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2015-2016学年广东省汕头市高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)


2015-2016 学年广东省汕头市高二(下)期末数学试卷(文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知集合 M={x|﹣1<x<1},N={x|x2<4,x∈Z},则( ) A.M∩N={0} B.N? M C.M? N D.M∪N=N 2.设 i 是虚数单位,a∈R,若 i(ai+2)是一个纯虚数,则实数 a 的值为( A.﹣ B.﹣1 C.0 D.1 )



3.下列四个函数中,既是定义域上的奇函数又在区间(0,1)内单调递增的是( A.y=x3 B.y=cosx C.y=ln D.y=ex

4.双曲线



=1 的离心率为(



A.

B.

C.

D.

5.已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y﹣ 的最大值是(



A.﹣

B.0

C.

D.1

6.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中的弧线是半径为 1 的四分之一个圆弧,则该 几何体的体积为( )

A.1

B.2π

C.1﹣

D.1﹣ )

7.一个算法的程序框图如图所示,该程序输出的结果为(

第 1 页(共 21 页)

A.

B.

C.

D. )

8.直线 x﹣y+m=0 与圆 x2+y2=1 相交的一个充分不必要条件是( A.0<m<1 B.﹣4<m<2 C.m<1 D.﹣3<m<1 9.函数 f(x)=sin(2x+φ)|φ|< 等于( A. ) B.﹣ C. D. )的图象向左平移

个单位后关于原点对称,则 φ

10.经过函数 y=﹣ 图象上一点 M 引切线 l 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B,O 为坐标 原点,记△OAB 的面积为 S,则 S=( A.8 B.4 C.2 D.1 )

11.已知向量| |=1,| |=2 且 ? =0,又 = +2 , A.﹣ B.﹣1 C.1 D.2

=m ﹣n , ∥ ,则 等于(



12.已知 a>0,若函数 点,则 a 的取值范围是( A. ( ,1] B. (1,2] ) C. (1,+∞)

且 g(x)=f(x)+2a 至少有三个零

D.[1,+∞)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将正确答案填在答卷相应的位置上) 13.如果 sin(x+ )= ,则 cos(﹣x)= . .

14.当 x<0 时,f(x)=﹣x﹣ 的最小值是

第 2 页(共 21 页)

15.数学与文学有许多奇妙的联系,如诗中有回文诗:“儿忆父兮妻忆夫”,既可以顺读也可 以逆读,数学中有回文数,如 343,12521 等,两位数的回文数有 11、22、33、…99 共 9 个, 则三位数的回文数中,偶数的概率是 . 16. 已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 4, 点 E 是线 B1C 段的中点, 则三棱锥 A﹣DED1 外接球的体积为 . 三、解答题(6 小题,满分 60 分.而且他又写出必要的文字说明,证明过程或结算步骤) 17.已知数列{an}的各项均是正数,其前 n 项和为 Sn,满足 Sn=4﹣an. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= (n∈N*) ,求数列{bn}的前 2n 项和 T2n.

18.某校对高三部分学生的数学质检成绩作相对分析.

(1)按一定比例进行分层抽样抽取了 20 名学生的数学成绩,并用茎叶图(图 1)记录,但 部分数据不小心丢失了,已知数学成绩[70,90)的频率是 0.2,请补全表格并绘制相应频率 分布直方图(图 2) . 50 分数段 (分) [ ,70) [70,90) [90,110) [110,130) [130,150)

(2)为考察学生的物理成绩与数学成绩是否有关系,抽取了部分同学的数学成绩与物理成 绩进行比较,得到统计数据如表: 物理成绩优秀 物理成绩一般 合计 15 3 18 数学成绩优秀 5 17 22 数学成绩一般 20 20 40 合计 能够有多大的把握,认为物理成绩优秀与数学成绩优秀有关系? K2= P(K2≥K0) K0

0.05

0.01

0.005

0.001

3.481

6.635

7.879

10.828

第 3 页(共 21 页)

19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,侧棱 PA=PC=PD= BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2. (1)求证:侧面 PAD⊥底面 ABCD; (2)求三棱锥 P﹣ACD 的表面积.

