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【创新设计】2015年高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义:第8篇 第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系


第4讲 [最新考纲]

直线与圆、圆与圆的位置关系

1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的 方程判断两圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.

知 识 梳 理 1.直线与圆的位置关系 设直线 l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0), 圆:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0), d 为圆心(a,b)到直线 l 的距离,联立直线和圆的方程,消元后得到的一元二次 方程的判别式为 Δ. 方法 位置关系 相交 相切 相离 2. 圆与圆的位置关系 设圆 O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r2 1(r1>0), 圆 O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r2 2(r2>0). 方法 几何法:圆心距 d 与 r1,r2 的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2|(r1≠r2) 0≤d<|r1-r2|(r1≠r2) 辨 析 感 悟 几何法 d<r d=r d>r 代数法 Δ>0 Δ=0 Δ<0

系 相离 外切 相交 内切 内含

代数法:两圆方程联立组成方程组的解的 无解 一组实数解 两组不同的实数解 一组实数解 无解

1.对直线与圆位置关系的理解 (1)直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=1 恒有公共点.(√) (2)“k=1”是“直线 x-y+k=0 与圆 x2+y2=1 相交”的必要不充分条件.(×) (3)(教材习题改编)直线 y=2x+3 被圆 x2+y2-6x-8y=0 所截得 的 弦 长 等 于 2 5.(×) 2.对圆与圆位置关系的理解 (4)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.(×) (5)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.(×) 3.关于圆的切线与公共弦 (6)过圆 O:x2+y2=r2 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程是 x0x+y0y=r2.(√) (7)两个相交圆的方程相减消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所 在的直线方程.(√) (8)圆 C1: x2+y2+2x+2y-2=0 与圆 C2: x2+y2-4x-2y+1=0 的公切线有且仅 有 2 条.(√) [感悟· 提升] 1.两个防范 一是应用圆的性质求圆的弦长,注意弦长的一半、弦心距和圆的

半径构成一个直角三角形,有的同学往往漏掉了 2 倍,如(3); 二是在判断两圆位置关系时,考虑要全面,防止漏解,如(4)、(5),(4)应为两圆 外切与内切,(5)应为两圆相交、内切、内含. 2.两个重要结论 一是两圆的位置关系与公切线的条数: ①内含时:0 条;②内切:1 条;③相交:2 条;④外切:3 条;⑤外离:4 条. 二是当两圆相交时,把两圆方程(x2,y2 项系数相同)相减便可得两圆公共弦所在 直线的方程.

考点一

直线与圆的位置关系

【例 1】 (1)已知点 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,则直线 ax+by=1 与圆 O 的 位置关系是( ).

A.相切

B.相交

C.相离

D.不确定

(2)(2013· 山东卷)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,则 直线 AB 的方程为( A.2x+y-3=0 =0 解析 (1)因为 M(a,b)在圆 O:x2+y2=1 外,所以 a2+b2>1,而圆心 O 到直线 ax+by=1 的距离 d= |a· 0+b· 0-1| 1 <1.故直线与圆 O 相交. 2 2 = 2 a +b a +b2 ). B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3

1-0 1 (2)如图,圆心坐标为 C(1,0),易知 A(1,1),又 kAB· kPC=-1,且 kPC= = , 3-1 2 ∴kAB=-2. 故直线 AB 的方程为 y-1=-2(x-1),即 2x+y-3=0. 答案 (1)B (2)A

规律方法 判断直线与圆的位置关系时,若两方程已知或圆心到直线的距离易表 达,则用几何法;若方程中含有参数,或圆心到直线的距离的表达较繁琐,则用 代数法. 【训练 1】 (1)“a=3”是“直线 y= x+4 与圆(x-a)2+(y-3)2=8 相切”的 ( ). B.必要不充分条件

A.充分不必要条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

3 (2)(2014· 郑州模拟)直线 y=- 3 x+m 与圆 x2+y2=1 在第一象限内有两个不同的 交点,则 m 取值范围是 A.( 3,2) ? 3 2 3? ? C.? , 3 ? ?3 ( ). B.( 3,3) ? 2 3? ? D.?1, 3 ? ? |a-3+4| =2 2, 2

解析 (1)若直线 y=x+4 与圆(x-a)2+(y-3)2=8 相切,则有

即|a+1|=4,所以 a=3 或-5.但当 a=3 时,直线 y=x+4 与圆(x-a)2+(y-3)2 =8 一定相切,故“a=3”是“直线 y=x+4 与圆(x-a)2+(y-3)2=8 相切”的 充分不必要条件.

