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2013年北京市房山区中考数学一模试题及答案


2013 初三数学综合练习(一)
考 1.本试卷共 6 页, 共五道大题, 道小题, 25 满分 120 分, 考试时间 120 分钟。 2.在试卷和答题卡上准确填 写学校名称、姓名和准考证号。 生 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。 4.在答题卡上,选择题、作图题用 2B 铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字 须 笔 作答。 5.考试结束,将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 知 一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分)下面各题均 有四个选项,其中只有一 个是符合题意的.用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑. 1.-3 的相反数是 1 A.-3 B.3 C. D. 0.3 3 2.我国 2012 年末全国民用汽车保有量达到 12089 万辆,比上年末增长 14.3%. 将 12089 用科学记数法表示应为 A. 1.2089? 104 B. 1.2089? 105 C. 12.089? 104 D. 0.12089? 104

3.如图,把一块含有 30°角的直角三角板的两个顶点 放在直尺的对边上, 如果∠1=20°, 那么∠2 的度数为 A. 20° B. 30° C. 60° D. 40°
1 第3题图

2

4.下面的几何体中,主视图为三角形的是

A.  

B.  

C.  

D.  

A O

D P

5.如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形,点 P 是 劣弧⌒上不同于点 C 的任意一点,则∠BPC 的度数是 CD A.45° B.60° C.75° D.90°
B

C

第 5 题图

1

6.一个口袋中装有 4 个红球,3 个绿球,2 个黄球,每个球除颜色外其它都相同, 搅匀后随机地从中摸出一个球是绿球的概率是 4 2 1 2 A. B. C. D. 9 9 3 3

7.将二次函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 化成 y ? ( x ? h)2 ? k 形式,则 h ? k 结果为 A. ? 5 B. 5 C. 3 D. ? 3

8.如图,正方形 ABCD 的边长为 4,P 为正方形边上一动点,运动路线是 A→D→ C→B→A,设 P 点经过的路程为 x,以点 A、P、D 为顶点的三角形的面积是 y.则下 列图象能大致反映 y 与 x 的函数关系的是
A D
8 y 8 y 8 y 8 y

P

O

4 A

12 16

x O

4

8 12 16 B

x

O

8 C

16

x

O

4 D

16

x

B

第 8 题图

C

二、填空题(本大题共 16 分,每小题 4 分) : 9.在函数 y ? x ? 1 中,自变量 x 的取值范围是 10.分解因式: x3 y ? xy ? . .

11.如图,在一场羽毛球比赛中,站在场内 M 处 的运动员林丹把球从 N 点击到了对方场内的点 B, 已知网高 OA=1.52 米,OB=4 米,OM=5 米,则林 丹起跳后击球点 N 离地面的距离 MN= 米.

N A B O
第11题图
y 4 3 2 1 o A3

M

12.如图,在平面直 角坐标系中,以原点 O 为圆 心的同心圆半径由内向外依次为 1,2,3,4,?, 同心圆与直线 y ? x 和 y ? ? x 分别交于 A1 , A2 , A3 ,
y=-x

y=x

A4 ,?,则点 A31 的坐标是



A2

A1 A4 x

2

第 12 题图

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分)
?1 ? 3? 1 13. 计算: 12 ? ? ? ? ? ? ? +tan60?. ? 2 ? ? 2? ? ? ? ? 0

14. 解分式方程:

x 3 ? ?1. x ?1 x ? 1

15. 已知 a 是关于 x 的方程 x2 ? 4 ? 0 的解, 求代数式 ?a ?1? ? a?a ?1? ? a ? 7 的值.
2

16.如图,点 C、B、E 在同一条直线上, AB∥DE

A D

∠ACB=∠CDE,AC=CD.
求证:AB=CD .
C B
第 16 题图图

E

3 17.如图,反比例函数 y ? 的图象与一次函数 y ? kx ? b 的图象交于 A(m,3)、 x B(-3,n)两点. (1)求一次函数的解析式及 ?AOB 的面积; (2)若点 P 是坐标轴上的一点,且满足 ?PAB 的面积等于 ?AOB 的面积的 2 倍, 直接写出点 P 的坐标.

