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高中数学第三章概率3.2古典概型自主练习北师大版必修3资料


高中数学 第三章 概率 3.2 古典概型自主练习 北师大版必修 3
我夯基我达标 1.盒中有 10 个铁钉,其中 8 个是合格的,2 个是不合格的,从中任取一个恰为合格铁钉的概率 是( )? A.

1 5

B.

1 4

C.

4 5 8 4 ? .? 10 5

D.

1 10

思路解析:(方法 1)从盒中任取一个铁钉包含基本事件总数为 10,其中抽到合格铁钉(记为事 件 A)包含 8 个基本事件,所以,所求概率为 P(A)=

(方法 2)本题还可以用对立事件的概率公式求解,因为从盒中任取一个铁钉,取到合格品(记 为事件 A)与取到不合格品(记为事件 B)恰为对立事件,? 故 P(A)=1-P(B)=1-

2 4 ? . 10 5

答案:C 2.从 1、2、3、4、5 五个数字中,任意有放回地连续抽取 3 个数字,则 3 个数字完全不同的概 率是_______. 思路解析:因为有放回地抽取,故三次抽取共有 5×5×5=125 种抽法,三个数字完全不同有 5×4×3=60 种抽法,故 P= 答案:

60 12 ? . 125 25

12 25

3.一个口袋内有带有标号的 7 个白球,3 个黑球,? (1) 事件 A: 从口袋中摸出 1 个放回后再摸出 1 个 ,2 次摸出的球是一白一黑的概率为 _______;? (2)事件 B:从口袋中摸出 1 个是黑球,放回后再摸出 1 个是白球的概率为_______;? (3)事件 C:从口袋中摸出 2 个球,先摸出的是黑球,后摸出的是白球的概率为_______. 思路解析:(1)口袋中共有 10 个球,任意摸 1 个有 10 种可能,放回后再摸 1 个又有 10 种可能, 所以基本事件总数为 10×10.摸白球有 7 种可能,摸黑球有 3 种可能,事件 A 包括“先摸白球 再摸黑球”及“先摸黑球再摸白球”,所以 A 发生的可能性是 2×7×3,故?

P(A)=

2? 7?3 . 10 ? 10

7?3 =0.21.? 10 ? 10 7?3 7 ? (3)事件 C 是不放回的,所以基本事件总数为 10×9,故 P(C)= .? 10 ? 9 30 7 答案:(1)0.42 (2)0.21 (3) 30
(2)事件 B 有顺序,B 发生的可能性是 7×3,故 P(B)= 4.一年按 365 天计算,两名学生的生日相同的概率是_______.? 思 路 解 析 : 每 名 学 生 的 生 日 都 可 以 是 一 年 365 天 中 的 任 何 一 天 , 故 基 本 事 件 总 数 为 n=365×365,记“两名学生生日相同”为事件 A,则为事件 A 含基本事件数为 365, 所以,P(A)=

365 1 ? . 365 ? 365 365

1

答案:

1 365

5.对飞机连续射击 2 次,每次发射一枚炮弹,设 A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞 机},C={恰有一弹击中飞机},D={至少有一弹击中飞机},其中彼此互斥的事件是_______,互 为对立事件的是_______.? 思路解析:分析互斥事件时应考虑:A 与 D,C 与 D 均可同时发生,故它们之间并不互斥;分析对 立事件时应在互斥的基础上再分析是否必有一个发生 ,即两事件之和为必然事件,例如事件 A 与 B 虽然是互斥事件,但是 A 与 B 之中并非必有一个发生,故 A 与 B 不对立.彼此互斥事件 是:A 与 B、A 与 C、B 与 D;互为对立事件的是:B 与 D.? 答案:A 与 B、A 与 C、B 与 D B 与 D 6.设人的某一特征(如眼睛大小)是由他的一对基因所决定的,以 X 表示显性基因,Y 表示隐性 基因,则具有 XX 基因的人为纯显性,具有 YY 基因的人是纯隐性.纯显性与混合性的人都有显 露显性基因决定的某一特征,孩子从父母身上各得到 1 个基因,假定父母都是混合性,问:? (1)1 个孩子有显性基因决定的特征的概率是多少?? (2)2 个孩子中至少有一个具有显性基因决定的特征的概率是多少?? 思路分析:本题是一道生物和概率的综合性问题,在古典概型中属于比较具有代表性的问题, 解答时可以根据已经学过的一些基本的古典概型类比解答,比如可以类比抛掷 1 枚或者 2 枚 硬币的概型进行分析解答.? 解:孩子的一对基因为 XY,YY,XY 的概率分别为

