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2.3数学归纳法(学、教案)


2. 3 数学归纳法 课前预习学案 一、预习目标: 理解数学归纳法原理及其本质,掌握它的基本步骤与方法.能较好地理解“归纳奠基” 和“归纳递推”两者缺一不可。 二、预习内容: 提出问题: 问题 1:前面学习归纳推理时,我们有一个问题没有彻底解决.即对于数列 ,已知 , ( n=1,2,3?),通过对 n=1,2,3,4 前 4 项的归纳,猜想出其通项公式 ,但却没有进一步的检验和证明. 问题 2:大家玩过多米诺骨牌游戏吗?这个游戏有怎 样的规划?(多媒体演示多米诺骨 牌游戏) 这是一个码放骨牌游戏,码放时保证任意两相邻的两块骨牌,若前一块骨牌倒下,则一定导 致后一块骨牌倒下. 只要推倒第一块骨牌, 就必然导致第二块骨牌倒下; 而第二块骨牌倒下, 就必然导致第三块骨牌倒下?最后,不论有多少块骨牌都能全部倒下. 讨论问题: 问题 1、问题 2 有什么共同的特征?其结论成立的条件的共同特征是什么 结论成立的条件:结论对第一个值成立;结论对前一 个值成立,则对紧接着的下一个值也 成立. 上面两个条件 分别起怎样的作用?它们之间有怎样的关系?我们能否去掉其中的一 个?你能举反例说明吗? 在上述两个条件中,第一个条件是归纳递推的前提和基础,没有它,后面的递推将无从 谈起;第二个步骤是核心和关键,是实现无限问题向有限问题转化的桥梁与纽带. 如在前面的问题 1 中,如果 不是 1,而是 2,那么就不可能得出 ,因此第一 步看似简单,但却是不可缺少的.而第二步显然更加不可缺少.这一点在多米诺骨牌游戏中 也可清楚地看出. 解决问题: 由上,证明一个与自然数 n 有关的命题,可按下列步骤进行: (1)证明当 n 取第一个值 (2)假设 n=k(k≥ , ( )时命题成立; )时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立 . 对从 开始的所有正整数 n 都成立. 由以上两个步骤,可以断定命题 1 这种 证明方法叫做数学归纳法,它是证明与正整数 n(n 取无限多个值)有关、具有内在 递推 关系的数学命题的重要工具. 三、提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有哪些疑惑,请把它填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容 2 课内探究学案 一、 学习目标 (1)了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。 (2)初步理解数学归纳法原理。 (3)理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。 (4)初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。 二、学习过程: 例 1、证明等差数列通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d : 解析:(1)让学生理解数学归纳法的严密性和合理性;(2)掌握从 时等式左边的变化情况。 证明:(1) 当 n=1 时等式成立; (2) 假设当 n=k 时等式成立, 即 ak ? a1 ? (k ? 1)d , 则 ak ?1 ? ak ? d = a1 ? [(k ? 1) ? 1]d , 即 n=k+1 时等式也成立 由 (1)、(2)可知, 等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d 对任何 n∈ N 都成立. * 到 点评:利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时,要注意以下三句话: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉。 变式训练 1 .在数列{ an }中, a1 =1, an?1 ? 值,再推测通项 an 的公式, 最后证明你的结论. an * (n∈ N ), 先计算 a2 , a3 , a4 的 1 ? an 例 2、 用数学归纳法证明 ( ). 解析:(1)进一

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