,底面 ABCD 为直角梯形,其中

20.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C:

+y2=1 的右顶点是 A、上顶点是 B.

(1)求以 AB 为直径的圆 E 的标准方程; (2)过点 D(0,2)且斜率为 k(k>0)的直线 l 交曲线 C 于两点 M,N 且 ? =0,其 中 O 为坐标原点,求直线 l 的方程. 21.已知函数 f(x)=ex﹣x. (1)求函数 f(x)的极值; (2)设函数 g(x)=(m﹣1)x+n,若对? x∈R,f(x)恒不小于 g(x) ,求 m+n 的最大 值. 请考生在第(22)(23)(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题目计分.[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,AB 是⊙O 的直径,AD,DE 是⊙O 的切线.AD,BE 的延长线交于点 C. (1)求证:A、O、E、D 四点共圆; (2)若 OA= CE,∠B=30°,求 CD 长.

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在平面直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 C 的极坐标方程是 ρcosθ+ρsinθ=1,曲线 D 的参数方程是: (1)求曲线 C 与曲线 D 的直角坐标方程; (2)若曲线 C 与曲线 D 相交于 A、B 两点,求|AB|. [选修 4-5:不等式选讲] 24.设函数 f(x)=|x﹣ (α 为参数) .

|﹣|x+

|最大值为 M,
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(1)求实数 M 的值; (2)若? x∈R,f(x)≥t2﹣(2+

)t 恒成立,求实数 t 的取值范围.

第 5 页(共 21 页)

2015-2016 学年广东省汕头市高二 (下) 期末数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知集合 M={x|﹣1<x<1},N={x|x2<4,x∈Z},则( ) A.M∩N={0} B.N? M C.M? N D.M∪N=N 【考点】集合的表示法. 【分析】化简集合 N,利用集合的交集的定义,即得出结论. 【解答】解:∵集合 M={x|﹣1<x<1},N={x|x2<4,x∈Z}={﹣1,0,1}, ∴M∩N={0}, 故选:A. 2.设 i 是虚数单位,a∈R,若 i(ai+2)是一个纯虚数,则实数 a 的值为( A.﹣ B.﹣1 C.0 D.1 )

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】根据所给的复数是一个纯虚数,得到这个复数的实部等于 0 且虚部不等于 0,得到 结果. 【解答】解:∵i(ai+2)是纯虚数, 即﹣a+2i 是纯虚数, ∴﹣a=0, ∴a=0 故选:C. 3.下列四个函数中,既是定义域上的奇函数又在区间(0,1)内单调递增的是( A.y=x3 B.y=cosx C.y=ln D.y=ex )

【考点】函数单调性的判断与证明. 【分析】根据奇函数的定义,奇函数图象的对称性,以及 y=x3 和余弦函数的单调性,复合 函数、反比例函数和对数函数的单调性即可判断每个选项的正误,从而找出正确选项. 【解答】解:y=cosx 在定义域上没有单调性, 在定义域上单调

递减,y=ex 的图象不关于原点对称,不是奇函数,y=x3 为奇函数,且在 R 上单调递增. 故选:A.

4.双曲线



=1 的离心率为(



A.

B.

C.

D.
第 6 页(共 21 页)

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】根据双曲线的方程求出 a,b,c 即可. 【解答】解:由 ﹣ =1 得 a2=64,b2=36,

则 c2=a2+b2=64+36=100, 则 a=8,c=10, 则双曲线的离心率 e= = 故选:B = ,

5.已知变量 x,y 满足约束条件

,则 z=2x+y﹣ 的最大值是(



A.﹣

B.0

C.

