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高三一轮总复习理科数学新课标课时作业28

课后限时自测
A组 一、选择题 1.(2013· 福建高考)已知复数 z 的共轭复数 z =1+2i(i 为虚数单位),则 z 在 复平面内对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 ) B.第二象限 D.第四象限 基础训练

【解析】 ∵ z =1+2i,∴z=1-2i,∴z 在复平面内对应的点位于第四象 限. 【答案】 D )

2.(2013· 广东高考)若 i(x+yi)=3+4i,x,y∈R,则复数 x+yi 的模是( A.2 C.4 【解析】 法一 B.3 D.5 因为 i(x+yi)=3+4i,所以 x+yi=

3+4i ?3+4i??-i? i = i?-i? =4

-3i,故|x+yi|=|4-3i|= 42+?-3?2=5,故选 D. 法二 因为 i(x+yi)=3+4i,所以-y+xi=3+4i,所以 x=4,y=-3,故|x

+yi|=|4-3i|= 42+?-3?2=5,故选 D. 法三 因为 i(x+yi)=3+4i,所以(-i)i(x+yi)=(-i)· (3+4i)=4-3i,即 x+

yi=4-3i,故|x+yi|=|4-3i|= 42+?-3?2=5,故选 D. 【答案】 D 1-i a + 2 是实数,则 a=( 1+i )

3.(2014· 广州模拟)设 a 是实数,且 1 A.2 C.1 【解析】

B.-1 D.2 1-i a?1-i? a ?1 1 ? + 2 = +?2-2i? ? 1+i ?1+i??1-i? ?

?a 1? ?a 1? =?2+2?-?2+2?i, ? ? ? ? a 1 由题意知2+2=0,∴a=-1. 【答案】 B 1+2i =( ?1-i?2 )

4.(2013· 课标全国卷Ⅰ) 1 A.-1-2i 1 C.1+ i 2 【解析】 【答案】

1 B.-1+2i 1 D.1- i 2 1+2i 1+2i 1+2i ?1+2i?i 1 = 2 =-1+2i. 2= 2= ?1-i? 1-2i+i -2i B

5.(2013· 安徽高考)设 i 是虚数单位, z 是复数 z 的共轭复数,若 z·z i+2 =2z,则 z=( A.1+i C.-1+i 【解析】
2

) B.1-i D.-1-i 设 z=a+bi(a,b∈R),由 z·z i+2=2z,得(a+bi)(a-bi)i+2=
2

2 2 ?a +b =2b, 2(a + bi) ,即 (a + b )i + 2 = 2a + 2bi ,由复数相等的条件得 ? 得 ?2=2a,

?a=1, ? ?b=1, ∴z=1+i. 【答案】 二、填空题 6.(2014· 深圳模拟)若复数(a+i)2 在复平面内对应的点在 y 轴负半轴上,则 实数 a 的值是________. 【解析】 【答案】 (a+i)2=a2-1+2ai,由题意知 a2-1=0 且 2a<0,∴a=-1. -1 A

7.已知 i 是虚数单位,则 i+i2+i3+…+i2 014=________. 【解析】 ∵in+in+1+in+2+in+3=0,

∴i+i2+i3+…+i2 014=i+i2=i-1. 【答案】 i-1

8.(2014· 青岛质检)若复数 z=1+i(i 为虚数单位), z 是 z 的共轭复数,则 z2+ z 2________. 【解析】 ∵z=1+i,∴ z =1-i,

则 z2+ z 2=(1+i)2+(1-i)2=2i-2i=0. 【答案】 三、解答题 9.已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数 z2 的虚部为 2, 且 z1 · z2 是实数,求 z2. 【解】 ∵(z1-2)(1+i)=1-i, 0

1-i ?1-i?2 ∴z1= +2= 2 +2=2-i, 1+i 设 z2=a+2i(a∈R), 则 z1 · z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i, 又 z1 · z2 是实数, ∴a=4,从而 z2=4+2i. 10.复数 z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它们在复平面上的对应点是 一个正方形的三个顶点,求这个正方形的第四个顶点对应的复数.

【解】

如图,z1、z2、z3 分别对应点 A、B、C.

→ → → ∴AB=OB-OA, → ∴AB所对应的复数为 z2-z1=(-2+i)-(1+2i)=-3-i, → → 在正方形 ABCD 中,DC=AB, → ∴DC所对应的复数为-3-i, → → → 又DC=OC-OD,

→ → → ∴OD=OC-DC所对应的复数为 z3-(-3-i)=(-1-2i)-(-3-i)=2-i, ∴第四个顶点对应的复数为 2-i. B组 能力提升

1.若 i 为虚数单位,如图 4-5-2 所示复平面内点 Z 表示复数 z,则表示复 z 数 的点是( 1+i A.E C.G 【解析】 ∴ ) B.F D.H 由图可得 z=3+i, 图 4-5-2

3+i ?3+i??1-i? 4-2i z = = = 2 =2-i. 1+i 1+i ?1+i??1-i?

对应的点为(2,-1),即点 H. 【答案】 D a+3i (a∈R,i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 a 1+2i

2.(2014· 济南调研)若复数 的值为________. 【解析】 ∵

a+3i ?a+3i??1-2i? a+6 3-2a = = 5 + 5 i, 1+2i ?1+2i??1-2i?

a+3i 是纯虚数, 1+2i

a+6 3-2a ∴ 5 =0 且 5 ≠0,∴a=-6. 【答案】 -6

z 3.已知 z 是复数,z+2i, 均为实数(i 为虚数单位),且复数(z+ai)2 在复 2-i 平面上对应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围. 【解】 设 z=x+yi(x,y∈R),则 z+2i=x+(y+2)i,

由题意得 y=-2. x-2i 1 z = = (x-2i)(2+i) 2-i 2-i 5 1 1 =5(2x+2)+5(x-4)i, 由题意得 x=4,∴z=4-2i. ∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,
2 ?12+4a-a >0, 根据条件,可知? ?8?a-2?>0,

解得 2<a<6.∴实数 a 的取值范围是(2,6).