(2)当直线经过点(0,1)时,直线与圆有两个不同的交点,此时 m=1;当直线与圆 相切时有圆心到直线的距离 d= |m| 2 3 =1,解得 m= 3 ,所以要使直线 ? 3? 1+? ?2 ?3?

2 3 与圆在第一象限内有两个不同的交点,则 1<m< 3 . 答案 (1)A (2)D 考点二 圆与圆的位置关系

【例 2】 已知两圆 x2+y2-2x-6y-1=0 和 x2+y2-10x-12y+m=0. (1)m 取何值时两圆外切? (2)m 取何值时两圆内切? (3)求 m=45 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解 两圆的标准方程为:(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m, 圆心分别为 M(1,3),N(5,6),半径分别为 11和 61-m. (1)当两圆外切时, ?5-1?2+?6-3?2= 11+ 61-m, 解得 m=25+10 11. (2)当两圆内切时,因定圆的半径 11小于两圆圆心间距离 5,故只有 61-m- 11=5,解得 m=25-10 11. (3)两圆的公共弦所在直线方程为 (x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0, 即 4x+3y-23=0, ∴公共弦长为 2 ?|4×1+3×3-23|?2 ? =2 7. ? 11?2-? 42+32 ? ?

规律方法 (1)判断两圆的位置关系常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和与 差之间的关系,一般不采用代数法. (2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长,只要把两圆方程相 减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程, 再根据其中一个圆和这条直 线就可以求出公共弦长.

【训练 2】 (1)圆 O1: x2+y2-2x=0 和圆 O2: x2+y2-4y=0 的位置关系是( A.相离 B.相交 C.外切 D.内切

).

(2)设两圆 C1、C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|= ( ). A.4 B.4 2 C.8 D.8 2

解析 (1)圆 O1 的圆心坐标为(1,0),半径为 r1=1,圆 O2 的圆心坐标为(0,2),半 径 r2=2, 故两圆的圆心距|O1O2|= 5, 而 r2-r1=1, r1+r2=3, 则有 r2-r1<|O1O2| <r1+r2,故两圆相交. (2)依题意,可设圆心坐标为(a,a)、半径为 r,其中 r=a>0,因此圆的方程是(x -a)2+(y-a)2=a2,由圆过点(4,1)得(4-a)2+(1-a)2=a2,即 a2-10a+17=0, 则该方程的两根分别是圆心 C1,C2 的横坐标,|C1C2|= 2× ?-10?2-4×17= 8.故选 C. 答案 (1)B (2)C 考点三 有关圆的综合问题

【例 3】 (2013· 江苏卷)如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 点 A(0,3),直线 l:y=2x-4.设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y=x-1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M,使|MA|=2|MO|,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围. 审题路线 (1)由两条直线解得圆心 C 的坐标?设过点 A 与圆 C 相切的切线方程 ?由点到直线的距离求斜率?写出切线方程;(2)设圆 C 的方程?设点 M(x,y) ?由|MA|=2|MO|得 M 的轨迹方程?由两圆有公共点,列出关于 a 的不等式?解 不等式可得. 解 (1)由题设,圆心 C 是直线 y=2x-4 和 y=x-1 的交点,解得点 C(3,2),于 是切线的斜率必存在. 设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 y=kx+3, 由题意,得 |3k+1| 3 =1,解得 k=0 或-4, 2 k +1

故所求切线方程为 y=3 或 3x+4y-12=0. (2)因为圆心在直线 y=2x-4 上,

所以圆 C 的方程为(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1. 设点 M(x,y),因为|MA|=2|MO|, 所以 x2+?y-3?2=2 x2+y2, 化简得 x2+y2+2y-3=0,即 x2+(y+1)2=4, 所以点 M 在以 D(0,-1)为圆心,2 为半径的圆上. 由题意,点 M(x,y)在圆 C 上,所以圆 C 与圆 D 有公共点,则|2-1|≤|CD|≤2 +1, 即 1≤ a2+?2a-3?2≤3.整理得-8≤5a2-12a≤0. 12 由 5a2-12a+8≥0,得 a∈R;由 5a2-12a≤0,得 0≤a≤ 5 . 12? ? 所以点 C 的横坐标 a 的取值范围是?0, 5 ?. ? ? 规律方法 (1)圆与直线 l 相切的情形——圆心到 l 的距离等于半径,圆心与切点 的连线垂直于 l. (2)圆与直线 l 相交的情形——圆心到 l 的距离小于半径,过圆心而垂直于 l 的直 线平分 l 被圆截得的弦;连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦;过圆内一点的所 有弦中,最 短的是垂直于过这点的直径的那条弦,最长的是过这点的直径. 在解有关圆的解析几何题时, 主动地、 充分地利用这些性质可以得到新奇的思路, 避免冗长的计算. 【训练 3】 (2013· 江西卷)过点( 2,0)引直线 l 与曲线 y= 1-x2相交于 A,B 两 点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率等于 ( 3 A. 3 3 B.- 3 3 C.± 3 ).