1 1 1 , , ,且孩子有显性决定的特征是具有 4 4 2

XX 或 XY,故?
(1)1 个孩子有显性决定的特征的概率为

1 1 3 + = ;? 4 2 4

(2)因为 2 个孩子如果都不具有显性决定的特征,即 2 个孩子都具有 YY 基因的纯隐性特征, 其概率为

1 1 1 1 15 ? . × = ,所以 2 个孩子中至少有一个有显性决定特征的概率为 14 4 16 16 16

?? 我综合我发展 7.甲、乙两人赌技相同,各出赌注 500 元,约定:谁先胜三局,谁拿走全部 1 000 元赌注.现在 已经赌了三局,甲二胜一负,因故要终止赌博,问这 1 000 元赌注应该如何分配才公平?? 思路分析:平均分配对甲欠公平,全部给甲则对乙欠公平,合理的分配是甲、乙按照一定的比 例分配赌注.一种看来可以接受的方法是按照已胜局分 ,即甲拿

1 2 ,乙拿 ,仔细分析,发现 3 3

这种分配也不合理.? 解:如果要分出胜负则甲、 乙最多要赌完 5 局,在已经赌 3 局的情况下,甲、 乙需要再赌 2 局, 而继续赌 2 局,则结果无非以下四种情况之一:? 甲甲,甲乙,乙甲,乙乙,? 其中“甲乙”表示第一局甲胜第二局乙胜,其余类推.把已赌过的三局与上面的四个结果结 合(即甲乙赌完五局).? 对前面三个结果都是甲胜三局,因而得这 1 000 元赌注,只有在最后一个结果才能乙得到全部 赌注.在赌技相同的情况下(甲、乙获胜的可能性相同),上面的四个结果都有可能性.因此, 甲、 乙最终获胜的可能性大小之比为 3∶1,所以全部赌注应该按照这个比例分配,即甲得 750 元,乙得 250 元.

2

8.某城市的电话号码是 8 位数,如果从电话号码本中任取一个电话号码,求:? (1)头两位数码是 8 的概率;? (2)头两位数码都不超过 8 的概率.? 思路分析:电话号码每位上的数字都可以由 0、1、2、?、9 这十个数组成,故试验基本事件 8 总数为 n=10 .? 解:(1)记“头两位数码都是 8”为事件 A,则事件 A 的一、二两位数码都只有一种选法,即只 6 6 能选 8,后 6 位各有 10 种选法,故事件 A 包含的基本事件数为 m1=1×1×10 =10 .? 所以,由古典概型公式得:P(A)=

m1 106 1 ? 8 ? =0.01.? n 10 100

(2)记“头两位数码都不超过 8”为事件 B,则事件 B 的一、二两位数码都有 9 种选法,即从 0~8 这 9 个数字中任选一个,后 6 位各有 10 种选法,故事件 B 所包含的基本事件总数为 m=9×9×106=81×106.? 所以由古典概型公式得:P(B)=

m 81?104 ? =0.81. n 108

9.从含有两件正品 a1,a2 和一件次品 b1 的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连 续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.? 解:每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其一切可能的结果组成的基本事件有 6 个,即 (a1,a2)和(a1,b2),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b2,a2).其中小括号内左边的字母表示第 1 次取出 的产品,右边的字母表示第 2 次取出的产品用 A 表示“取出的两种中,恰好有一件次品”这一 事件,则? A=[(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)]? 事件 A 由 4 个基本事件组成,因而 P(A)=

4 2 ? . 6 3

10.现有一批产品共有 10 件,其中 8 件为正品,2 件为次品.? (1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续 3 次取出的都是正品的概率;? (2)如果从中一次取 3 件,求 3 件都是正品的概率.? 思路分析:(1)为返回抽样;(2)为不返回抽样.? 解:(1)有放回地抽取 3 次,按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x,y,z 都有 10 种可能,所以试验 3 结果有 10×10×10=10 种; 设事件 A 为“连续 3 次都取正品”,则包含的基本事件共有 8×8×8=8 种,因此,P(A)=
3

83 =0.512.? 103

(2)方法 1:可以看作不放回抽样 3 次,顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录(x,y,z),则 x 有 10 种可能,y 有 9 种可能,z 有 8 种可能,所以试验的所有结果为 10×9×8=720 种.设事件 B 为 “3 件 都 是 正 品 ”, 则 事 件 B 包 含 的 基 本 事 件 总 数 为 8×7×6=336, 所 以

P(B)=

336 ≈0.467.? 720

方法 2:可以看作不放回 3 次无顺序抽样,先按抽取顺序(x,y,z)记录结果,则 x 有 10 种可能,y 有 9 种可能,z 有 8 种可能,但(x,y,z),(x,z,y),(y,x,z),(y,z,x),(z,x,y),(z,y,x)是相同 的,所以试验的所有结果有 10×9×8÷6=120,按同样的方法,事件 B 包含的基本事件个数为 8×7×6÷6=56,因此 P(B)=

56 ≈0.467. 120
3


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