不等式 的基本性质之外, 经常还要用到关于绝对值的和、 差、 积、 商的性质: (1)|a|+|b|≥|a+b|; (2)|a|-|b|≤|a+b|; (3)|a|·|b|=|a·b|; |a| ?a? (4) =? ?(b≠0). |b| ?b? 栏 目 链 接 思考2 说出下列不等式等号成立的条件: (1)|a|+|b|≥|a+b|; (2)|a|-|b|≤|a+b|; (3)|a-c|≤|a-b|+|b-c|. (1)等号成立的条件是:ab≥0; (2)等号成立的条件是:ab≤0且a≥b. (3)等号成立的条件是:(a-b)(b-c)≥0 栏 目 链 接 3.含有绝对值的不等式的证明中,常常利用|a|≥a, |a|≥-a及绝对值的和的性质. 思考3 当|a|>a时,a∈________;当 |a|>-a时, (- ∞,0) 栏 目 链 接 a∈(0,+∞). 栏 目 链 接 题型一 利用绝对值三角不等式证明不等式 例1 若|a-b|>c,|b-c|<a,求证:c<a. 证明:由|a-b|>c及|b-c|<a得 c-a<|a-b|-|b-c|≤|(a-b)+(b-c)|= |a-c|=|c-a|. 栏 目 链 接 由c-a<|c-a|知c-a<0,故c<a. www.gzjxw.net 例2 ε ε 设 ε >0,|x-a|< ,|y-b|< . 4 6 求证:|2x+3y-2a-3b|<ε . 分析:将 2x+3y-2a-3b 写成 2(x-a)+3(y-b)的形式后利用 定理 1 和不等式性质证明. 证明:|2x+3y-2a-3b|=|2(x-a)+3(y-b)|≤ |2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|< 2× ε ε +3× =ε . 4 6 栏 目 链 接 例3 设 m 等于|a|、 |b|和 1 中最大的一个. 当|x|>m ?a ?x 时,求证:? + b? ?<2. x2? 分析: 本题的关键是对题设条件的理解和运用, |a |、 |b|和 1 这三个数中哪一个最大.如果两两比较大小,将 十分复杂, 我们可得到一个重要的信息: m≥|a|, m≥|b|, 栏 目 链 接 m≥1. 证明:∵m 等于|a|,|b|和 1 中最大的一个,|x|>m, |x|>m≥|a|, ? ? ∴?|x|>m≥|b|, ? ?|x|>m≥1 ? ?|x|>|a|, ?? 2 ? ?|x| >|b|. 栏 目 链 接 ?a b ? ?a? ? b ? |a| |b| |x| |x|2 ∴? + 2?≤? ?+? 2?= + + 2

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