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6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质2


6.1 正弦函数与余弦函数的图象和性质

一、正弦函数的图象
利用正弦线作出 y ? sin x,x ? 0, π 的图象. 2
y

?

?

作法: (1) 等分; (2) 作正弦线;
/ p1

1P 1
?
6

(3) 平移; (4) 连线.
π 3
π 2

-

-

-

o1

M1 -1

A

o
-1 -

π 6

2π 3

5π 6

π

7π 6

4π 3

3π 2

5π 3

11π 6

π 2?

x

正 弦 曲 线
由终边相同的角三角函数值相同,所以 y=sin x 的图象在 … ,[-4 ? ,-2 ?] , [-2 ? ,0] , [0,2 ?] , [2? ,4 ?] , … 与 y=sin x,x?[0,2 ?] 的图象相同 , 于是平移得正弦曲线 .
y
1-

? 6π
-

? 4π
-

? 2?
-

o-1



4?
-

-

6?
-

-

x

观察 y = sin x ,x?[ 0,2 ?] 图象的最高点、最低 点和图象与 x 轴的交点?坐标分别是什么?
y
1-

-

o
-1 -

π 6

π 3

π 2

2π 3

5π 6

π

7? 6

4π 3

3π 2

5π 3

11π 6

π 2?

x

π 1 图象的最高点: ( , ); 2

0 0 ( 0 与 x 轴的交点: (0, ), π, ),(2 π , ); 3π 图象的最低点: ( ,? 1) . 2

五点 作图法

五 点 作 图 法
列表:列出对图象形状起关键作用的五点坐标.
描点:定出五个关键点.

连线:用光滑的曲线顺次连结五个点.

二、正弦函数的性质
观察正弦曲线,得出正弦函数的性质:
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

定义域

x?R

(1) 值域 [ -1, 1 ]
π x ? ? 2kπ(k ? Z ) 2
时,取最大值1;

π x ? ? ? 2kπ(k ? Z ) 时,取最小值-1; 2

周期的概念
一般地,对于函数 f (x),如果存在一个非零 常数 T ,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都 有 f ( x+T )= f (x),那么函数 f (x) 就叫做周期 函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期.

对于一个周期函数,如果在它的所有周期中
存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 它的最小正周期.

(2) 正弦函数的周期性
由公式 sin (x+k · ?)=sin x (k?Z) 可知: 2

正弦函数是一个周期函数,2? ,4? ,… ,-2? ,
-4? ,… , 2k ?(k?Z 且 k≠0)都是正弦函数的周期. 2 ? 是其最小正周期 .

(3) 正弦函数的奇偶性
由公式 sin(-x)=-sin x 正弦函数是奇函数.

图象关于原点成中心对称 .
y
1

x
-3?
? 5π 2

-2?

?

3π 2

-?

?

π 2

o
-1

π 2

?

3π 2

2?

5π 2

3?

7π 2

4?

(4) 正弦函数的单调性
观察正弦函数图象
x sinx
? π 2



0 0



π 2



? 0



3π 2

-1

1

-1

π π ? ?? π , ? π ? ?? 2 2kπ, ? 2kπ ?, k ? Z 上, 是增函数; ? 2? ?2 在闭区间 ? ? 2 ? ? 3 ? π? π , π3π ? ? ? ? 2kπ, ? ? 2kπ ?, k ? Z 上,是减函数. 在闭区间 ? ? 2 2 ? 2 y ? ?2
1

-3?

?

5π 2

-2?

?

3π 2

-?

?

π 2

o
-1

π 2

x
?
3π 2

2?

5π 2

3?

7π 2

4?

余弦函数的单调性
y
1 -3?
5? ? 2

-2?

3? ? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

x

-?



?

?
2



0
1



? 2



?
-1

cox -1
y=cosx (x?R)

0

0

增区间为 [ ?? +2k?, 2k?],k?Z 减区间为 [2k?, 2k? + ?], k?Z ,

其值从-1增至1 其值从 1减至-1

f(x)=sinx
y
1 ? 2? 3? 4?

f(x)= cosx
y
1

图 象 定义域 值 域

-2?

-?

o
-1

x

-2?

-?

o
-1

?

2? 3?

4?

x

R [?1,1]
x ? 2k? ?

?