D.1

【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求最大值. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分) . 由 z=2x+y﹣ 得 y=﹣2x+z+ , 平移直线 y=﹣2x+z+ , 由图象可知当直线 y=﹣2x+z+ 经过点 B 时, 直线 y=﹣2x+z+ 的截距最大, 此时 z 最大.



,解得

,即 B( , ) ,

代入目标函数 z=2x+y﹣ 得 z=2× + ﹣ =1. 即目标函数 z=2x+y﹣ 的最大值为 1. 故选:D

第 7 页(共 21 页)

6.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中的弧线是半径为 1 的四分之一个圆弧,则该 几何体的体积为( )

A.1

B.2π

C.1﹣

D.1﹣

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图得到几何体是棱长为 1 的正方体挖去底面半径为 1 的 圆柱,间接法求体 积即可. 【解答】解:由已知三视图得到几何体是棱长为 1 的正方体挖去底面半径为 1 的 圆柱,正 方体的条件为 1, 圆柱的体积为 故选 C. 7.一个算法的程序框图如图所示,该程序输出的结果为( ) ,所以其体积为 1﹣ ;

第 8 页(共 21 页)

A.

B.

C.

D.

【考点】程序框图. 【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,i 的值,当 i=6 时不满足条件 i ≤5,输出 S 的值,利用裂项法即可计算得解. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得 i=1,S=0 满足条件 i≤5,执行循环体,S= 满足条件 i≤5,执行循环体,S= 满足条件 i≤5,执行循环体,S= 满足条件 i≤5,执行循环体,S= 满足条件 i≤5,执行循环体,S= ,i=2 + + + + ,i=3 + + + ,i=4 + + ,i=5 + ,i=6

不满足条件 i≤5,退出循环,输出 S 的值. 由于 S= 故选:B. 8.直线 x﹣y+m=0 与圆 x2+y2=1 相交的一个充分不必要条件是( A.0<m<1 B.﹣4<m<2 C.m<1 D.﹣3<m<1 ) + + + + = (1﹣ ) + ( =1﹣ = . ) +… + ( ﹣ )

【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】把直线与圆的方程联立,消去 y 得到一个关于 x 的一元二次方程,根据直线与圆有 两个不同的交点得到此方程有两个不等的实根,即△>0,列出关于 m 的不等式,求出不等 式的解集得到 m 的范围,在四个选项中找出解集的一个真子集即为满足题意的充分不必要 条件. 【解答】解:联立直线与圆的方程,消去 y 得:2x2+2mx+m2﹣1=0, 由题意得:△=(2m)2﹣8(m2﹣1)=﹣4m2+8>0,
第 9 页(共 21 页)

解得:﹣ <m< , ∵0<m<1 是﹣ <m< 的一个真子集, ∴直线 x﹣y+m=0 与圆 x2+y2=1 相交的一个充分不必要条件是 0<m<1. 故选 A.

9.函数 f(x)=sin(2x+φ)|φ|< 等于( A. ) B.﹣ C. D.

)的图象向左平移

个单位后关于原点对称,则 φ

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】 由条件根据函数 y=Asin (ωx+φ) 的图象变换规律, 正弦函数的图象的对称性可得 +φ=kπ,k∈z,由此根据|φ|< 求得 φ 的值. )的图象向左平移 个单位后,得到函数

【解答】解:函数 f(x)=sin(2x+φ)φ|< y=sin[2(x+ )+φ]=sin(2x+

+φ)的图象, +φ=kπ,k∈z,∴φ=﹣ ,

再根据所得图象关于原点对称,可得 故选:D.

10.经过函数 y=﹣ 图象上一点 M 引切线 l 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B,O 为坐标 原点,记△OAB 的面积为 S,则 S=( A.8 B.4 C.2 D.1 )

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】利用导数可求得切线 l 的斜率及方程,从而可求得 l 与两坐标轴交于 A,B 两点的 坐标,继而可求△OAB 的面积. 【解答】解:设 M(x0,y0)为曲线 y=﹣ 上任一点,则 y0=﹣ ∵y=﹣ ,∴y′= .