D.- 3

解析 由 y= 1-x2得 x2+y2=1(y≥0),即该曲线表示圆心在原点,半径为 1 的 半圆,如图所示. 1 1 故 S△AOB=2|OA|· |OB|· sin∠AOB=2sin∠AOB.所以当 sin∠AOB=1, 即 OA⊥OB 时, 2 S△AOB 取得最大值,此时点 O 到直线 l 的距离 d=|OA|· sin 45° = 2 .设此时直线 l

2 |0-0- 2k| 的斜率为 k,则方程为 y=k(x- 2),即 kx-y- 2k=0,则有 2 = , k2+1 3 3 解得 k=± 3 ,由图象可知直线 l 的倾斜角为钝角,故取 k=- 3 . 答案 B

1.直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合,“代数法”与 “几何法”是从不同的方面和思路来判断的. 2.求过一点的圆的切线方程时,首先要判断此点是否在圆上,然后设出切线方 程.注意:斜率不存在的情形. 3.圆的弦长的常用求法 ?l? (1)几何法:求圆的半径为 r,弦心距为 d,弦长为 l,则?2?2=r2-d2; ? ? (2) 代 数 方 法 : 运 用 根 与 系 数 的 关 系 及 弦 长 公 式 : |AB| = 1+k2 |x1 - x2| = ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2].

答题模板 10——与圆有关的探索问题 【典例】 (12 分)已知圆 C:x2+y2-2x+4y-4=0.问在圆 C 上是否存在两点 A、 B 关于直线 y=kx-1 对称,且以 AB 为直径的圆经过原点?若存在,写出直线 AB 的方程;若不存在,说明理由. [规范解答] 圆 C 的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=9,圆心为 C(1,-2).

假设在圆 C 上存在两点 A,B 满足条件, 则圆心 C(1,-2)在直线 y=kx-1 上,即 k=-1. 于是可知,kAB=1. 设 lAB:y=x+b,代入圆 C 的方程, 整理得 2x2+2(b+1)x+b2+4b-4=0, 则 Δ=4(b+1)2-8(b2+4b-4)>0,即 b2+6b-9<0. 解得-3-3 2<b<-3+3 2. (6 分) (2 分)

设点 A,B 的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2), 1 则 x1+x2=-b-1,x1x2=2b2+2b-2. 也就是 x1x2+(x1+b)(x2+b)=0. 由题意知 OA⊥OB,则有 x1x2+y1y2=0, ∴2x1x2+b(x1+x2)+b2=0. ∴b2+4b-4-b2-b+b2=0,化简得 b2+3b-4=0. 解得 b=-4 或 b=1,均满足 Δ>0, 即直线 AB 的方程为 x-y-4=0,或 x-y+1=0 . (10 分) (11 分) (12 分) (8 分)

[反思感悟] 本题是与圆有关的探索类问题,要注意充分利用圆的几何性质解题, 解题的关键有两点:(1)假设存在两点 A、B 关于直线对称,则直线过圆心.(2) → → 若以 AB 为直径的圆过原点,则 OA⊥OB.转化为OA· OB=0. 答题模板 第一步:假设符合要求的结论存在. 第二步:从条件出发(即假设)利用直线与圆的关系求解. 第三步:确定符合要求的结论存在或不存在. 第四步:给出明确结果. 第五步:反思回顾,查看关键点,易错点及答题规范. 【自主体验】 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15=0,若直线 y=kx-2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最 大值是________. 解析 圆 C 的标准方程为(x-4)2+y2=1, 如图, 直线 y=kx-2 上至少存在一点, 使得以该点为圆心, 1 为半径的圆与圆 C 有公共点,只需保证圆心 C 到 y=kx-2 的距离不大于 2 即 可.圆心 C(4,0)到直线 y=kx-2 的距离 d= 4 4k≤0,解得 0≤k≤3. 4 故 kmax=3. |4k-2| |4k-2| |4k-2| ≤2,整理得 3k2- 2 2= 2,由题意知 ?-1? +k 1+k 1+k2

4 答案 3

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟)

一、选择题 1.(2014· 广州二测)直线 y=kx+1 与圆 x2+y2-2y=0 的位置关系是( A.相交 B.相切 C.相离 ).