R [?1,1]
x ? 2k? ( k ? Z )

2

(k ? Z ) 时



最 值

ymax=1
x ? 2k? ?

?
2

ymax=1
(k ? Z ) 时
x ? 2k? ? ? (k ? Z ) 时

ymin= ?1

ymin= ?1
x ? k? ?

f(x)= 0

x ? k? ( k ? Z )

?
2

(k ? Z )

f(x)=sinx
y

f(x)= cosx
y
1

图 象 周期性 奇偶性

1
? 2? 3? 4?

-2?

-?

o
-1

x

-2?

-?

o
-1

?

2? 3?

4?

x

2? 奇函数 单调增区间:
[?

2? 偶函数
单调增区间:
[? ? 2k? ,2? ? 2k? ](k ? Z )

单调性

? ? ? 2k? , ? 2k? ]( k ? Z ) 2 2
? 2k? , 3? ? 2k? ]( k ? Z ) 2

单调减区间:
[

?

单调减区间:
[2k? ,? ? 2k? ](k ? Z )

2

? 例1

求使下列函数取得最大值的 自变量x的集合,并说出最大值 是什么? 1? y=cosx+1,x∈R 2? y=sin2x,x∈R

例 2 求使函数 y=2+sin x 取最大值、最小值

的 x 的集合,并求出这个函数的最大值,
最小值和周期 T . 解
y
2-

y ? 2 ? sin x,x ? [0,2 π]

1-

? 1-

o

y ? sin x,x ?[0, π] 2

π 2

π

3π 2



x

π x ? ?x x ? ? 2kπ, k ? Z ?时,y max ? 2 ? (sin x) max ? 2 ? 1 ? 3, 2 ?x x ? ? π ? 2kπ,k ? Z?时,ymin ? 2 ? (sin x) min ? 2 ?1 ? 1. x? 2

T ? 2π.

例3 直接写出下列函数的定义域:

1 1? y= 1 ? sin x
2? y=

? 2 cos x

? 例4

求下列函数的最值: ? 1? y=sin(3x+ )-1
4

2? y=sin2x-4sinx+5

3 ? cos x 3? y= 3 ? cos x

例5 求下列函数的单调区间:
(1) y=2sin(-x )
解:y=2sin(-x ) = -2sinx ? ? [ ? +2k?, +2k?],k?Z 上单调递减 函数在 ? 函数在 [
2 ? 2
2 3? +2k?, 2 ? ) 4

+2k?],k?Z上单调递增
k? ? k? ?

(2) y=3sin(2x解:k? ? ? ? 2 x ? ? ? 2k? ? ? 2
2k? ?

?
8

?
2

2

? 2x ?

?
4

4

? 2k? ?

所以:单调增区间为 单调减区间为

3? 7? ? x ? k? ? 8 8 ? 3? [k? ? , k? ? ] 8 8 3? 7? [k? ? , k? ? ] 8 8 3? 2

2

? x ? k? ?

3? 8

(3) y= ( tan 7? )sinx

解: ? 0 ? tan ?

(4) y ? log1 2 解: 定义域
2

7? ? 3 ? tan ? ?1 6 6 3 ? ? 单调减区间为 [2k? ? ,2k? ? ], (k ? Z ) 2 2 ? 3? [2k? ? ,2k? ? ], (k ? Z ) 单调增区间为 2 2 1 ?
cos( x ? 3 )

6

? ? ? 2k? ? ? x ? ? 2k? ? 2 3 2 5? ? ? 2k? ? ? x ? 2k? ? , k ? Z 6 6 ? ? 5? ? 当 2k? ? ? x ? ? 2k? 即 2k? ? ? x ? 2k? ? , k ? Z 为减区间 6 3 2 3 ? ? ? ? 当 2k? ? x ? ? 2k? ? 即 2k? ? ? x ? 2k? ? , k ? Z 为增区间。 3 6 3 2

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
? (5) y = -| sin(x+ )| 4 ? 解: 令x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下: 4
y 1

y=|sinu|
? 2

?2?

?

3? 2

??

?

? 2

O

?

3? 2

2?

u

即: 增区间为 k? ? ? u ? k? , k ? Z 2 减区间为 k? ? u ? k? ? ? , k ? Z
?

?