(第 17 题图) 18. 列方程(组)解应用题: 2013 年 3 月 5 日“全国人民代表大会” 和“政协全国委员会”在北京召开.从某 地到北京,若乘飞机需要 3 小时,若乘汽车需要 9 小时.这两种交通工具平均每 小时二氧化碳的排放量之和为 70 千克,飞机全程二氧化碳的排放总量比汽车全 程二氧化碳的排放总量多 54 千克, 求飞机和汽车平均每小时二氧化碳的排放量.

3

四、解答题(本题共 20 题,每小题 5 分) : 19.一副直角三角板如图放置,点 C 在 FD 的延长 线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°, ∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求 CD 的长.

第 19 题图

20. 如图,BC 为半⊙O 的直径,点 A,E 是半圆周上的三等分点, AD ? BC ,垂足为 D,
联 结 BE 交 AD 于 F,过 A 作 AG ∥BE 交 CB 的延长线于 G. (1)判断直线 AG 与⊙O 的位置关系,并说明理由. (2)若直径 BC=2,求线段 AF 的长.

A F G B D O
第 20 题图

E

C

[来源:Z#xx#k.Com]

21. 吸烟有害健康!为配合“禁烟”行动,某校组织同学们在我区某社区开展了 “你支持哪种戒烟方式”的问卷调查,征求居民意见,并将调查结果整理后制成 了如下统计图:

(第 21 题图)

根据统计图解答: (1) 同学们一共随机调查了多少人? (2) 请你把统计图补充完整; (3)假定该社区有 1 万人,请估计该地区支持“警示戒烟”这种方式大约有多 少人?
[来源:Zxxk.Com]

4

22.已知,矩形纸片 ABCD 中,AB=8cm,AD=6cm,按下列步骤进行操作:

如图①,在线段 AD 上任意取一点 E,沿 EB,EC 剪下一个三角形纸片 EBC(余 下部分不再使用); 如图②, 沿三角形 EBC 的中位线 GH 将纸片剪成两部分,并在线段 GH 上任意 取一点 M,线段 BC 上任意取一点 N,沿 MN 将梯形纸片 GBCH 剪成两部分; 如图③,将 MN 左侧纸片绕 G 点按顺时针方向旋转 180°,使线段 GB 与 GE 重合,将 MN 右侧纸片绕 H 点按逆时针方向旋转 180°,使线段 HC 与 HE 重合, 拼成一个与三角形纸片 EBC 面积相等的四边形纸片. (注:裁剪和拼图过程均无 缝且不重叠) (1)通过操作,最后拼成的四边形为 (2) 拼成的这个四边形的周长的最小值为_______________________________cm, 最大值为___________________________cm.

五、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) : 23.已知,抛物线 y ? ? x2 ? bx ? c ,当 1<x<5 时,y 值为正;当 x<1 或 x>5 时, y 值为负. (1)求抛物线的解析式. (2)若直线 y ? kx ? b (k≠0)与抛物线交于点 A(
3 ,m)和 B(4,n) ,求直线 2

的解析式. (3)设平行于 y 轴的直线 x=t 和 x=t+2 分别交线段 AB 于 E、F,交二次函数于 H、G. ①求 t 的取值范围 ②是否存在适当的 t 值,使得 EFGH 是平行四边形?若存在,求出 t 值;若 不存在,请说明理由.

5

24(1)如图 1,△ABC 和△CDE 都是等边三角形,且 B、C、D 三点共线,联结 AD、BE 相交于点 P,求证: BE = AD. (2)如图 2,在△BCD 中,∠BCD<120° ,分别以 BC、CD 和 BD 为边在△BCD 外部作等 边三角形 ABC、等边三角形 CDE 和等边三角形 BDF,联结 AD、BE 和 CF 交于点 P,下列 结论中正确的是 (只填序号即可) ①AD=BE=CF;②∠BEC=∠ADC;③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60° ; (3)如图 2,在(2)的条件下,求证:PB+PC+PD=BE.
E A
A E