D.取决于 k 的值

解析 由 y=kx+1 知直线过定点(0,1),由 x2+y2-2y=0 得 x2+(y-1)2=1.∴直 线经过圆的圆心,∴直线与圆相交. 答案 A 2.圆(x+2)2+y2=4 与圆(x-2)2+(y-1)2=9 的位置关系为( A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 ).

解析 两圆圆心分别为(-2,0)和(2,1),半径分别为 2 和 3,圆心距 d= 42+1= 17.∵3-2<d<3+2,∴两圆相交. 答案 B 3.若直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共点,则实数 a 的取值范围是 ( ). B.[-1,3]

A.[-3,-1] C.[-3,1]

D.(-∞,-3]∪[1,+∞)

解析 由题意可得,圆的圆心为(a,0),半径为 2, ∴ |a-0+1| ≤ 2,即|a+1|≤2,解得-3≤a≤1. 12+?-1?2

答案 C 4.(2014· 宝鸡二检 )若圆 x2 + y2 + 2x- 4y+ m= 0(m<3)的一条弦 AB 的中点为 P(0,1),则垂直于 AB 的直径所在直线的方程为( A.x-y+1=0 B.x+y-1=0 ).

C.x-y-1=0 D.x+y+1=0 解析 由圆的方程得该圆圆心为 C(-1,2),则 CP⊥AB,直线 CP 的斜率为-1, 故垂直于 AB 的直径所在直线的方程为 y-1=-x,即 x+y-1=0. 答案 B 5. (2014· 威海期末考试)若直线 y=kx 与圆(x-2)2+y2=1 的两个交点关于直线 2x +y+b=0 对称,则 k,b 的值分别为( 1 1 A.k=2,b=-4 B.k=-2,b=4 1 1 C.k= ,b=4 D.k=- ,b=-4 2 2 解析 因为直线 y=kx 与圆(x-2)2+y2=1 的两个交点关于直线 2x+y+b=0 对 1 称, 则 y=kx 与直线 2x+y+b=0 垂直, 且 2x+y+b=0 过圆心, 所以解得 k=2, b=-4. 答案 A 二、填空题 6.过点 A(2,4)向圆 x2+y2=4 所引切线的方程为________. 解析 显然 x=2 为所求切线之一;另设直线方程为 y-4=k(x-2),即 kx-y+4 -2k=0,那么 |4-2k| 3 =2,解得 k=4, 2 k +1 ).

即 3x-4y+10=0. 答案 x=2 或 3x-4y+10=0 ?1 ? 7.过点 M?2,1?的直线 l 与圆 C:(x-1)2+y2=4 交于 A,B 两点,C 为圆心, ? ? 当∠ACB 最小时,直线 l 的方程为________. 1 1-2 0-1

解析 由题意得,当 CM⊥AB 时,∠ACB 最小,从而直线方程 y-1=- ? 1? ?x-2?,即 2x-4y+3=0. ? ? 答案 2x-4y+3=0

8.(2014· 三门峡二模)两圆相交于两点(1,3)和(m,-1),两圆圆心都在直线 x-y +c=0 上,且 m,c 均为实数,则 m+c=________.

?1+m ? 解析 根据两圆相交的性质可知,两点(1,3)和(m,-1)的中点? ,1?在直线 x ? 2 ? -y+c=0 上,并且过两点的直线与 x-y+c=0 垂直,故有 1+m ? ? 2 -1+c=0, ?3-?-1? ? ? 1-m ×1=-1, 答案 3 三、解答题 9.求过两圆 x2+y2+4x+y=-1,x2+y2+2x+2y+1=0 的交点的圆中面积最小 的圆的方程.
2 2 ?x +y +4x+y=-1, 解 由? 2 2 ?x +y +2x+2y+1=0,

∴m=5,c=-2,∴m+c=3.