,设过曲线 y=﹣ 上一点 M 的切线 l 的斜率为 k,

则 k=



∴切线 l 的方程为:y+

=

(x﹣x0) , ) ;

∴当 x=0 时,y=﹣

,即 B(0,﹣

当 y=0 时,x=2x0,即 A(2x0,0) ;

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∴S△ OAB= |OA|?|OB|= ×|2x0|?|﹣ 故选:B.

|=4.

11.已知向量| |=1,| |=2 且 ? =0,又 = +2 , A.﹣ B.﹣1 C.1 D.2

=m ﹣n , ∥ ,则 等于(



【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】根据向量共线的等价条件建立方程关系进行求解即可. 【解答】解:∵向量| |=1,| |=2 且 ? =0 ∴ 与 不共线, ∵ = +2 , =m ﹣n , ∥ , ∴设 =x , 则 x( +2 )=m ﹣n , 即 故选:A ,则 =﹣ ,

12.已知 a>0,若函数 点,则 a 的取值范围是( A. ( ,1] B. (1,2] ) C. (1,+∞)

且 g(x)=f(x)+2a 至少有三个零

D.[1,+∞)

【考点】函数零点的判定定理. 【分析】把函数零点问题转化为方程根的问题,然后画出 a=1 及 a=2 时的分段函数的简图, 由图判断 a=1 及 a=2 时满足题意,结合选项得答案. 【解答】解:函数 g(x)=f(x)+2a 的零点的个数等价于方程 f(x)=﹣2a 根的个数, 即函数 y=f(x)的图象与直线 y=﹣2a 交点的个数,利用特殊值验证法: 当 a=1 时,y=f(x)的图象如图:

满足题意; 当 a=2 时,y=f(x)的图象如图:

第 11 页(共 21 页)

满足题意. 结合选项可知,a 的范围是 D. 故选:D. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将正确答案填在答卷相应的位置上) 13.如果 sin(x+ )= ,则 cos(﹣x)= .

【考点】三角函数的化简求值. 【分析】利用三角函数的诱导公式首先化简再求值. 【解答】解:由已知得到 cosx= ,而 cos(﹣x)=cosx= ; 故答案为: .

14.当 x<0 时,f(x)=﹣x﹣ 的最小值是 2 【考点】基本不等式;函数的最值及其几何意义.



【分析】由 x<0,可得﹣x>0,函数 f(x)化为 f(x)=(﹣x)+ 计算即可得到所求最小值和 x 的值. 【解答】解:当 x<0 时,﹣x>0, 即有 f(x)=﹣x﹣ =(﹣x)+ ≥2 =2 . .

,运用基本不等式,

当且仅当 x=﹣ 时,f(x)取得最小值 2 故答案为:2 .

15.数学与文学有许多奇妙的联系,如诗中有回文诗:“儿忆父兮妻忆夫”,既可以顺读也可 以逆读,数学中有回文数,如 343,12521 等,两位数的回文数有 11、22、33、…99 共 9 个, 则三位数的回文数中,偶数的概率是 .

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率.

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【分析】利用列举法列举出所有的三位回文数的个数,再列举出其中所有的偶数的个数,由 此能求出结果. 【解答】解:三位数的回文数为 ABA, A 共有 1 到 9 共 9 种可能,即 1B1、2B2、3B3… B 共有 0 到 9 共 10 种可能,即 A0A、A1A、A2A、A3A、… 共有 9×10=90 个, 其中偶数为 A 是偶数,共 4 种可能,即 2B2,4B4,6B6,8B8, B 共有 0 到 9 共 10 种可能,即 A0A、A1A、A2A、A3A、… 其有 4×10=40 个, ∴三位数的回文数中,偶数的概率 p= 故答案为: . .