C A P E
P E A

C

P B
B

P

D

B

B

C

D C

D

D

第 24 题图 1
F
F

第 24 题图 2

25. 已知:半径为 1 的⊙O1 与 x 轴交 A 、 B 两点,圆心 O1 的坐标为(2, 0),二 次函数 y ? ? x2 ? bx ? c 的图象经过 A 、 B 两点,与 y 轴交于点 C (1)求这个二次函数的解析式; (2)经过坐标原点 O 的直线 l 与⊙O1 相切,求直线 l 的解析式; (3)若 M 为二次函数 y ? ? x2 ? bx ? c 的图象上一点,且横坐标为 2,点 P 是 x 轴 上的任意一点,分别联结 BC 、 BM .试判断 并说明理由. PC ? PM 与 BC ? BM 的大小关系,

[来源:学科网

(第 25 题图)

6

初三数学综合练习(一)参考答案及评分标准

一、选择题: 1.B ; 2.A ; 二、填空题:
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

3.D ;

4.C ;

5.A ;

6.C ;

7.D ;

8.B .

9. x ≥ ?1 ; 三、解答题:

10. xy( x ? 1)( x ?1) ;
0

11.3.42 ;

12.( ? 4 2,?4 2 ).

? 3 ? ? 1 ? ?1 13.解: 12 ? ? ? ? ? ? ? +tan60?. ? 2 ? ? 2? ? ?

= 2 3 ?1 ? 2 ? 3 =3 3 ?3 14.解分式方程

--------------------------------------------------------4 分 --------------------------------------------------------5 分

x 3 ? ?1. x ?1 x ? 1

解:去分母,得: x?x ? 1? ? 3?x ?1? ? ?x ? 1??x ?1? 整理得 : 解得:
? 2 x ? ?4 . x?2

-----------------------1 分

---------------------------------------2 分 ---------------------------------------3 分 ----------------------------------------4 分 -------------------------------------5 分

经检验 x ? 2 是原方程的解. ∴ 原方程的解是 x ? 2 .

15.解法一: ∵a 是关于 x 的方程 x2 ? 4 ? 0 的解 ∴ a2 ? 4 . ∵ ?a ?1? ? a?a ?1? ? a ? 7
2

-------------------------------------------1 分

= a 2 ? 2a ? 1 ? a 2 ? a ? a ? 7 = 2a 2 ? 6 当 a 2 ? 4 时, 原式= 2 解法二:

--------------------------------------------3 分 --------------------------------------------4 分 ---------------------------------------------5 分

?a ?1?2 ? a?a ?1? ? a ? 7
= a 2 ? 2a ? 1 ? a 2 ? a ? a ? 7 = 2a 2 ? 6 -----------------------------------------2 分 -------------------------------------3 分

∵a 是关于 x 的方程 x2 ? 4 ? 0 的解 ∴ a ? 2 或 a ? ?2 -----------------------------------------------------------4 分
7

当 a ? ?2 时, 原式=2 16. 证明:∵AB∥DE

-----------------------------------------------------------5 分

∴∠ABC=∠E ------------------------------1 分 ∵∠ACB=∠CDE,AC=CD -------------------------------------------3 分 ∴△ABC≌△CED -------------------------4 分 ∴AB=CD --------------------------5 分
17.解:
3 的图象与一次函数 y ? kx ? b 的 x 图象交于 A(m,3)、B(-3,n)两点 ∴m=1,n=-1, ∴A(1,3)、 B(-3,-1) -------------------------------1 分 ∴所求一次函数的解析式为 y=x+2 ------------------2 分

(1) ∵反比例函数 y ?

[来源:学&科&

网 Z&X&X&K]

∵直线 y=x+2 与 x 轴、y 轴的交点坐标为(-2,0)(0,2) 、 1 ∴ ?AOB 的面积= ? 2 ? (1 ? 3) ? 4 --------------------------------------------------3 分 2 (2)P 1 (-6,0) 2 (0,6) p3 (2,0) 、 p4 (0,?2) 、P 、 18.解法一: 设飞机和坐汽车每小时的二氧化碳排放量分别是 x 千克和 y 千克. -------1 分 -------------------------5 分

? x ? y ? 70, 根据题意, ? 得 ?3x ? 9 y ? 54. ? x ? 57, 解得: ? ? y ? 13.

