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高中数学选修4-4第一讲1


第一讲 坐 标 系

我们知道, 通过直角坐标系 平面上的点与坐标 , ?有序实数对?、曲线与方程建立了联 , 从而实 系 现了数与形的结合根据几何对象的特征, 选择 . 适当的坐标系, 建立它的方程 通过方程研究它 , 的性 质及其他几何图形的关 , 这就是研究几 系 何问题的坐标系 . 由于实现问题的复杂性, 有时在直角坐标系下 建立几何图形的方程并 不方便.为便于用代 数 方法研究几 何图形, 需要建立不同坐标系 .在建 立某些几何图形的方程 , 用极坐标系、柱坐 时 标系和球坐标系会更加 方便. 下面我们先回顾直角坐 系中解 决实际问题 标 的过程.

一 平面直角坐标系

1 平面直角坐标系
思考 某信息中心接 到位于正东、正西、 观测点 正北方向三个观测点 的报 告 : 正 西、正 北 两个观测点同时听到 观测点 观测点 信息中心 一声巨响 正东观测点 , 听到巨响的时间比 它 们晚 4 s.已知各测点到中心的距 离都是1020 m. 试确定巨响发生的位置 假定声音传播速度为 .( 340 m / s, 各观测点均在同一平面 .) 上

如图1 ? 1, 将三个观测点记为 P C A, B, C.由于B, C同时听到由点 P发出的响声因此 | PB |?| PC |, , B A 信息中心 说明点P在线段BC 的垂直平分 线l上; ? 图1 ? 1 由于A听到响声的时间比 , C B 晚4 s,因此 | PA | ? | PB |? 4 ? 340 ? 1360 ?| AB |, 说明点P在以点A, B为焦点的双 曲线?上, 所以, 点P就是直线l与双曲线?的交点.

l

下面利用问题的几何特 , 通过建立适当的直角坐 征 标系 具体确定点P的位置. ,
思考 怎样建立直角坐标系才 能有利于解决这个问题 ?

由于点 P 是直线 l 与双曲 线的交点,因此 , 直角坐标 P C 系的选取应尽量使直线 l x O B A 和双曲线?的方程简单, 以 便解方程组求点P 的坐标. l 如图1 ? 2, 以信息中心为 ? 图1 ? 2 原点O, 直线BA 为x轴, 建 立直角坐标系.由已知, 点A, B, C的坐标分别为

y

A?1020,0 ?, B?? 1020,0 ?, C ?0,1020 ?, 于是, 直线 l x2 y 2 的方程为 y ? ? x.双曲线?的方程为 2 ? 2 ? 1 a b

?a ? 0, b ? 0 ? ,由已知得
a ? 680, c ? 1020 于是 , b 2 ? c 2 ? a 2 ? 10202 ? 680 ? 5 ? 340 , 所以 , 双曲线 ?的方程
2 2 2 2
B P

y

C

O

A

x

x y 图1 ? 2 为 ? ? 1. 2 2 680 5 ? 340 将y ? ? x代入上述方程 解得x ? ?680 5 , y ? ?680 5. ,
由已知, 响声应在双曲线 左半支, 所以点P的坐标为 ?

?

l

?? 680 5,680 5 ?.从而| PO |? 680 10?m?.

故,巨响在信息中心的西偏 450 方向 距离680 10m处. 北 ,

思考 我们以信息中心为基点用角和距离 , 刻画了点P的位置.这种方法与用直角坐标 刻画点P的位置有什么区别和联 ? 你认为 系 哪种方法更方便?

上述问题的解决充分体 现了坐标法思想 .

例1 已知?ABC的三边a, b, c满足b ? c ? 5a ,
2 2 2

BE , CF分别为边AC, AB上的中线, 建立适当的 平面直角坐标系探究 与CF的位置关系 BE .
操作打开的几何画板通过观察, , 探究BE 与CF的位置关系 .
y
C E

解 如图1 ? 3, 以 ?ABC 的顶 点A为原点O, 边AB所在的直 线为 x 轴, 建立直角坐标系.
由已知, 点A, B, F的坐标分别
O (A)

F

B

x

图1 ? 3

?c ? 为?0,0 ?, B?c,0 ?, F ? ,0 ?.设点C 的坐标为? x, y ? , ?2 ?

? x y? 则点E的坐标为 , ? . ? ?2 2?

y
C E

线段BE与CF所在直线的 斜率分别为 k BE y 2y ?? , kCF ? . 2c ? x 2x ? c
2 2 2 2 2

O (A)

F

B

x

图1 ? 3

由b ? c ? 5a , 可得 | AC | ? | AB | ? 5 | BC | , 即
2

x ? y ? c ? 5 ?x ? c? ? y 2 ,
2 2 2 2

?

?

整理得2 y 2 ? ?2x ? c??2c ? x?. 所以k BE ? kCF ? ?1.
因此, BE与CF 互相垂直.

探究 你能建立与上述解答中 不同的 直角坐标系解决 问题吗? 比较不同的 直角坐标系下解决 题的过 程 , 你认 问 为建立直角坐标系时应注意 些什么?

2 平面直角坐标系中的伸 缩变换
在三角函数图象的学习 , 我们研究过下面一 中 些问题 . ?1?怎样由正弦曲线 ? sin x得到曲线y ? sin 2 x ? y 打开几何画板 ,观看演变过程 .
y

如图1 ? 4, 在正弦 曲线y ? sin x上任 取一点P? x, y ?, 保

y ? sinx y ? sin2x
P`
P
3
4

1

?2

?1

O
-1

1

2

5

6

x

1 持纵坐标不变 将横坐标x缩为原来的 , 那么 , 2 正弦曲线y ? sin x就变成曲线y ? sin 2 x.