16. 已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 4, 点 E 是线 B1C 段的中点, 则三棱锥 A﹣DED1 外接球的体积为 36π . 【考点】球的体积和表面积. 【分析】三棱锥 A﹣DED1 外接球为四棱锥 E﹣A1D1DA 外接球,利用勾股定理建立方程, 求出球的半径,即可求出三棱锥 A﹣DED1 外接球体. 【解答】解:三棱锥 A﹣DED1 外接球为四棱锥 E﹣A1D1DA 外接球, 设球的半径为 R,则 R2=(2 )2+(4﹣R)2, ∴R=3, ∴三棱锥 A﹣DED1 外接球体积为 故答案为:36π. =36π.

三、解答题(6 小题,满分 60 分.而且他又写出必要的文字说明,证明过程或结算步骤) 17.已知数列{an}的各项均是正数,其前 n 项和为 Sn,满足 Sn=4﹣an. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn= (n∈N*) ,求数列{bn}的前 2n 项和 T2n.

【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (1)利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出;

第 13 页(共 21 页)

(2)n 为奇数时,bn=

=n﹣2.n 为偶数时,bn=

.分组分别利用等

差数列与等比数列的求和公式即可得出. 【解答】解: (1)由 Sn=4﹣an,Sn+1=4﹣an+1,两式相减得 an+1=an﹣an+1, 得 = ,

又 a1=S1=4﹣a1,解得 a1=2. 故数列{an}是以 2 为首项, 为公比的等比数列. 故 an=2× = .

(2)n 为奇数时,bn= n 为偶数时,bn= .

=n﹣2.

∴T2n=(b1+b3+…+b2n﹣1)+(b2+b4+…+b2n) =[﹣1+1+…+(2n﹣3)]+ +… +

=

+

=n2﹣2n+



18.某校对高三部分学生的数学质检成绩作相对分析.

(1)按一定比例进行分层抽样抽取了 20 名学生的数学成绩,并用茎叶图(图 1)记录,但 部分数据不小心丢失了,已知数学成绩[70,90)的频率是 0.2,请补全表格并绘制相应频率 分布直方图(图 2) .
第 14 页(共 21 页)

分数段 (分) [50,70)

[70,90)

[90,110)

[110,130)

[130,150)

0.005 0.010 0.020 0.010 0.005 (2)为考察学生的物理成绩与数学成绩是否有关系,抽取了部分同学的数学成绩与物理成 绩进行比较,得到统计数据如表: 物理成绩优秀 物理成绩一般 合计 15 3 18 数学成绩优秀 5 17 22 数学成绩一般 20 20 40 合计 能够有多大的把握,认为物理成绩优秀与数学成绩优秀有关系? K2= P(K2≥K0) K0

0.05

0.01

0.005

0.001

3.481

6.635

7.879

10.828

【考点】独立性检验的应用;频率分布直方图. 【分析】 (1)利用茎叶图,可得表格及频率分布直方图; (2)求出 K2,与临界值比较,即可得出结论. 【解答】解: (1) 分数段 [50,70) [70,90) [90,110) [110,130) [130,150] (分) 0.005 0.010 0.020 0.010 0.005

频率分布直方图

(2)假设学生的物理成绩与数学成绩没有关系, 则 K2= ≈14.55>10.828

∴有 99.9%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩优秀有关系. 19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,侧棱 PA=PC=PD= BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2. (1)求证:侧面 PAD⊥底面 ABCD; (2)求三棱锥 P﹣ACD 的表面积.
第 15 页(共 21 页)

,底面 ABCD 为直角梯形,其中

【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;平面与平面垂直的判定. CO, 【分析】 (1) 取 AD 中点 O, 连接 PO、 利用等腰三角形的性质可得 PO⊥AD 且 PO=1. 又 CO⊥AD 且 CO=1, 底面 ABCD 为直角梯形, 可得四边形 ABCO 是正方形, 由 PC2=CO2+PO2, 可得 PO⊥OC,因此 PO⊥平面 ABCD.即可证明侧面 PAD⊥底面 ABCD. (2)S△ ACD= ,S△ PAD= .利用已知可得:△PAC,△PCD 都是边长为 .即可得出.