---------------------------------------------------2 分

-------------------------------------------------4 分

答: 飞机和汽车每小时的二氧化碳排放量分别是 57 千克和 13 千克. ---5 分 解法二: 设汽车每小时的二氧化碳排放量是 x 千克, 则飞机每小时的二氧化碳排放量 是(70- x )千克 根据题意,得 3(70- x )-9 x =54 解得: x =13 70- x =57 -------------------------------------------------------1 分 ----------------------------------------------------2 分 -------------------------------------------------------3 分 ------------------------------------------------------4 分

答: 飞机和汽车每小时的二氧化碳排放量分别是 57 千克和 13 千克. -------5 分

8

19.解:过点 B 作 BM⊥FD 于点 M.

----------------------------------------1 分

在△ACB 中,∠ACB=90°, ∠A=60°,AC=10, ∴∠ABC=30°, BC=AC tan60°=10 3 , -------------------------------------2 分 ∵AB∥CF,∴∠BCM=30°. ∴ BM ? BC ? sin 30? ? 10 3 ?
CM ? BC ? cos30? ? 10 3 ?
1 ? 5 3 ---------------------------------------3 分 2

3 ? 15 -------4 分 2

在△EFD 中,∠F=90°, ∠E=45°, ∴∠EDF=45°, ∴ MD ? BM ? 5 3 . ∴ CD ? CM ? MD ? 15 ? 5 3 . 20. 解: (1)直线 AG 与⊙O 相切. --------------------------------------------5 分 --------------------------------------------------1 分

证明:连接 OA,∵点 A,E 是半圆周上的三等分点, ∴弧 BA、AE、EC 相等,∴点 A 是弧 BE 的中点, ∴OA⊥BE. 又∵AG∥BE,∴OA⊥AG. ∴直线 AG 与⊙O 相切.
G B D A F O C E

------------ -----------------------------2 分

(2)∵点 A,E 是半圆周上的三等分点, ∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°.
又 OA=OB,∴△ABO 为正三角形. ---------------------------------3 分

又 AD⊥OB,OB=1, ∴BD=OD=
3 1 , AD= . 2 2

------------------------------------------4 分

1 又∠EBC= ?EOC =30°, 2

在 Rt△FBD 中, FD=BD ? tan∠EBC= BD ? tan30°=

3 , 6

9

∴AF=AD ? DF=

3 3 3 = 2 6 3

--------------------------------------------5 分

21.解:(1) 300;--------------------1 分 (2) 如图所示----------------3 分 (3) 3500------------------ ---5 分

22. (1)平行四边形;------------------ -----------1 分 (2)拼成的平行四边形上下两条边的长度等于原来矩形的边 AD=6,左右 两边的长等于线段 MN 的长, 当 MN 垂直于 BC 时,其长度最短,等于原来矩形的边 AB 的一半,等于 4, 于是这个平行四边形的周长的最小值为 2(6+4)=20;----------------------------3 分 当点 E 与点 A 重合,点 M 与点 G 重合,点 N 与点 C 重合时,线段 MN 最 长,等于 42 +62 =2 13 ,此时,这个四边形的周长最大, 其值为 2(6+ 2 13 )=12+ 4 13 . ----------------------------------------5 分

24.(1)证明:∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形 ∴BC=AC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=60° ∴∠BCE=∠ACD ∴△BCE≌△ACD (SAS) ∴BE=AD --------------1 分 (2)①②③都正确 --------------4 分 (3)证明:在 PE 上截取 PM=PC,联结 CM 由(1)可知,△BCE≌△ACD(SAS) ∴∠1=∠2 设 CD 与 BE 交于点 G,,在△CGE 和△PGD 中 ∵∠1=∠2,∠CGE=∠PGD ∴∠DPG=∠ECG=60°同理∠CPE=60° ∴△CPM 是等边三角形--------------5 分 ∴CP=CM,∠PMC=60° ∴∠CPD=∠CME=120° ∵∠1=∠2,∴△CPD≌△CME(AAS)---6 分 ∴PD=ME ∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD. -------7 分 即 PB+PC+PD=BE.