-1

y=sinu y=- |sinu|

2 3? ? k? ? ? x ? k? ? , k ? Z y为增函数 4 4 ? ? k? ? ? x ? k? ? , k ? Z y为减函数 4 4

例 6 不通过求值,比较下列各对函数值的大小: π π ? ) 和sin(? ); (2) sin 2 π 和 sin 3 π . (1) sin( 4 18 3 10 π π π π ? <? <? < , 解 (1) 因为 2 10 18 2
π π 且 y =sin x 在[ ? 2 ,2 ] 上是增函数.

所以 sin( ? (2) 因为

π 2π 3π < < <π , 2 3 4

π π )<sin( ? ) . 10 18

且 y =sin x 在 [ 所以 sin
2π 3

π ,π ] 上是减函数, 2
3π 4

> sin





sin x ? 2 例7 求下列函数的值域 y= sin x ? 1 sin x ? 2
由y ?

y?2 所以sin x ? sin x ? 1 y ?1 y?2 由 sin x ? 1, 得 ? 1 ? ?1 y ?1

( y ? 1) sin x ? y ? 2 (上式中y ? 1, 否则有0 ? 3)

sin x ? 1

得到

正余弦函数的有界性

cos x ? 1

(sin x ? 1)

解不等式有

y??1 2

故函数的值域为

?? ?,? ?
1 2

求值域

例8判断f(x)=xsin(?+x)奇偶性
解 函数的定义域R关于原点对称 f ( x) ? x sin(? ? x) ? ? x sin x
f (? x) ? ?(? x) sin(? x) ? f ( x)
f ( ? x) ? f ( x)

函数的奇偶性

所以函数y=xsin(?+x)为偶函数 定义域关于原点对称
f (? x) ? f ( x)

f (? x) ? ? f ( x)

奇函数

偶函数

1 选择题
① 函数y=4sinx,x ? [-?, ?]的单调性( B ) A 在[-?,0]上是增函数,[0,?]是减函数; B 在[-?/2,?/2]上是增函数,在[-?,?/2]上是减函数; C 在[0,?]上是增函数,在[-?,0]上是减函数; D 在[?/2,?]及[-?,-?/2]上是增函数,在[-?/2,?/2]上

是减函数。



函数y=cos(x+?/2),x?R ( A ) A 是奇函数; B 是偶函数; C 既不是奇函数也不是偶函数; D 有无奇偶性不能确定。

2 不通过求值,比较下列各组中两个三角函数值的大小: cos15? / 8 > cos14? / 9 _ sin 250? _ sin 260? >

cos515? _ cos530? >
3 判断下列函数的奇偶性:

sin(?54? / 7) < sin(?63? / 8) _

① f ( x) ? sin x ? cos x
1 ? sin x ? cos x ② f ( x) ? 1 ? sin x ? cos x

(答案:①偶函数 ②既不是奇函数也不是偶函数)

f(x)=sinx
y
1 ? 2? 3? 4?

f(x)= cosx
y
1

图 象 定义域 值 域

-2?

-?

o
-1

x

-2?

-?

o
-1

?

2? 3?

4?

x

R [?1,1]
x ? 2k? ?

?

R [?1,1]
x ? 2k? ( k ? Z )

2

(k ? Z ) 时



最 值

ymax=1
x ? 2k? ?

?
2

ymax=1
(k ? Z ) 时
x ? 2k? ? ? (k ? Z ) 时

ymin= ?1

ymin= ?1
x ? k? ?

f(x)= 0

x ? k? ( k ? Z )

?
2

(k ? Z )

f(x)=sinx
y

f(x)= cosx
y
1

图 象 周期性 奇偶性

1
? 2? 3? 4?

-2?

-?

o
-1

x

-2?

-?

o
-1

?

2? 3?

4?

x

2? 奇函数 单调增区间:
[?

2? 偶函数
单调增区间:
[? ? 2k? ,2? ? 2k? ](k ? Z )

单调性

? ? ? 2k? , ? 2k? ]( k ? Z ) 2 2
? 2k? , 3? ? 2k? ]( k ? Z ) 2

单调减区间:
[

?

单调减区间:
[2k? ,? ? 2k? ](k ? Z )

2

求函数的单调区间:
1. 直接利用相关性质 2. 复合函数的单调性

3. 利用图象寻找单调区间


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