的等边三角形,故 S△ PAC=S△ PCD=

【解答】证明: (1)取 AD 中点 O,连接 PO、CO,由 PA=PD= , 得 PO⊥AD 且 PO=1. 又底面 ABCD 为直角梯形,其中 BC∥AD,AB⊥AD,O 为 AD 中点,故四边形 ABCO 是 正方形, 故 CO⊥AD 且 CO=1, 故△POC 中,PC2=CO2+PO2,即 PO⊥OC,又 AD∩CO=O, 故 PO⊥平面 ABCD. PO? 平面 PAD, 故侧面 PAD⊥底面 ABCD. 解: (2)S△ ACD= △PAC 中,AC=PA=PC= Rt△COD 中,CD= 故△PAC,△PCD 都是边长为 故 S△ PAC=S△ PCD= = , = , 的等边三角形, = . . =1,S△ PAD= = =1.

∴三棱锥 P﹣ACD 的表面积 S=2+

第 16 页(共 21 页)

20.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C:

+y2=1 的右顶点是 A、上顶点是 B.

(1)求以 AB 为直径的圆 E 的标准方程; (2)过点 D(0,2)且斜率为 k(k>0)的直线 l 交曲线 C 于两点 M,N 且 中 O 为坐标原点,求直线 l 的方程.

?

=0,其

【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】 (1)求出圆心与半径,即可求以 AB 为直径的圆 E 的标准方程; (2)直线 l:y=kx+2 联立 C 整理得(1+4k2)x2+16kx+12=0,利用向量知识及韦达定理,求 出 k,即可求直线 l 的方程. 【解答】解: (1)依题意点 A(2,0) 、B(0,1) 故线段 AB 的中点 E(1, ) , 所求圆 E 的半径 r= ,

故圆 E 的标准方程为(x﹣1)2+(y﹣ )2= (2)依题意,直线 l:y=kx+2 联立 C 整理得(1+4k2)x2+16kx+12=0, 此时△=16(4k2﹣3)>0,又 k>0,故 k> 设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则 x1+x2=﹣ =x1x2+y1y2=2k(x1+x2)+(1+k2)x1x2+4= . ,x1x2= =0,

?

由 k>0 得 k=2 故所求直线 l 的方程是 y=2x+2. 21.已知函数 f(x)=ex﹣x. (1)求函数 f(x)的极值; (2)设函数 g(x)=(m﹣1)x+n,若对? x∈R,f(x)恒不小于 g(x) ,求 m+n 的最大 值. 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】 (1)求导数 f′(x)=ex﹣1,解 f′(x)<0 和 f′(x)>0 便可得出函数 f(x)的单 调区间,从而求出函数 f(x)的极小值,并判断没有极大值; (2)根据条件可得出,对任意的 x∈R,都有 ex﹣mx﹣n≥0 成立,然后令 u(x)=ex﹣mx ﹣n,求导 u′(x)=ex﹣m,讨论 m 的取值,根据导数符号求函数的最小值,从而得出 m+n ≤2m﹣mlnm,同样根据导数便可求出 2m﹣mlnm 的最大值,这样即可求出 m+n 的最大值. 【解答】解: (1)依题意 f′(x)=ex﹣1; 令 f′(x)<0 得 x<0 令 f′(x)>0 得 x>0 故函数 f(x)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增 故函数 f(x)的极小值为 f(0)=1,没有极大值. (2)依题意对? x∈R,f(x)≥g(x) ,即 ex﹣x≥(m﹣1)x+n,即 ex﹣mx﹣n≥0 恒成立
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令 u(x)=ex﹣mx﹣n,则 u′(x)=ex﹣m ①若 m≤0,则 u′(x)>0,u(x)在 R 上单调递增,没有最小值,不符题意,舍去. ②若 m>0,令 u′(x)=0 得 x=lnm 当 u′(x)<0,即 x∈(﹣∞,lnm)时,u(x)单调递减; 当 u′(x)>0,即 x∈(lnm,+∞)时,u(x)单调递增. 故 =m﹣mlnm﹣n≥0;