E A A P

B

C
1

D E

C A P B M G
2

D

F

10

23.解: (1)根据题意,抛物线 y ? ? x2 ? bx ? c 与 x 轴交点为(1,0)和(5,0)----1 分

??1 ? b ? c ? 0 ?b ? 6 ∴? ,解得 ? . ??25 ? 5b ? c ? 0 ?c ? ?5
∴抛物线的解析式为 y ? ? x2 ? 6 x ? 5 . (2)∵ y ? ? x2 ? 6 x ? 5 的图象过 A( --------------------2 分

3 ,m)和 B(4,n)两点 2 7 3 7 ∴ m= ,n=3 , ∴A( , )和 B(4,3) ------------ 3 分 4 2 4 3 7 ∵直线 y ? kx ? b (k≠0)过 A( , )和 B(4,3)两点 2 4

7 1 ?3 ? ? k ?b ? ?k ? ∴ ?2 4 ,解得 ? 2. ? 4k ? b ? 3 ?b ? 1 ? ?

∴直线的解析式为 y ?

1 x ?1. 2

-------------------4 分

? 3 3 ?t> (3)①根据题意 ? 2 ,解得 ? t ? 2 2 ?t ? 2<4 ?

-------------------5 分

1 1 ②根据题意 E(t, t ? 1 ) ,F(t+2, t ? 2 ) 2 2

H(t, ?t 2 ? 6t ? 5 ) ,G(t+2, ?t 2 ? 2t ? 3 ) , ∴EH= ? t 2 ?
11 3 t ? 6 ,FG= ? t 2 ? t ? 1 . 2 2 11 3 t ? 6 = ?t 2 ? t ? 1 2 2

若 EFGH 是平行四边形,则 EH=FG,即 ? t 2 ? 解得 t=

7 , - ---------------------6 分 4 7 3 ∵t= 满足 ? t ? 2. 4 2 7 ∴存在适当的 t 值,且 t= 使得 EFGH 是平行四边形.----------7 分 4

11

25.解: (1)由题意可知 A(1, 0), B(3, 0)

------------------------- 1 分

因为二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象经过点 A , B 两点

?1 ? b ? c ∴? ?9 ? 3b ? c

?b ? 4 解得: ? ?c ? ?3

∴二次函数的解析式 y ? ? x2 ? 4 x ? 3 --------------------------2 分 (2)如图,设直线 l 与⊙O 相切于点 E,∴O1E⊥ l ∵O1O=2, O1E=1 ,∴ OE ? 3 过点 E 作 EH⊥ x 轴于点 H ∴ EH ?
3 3 , OH ? 2 2
H

3 3 3 ∴ E ( , ) ,∴ l 的解析式为:y ? x 3 2 2

----------------3 分
3 x 3

根据对称性,满足条件的另一条直线 l 的解析式为: y ? ?
3 3 x或y?? x 3 3

-----4 分

∴所求直线 l 的解析式为:y ?

(3)结论: PC ? PM ? BC ? BM -----5 分 理由:∵ M 为二次函数 y ? ? x2 ? bx ? c 的图象上一点 且横坐标为 2, ∴ M (2,1) ① 当点 P与点B 重合时, 有 PC ? PM ? BC ? BM ---------------6 分 ②当 点P异于点B时 , ∵直线 BM 经过点 B(3, 0) 、 M (2,1) , ∴直线 BM 的解析式为 y ? ? x ? 3 ∵直线 BM 与 y 轴相交于点 F 的坐标为 F (0,3) ∴ F (0,3)与C (0, ?3) 关于 x 轴对称 联结结 PF , ∴ BC ? BF , PF ? PC -------------------7 分 ∴ BC ? BM ? BF ? BM ? MF , PF ? PM ? PC ? PM
12

∵在 ?FPM 中,有 PF ? PM ? FM ∴ PC ? PM ? BF ? BM 综上所述:PC ? PM ? BC ? BM ------------------------------------8 分

13


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