① ②

1 ①-②得 2x-y=0 代入①得 x=-5或-1, 2? ? 1 ∴两圆两个交点为?-5,-5?,(-1,-2). ? ? 2? ? 1 过两交点圆中,以?-5,-5?,(-1,-2)为端点的线段为直径的圆时,面积最 ? ? 小. 6? ? 3 ∴该圆圆心为?-5,-5?,半径为 ? ? ? 1 ? ? 2 ? ?-5+1?2+?-5+2?2 ? ? ? ? 2 5 = 5 , 2 ? 3? ? 6? 4 圆方程为?x+5?2+?y+5?2=5. ? ? ? ? 10.已知:圆 C:x2+y2-8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且|AB|=2 2时,求直线 l 的方程. 解 将圆 C 的方程 x2+y2-8y+12=0 化成标准方程为 x2+(y-4)2=4,则此圆 的圆心为(0,4),半径为 2. (1)若直线 l 与圆 C 相切,则有 |4+2a| =2, a2+1

3 解得 a=-4. (2)过圆心 C 作 CD⊥AB,则根据题意和圆的性质,

? ? 得?|CD| +|DA| =|AC| =2 , 1 ? ?|DA|=2|AB|= 2.
|CD|=
2

|4+2a| , a2+1
2

2

2

解得 a=-7 或-1.

故所求直线方程为 7x-y+14=0 或 x-y+2=0. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟)

一、选择题 1.(2014· 安徽宣城六校联考)已知点 P(x0,y0),圆 O:x2+y2=r2(r>0),直线 l: x0x+y0y=r2,有以下几个结论:①若点 P 在圆 O 上,则直线 l 与圆 O 相切;② 若点 P 在圆 O 外,则直线 l 与圆 O 相离;③若点 P 在圆 O 内,则直线 l 与圆 O 相交;④无论点 P 在何处,直线 l 与圆 O 恒相切,其中正确的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 ).

r2 2 解析 根据点到直线的距离公式有 d= 2 2,若点 P 在圆 O 上,则 x0 +y2 0= x0+y0
2 2 r2,d=r,相切;若点 P 在圆 O 外,则 x2 0+y0>r ,d<r,相交;若点 P 在圆 O 2 2 内,则 x0 +y2 0<r ,d>r,相离,故只有①正确.

答案 A 2.(2013· 重庆卷)已知圆 C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆 C2:(x-3)2+(y-4)2=9, M,N 分别是圆 C1,C2 上的动点,P 为 x 轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为 ( ). B. 17-1 C.6-2 2 D. 17

A.5 2-4

解析 圆 C1, C2 的图象如图所示. 设 P 是 x 轴上任意一点, 则|PM|的最小值为|PC1| -1,同理|PN|的 最小值为|PC2|-3,则|PM|+|PN|的最小值为|PC1|+|PC2|-4.作 C1 关于 x 轴的对 称点 C′1(2,-3),

连接 C′1C2,与 x 轴交于点 P,连接 PC1,根据三角形两边之和大于第三边可知 |PC1|+|PC2|的最小值 为|C′1C2|,则|PM|+|PN|的最小值为 5 2-4.选 A. 答案 A 二、填空题 3.(2014· 福建质检)已知直线 l:y=- 3(x-1)与圆 O:x2+y2=1 在第一象限内 交于点 M,且 l 与 y 轴交于点 A,则△MOA 的面积等于________. 解析 依题意,直线 l:y=- 3(x-1)与 y 轴的交点 A 的坐标为(0, 3).由
2 2 ?x +y =1, 1 1 ? 得点 M 的横坐标 xM=2, 所以△MOA 的面积为 S=2|OA|×xM ?y=- 3?x-1?,

1 1 3 =2× 3×2= 4 . 答案 3 4

三、解答题 4.已知圆 M:x2+(y-2)2=1,Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切圆 M 于 A, B 两点. (1)若 Q(1,0),求切线 QA,QB 的方程; (2)求四边形 QAMB 面积的最小值; 4 2 (3)若|AB|= 3 ,求直线 MQ 的方程. 解 (1)设过点 Q 的圆 M 的切线方程为 x=my+1, 则圆心 M 到切线的距离为 1, ∴ |2m+1| 4 =1,∴m=-3或 0, 2 m +1

∴QA,QB 的方程分别为 3x+4y-3=0 和 x=1. (2) ∵ MA ⊥ AQ ,∴ S ≥ |MO|2-1= 3. ∴四边形 QAMB 面积的最小值为 3. (3)设 AB 与 MQ 交于 P,
四边形

|QA| = |QA| = MAQB = |MA|·

|MQ|2-|MA|2 = |MQ|2-1

则 MP⊥AB,MB⊥BQ,∴|MP|=

?2 2?2 1 ?= . 1-? ? 3 ? 3

1 在 Rt△MBQ 中,|MB|2=|MP||MQ|,即 1=3|MQ|, ∴|MQ|=3,∴x2+(y-2)2=9. 设 Q(x,0),则 x2+22=9, ∴x=± 5,∴Q(± 5,0), ∴MQ 的方程为 2x+ 5y-2 5=0 或 2x- 5y+2 5=0.


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