故 m+n≤2m﹣mlnm 令 q(m)=2m﹣mlnm,则 q′(x)=1﹣lnm 当 m∈(0,e)时,q′(x)>0,q(x)单调递增; 当 m∈(e,+∞)时,q′(x)<0,q(x)单调递减 故 q(x)max=q(e)=2e﹣elne=e,即 m+n≤e,即 m+n 的最大值是 e. 请考生在第(22)(23)(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一个题目计分.[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,AB 是⊙O 的直径,AD,DE 是⊙O 的切线.AD,BE 的延长线交于点 C. (1)求证:A、O、E、D 四点共圆; (2)若 OA= CE,∠B=30°,求 CD 长.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (1)连接 EO,证明对角互补,可得 A、O、E、D 四点共圆; (2)若 OA= CE,∠B=30°,求出 AC,AD,即可求 CD 长. 【解答】 (1)证明:连接 EO ∵AD,DE 是⊙O 的切线 ∴∠DAO=∠DEO=90°, ∴∠DAO+∠DEO=180°,∠ADE+∠AOE=180° ∴A、O、E、D 四点共线. (2)解:连接 AE, ∵CE=1,∴AO= ,AB=2 ∵AB 是圆 O 的直径,∴∠AEB=90° Rt△ABE 中,∠B=30°,故 AE= AB= △ADE 中,∠DAE=∠DEA=∠B=30°, ∴∠ADE=120° ∴AD= =1 ,BE=3

又由切割线定理得 AC2=CE?CB=1×4=4,∴AC=2 故 CD=AC﹣AD=1.
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[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在平面直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 C 的极坐标方程是 ρcosθ+ρsinθ=1,曲线 D 的参数方程是: (1)求曲线 C 与曲线 D 的直角坐标方程; (2)若曲线 C 与曲线 D 相交于 A、B 两点,求|AB|. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (1)根据公式 ρ?cosθ=x,ρ?sinθ=y 求出曲线 C 的直角坐标方程,根据 (α 为参数) .

得出曲线 D 的直角坐标方程;

(2)联立

得出 A,B 两点坐标,用两点间距离公式求出|AB|.

【解答】解: (1)∵ρ?cosθ=x,ρ?sinθ=y, ∴曲线 C 的直角坐标方程为:x+y﹣1=0, 得曲线 D 的直角坐标方程为(x﹣2)2+y2=1;



(2)联立

得交点 A、B 的坐标为(1,0) , (2,﹣1)

故|AB|=

=



[选修 4-5:不等式选讲] 24.设函数 f(x)=|x﹣ |﹣|x+ |最大值为 M, (1)求实数 M 的值; (2)若? x∈R,f(x)≥t2﹣(2+ )t 恒成立,求实数 t 的取值范围. 【考点】绝对值三角不等式;绝对值不等式的解法. 【分析】 (1)根据解析式分别由 x 的范围去绝对值,化简后可得函数 f(x)的解析式,即 可求出最大值 M;

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(2)由(1)中 f(x)的解析式,求出 f(x)的最小值,由条件和恒成立问题列出不等式, 求出解集即可得实数 t 的取值范围.

【解答】解: (1)由题意得,f(x)=|x﹣

|﹣|x+

|=



∴函数 f(x)的最大值 M 是 2 ; (2)由(1)知,函数 f(x)的最小值 M 是﹣2 , ∵? x∈R,f(x)≥t2﹣(2+ )t 恒成立, ∴﹣2 ≥t2﹣(2+ )t, 化简得,t2﹣(2+ )t+2 ≤0, 解得 ,所以不等式的解集是[ ,2].

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2016 年 9 月 1 日

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