图1 ? 4

思考 从平面直角坐 标 系中的点的对应关系出 发, 你认为 保持纵坐标y " 不变 , 将横坐标 x 缩为原 1 来的 "的实质是什么? 2 实际上, " 保持纵坐标 y 不

标系中的任意一点保持 , 纵坐标 y 不变, 将横坐标 1 x 缩为原来的 , 得到点 2 P`? x`, y`?, 那么 1 x`? x , 2 ?1? y`? y . 变, 将横坐标 x 缩为原来的 我们 把 ?1? 式叫做 平面 1 " 是一个坐标压缩 变 换, 直 角 坐 标 系 中 的 一 个 2 . 即设P?x, y ? 是平面直角坐 坐标压缩变换

?2?怎样由正弦曲线y ? sin x得到曲线 y ? 3 sin x ?
利用几何画板 观察由曲线 y ? sin x变换为曲线 , y ? 3 sin x的过程.
y
3
2
1

P`
P
O
-1
-2

y ? sinx y ? 3sinx

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

-3

如图1 ? 5, 在正弦曲线y ? sin x上任取一点P? x, y ?, 保持横坐标x不变, 将纵坐标 y伸长为原来的3 倍, 那么正弦曲线 ? sin x就变成曲线y ? 3 sin x. y

图1 ? 5

思考 从平面直角坐标系 中 的 点的 对 应 关 系出 发 , 你认为 保持横坐标x不变, " 将纵坐标y 伸长为原来的 3 倍"的实质是什么? 实际上, " 保持横坐标 x 不 变, 将纵坐标 y 伸长为原来 的3倍" 是一个坐标的伸长 变 换, 即 设P? x, y ? 是平面直角坐标

标系中的任意一点保 ,
持横坐标x不变, 将纵坐 标 y伸长为原来的 3倍, 得到点P`? x`, y`?, 那么

x`? x , y`? 3 y .

?2?

我们 把 ?2? 式叫做 平 面直 角 坐 标 系 中 的 一 个坐标伸长变换 .

?1?怎样由正弦曲线 ?y sin x得到曲线y ? 3 sin 2 x ? y
3
2

利用几何画 板作伸缩变 换实验

1

5

O
-1
-2

x

-3

实际上 , 这是上述?1? ?2? 的 " 合成" : 如图1 ? 6 , 先保 1 持纵坐标 y不变, 将横坐标 x 缩为原来的 ; 在此基 2 础上再将纵坐标变为原 来的 3 倍, 就可以由正弦曲 线 y ? sin x 得到曲线 y ? 3 sin 2 x.

图1 ? 6

与上 述 讨论 一样, 设平面 直 角坐 标 系 中的 任 意一 点 P ? x, y ? 经 过上 述 变换 后变为点 P`? x`, y`?, 那么 1 x`? x , 2 ?3? y`? 3 y .

y
3
2
1

5

O
-1
-2

x

-3

图1 ? 6

我们 把 ?3? 式叫做 平面直 角 坐标 系 中的坐标伸缩变换 .

下面给出平面直角坐标 系 中坐标伸缩变换的定义 定义 设点P? x, y ?是平面 直 角坐标系中任 意一点 , 在变换 x`? ? ? x, ?? ? 0 ? , ④ ?: y`? ? ? y, ?? ? 0 ?. 的作用下, 点P? x, y ?对应到 点 P`? x`, y`?, 称 ? 为 平面直 角坐标系中的坐标伸缩 变 换,简称伸缩变换 .

上述?1 ??2 ??3 ?都是坐 标伸缩变换 .在它们 的作用下, 可以实现 平面图形的伸缩例 . 如, 在伸缩变换?3 ?的 作用下, 正弦曲线 y ? sin x变换为y ? 3 sin 2 x.因此, 平面图 形的伸 缩变换可以 用坐标 伸缩变换来 表示.

例 2 在直角坐 标 系中 , 求下 列方程 所 对 应的图形经 过伸缩变换. x`? 2 x, 后的图形 . y`? 3 y ?1? 2 x ? 3 y ? 0 ;

1 x ? x`, 2 ⑤ 得到 1 y ? y`. 3

代入 2 x ? 3 y ? 0, 得到 经过伸缩 变换后的图 形的方程是x`? y`? 0. 所以, 经过伸缩变换后, 直线2 x ? 3 y ? 0变成直 线x`? y`? 0 .

?2? x

? y ?1. 解 ?1?由伸缩变换 x`? 2 x, y`? 3 y
2 2

?2?将 ⑤ 代入x 2 ? y 2 ? 1 , 得到经过伸缩变换后的
x` y` 图形的方程是 ? ? 1. 4 9 x`? 2 x, 2 2 所以, 经过伸缩变换 后,圆x ? y ? 1变 y`? 3 y
x` y` 成椭圆 ? ? 1. 4 9
操作几何画板观看伸缩 变换过程.
2 2

2

2

由以上所述可以发现在伸缩变换④下, 直线 , 仍然变成直线而圆可以变成椭圆 , .

思考 在伸缩变换④下, 椭圆是否可以 变成圆? 抛物线双曲线变成什么 曲线?


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